2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第四册教师用书：11 8页

www.ks5u.com ‎11．1.3　多面体与棱柱 ‎[课程目标] 1.通过实物模型和图片，了解多面体和旋转体的含义； 2.通过观察，归纳棱柱的结构特征，理解棱柱的有关概念．‎ 知识点一　　多面体及分类 ‎[填一填]‎ ‎1．多面体定义 由若干个平面多边形所围成的封闭几何体称为多面体．‎ ‎2．多面体相关定义 ‎(1)围成多面体的各个多边形称为多面体的面；‎ ‎(2)相邻两个面的公共边称为多面体的棱；‎ ‎(3)棱和棱的公共点称为多面体的顶点；‎ ‎(4)连接同一面上两个顶点的线段，如果不是多面体的棱，就称其为多面体的面对角线；连接不在同一面上两个顶点的线段称为多面体的体对角线．‎ ‎(5)截面：一个几何体与一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部)．‎ ‎3．凸多面体 把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则称这样的多面体为凸多面体．‎ ‎[答一答]‎ ‎1．对多面体的认识有哪些？‎ 提示：(1)多面体是由平面多边形围成的，不是由其他曲面或空间多边形围成的．‎ ‎(2)多面体是一个“封闭”的几何体，包括它的内部部分．也就是说多面体一定是个实体，如实心砖，而非空心纸盒，且多面体中一定不能有曲面．‎ 知识点二　　棱柱 ‎[填一填]‎ ‎(1)有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体称为棱柱．‎ ‎(2)棱柱的两个互相平行的面称为棱柱的底面(底面水平放置时，分别称为上底面、下底面)，其他各面称为棱柱的侧面，两个侧面的公共边称为棱柱的侧棱．‎ ‎(3)棱柱可以用底面上的顶点来表示．‎ ‎(4)过棱柱的一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱柱的高．棱柱所有侧面的面积之和称为棱柱的侧面积．‎ ‎(5)如果棱柱的侧棱垂直于底面，则可知棱柱所有的侧面都是长方形，这样的棱柱称为直棱柱(不是直棱柱的棱柱称为斜棱柱)．特别地，底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱．‎ ‎(6)棱柱可以按底面的形状分类，例如底面是三角形、四边形、五边形的棱柱，可分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱．‎ ‎(7)底面是平行四边形的棱柱也称为平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体．底面是矩形的直平行六面体就是长方体，棱长都相等的长方体就是正方体．‎ ‎[答一答]‎ ‎2．有人说：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．你认为这种说法对吗？‎ 提示：‎ 这种说法不对．棱柱有两个本质特征：(1)有两个面互相平行；(2)其余各面每相邻两个面的公共边相互平行．正是由于这两个特征，使棱柱的各侧面都是平行四边形，但是有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体未必是棱柱．反例如图．‎ 类型一　　概念的理解与应用 ‎[例1]　如图所示的三棱柱ABCA1B‎1C1，其中E，F，G，H是三棱柱对应边上的中点，过此四点作截面EFGH，把三棱柱分成两部分，各部分形成的几何体是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．‎ ‎[解]　截面以上的几何体是三棱柱AEFA1HG，截面以下的几何体是四棱柱BEFCB1HGC1.‎ 我们想知道几何体的形状，只要观察它的特征，严格按照定义判断即可.‎ ‎[变式训练1]　下面多面体中，是棱柱的有(　D　)‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：根据棱柱的定义进行判定知，这4个图都满足．‎ 类型二　　棱柱的结构特征 ‎[例2]　下列关于棱柱的说法：‎ ‎(1)所有的面都是平行四边形；‎ ‎(2)每一个面都不会是三角形；‎ ‎(3)两底面平行，并且各侧棱也平行．‎ 其中正确说法的序号是________．