2020年广东省东莞市高考数学模拟试卷(文科)(4月份) (含答案解析) 20页

2020 年广东省东莞市高考数学模拟试卷(文科)(4 月份) 一、单项选择题（本大题共 12小题，共 60.0分） 1. 设集合 a dug i u ͹ui 1 ͳ， a du guݔu i ݔ ͳ，则 a ݔݔ A. ͳǡݔ Ͷݔ B. ݔͳǡݔ ݔͶݔ C. d12，5， D. dͳ1，2，5， . 已知 i是虚数单位，若 a 1ݔ i 则，ݔ z的共轭复数对应的点在复平面的ݔ ݔ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ǡ. 图是由三个半圆构成的图形，其中阴影部分的周长为 ，面积为 ，若在最大的半圆内随机 取一点，则该点取自阴影部分的概率为ݔ ݔ A. B. Ͷ C. 1 D. ǡ Ͷ. 若函数 是定义在ݔuݔ R上的奇函数，ݔ 1 Ͷ ݔ a 1，当 u ͳ时，ݔuݔ a logݔ i uݔ 香，则实数 香 a ݔ ݔ A. i 1 B. 0 C. 1 D. 2 5. 已知单位向量1 的夹角为 ǡ 则g i g a ݔ ݔ A. 3 B. 7 C. ǡ D. ͹ . 已知椭圆 u Ͷ a ͳݔ1 的左、右焦点分别为1、，过1的直线ݔ l交椭圆与 A，B两点， 若gg gg的最大值为 5，则 b的值为ݔݔ A. 1 B. C. ǡ D. ǡ ͹. 执行如图所示的程序框图，若输入 a ln1ͳ， a lg，则输出的 值为ݔݔ A. 0 B. 1 C. ᦙ䁤 D. ᦙ䁥1ͳ 8. 如图，为了测量河对岸电视塔 CD的高度，测量者小张在岸边点 A处测得 塔顶 D的仰角为 ǡͳ，塔底 C与 A的连线同河岸成 15角，小张沿河岸向 前走了 200米到达 M处，测得塔底 C与 M的连线同河岸成 ͳ角，则电 视塔 CD的高度为ݔݔ A. 1ͳͳ 米 B. 1ͳͳ 米 C. 5ͳ 米 D. 5ͳ 米 . 某校举行歌咏比赛，7位评委给各班演出的节目评分，去掉一个最高分，再去掉一个最低分后， 所得平均数作为该班节目的实际得分.对于某班的演出，7位评委的评分分别为：.5，.͹ͳ，.8， .͹5，.͹，.5，.͹8，则这个班节目的实际得分是ݔݔ A. . B. .͹ͳ C. .5 D. .͹ 1ͳ. 已知函数 ݔuݔ a sinݔωx ݔݔ > ͳͳ 的最小正周期为，若将ݔ 的图象向右平移ݔuݔ 个单位后关于原点中心对称，则ݔ ݔ A. a a ǡ B. a ai ǡ C. a a D. a a ǡ 11. 已知双曲线 C：u i a ݔ1 > ͳ > ͳݔ的右焦点与圆 M：ݔu i ݔ a 5的圆心重合，且圆 M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为 ，则双曲线的离心率为ݔ ݔ A. 2 B. C. ǡ D. 3 1. 如图，正方体ܥi 1的棱长为ܥ111 1，P为BC的中点，Q为线段1上的动点，过点､､ 的平面截该正方体所得的截面记为 S，给出下列三个结论： 当 ͳ 1 时，S为四边形； 当 a 1 时，S为等腰梯形； 当 a 1时，S的面积为 ； 以上结论正确的个数是ݔ ݔ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共 4小题，共 20.0分） 13. 设 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 a ， a ǡ，݋ a ǡ ，且 ， 则 a_____． 14. 函数 u a uu在点ݔ1ݔ的切线方程为_______。 15. 已知三棱锥 iܥ 中， a a ܥ a ܥ a ܥ a ， a ，则三棱锥 iܥ 的外接 球的表面积为________． 16. 已知函数 是定义在ݔuݔ R上的增函数，且 ݔͳݔ a 1，若关于 x的方程 香ݔ u݋ 䁥u ݔ a 1在区间 i 上恰有两个不同的实数解，则 m的取值范围为________． 