2020版高中数学 第二章 数列单元精选检测 新人教B版必修5 8页

第二章 数列 单元精选检测(二)‎ ‎(时间120分钟，满分150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.若在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝a－1(n∈N＋)，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝‎ ‎(　　) ‎ ‎【导学号：18082133】‎ A.－1　　　B‎.1　‎　　C.0　　　D.2‎ ‎【解析】　由递推关系，得a1＝1，a2＝0，a3＝－1，a4＝0，a5＝－1，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1.‎ ‎【答案】　A ‎2.已知数列{an}是首项a1＝4，公比q≠1的等比数列，且‎4a1，a5，－‎2a3成等差数列，则公比q等于(　　)‎ A.　　　B.－‎1　‎‎　　‎C.－2　　　D.2‎ ‎【解析】　由已知，‎2a5＝‎4a1－‎2a3，即‎2a1q4＝‎4a1－‎2a1q2，所以q4＋q2－2＝0，解得q2＝1，因为q≠1，所以q＝－1.‎ ‎【答案】　B ‎3.某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是(　　)‎ A.33个 B.65个 C.66个 D.129个 ‎【解析】　设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为{an}.‎ 则即＝2.‎ ‎∴an－1＝1·2n－1 ，an＝2n－1＋1，a7＝65.‎ ‎【答案】　B ‎4.等比数列{an}的通项为an＝2·3n－1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列 {bn}，那么162是新数列{bn}的(　　) ‎ ‎【导学号：18082134】‎ A.第5项 B.第12项 C.第13项 D.第6项 8‎ ‎【解析】　162是数列{an}的第5项，则它是新数列{bn}的第5＋(5－1)×2＝13项.‎ ‎【答案】　C ‎5.已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a≠0)，则{an}(　　)‎ A.一定是等差数列 B.一定是等比数列 C.或者是等差数列，或者是等比数列 D.既不可能是等差数列，也不可能是等比数列 ‎【解析】　∵Sn＝an－1(a≠0)，‎ ‎∴an＝ 即an＝ 当a＝1时，an＝0，数列{an}是一个常数列，也是等差数列；当a≠1时，数列{an}是一个等比数列.‎ ‎【答案】　C ‎6.在等差数列{an}中，若a4＝－4，a9＝4，Sn是等差数列{an}的前n项和，则(　　)‎ A.S5＜S6 B.S5＝S6‎ C.S7＝S5 D.S7＝S6‎ ‎【解析】　因为a4＋a9＝a6＋a7＝0，‎ 所以S7－S5＝a6＋a7＝0，所以S7＝S5.‎ ‎【答案】　C ‎7.设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和及前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是(　　)‎ A.X＋Z＝2Y B.Y(Y－X)＝Z(Z－X)‎ C.Y2＝XZ D.Y(Y－X)＝X(Z－X)‎ ‎【解析】　由题意，知Sn＝X，S2n＝Y，S3n＝Z.‎ 因为{an}是等比数列，‎ 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，‎ 即X，Y－X，Z－Y成等比数列，‎ 所以(Y－X)2＝X·(Z－Y).‎ 整理，得Y2－XY＝ZX－X2，‎ 即Y(Y－X)＝X(Z－X).‎ ‎【答案】　D ‎8.已知数列{an}满足a1＝5，anan＋1＝2n，则＝(　　)‎ A.2 B‎.4 C.5 D. 8‎ ‎【解析】　依题意得＝＝2，即＝2，数列a1，a3，a5，a7，…是一个以5为首项，2为公比的等比数列，因此＝4.‎ ‎【答案】　B ‎9.已知等比数列{an}的各项均为正数，数列{bn}满足bn＝ln an，b3＝18，b6＝12，则数列{bn}前n项和的最大值等于(　　) ‎ ‎【导学号：18082135】‎ A.126 B‎.130 C.132 D.134‎ ‎【解析】　因为{an}是各项均为正数的等比数列，所以{bn}是等差数列.设公差为d，则d＝＝＝－2，‎ 所以{bn}的通项公式bn＝b3＋(n－3)d＝18＋(n－3)×(－2)＝24－2n.‎ 令bn＝0，得n＝12，‎ 所以{bn}的前11项或前12项和最大，S11＝S12＝＝11×12＝132，故选C.‎ ‎【答案】　C ‎10.我们把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如图1所示：‎ 图1‎ 则第七个三角形数是(　　)‎ A.27 B‎.28 C.29 D.30‎ ‎【解析】　法一：∵a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，a5＝15，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，‎ ‎∴a6－a5＝6，a6＝21，a7－a6＝7，a7＝28.