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- 2021-07-01 发布
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第一章 导数及其应用
滚动训练一(§1.1~§1.2)
一、选择题
1.自变量x从x0变化到x1时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )
A.从x0到x1的平均变化率
B.在x=x1处的变化率
C.在x=x1处的变化量
D.在区间[x0,x1]上的导数
考点 平均变化率
题点 函数的平均变化率
答案 A
解析 =表示函数从x0到x1的平均变化率.
2.下列求导结果正确的是( )
A.(a-x2)′=1-2x B.(2)′=3
C.(cos 60°)′=-sin 60° D.[ln(2x)]′=
考点 导数公式的应用
题点 导数公式的应用
答案 B
解析 根据题意,依次分析选项:
对于A,(a-x2)′=a′-(x2)′=-2x,故A错误;
7
对于B,(2)′=()′=2××=3,故B正确;
对于C,(cos 60°)′=0,故C错误;
对于D,[ln(2x)]′=(2x)′=,故D错误.故选B.
3.函数y=x(1-ax)2(a>0),且y′|x=2=5,则实数a的值为( )
A. B.0
C.1 D.2
考点 导数乘除法则及运算
题点 导数乘除法则及运算
答案 C
解析 y′=(1-ax)2+x[(1-ax)2]′
=(1-ax)2+x[2(1-ax)(-a)]
=(1-ax)2-2ax(1-ax),
由y′|x=2=(1-2a)2-4a(1-2a)
=12a2-8a+1=5(a>0),
解得a=1.
4.曲线y=ln x在点M处的切线过原点,则该切线的斜率为( )
A.1 B.e
C.- D.
考点 导数公式的应用
题点 导数公式的应用
答案 D
解析 设M(x0,ln x0),
由y=ln x得y′=,
所以切线斜率k==,
所以切线方程为y-ln x0=(x-x0).
由题意得0-ln x0=(0-x0)=-1,
即ln x0=1,所以x0=e.
所以k==,故选D.
7
5.已知函数f(x)=asin x+bx3+1(a,b∈R),f′(x)为f(x)的导函数,则f(2 016)+f(-2 016)+f′(2 017)-f′(-2 017)等于( )
A.2 017 B.2 016
C.2 D.0
考点 导数的加减法则及运算
题点 导数的加减法则及运算
答案 C
解析 函数的导数f′(x)=acos x+3bx2,
则f′(x)为偶函数,则f′(2 017)-f′(-2 017)
=f′(2 017)-f′(2 017)=0,
由f(x)=asin x+bx3+1,
得f(2 016)=asin 2 016+b·2 0163+1,
f(-2 016)=-asin 2 016-b·2 0163+1,
则f(2 016)+f(-2 016)=2,
则f(2 016)+f(-2 016)+f′(2 017)-f′(-2 017)=2+0=2,故选C.
6.设f(x)=ln(x+1)++ax+b(a,b∈R且为常数),曲线y=f(x)与直线y=x在点(0,0)相切,则a+b的值为( )
A.-1 B.1 C.0 D.2
答案 A
解析 由y=f(x)过点(0,0)得b=-1,
∴f(x)=ln(x+1)++ax-1,
∴f′(x)=++a,
又∵曲线y=f(x)与直线y=x在点(0,0)相切,即曲线y=f(x)在点(0,0)处切线的斜率为,
∴f′(0)=,即1++a=,
∴a=0,故a+b=-1,选A.
7.已知函数f(x)及其导数f′(x),若存在x0使得f(x0)=f′(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”.给出四个函数:①f(x)=x2,②f(x)=e-x,③f(x)=ln x,④f(x)=tan x,其中有“巧值点”的函数的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
考点 导数公式的应用
题点 导数公式的应用
7
答案 B
解析 根据题意,依次分析所给的函数:
①若f(x)=x2,则f′(x)=2x,由x2=2x,得x=0或x=2,这个方程显然有解,①符合要求;
②若f(x)=e-x,则f′(x)=-e-x,即e-x=-e-x,此方程无解,②不符合要求;
③f(x)=ln x,则f′(x)=,若ln x=,利用数形结合可知该方程存在实数解,③符合要求;
④f(x)=tan x,则f′(x)=,即sin xcos x=1,变形得sin 2x=2,无解,④不符合要求,故选B.
8.若函数f(x)=-eax(a>0,b>0)的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切,则a+b的最大值为( )
A.4 B.2
C.2 D.
考点 简单复合函数的导数
题点 简单复合函数的导数的综合应用
答案 D
解析 函数的导数为f′(x)=-eax·a,
所以f′(0)=-e0·a=-,
即在x=0处的切线斜率k=-,
又f(0)=-e0=-,
所以切点坐标为,
所以切线方程为y+=-x,即ax+by+1=0.
圆心到直线ax+by+1=0的距离d==1,
即a2+b2=1,所以a2+b2=1≥2ab,即00,f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1),l是曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线,求切线l的方程.
考点 求函数在某点处的切线方程
题点 求函数在某点处的切线方程
解 ∵f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1),f(0)=1,
∴f′(x)=2ax-2+,∴f′(0)=-1,
∴切点P的坐标为(0,1),l的斜率为-1,
∴切线l的方程为x+y-1=0.
四、探究与拓展
14.已知函数f(x)=cos x+e-x+x2 016,令f1(x)=f′(x),f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),则f2 017(x)等于( )
A.-sin x+e-x B.cos x-e-x
C.-sin x-e-x D.-cos x+e-x
考点 导数公式的应用
题点 导数公式的应用
答案 C
解析 f1(x)=f′(x)=-sin x-e-x+2 016x2 015,
f2(x)=f1′(x)=-cos x+e-x+2 016×2 015×x2 014,
f3(x)=f2′(x)=sin x-e-x+2 016×2 015×2 014x2 013,
f4(x)=f3′(x)=cos x+e-x+2 016×2 015×2 014×2 013x2 012,
…,
∴f2 016(x)=f′2 015(x)=cos x+e-x+2 016×2 015×2 014×2 013×…×1,
∴f2 017(x)=-sin x-e-x,故选C.
15.已知函数f(x)=x3-3x及曲线y=f(x)上一点P(1,-2),过点P作直线l.
(1)若直线l与曲线y=f(x)相切于点P,求直线l的方程;
(2)若直线l与曲线y=f(x)相切,且切点异于点P,求直线l的方程.
考点 求函数过某点的切线方程
7
题点 求函数过某点的切线方程
解 (1)由f(x)=x3-3x,得f′(x)=3x2-3.
过点P且以P(1,-2)为切点的直线l的斜率为f′(1)=0,
故所求直线l的方程为y=-2.
(2)设过点P(1,-2)的直线l与曲线y=f(x)相切于点(x0,x-3x0).
由f′(x0)=3x-3,
得直线l的方程为y-(x-3x0)=(3x-3)(x-x0).
又直线l过点P(1,-2),
所以-2-(x-3x0)=(3x-3)(1-x0),
即(x0-1)2(x0+2)=3(x-1)(x0-1),
解得x0=1(舍去)或x0=-,
故直线l的斜率k=-,
故直线l的方程为y-(-2)=-(x-1),
即9x+4y-1=0.
7
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