三、解答题（本大题共 7小题，共 82.0分） 17. 记䁥为等差数列d䁥的前 n项和，已知ǡ 5 a 5，Ͷ a ͹． ；求数列d䁥的通项公式及䁥ݔ1ݔ 记䁥ݔݔ a 1 䁥䁥 ，求数列d䁥的前 n项和䁥． 18. 在四棱锥i 中，底面ܥ ABCD是直角梯形，ܥ 平面 ABM， a a a ܥ a Ͷ． ：证明ݔ1ݔ 平面 ABCD． 若ݔݔ E是 BM的中点，ܥ a ǡ，求 E到平面 ACM的距离． 19. 已知函数 ݔuݔ a u u i u． 当ݔ1ݔ a 1时，讨论 ；的单调性ݔuݔ 当ݔݔ u ͳ时，ݔuݔ 1 uǡ 1，求 a的取值范围． 20. 已知抛物线 a u，过点 作直线ݔ11ݔ l交抛物线于 A、B两点，O为坐标原点． 若ݔⅠݔ P为线段 AB的中点，求直线 l的方程； 若点ݔⅡݔ M为直线 AB上的点，且 a ͳ，求点 M的轨迹方程． 21. 已知函数 ݔuݔ a ui lnu，u ͳ的最小值是ݔ 2，求正实数 a的值． 22. 选修 ͶͶ：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy中，已知曲线1的参数方程为 为参数ݔ，曲线的参数 方程为 ． ；求曲线1的普通方程和曲线的极坐标方程ݔ1ݔ 设ݔݔ P为曲线1上的动点，求点 P到上点的距离的最小值，并求此时点 P的坐标． 23. 已知 ݔuݔ a gu ǡg gu i 1g． 求不等式ݔ1ݔ ݔuݔ 1ͳ的解集； 若对任意ݔݔ u Rݔuݔ g i 1g恒成立，求实数 a的取值范围． 【答案与解析】 1.答案：D 解析： 本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于 基础题． 可以求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可． 解： a dugu ǡ或 u > Ͷ， a du gͳ u a dͳ1，2，3，4，5，， a dͳ1，2，5，． 故选 D． 2.答案：D 解析： 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．利用复数 代数形式的乘除运算，求出的坐标可得答案． 解：因为 a 1ݔ i ，ݔ 所以 a 1i a 1 1i 1 a 1ǡ a 1 ǡ ， 所以 a 1 i ǡ ， 所以复数对应的点的坐标为 1 i ǡ ，在第四象限． 故选 D． 3.答案：B 解析： 本题主要考查几何概型的概率公式的应用，求出对应阴影部分的面积是解决本题的关键，属于基础 题． 结合圆的面积公式求出阴影部分的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可． 解：设里面两个小半圆的半径分别为1，，则最大的半圆的半径为1 ， 故阴影部分的周长 a 1ݔ ݔ 1 a 1ݔ ݔ a ， 1 a ǡ， 故最大半圆的面积 a 1 1ݔ ݔ a ， 又因为阴影部分的图形面积为 ， 则在最大的半圆内随机取一点，该点取自阴影部分的概率 a a Ͷ ． 故选 B． 4.答案：C 解析： 本题主要考查函数奇偶性的应用，以及已知函数值求参数的方法，熟记函数奇偶性的定义即可，属 于基础题． 先求 ݔ i 1 Ͷ 根据函数是奇函数，带入，ݔ ݔ 1 Ͷ 即可求得，ݔ m． 解： 是定义在ݔuݔ R上的奇函数，ݔ 1 Ͷ ݔ a 1，且 u ͳ时， ， ， 香 a 1． 故选 C． 5.答案：D 解析： 本题主要考查了单位向量的定义，向量数量积的运算及计算公式，向量模长的求法，考查了计算能 力，属于基础题． 根据条件进行数量积的运算即可求出1ݔ i ݔ a ͹，从而得出g1 i g a ͹． 解： g1 g a g g a 1 1 >a ǡ ， 1ݔ i ݔ a 1 i Ͷ1 Ͷ a 1 i Ͷ 1 1 i 1 Ͷ 1 a ͹， g1 i g a ͹． 故选 D． 6.