‎ 法二：由图可知第n个三角形数为，‎ ‎∴a7＝＝28.‎ ‎【答案】　B ‎11.数列{an}满足递推公式an＝3an－1＋3n－1(n≥2)，又a1＝5，则使得为等差数列的实数λ＝(　　) ‎ 8‎ ‎【导学号：18082136】‎ A.2 B‎.5 C.－ D. ‎【解析】　a1＝5，a2＝23，a3＝95，令bn＝，则b1＝，b2＝，b3＝，‎ ‎∵b1＋b3＝2b2，‎ ‎∴λ＝－.‎ ‎【答案】　C ‎12.在等差数列{an}中，a10<0，a11>0，且a11>|a10|，则{an}的前n项和Sn中最大的负数为(　　)‎ A.S17 B.S‎18 C.S19 D.S20‎ ‎【解析】　∵a10<0，a11>0，且a11>|a10|，‎ ‎∴a11＋a10>0.‎ S20＝＝10·(a11＋a10)>0.‎ S19＝＝·‎2a10<0.‎ ‎【答案】　C 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)‎ ‎13.在等差数列{an}和{bn}中，a1＝25，b1＝75，a100＋b100＝100，则数列{an＋bn}的前100项的和为________.‎ ‎【解析】　由已知得{an＋bn}为等差数列，故其前100项的和为S100‎ ‎＝ ‎＝50×(25＋75＋100)＝10 000.‎ ‎【答案】　10 000‎ ‎14.数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋n(n≥2)，则an＝________.‎ ‎【解析】　由an＝an－1＋n(n≥2)，得an－an－1＝n，则a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an＝an－1＋n把各式相加，得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，‎ ‎∴an＝1＋2＋3＋…＋n＝.‎ ‎【答案】　 ‎15.已知在等差数列{an}中，a1＜a2＜…＜an，且a3，a6为x2－10x＋16＝0的两个实根，则此数列的前n项和Sn＝________.‎ ‎【解析】　因为a1＜a2＜…＜an，所以d＞0.‎ 8‎ 因为a3，a6为x2－10x＋16＝0的两个实根，‎ 所以a3＝2，a6＝8，‎ 所以解得 所以Sn＝－2n＋×2＝n2－3n.‎ ‎【答案】　n2－3n ‎16.已知公差不为零的正项等差数列{an}中，Sn为其前n项和，lg a1，lg a2，lg a4也成等差数列，若a5＝10，则S5＝________.‎ ‎【解析】　设{an}的公差为d，则d≠0.‎ 由lg a1，lg a2，lg a4也成等差数列，‎ 得2lg a2＝lg a1＋lg a4，∴a＝a‎1a4，‎ 即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，d2＝a1d.‎ 又d≠0，故d＝a1，a5＝‎5a1＝10，d＝a1＝2，‎ S5＝‎5a1＋×d＝30.‎ ‎【答案】　30‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题满分10分)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.‎ ‎(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；‎ ‎(2)若S5＝，求λ. ‎ ‎【导学号：18082137】‎ ‎【解】　(1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1，‎ 故λ≠1，a1＝，a1≠0.‎ 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，‎ 即an＋1(λ－1)＝λan.‎ 由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.‎ 因此{an}是首项为，公比为的等比数列，‎ 于是an＝.‎ ‎(2)解：由(1)得Sn＝1－n.‎ 由S5＝得1－＝，即＝.‎ 8‎ 解得λ＝－1.‎ ‎18.(本小题满分12分)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋‎2a2＋‎3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N＋).‎ ‎(1)求a2，a3的值；‎ ‎(2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列.‎ ‎【解】　(1)∵a1＋‎2a2＋‎3a3＋…＋nan＝(n－1)·Sn＋2n(n∈N＋)，‎ ‎∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；‎ 当n＝2时，a1＋‎2a2＝(a1＋a2)＋4，∴a2＝4；‎ 当n＝3时，a1＋‎2a2＋‎3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，∴a3＝8.