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- 2021-07-01 发布
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2009年浙江省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1. 设U=R，A={x|x>0}，B={x|x>1}，则A∩∁UB=( )
A.{x|0≤x<1} B.{x|01}
2. 已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3. 设复数z＝1+i（i是虚数单位），则2z+z2＝（ ）
A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i
4. 在二项式(x2-1x)5的展开式中，含x4的项的系数是（ ）
A.-10 B.10 C.-5 D.5
5. 在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是（ ）
A.30∘ B.45∘ C.60∘ D.90∘
6. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
7. 设向量a→，b→满足：|a→|=3，|b→|=4，a→⋅b→=0．以a→，b→，a→-b→的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
8. 已知a是实数，则函数f(x)=1+asinax的图象不可能是( )
A. B.
C. D.
9. 过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0, b>0)的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C．若AB→=12BC→，则双曲线的离心率是（ ）
A.2 B.3 C.5 D.10
10. 定义A-B={x|x∈A且x∉B}，若P={1, 2, 3, 4}，Q={2, 5}，则Q-P=( )
A.P B.{5} C.{1, 3, 4} D.Q
二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）
11. 设等比数列{an}的公比q=12，前n项和为Sn，则S4a4=________．
12. 若某个几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是________cm3．
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13. 若实数x，y满足不等式组x+y≥22x-y≤4x-y≥0 ，则2x+3y的最小值是________．
14. 某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如图：
高峰时间段用电价格表
低谷时间段用电价格表
高峰月用电量
（单位：千瓦时）
高峰电价（单位：元/千瓦时）
低谷月用电量
（单位：千瓦时）
低谷电价（单位：
元/千瓦时）
50及以下的部分
0.568
50及以下的部分
0.288
超过50至200的部分
0.598
超过50至200的部分
0.318
超过200的部分
0.668
超过200的部分
0.388
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元（用数字作答）
15. 观察下列等式：观察下列等式：
C51+C55=23-2，
C91+C95+C99=27+23，
C131+C135+C139+C1313=211-25，
C171+C175+C179+C1713+C1717=215+27，
⋯
由以上等式推测到一个一般结论：
对于n∈N*，C4n+11+C4n+15+C4n+19+⋯+C4n+14n+1=________．
16. 甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是________．
17. 如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点，现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足，设AK=t，则t的取值范围是________．
三、解答题（共5小题，满分72分）
18. 在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足cosA2=255，AB→⋅AC→=3．
(Ⅰ)求△ABC的面积；
(Ⅱ)若b+c＝6，求a的值．
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19. 在1，2，3…，9，这9个自然数中，任取3个数．
（1）求这3个数中，恰有一个是偶数的概率；
（2）记ξ为这三个数中两数相邻的组数，（例如：若取出的数1、2、3，则有两组相邻的数1、2和2、3，此时ξ的值是2）．求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．
20. 如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC=16，PA=PC=10．
（1）设G是OC的中点，证明：FG // 平面BOE；
（2）证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．
21. 已知椭圆C1:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的右顶点A(1, 0)，过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设点P在抛物线C2:y=x2+h(h∈R)上，C2在点P处的切线与C1交于点M，N．当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值．
22. 已知函数f(x)=x3-(k2-k+1)x2+5x-2，g(x)=k2x2+kx+1，其中k∈R．
（1）设函数p(x)=f(x)+g(x)．若p(x)在区间(0, 3)上不单调，求k的取值范围；