‎ ‎[解析]　(1)错，底面可以不是平行四边形；(2)错，底面可以是三角形；(3)正确，由棱柱的定义可知．‎ ‎[答案]　(3)‎ 棱柱结构特征的辨析方法 ‎(1)扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义．‎ ‎①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；‎ ‎②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．‎ ‎(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除．‎ ‎[变式训练2]　下列说法正确的是(　D　)‎ A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．棱柱的侧棱总与底面垂直 D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形 解析：选项A，B都不正确，反例如图所示，C错误，棱柱的侧棱可能与底面垂直，也可能不垂直．根据棱柱的定义知D正确．‎ 类型三　　多面体的平面展开图 ‎[例3]　在长方体ABCDA1B‎1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线．‎ ‎[解]　沿长方体的一条棱剪开，使A和C1在同一平面上，求线段AC1的长即可，有如图所示的三种剪法：‎ ‎(1)若将C1D1剪开，使点A，B，C1，D1在一个平面内，可求得AC1＝＝＝4.‎ ‎(2)若将AD剪开，使点A，D，C1，B1在一个平面内，可求得AC1＝＝＝3.‎ ‎(3)若将CC1剪开，使点A，A1，C，C1在一个平面内，可求得AC1＝＝.‎ 相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为.‎ ‎1.多面体侧面上两点间的最短距离问题常常要归纳为求平面上两点间的最短距离问题，常见的解法是先把多面体侧面展开成平面图形，再用平面几何的知识来求解．‎ ‎2．解答展开与折叠问题，要结合多面体的定义和结构特征，发挥空间想象能力，必要时可制作平面展开图进行实践．‎ ‎[变式训练3]　某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案)(　A　)‎ 解析：两个相同的图案一定不能相邻，故B，C，D错误，只有A正确．‎ 类型四　　有关棱柱的截面问题 ‎[例4]　正三棱柱ABCA′B′C′的底面边长是‎4 cm，过BC的一个平面交侧棱AA′于D，若AD的长是‎2 cm，试求截面BCD的面积．‎ ‎[解]　如图，取BC的中点E，连接AE，DE，则AE⊥BC，DE⊥BC.‎ 因为AE＝×4＝2，‎ 所以DE＝＝4，‎ 所以S△BCD＝BC·ED＝×4×4＝8(cm2)．‎ 所以截面BCD的面积是‎8 cm2.‎ ‎1.截面问题首先要弄清截面的形状、位置、性质，然后才能进行下一步的计算.‎ ‎2.对于如何作几何体的截面，要用到平面的性质，在以后的学习中会遇到.‎ ‎[变式训练4]　正方体ABCDA1B‎1C1D1中，E，F，G分别在AB，BC，DD1上，求作过E，F，G三点的截面．‎ 解：(1)在底面AC内，过E，F作直线EF分别与DA，DC的延长线交于L、M；‎ ‎(2)在侧面A1D内，连接LG交AA1于K；‎ ‎(3)在侧面D‎1C内，连接GM交CC1于H；‎ ‎(4)连接KE，FH，则五边形EFHGK即为所求的截面，如图．‎ ‎1．下列几何体为棱柱的是(　B　)‎ 解析：由棱柱的定义知B是棱柱，A，C，D不是棱柱，故选B.‎ ‎2．平行六面体的两个对角面都是矩形，且底面又是正方形，则此平行六面体一定是(　B　)‎ A．直平行六面体 B．正四棱柱 C．长方体 D．正方体 解析：根据两个对角面是矩形可知侧棱和底面垂直，所以首先是直四棱柱．再根据底面是正方形可知是正四棱柱．‎ ‎3.如图所示的是一个正方体，它的表面展开图可能是图中的(　A　)‎ 解析：B、C、D中把展开图形还原为正方体，还原后4、6、8不能互相相邻，只有A符合题意．‎ ‎4．下列有关棱柱的说法：①棱柱的所有面都是平的；②棱柱所有的侧棱长相等；③棱柱所有的侧面都是长方形或正方形；④棱柱的侧面个数与底面边数相等；⑤棱柱的上、下底面形状相同、大小相等．‎ 其中正确的有4个．‎ 解析：由棱柱的概念知，①②④⑤正确，棱柱的侧面为平行四边形，不一定是长方形或正方形，故③不对．‎