湖北省省实验、武汉中学等学校联考2018-2019学年高一下学期期末考试数学试卷 Word版含解析 25页

www.ks5u.com 省实验、武汉中学等学联考2018～2019学年度 高一下期末数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.如果直线直线，且平面，那么与的位置关系是( )‎ A. 相交 B. C. D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：直线与平面位置关系有三种：线在面内、线面平行、线面相交；其中能符合题目要求的有线面平行与线在面内；‎ 考点：直线与平面的位置关系；‎ ‎2.如果数列的前项和为，则这个数列的通项公式是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过和关系得到是首项为6公比为3的等比数列，计算得到答案.‎ ‎【详解】数列的前项和为,取解得 是首项为6公比为3的等比数列，‎ 验证，成立 故答案选B ‎【点睛】本题考查了数列通项公式的计算，把握和关系是解题的关键.‎ - 25 -‎ ‎3.数列中，对于任意，恒有，若，则等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为,所以 , .选D.‎ ‎4.在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的体积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在三棱锥中，求得,又由底面，所以,在直角中，求得,进而得到三棱锥外接球的直径，得到，利用体积公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意知，在三棱锥中，，，，所以,‎ 又由底面，所以,‎ 在直角中，，所以,‎ 根据球的性质，可得三棱锥外接球的直径为，即，‎ 所以球的体积为，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了与球有关的组合体中球的体积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征和球的性质，准确求解球的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.‎ - 25 -‎ ‎5.《九章算术》中有如下问题：今有浦生一日，长三尺，莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长等?意思是今有蒲第一天长高尺，莞第一天长高尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍，若蒲、莞长度相等，则所需时间为( ).(结果精确到，参考数据: ，)‎ A. 天 B. 天 C. 天 D. 天 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 设蒲的长度组成等比数列{an}，其a1=3，公比为，其前n项和为An；莞的长度组成等比数列{bn}，其b1=1，公比为2，其前n项和为Bn．利用等比数列的前n项和公式及对数的运算性质即可得出．‎ ‎【详解】设蒲的长度组成等比数列{an}，其a1=3，公比为，其前n项和为An，则An=.‎ 莞的长度组成等比数列{bn}，其b1=1，公比为2，其前n项和为Bn．则Bn ，‎ 由题意可得：，整理得：2n+=7，解得2n=6，或2n=1（舍去）．‎ ‎∴n=≈2.6．∴估计2.6日蒲、莞长度相等.‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式在实际中的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎6.设等差数列的前项和为，若，，则中最大的是( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C - 25 -‎ ‎【解析】‎ 分析：利用等差数列的通项公式，化简求得，进而得到，即可作出判定．‎ 详解：在等差数列中，，‎ 则，整理得，即，‎ 所以，‎ 又由，所以，所以前项和中最大是，故选C．‎ 点睛：本题考查了等差数列的通项公式，及等差数列的前项和的性质，其中解答中根据等差数列的通项公式，化简求得，进而得到是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力．‎ ‎7.如图所示，在正四棱锥中，分别是，，的中点，动点在线段上运动时，下列结论不恒成立的时( ).‎ A. 与异面 B. 面 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN.‎ - 25 -‎ ‎(1)由正四棱锥S−ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC.‎ ‎∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，‎ ‎∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=N，‎ ‎∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP.故C正确。‎ ‎(2)由异面直线的定义可知：EP与SD是异面直线，故A正确；‎ ‎(3)由(1)可知：平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此B正确。‎ ‎(4)当P与M重合时，有∥，其他情况都是异面直线即D不正确。‎ 故选D 点睛：本题抓住正四棱锥的特征，顶点在底面的投影为底面正方形的中心，即SO⊥底面ABCD，EP为动直线，所以要证EP∥面，可先证EP所在的平面平行于面SBD，要证⊥可先证AC垂直于EP所在的平面，所以化动为静的处理思想在立体中常用.‎ ‎8.将正整数排列如下：‎ ‎1‎ ‎2 3‎ ‎4 5 6‎ ‎7 8 9 10‎ ‎11 12 13 14 15‎ ‎……‎ 则图中数出现在( )‎ A. 