‎ ‎(2)证明：∵a1＋‎2a2＋‎3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N＋)，①‎ ‎∴当n≥2时，a1＋‎2a2＋‎3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)，②‎ ‎①－②得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2，‎ ‎∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2.‎ ‎∴Sn＋2＝2(Sn－1＋2).∵S1＋2＝4≠0.‎ ‎∴Sn－1＋2≠0，∴＝2.‎ 即{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列.‎ ‎19.(本小题满分12分)数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an(n∈N＋)，Sn为其前n项和.数列{bn}为等差数列，且满足b1＝a1，b4＝S3.‎ ‎(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎(2)设cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎【解】　(1)由题意知，{an}是首项为1，公比为2的等比数列，‎ ‎∴an＝a1·2n－1＝2n－1.‎ ‎∴Sn＝2n－1.‎ 设等差数列{bn}的公差为d，则b1＝a1＝1，b4＝1＋3d＝7，‎ ‎∴d＝2，bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1.‎ ‎(2)∵log‎2a2n＋2＝log222n＋1＝2n＋1，‎ ‎∴cn＝＝ ‎＝.‎ ‎∴Tn＝＝＝.‎ ‎20.(本小题满分12分)已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N＋)，满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.‎ 8‎ ‎(1)令cn＝，求数列{cn}的通项公式；‎ ‎(2)若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.‎ ‎【解】　(1)因为anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0，‎ bn≠0(n∈N*)，‎ 所以－＝2，即cn＋1－cn＝2.‎ 所以数列{cn}是以首项c1＝1，公差d＝2的等差数列，故cn＝2n－1.‎ ‎(2)由bn＝3n－1知an＝cnbn＝(2n－1)3n－1，‎ 于是数列{an}的前n项和Sn＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n－1)×3n－1，‎ ‎3Sn＝1×31＋3×32＋…＋(2n－3)×3n－1＋(2n－1)×3n.‎ 相减得－2Sn＝1＋2×(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)×3n＝－2－(2n－2)3n，‎ 所以Sn＝(n－1)3n＋1.‎ ‎21.(本小题满分12分)设数列{an}(n＝1,2,3，…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)记数列的前n项和为Tn，求使得|Tn－1|<成立的n的最小值.‎ ‎【解】　(1)由已知Sn＝2an－a1，有 an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，‎ 即an＝2an－1(n≥2)，所以q＝2.‎ 从而a2＝‎2a1，a3＝‎2a2＝‎4a1.‎ 又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)，‎ 所以a1＋‎4a1＝2(‎2a1＋1)，解得a1＝2.‎ 所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列.‎ 故an＝2n.‎ ‎(2)由(1)得＝，‎ 所以Tn＝＋＋…＋＝＝1－.‎ 由|Tn－1|<，得<，‎ 即2n>1 000.‎ 因为29＝512<1 000<1 024＝210，所以n≥10.‎ 8‎ 于是使|Tn－1|<成立的n的最小值为10.‎ ‎22.(本小题满分12分)在等差数列{an}中，已知公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝a，记Tn＝－b1＋b2－b3＋b4－…＋(－1)nbn，求Tn.‎ ‎【解】　(1)由题意知(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，‎ 即(a1＋2)2＝a1(a1＋6)，解得a1＝2，‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝2n.‎ ‎(2)由题意知bn＝a＝n(n＋1)，‎ 所以Tn＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)nn·(n＋1).‎ 因为bn＋1－bn＝2(n＋1)，可得当n为偶数时，‎ Tn＝(－b1＋b2)＋(－b3＋b4)＋…＋(－bn－1＋bn)‎ ‎＝4＋8＋12＋…＋2n＝＝，‎ 当n为奇数时，Tn＝Tn－1＋(－bn)＝－n(n＋1)＝－.‎ 所以Tn＝ 8‎