2020高中数学 第二章 数列2.3 直线与平面垂直 4页

‎2.3　直线与平面垂直 ‎【基本知识】‎ ‎1.直线与直线垂直 如果两条直线相交于一点或 相交于一点，并且交角为 ，则称这两条直线互相垂直.‎ ‎2.直线与平面垂直的定义及性质 定义及符号表示 图形语言及画法 有关名称 重要结论 如果一条直线和一个平面相交于点，并且和这个平面内过交点的 .我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作 ‎ 把直线画成和表示平面的平行四边形的一边 ‎ 直线：平面的 ；平面：直线的 ；点 ；线段：点到平面的 ；线段的长：点到平面的 ‎ 如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的 直线垂直 ‎3.直线与平面垂直的判定定理 定理：如果一条直线与平面内的 直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.‎ 推论1：如果在两条 中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.‎ 推论2：如果两条直线 ，那么这两条直线平行.‎ ‎【归纳·升华·领悟】‎ ‎（1）判定定理的条件中，“平面内两条相交直线”是关键性词语，此处强调相交，若两条直线不相交（即平行），即使直线垂直于平面内无数条直线也不能判断直线与平面垂直.‎ ‎（2）要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可.至于这两条直线是否与已知直线有交点，这是无关紧要的.‎ ‎【典型例题】‎ 考点一　线面垂直的定义及判定定理的理解 例1.有下列四个命题，正确的命题的序号是 .‎ ‎①过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直；‎ ‎②已知两条不重合的直线，和平面，若，，则；‎ ‎③，，表示三条不同的直线，表示平面，若，，，，则；‎ ‎④若直线不平行于平面，则直线垂直于平面.‎ 考点二　线面垂直的判定 4‎ 例2.如图所示，已知垂直于所在的平面，是的直径，是上任意一点，过点作于点，求证：平面.‎ 考点三　线面垂直性质（推论2）的应用 例3.如图所示，正方体中，与异面直线，都垂直相交.求证：.‎ ‎【习题跟踪】‎ ‎1.如果直线与平面不垂直，那么在平面内（　　）‎ A.不存在与垂直的直线 B.存在一条与垂直的直线 C.存在无数条与垂直的直线 D.任一条都与垂直 ‎2.下列说法中，正确的是（　　）‎ A.若直线与平面内无数条直线垂直，则 B.若直线垂直于平面，则与平面内的直线可能相交，可能异面，也可能平行 4‎ C.若，，，则 D.若，，则 ‎3.如图，直三棱柱中，，为线段上的一动点，则直线与直线的位置关系为 .‎ ‎4.如图所示，在斜边为的中，过点作平面，于，于.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面.‎ 4‎ ‎5.已知直线平面，直线平面，，直线，，直线，，则直线的位置关系是 .‎ ‎6.如图，是正三角形，和都垂直于平面，且，，是的中点，求证：‎ ‎（1）平面；‎ ‎（2）.‎ ‎【方法·规律·小结】‎ ‎1.直线与平面垂直的判定方法 ‎（1）利用定义；‎ ‎（2）利用判定定理关键是在面内找两条相交直线.‎ ‎2.对于线面垂直的性质定理（推论2）的理解 ‎（1）直线与平面垂直的性质定理（推论2）给出了判定两条直线平行的另一种方法.‎ ‎（2）定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据.‎ 4‎