第行列 B. 第行列 C. 第行列 D. 第行列 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算每行首个数字的通项公式，再判断出现在第几列，得到答案.‎ ‎【详解】每行的首个数字为：1,2,4,7,11…‎ 利用累加法：‎ - 25 -‎ 计算知： ‎ 数出现在第行列 故答案选B ‎【点睛】本题考查了数列的应用，计算首数字的通项公式是解题的关键.‎ ‎9.如图，在下列四个正方体中，，，，，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与所在平面平行的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线面平行判定定理以及作截面逐个分析判断选择.‎ ‎【详解】A中，因为,所以可得平面,又，可得平面，从而平面平面 B中，作截面可得平面平面（H为C1D1中点）,‎ 如图：‎ - 25 -‎ C中，作截面可得平面平面（H为C1D1中点）,‎ 如图：‎ D中，作截面可得为两相交直线，因此平面与平面不平行,‎ 如图：‎ ‎【点睛】本题考查线面平行判定定理以及截面，考查空间想象能力与基本判断论证能力，属中档题.‎ - 25 -‎ ‎10.若两等差数列，前项和分別为，，满足，则的值为( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 解：因为两等差数列、前项和分别为、，满足，故 ‎,选B ‎11.已知是定义在上不恒为的函数，且对任意，有成立，，令，则有( )‎ A. 为等差数列 B. 为等比数列 C. 为等差数列 D. 为等比数列 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 令,得到得到，‎ ‎.‎ ‎,‎ 说明为等差数列，故C正确，根据选项，排除A，D.‎ ‎∵.‎ 显然既不是等差也不是等比数列。‎ 故选：C.‎ - 25 -‎ ‎12.设点是棱长为的正方体的棱的中点，点在面所在的平面内，若平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等，则点到点的最短距离是()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以为原点，为轴为轴 为轴，建立空间直角坐标系，计算三个平面的法向量，根据夹角相等得到关系式：，再利用点到直线的距离公式得到答案.‎ ‎【详解】`以为原点，为轴为轴 为轴，建立空间直角坐标系.‎ 则 易知：平面的法向量为 ‎ ‎ 平面的法向量为 设平面的法向量为： ‎ 则，取 ‎ 平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等 或 看作平面的两条平行直线，到的距离.‎ 根据点到直线的距离公式得，点到点的最短距离都是： ‎ 故答案为B - 25 -‎ ‎【点睛】本题考查了空间直角坐标系，二面角，最短距离，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知数列，，若该数列是减数列，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题可以先通过得出的解析式，再得出的解析式，最后通过数列是递减数列得出实数的取值范围。‎ ‎【详解】，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 因为该数列是递减数列，‎ 所以 即 因为 所以实数的取值范围是。‎ ‎【点睛】本题考察的是递减数列的性质，递减数列的后一项减去前一项的值一定是一个负值。‎ ‎14.已知三棱锥，平面，，，，则三棱锥的侧面积__________．‎ ‎【答案】‎ - 25 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意将三棱锥放入对应长方体中，计算各个面的面积相加得到答案.‎ ‎【详解】三棱锥，平面，，，‎ 画出图像：‎ 易知：每个面都是直角三角形.‎ ‎【点睛】本题考查了三棱锥的侧面积，将三棱锥放入对应的长方体是解题的关键.‎ ‎15.如图，矩形中，，，是的中点，将沿折起，使折起后平面平面，则异面直线和所成的角的余弦值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取中点为，中点为，连接，则异面直线和所成角为 - 25 -‎ ‎ .在中，利用边长关系得到余弦值.‎ ‎【详解】由题意，‎ 取中点，连接，则，可得直线和所成角的平面角为，（如图）‎ 过作垂直于，平面⊥平面，‎ ‎，‎ 平面，，‎ 且，结合平面图形可得：, ‎ ‎,,‎ 又=, ∴=,‎ ‎∴在中，=,‎ ‎∴△DFC是直角三角形且，‎ 可得．‎ ‎【点睛】本题考查了异面直线的夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎16.在数列中，，，若，则的前项和取得最大值时的值为__________．‎ - 25 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解法一：利用数列的递推公式，化简得，得到数列为等差数列，求得数列的通项公式，得到，，得出所以，，，，进而得到结论；‎ 解法二：化简得，令，求得，进而求得 ‎，再由，解得或，即可得到结论．‎ ‎【详解】解法一：因为①‎ 所以②，‎ ‎①②，得即，所以数列为等差数列．‎ 在①中，取，得即，又，则，‎ 所以．因此，‎ 所以，，‎ ‎，‎ 所以， ‎ 又，所以时，取得最大值．‎ 解法二：由，得，‎ 令，则，则，‎ 即，‎ - 25 -‎ 代入得，‎ 取，得，解得，又，则，故 所以，于是．‎ 由，得，解得或，‎ 又因为，，‎ 所以时，取得最大值．‎ ‎【点睛】本题主要考查了数列的综合应用，以及数列的最值问题的求解，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，合理利用数列的性质是关键，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等，属于中档试题.