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- 2021-07-01 发布
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课 题:9.10研究性课题:多面体欧拉定理的发现 (二)
教学目的:会用欧拉公式解决实际问题
教学重点:欧拉定理的应用
教学难点:在具体问题中会利用顶点V、面数F、棱数E的关系互化
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教 具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
1.简单多面体:考虑一个多面体,例如正六面体,假定它的面是用橡胶薄膜做成的,如果充以气体,那么它就会连续(不破裂)变形,最后可变为一个球面如图:象这样,表面经过连续变形可变为球面的多面体,叫做简单多面体
说明:棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体
2.五种正多面体的顶点数、面数及棱数:
正多面体
顶点数
面数
棱数
正四面体
4
4
6
正六面体
8
6
12
正八面体
6
8
12
正十二面体
20
12
30
正二十面体
12
20
30
3.欧拉定理(欧拉公式):简单多面体的顶点数、面数及棱数有关系式:
.
4.欧拉示性数:在欧拉公式中令,叫欧拉示性数
说明:(1)简单多面体的欧拉示性数.
(2)带一个洞的多面体的欧拉示性数
.例如:长方体挖去一个洞连结底面相应顶点得到的多面体
二、讲解范例:
例1 由欧拉定理证明:正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种
证明:设正多面体的每个面的边数为,每个顶点连有条棱,
令这个多面体的面数为,每个面有条边,故共有条边,由于每条边都是两个面的公共边,故多面体棱数 (1)
令这个多面体有个顶点,每一个顶点处有条棱,故共有条棱由于每条棱有两个顶点,故多面体棱数 (2)
由(1)(2)得:,代入欧拉公式:.
∴ (3),
∵又,,但,不能同时大于,
(若,,则有,即这是不可能的)
∴,中至少有一个等于.令,则,
∴,∴,∴.
同样若可得.
例2.欧拉定理在研究化学分子结构中的应用:
1996年诺贝尔化学奖授予对发现有重大贡献的三位科学家是由60个原子构成的分子,它是形如足球的多面体这个多面体有60个顶点,以每一个顶点为一端点都有三条棱,面的形状只有五边形和六边形,计算分子中五边形和六边形的数目
解:设分子中有五边形个,六边形个
分子这个多面体的顶点数,面数,棱数,由欧拉定理得: (1),
另一方面棱数可由多边形的边数和来表示,得 (2),由(1)(2)得:,
∴分子中五边形有12个,六边形有20个
例3.一个正多面体各个面的内角和为,求它的面数、顶点数和棱数
解:由题意设每一个面的边数为,则,
∴,
∵,∴,
将其代入欧拉公式,得,设过每一个顶点的棱数为,
则,得,即(1),
∵,∴,又,
∴的可能取值为,,,
当或时(1)中无整数解;
当,由(1)得,
∴, ∴,
综上可知:,,.
三、小结 :欧拉定理的应用;会用欧拉公式解决简单多面体的顶点数、面数和棱数的计算问题
四、课后作业:
⒈ 一个简单多面体的各面都是三角形,证明它的顶点数V和面数F有下面的关系:F=2V-4
证明:∵ ,V+F-E=2
∴V+F-=2 ∴F=2V-4
⒉ 设一个凸多面体有V个顶点,
求证:它的各面多边形的内角和为(V-2)·360°
解:设此多面体的上底面有V上个顶点,下底面有V下个顶点
将其下底面剪掉,抻成平面图形则
V上·360°+(V下-2)·180°+(V下-2)·180°
=(V上+V下-2)·360°
=(V-2)360°
⒊ 有没有棱数是7的简单多面体?说明理由
证明:∵V+F-E=2 , ∴V+F=7+2=9
∵多面体的顶点数V≥4,面数F≥4
∴只有两种情况V=4,F=5或V=5,F=4
但是有4个顶点的多面体只有四个面,不可能是5个面
有四个面的多面体是四面体,也只有四个面,不可能有5个面
∴没有棱数是7的简单多面体
⒋ 是否存在这样的多面体,它有奇数个面,且每一个在都有奇数条边
证明:设有一个多面体,有F(奇数)个面,并且每个面的边数
也都是奇数,则
但是上式左端是奇数个“奇数相加”,结果仍为奇数,可右端是偶数,这是不可能的
∴不存在这样的多面体
五、板书设计(略)
六、课后记:
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