高中数学第1章空间几何体1_3空间几何体的表面积与体积1_3_2球的体积和表面积教材梳理素材新人教A版必修21 3页

1.3.2 球的体积和表面积 疱丁巧解牛 知识·巧学 一、球的体积 1.公式：V= 3 3 4 R . 2.推导：求一个底面半径和高都等于 R 的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶 点的圆锥后，所得几何体的体积.由于圆柱的底面圆的半径为 R 且其高也为 R，则 V 圆柱 =πR2R=πR3，所挖去的圆锥的底面半径和高也都是 R，则 V 圆锥= 32 3 1 3 1 RRR   .于是 V 剩余 =V 柱-V 锥= 333 3 2 3 1 RRR   . 再求一个半径为 R 的半球的体积.它的底面积与组合体的底面积相等，它的高与组合体 的高都等于 R，即这两个几何体有相等的高与底面积.用一个平行于底面的平面去截这两个 几何体，可以证明其面积总相等，由祖暅原理，知这两个几何体体积相等.所以整个球的体 积公式为 V= 3 3 4 R . 早在小学时我们就知道一个实验：取一个半径为 R 的半球，再取一个圆桶和一个圆锥， 它们的底面半径与高都是 R，将圆锥放入圆桶内，再将半球里装满细沙，把这些细沙倒入圆 桶内，这时圆桶恰好装满. 这个实验启示我们，一个半球(半径为 R)的体积等于一个圆柱(底 面半径和高都等于 R)与一个圆锥(底面半径和高都等于 R)的体积的差，即 V 半球=V 圆柱-V 圆锥= 333 3 2 3 1 RRR   ,所以知 V 球=2× 33 3 4 3 2 RR   . 二、球的表面积 公式：S=4πR2,即球的表面积等于它的大圆面积的 4 倍. 对于球的表面积公式的推导我们后面将要学习，实际用的是微分与积分的思想,即先把 球体近似地分割成小的准锥体,当这种分割足够小时可以看作锥体,通过求它们的体积和,求 出球的表面积.球的体积和表面积公式中均含有π，如不加特殊说明，我们结果中保留π即 可. 问题·探究 问题 若球的大圆的面积扩大为原来的 3 倍，则它的体积扩大为原来的几倍？ 探究:球的表面积、体积的计算中，由于它们都仅与半径有关，从而只要由条件理顺半径间 的关系，即可确定体积或表面积之间的关系.如本题可设变化前后两球半径为 r、R，则有 3 1 2 2  R r   ，所以 3 1 R r , 33 1 3 4 3 4 3 3 3 3  R r R r V V   后球 前球 .所以体积扩大为原来的 33 倍. 典题·热题 例 1 已知过球面上三点 A、B、C 的截面到球心的距离等于球半径的一半,且 AC=BC=6,AB=4, 求球面面积与球的体积. 思路解析：可以用球的截面性质,借助题设给定的等量关系,建立关于球半径的方程来解题. 解：如图 1-3-20,设球心为 O,球半径为 R,作 OO1⊥平面 ABC 于 O1, 图 1-3-20 由于 OA=OB=OC=R,则 O1 是△ABC 的外心. 设 M 是 AB 的中点,由于 AC=BC,则 O1∈CM. 设 O1M=x,易知 O1M⊥AB,则 O1A= 222 x ,O1C=CM-O1M= x 22 26 . 又 O1A=O1C,∴ xx  2222 262 .解得 x= 4 27 . 则 O1A=O1B=O1C= 4 29 . 在 Rt△OO1A 中,O1O= 2 R ,∠OO1A=90°,OA=R. 由勾股定理,得( 2 R )2+( 4 29 )2=R2. 解得 R= 2 63 . 故 S 球面=4πR2=54π,V 球=  6273 4 3 R . 方法归纳 计算球的表面积和体积的关键是求出球的半径，这里就要充分利用球的截面的性 质进行求解.已知条件中的等量关系往往是建立方程的依据,这种解题的方程思想值得重视. 例 2 矩形 ABCD 中，AB=4，BC=3，沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B-AC-D，则四面体 ABCD 的外接球的体积为( ) A. 12 125 B. 9 125 C. 6 125 D. 3 125 思路解析：四面体 ABCD 的外接球的球心到各个顶点的距离相等，所以球心应为线段 AC 的中 点，设球的半径为 r，因为 AC=5，所以 r= 2 5 ，代入球的体积公式可得 V 球= 6 125)2 5(3 4 2   . 答案：C 例 3 有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体各条棱相切,第三个球过这 个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比. 思路解析：作出截面图,分别求出三个球的半径.由正方体的对称性，球心一定和正方体的中 心重合，可以画出球的大圆的平面图来分析. 解：设正方体的棱长为 a. (1)正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个面正方形的中心,经过四个切点及球心 作截面如图 1-3-21,所以有 2r1=a,r1= 2 a .所以 S1=4πr1 2=πa2. 图 1-3-21 (2)球与正方体的各棱的切点是每条棱的中点,过球心作正方体的对角面得截面,如 图,2r2= a2 ,r2= a2 2 ,所以 S2= 2 24 r =2πa2. (3)正方体的各个顶点在球面上,过球心作正方体的对角面得截面,如图 1-3-22 所示, 图 1-3-22 所以有 2r3= a3 ,r3= a2 3 . 所以 S3= 2 34 r =3πa2. 综上可得 S1∶S2∶S3=1∶2∶3. 深化升华 球的组合体问题,关键是正确地作出截面图,用圆的知识把立体问题转化为平面问 题来解决.这一转化，往往是利用球的大圆来实现的.