（2）设函数q(x)=g(x),x≥0f(x),x<0.是否存在k，对任意给定的非零实数x1，存在惟一的非零实数x2(x2≠x1)，使得q'(x2)=q'(x1)？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．
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参考答案与试题解析
2009年浙江省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1.B
2.C
3.D
4.B
5.C
6.A
7.B
8.D
9.C
10.B
二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）
11.15
12.18
13.4
14.148.4
15.24n-1+(-1)n22n-1
16.336
17.(12, 1)
三、解答题（共5小题，满分72分）
18.（1）因为cosA2=255，∴
cosA=2cos2A2-1=35,sinA=45，
又由AB→⋅AC→=3，
得bccosA＝3，∴ bc＝5，
∴ S△ABC=12bcsinA=2
（2）对于bc＝5，又b+c＝6，
∴ b＝5，c＝1或b＝1，c＝5，
由余弦定理得a2＝b2+c2-2bccosA＝20，∴ a=25
19.解：（1）由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的所有事件是C93，
而满足条件的事件是3个数恰有一个是偶数共有C41C52
记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A，
∴ P(A)=C41C52C93=1021；
（2）随机变量ξ为这三个数中两数相邻的组数，
则ξ的取值为0，1，2，
当变量为0时表示不包含相邻的数P(ξ=0)=512，
P(ξ=1)=12，P(ξ=2)=112
∴ ξ的分布列为
ξ
0
1
2
p
512
12
112
∴ ξ的数学期望为Eξ=0×512+1×12+2×112=23．
20.证明：（1）如图，连接OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，
则O(0, 0, 0)，A(0, -8, 0)，B(8, 0, 0)，C(0, 8, 0)，P(0, 0, 6)，E(0, -4, 3)，F(4, 0, 3)，
由题意得，G(0, 4, 0)，因OB→=(8,0,0)，OE→=(0,-4,3)，
因此平面BOE的法向量为n→=(0,3,4)，FG→=(-4，4，-3)
6 / 6
得n→⋅FG→=0，又直线FG不在平面BOE内，因此有FG // 平面BOE．
（2）设点M的坐标为(x0, y0, 0)，则FM→=(x0-4,y0,-3)，
因为FM⊥平面BOE，
所以有FM→ // n→，因此有x0=4，y0=-94，
即点M的坐标为(4,-94，0)
在平面直角坐标系xoy中，△AOB的内部区域满足不等式组x>0y<0x-y<8，
经检验，点M的坐标满足上述不等式组，
所以在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，
由点M的坐标得点M到OA，OB的距离为4,94．
21.解：（1）由题意得b=12⋅b2a=1，∴ a=2b=1，
所求的椭圆方程为y24+x2=1，
（2）不妨设M(x1, y1)，N(x2, y2)，P(t, t2+h)，
则抛物线C2在点P处的切线斜率为y'|x=t=2t，
直线MN的方程为y=2tx-t2+h，将上式代入椭圆C1的方程中，
得4x2+(2tx-t2+h)2-4=0，
即4(1+t2)x2-4t(t2-h)x+(t2-h)2-4=0，
因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点，
所以有△1=16[-t4+2(h+2)t2-h2+4]>0，
设线段MN的中点的横坐标是x3，
则x3=x1+x22=t(t2-h)2(1+t2)，
设线段PA的中点的横坐标是x4，
则x4=t+12，由题意得x3=x4，
即有t2+(1+h)t+1=0，
其中的△2=(1+h)2-4≥0，∴ h≥1或h≤-3；
当h≤-3时有h+2<0，4-h2<0，
因此不等式△1=16[-t4+2(h+2)t2-h2+4]>0不成立；
因此h≥1，当h=1时代入方程t2+(1+h)t+1=0得t=-1，
将h=1，t=-1代入不等式△1=16[-t4+2(h+2)t2-h2+4]>0成立，因此h的最小值为1．
22.解析：（1）因P(x)=f(x)+g(x)=x3+(k-1)x2+(k+5)x-1，
p'(x)=3x2+2(k-1)x+(k+5)，
因p(x)在区间(0, 3)上不单调，所
以p'(x)=0在(0, 3)上有实数解，且无重根，
由p'(x)=0得k(2x+1)=-(3x2-2x+5)，
∴ k=-(3x2-2x+5)2x+1=-34[(2x+1)+92x+1-103]，
令t=2x+1，有t∈(1, 7)，记h(t)=t+9t，
则h(t)在(1, 3]上单调递减，在[3, 7)上单调递增，所
以有h(t)∈[6, 10)，于是(2x+1)+92x+1∈[6,10)，
得k∈(-5, -2]，而当k=-2时有p'(x)=0在(0, 3)上有两个相等的实根x=1，故舍去，
6 / 6
所以k∈(-5, -2)；
（2）当x<0时有q'(x)=f'(x)=3x2-2(k2-k+1)x+5；
当x>0时有q'(x)=g'(x)=2k2x+k，
因为当k=0时不合题意，因此k≠0，
下面讨论k≠0的情形，记A=(k, +∞)，B=(5, +∞)
（1）当x1>0时，q'(x)在(0, +∞)上单调递增，
所以要使q'(x2)=q'(x1)成立，只能x2<0且A⊆B，
因此有k≥5，
（2）当x1<0时，q'(x)在(-∞, 0)上单调递减，
所以要使q'(x2)=q'(x1)成立，只能x2>0且A⊆B，
因此k≤5，综合(1)(II)k=5；
当k=5时A=B，则∀x1<0，q'(x1)∈B=A，即∃x2>0，
使得q'(x2)=q'(x1)成立，
因为q'(x)在(0, +∞)上单调递增，所以x2的值是唯一的；
同理，∀x1<0，即存在唯一的非零实数x2(x2≠x1)，
要使q'(x2)=q'(x1)成立，所以k=5满足题意．
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