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.求图中阴影部分绕所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.‎ ‎【答案】表面积为68πcm2，体积为(cm3)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面,‎ 体积为圆台的体积减去半球的体积.‎ ‎【详解】由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面．‎ 在直角梯形ABCD中，过D点作，垂足为E，如下图：‎ - 25 -‎ 在中，,所以可计算出：‎ S半球＝8π，S圆台侧＝35π，S圆台底＝25π.故所求几何体的表面积为68π (cm2)；‎ 由圆台的体积()，‎ 半球的体积(),‎ 所以，所求几何体的体积为().‎ ‎【点睛】本题考查了平面图形的旋转、圆台的体积、球的体积的计算以及表面积的有关计算。‎ ‎18.数列的前项和.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 当时，，利用得到通项公式，验证得到答案.‎ ‎(2)根据的正负将和分为两种情况，和，分别计算得到答案.‎ ‎【详解】(1)当时，，‎ 当时，.‎ - 25 -‎ 综上所述.‎ ‎(2)当时，，所以 ‎，‎ 当时，，‎ ‎.‎ 综上所述.‎ ‎【点睛】本题考查了利用求通项公式，数列绝对值和，忽略时的情况是容易犯的错误.‎ ‎19.如图，在三棱柱中，各个侧面均是边长为的正方形，为线段的中点.‎ ‎(1)求证:直线平面；‎ ‎(2)求直线与平面所成角的余弦值；‎ - 25 -‎ ‎(3)设为线段上任意一点，在内的平面区域(包括边界)是否存在点，使，并说明理由.‎ ‎【答案】(1)见解析 (2)（3）存在点，使，详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设与的交点为，证明进而证明直线平面.‎ ‎(2)先证明直线与平面所成角的为，再利用长度关系计算.‎ ‎(3) 过点作，证明平面，即，所以存在.‎ ‎【详解】(1)设与的交点为，显然为中点，又点为线段的中点，所以，‎ 平面，平面，‎ 平面.‎ ‎(2) 平面，平面,‎ ‎，‎ ‎，平面，平面，‎ 平面，点在平面上的投影为点，直线与平面所成角的为，‎ ‎，，，‎ ‎.‎ - 25 -‎ ‎(3)过点作，又因为平面，平面，所以，‎ 平面，平面，‎ 平面，‎ ‎，所以存在点，使.‎ ‎【点睛】本题考查了立体几何线面平行，线面夹角，动点问题，将线线垂直转化为线面垂直是解题的关键.‎ ‎20.已知数列中，，.‎ ‎(1)求数列的通项公式:‎ ‎(2)设，求数列的通项公式及其前项和.‎ ‎【答案】(1) (2) ，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 利用累加法得到答案.‎ ‎(2)计算，利用裂项求和得到前项和.‎ ‎【详解】(1)由题意可知 - 25 -‎ 左右累加得.‎ ‎(2) ‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了数列的累加法，裂项求和法，是数列的常考题型.‎ ‎21.如图，三棱柱的侧面是边长为的菱形，，且.‎ ‎(1)求证: ；‎ ‎(2)若，当二面角为直二面角时，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）利用直线与平面垂直的判定，结合三角形全等判定，得到，再次结合三角形全等，即可。（2）法一：建立坐标系，分别计算的法向量，结合两向量夹角为直角，计算出的值，然后结合，即可。法二：设出OA=x,用x分别表示AB,BD,AD，结合，建立方程，计算x，结合，‎ - 25 -‎ 即可。‎ ‎【详解】（1）连结，交于点，连结，‎ 因为侧面是菱形，所以，‎ 又因为，，‎ 所以平面，‎ 而平面，所以，‎ 因为，所以，‎ 而，所以，. ‎ ‎（2）因为，，所以，（法一）以为坐标原点，所以直线为轴，‎ 所以直线为轴，所以直线为轴建立 如图所示空间直角坐标系，设，‎ 则，，，‎ ‎，，‎ 所以，，，‎ - 25 -‎ 设平面的法向量，所以 令，则，，取，‎ 设平面的法向量，所以 令，则，，取，‎ 依题意得，解得. ‎ 所以. ‎ ‎（法二）过作，连结，‎ 由（1）知，所以且，‎ 所以是二面角的平面角，依题意得，，‎ 所以，‎ 设，则，，‎ 又由，，‎ 所以由，解得，‎ 所以.‎ - 25 -‎ ‎【点睛】本道题考查了直线与平面垂直判定，考查了利用空间向量解决二面角问题，难度较难。‎ ‎22.已知数列中，.‎ ‎(1)求证：是等比数列，求数列的通项公式；‎ ‎(2)已知：数列，满足 ‎①求数列前项和；‎ ‎②记集合若集合中含有个元素，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 证明见解析， (2)①②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)计算得到： 得证.‎ ‎(2) ①计算的通项公式为，利用错位相减法得到.‎ ‎②将代入集合M，化简并分离参数得，确定数列的单调性，根据集合中含有个元素得到答案.‎ ‎【详解】(1) ，‎ 为等比数列，其中首项，公比为.‎ - 25 -‎ 所以，.‎ ‎(2)①数列的通项公式为 ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎①-②‎ 化简后得.‎ ‎②将代入得 化简并分离参数得，‎ 设，则 易知 由于中含有个元素，所以实数要小于等于第5大的数，且比第6大的数大.‎ ‎，，‎ 综上所述.‎ ‎【点睛】本题考查了数列的证明，数列的通项公式，错位相减法，数列的单调性，综合性强计算量大，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ - 25 -‎ - 25 -‎ ‎ ‎ - 25 -‎