答案：D 解析： 【试题解析】 本题考查椭圆的定义和几何性质，属于基础题． 利用椭圆的定义，结合g g g g的最大值为 5，可得当且仅当 u轴时，gg的最小值为 3， 由此可得结论． 解：由题意：g g g g gg a Ͷ a 8， g g g g的最大值为 5， gg的最小值为 3， 当且仅当 u轴时，取得最小值， 此时 i ǡ ， i i ǡ ， 代入椭圆方程可得： Ͷ Ͷ a 1， a Ͷ i ， Ͷi Ͷ Ͷ a 1， a ǡ． 故选 D. 7.答案：A 解析： 本题主要考查了条件结构程序框图的应用，解题的关键是熟练掌握条件结构程序框图的计算， 根据已知及条件结构程序框图的计算，求出输出的值． 解：因为 ln1ͳ > 1 > lg， 所以由程序框图知， 输出的值为 i 1 a ln1ͳi 1 lg a ln1ͳi ln1ͳ a ͳ. 故选 A． 8.答案：A 解析：解：在 中， a 15， a ͳͳݔ米ݔ， 则 a 18ͳ i ͳ a 1ͳ， a ͳ i 15 a Ͷ5， 由正弦定理，得 sin a sin ， 即 a ͳͳ䁥1ͳ 䁥Ͷ5 a 1ͳͳ ，ݔ米ݔ 在 ܥ，中ܥ a tanܥ a 1ͳͳ ǡ ǡ a 1ͳͳ ，ݔ米ݔ 所以塔高 CD为 1ͳͳ ．ݔ米ݔ 故选：A． 本题主要考查了解三角形的实际应用，正弦定理，属于基础题． 根据正弦定理求得 AC，进而在 中，根据ܥ ܥ a tanܥ求得 CD． 9.答案：B 解析： 本题主要考查一组数据平均数的计算方法． 解：u a .͹ͳ.8.͹5.5.͹ 5 a .͹ͳ． 故答案为 B． 10.答案：A 解析： 本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数的性质的应用，根据条件求出函数的解析式是解 决本题的关键． 解：函数 ，的最小正周期是ݔuݔ a a ，解得 a ，即 ݔuݔ a 䁥ݔu ，ݔ 将其图象向右平移 个单位后得到 a 䁥ݔu i ݔ ݔ a 䁥ݔu i ǡ ，ݔ 若此时函数关于原点对称，则i ǡ a ， 即 a ǡ ， ͳ ， a ǡ， 故选 A． 11.答案：A 解析： 本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，属于中档题． 根据圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可． 解：双曲线 C：u i a ݔ1 > ͳ > ͳݔ的一条渐近线不妨为：u a ͳ， 圆ݔu i ݔ a 5的圆心ݔͳݔ，半径为 5， 双曲线 C：u i a ݔ1 > ͳ > ͳݔ的一条渐近线被圆ݔu i ݔ a 5所截得的弦长为 ， 可得圆心到直线的距离为： 5 i ݔ ݔ a ǡ a gg ， 解得： a ǡ， 因为 a a Ͷ，可得 a Ͷ， 即 a . 故选 A． 12.答案：D 解析： 本题考查平面的基本性质，面面平行的性质，关键是做出截面图形，属于中档题． 作出符合题意的图形，逐项分析即可得出结论． 解：如图，延长 AP交 DC延长线于点 M， 当 a 1 时，连接 ，1三点共线ܥ此时，1ܥ 故截面 S即为四边形 ，1ܥ 因为 P，Q分别为 1的中点， 所以 1ܥ，1ܥ1 a a 5 ， 故四边形 ；1为等腰梯形，故正确ܥ 当 ͳ 1 时，延长 MQ交 1于点ܥܥ G，连接 AG，PQ， 此时点 G在线段 1上，故截面ܥܥ S为四边形 APQG，故正确； 当 a 1时，Q与点1重合，取11ܥ的中点 F，连接 11， 此时 a a 1 a 1 a 5 ， 截面 S为菱形 1，其对角线 1 a ǡ a ， 所以 S的面积为1 ǡ a ，故正确； 故选 D． 13.答案：2 解析：本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理． 根据同角三角函数的关系，求得 sinA的值以及的度数，由题设可根据正弦定理，求解出的度 数，推导出 a ，利用 a ，即可求得 b的值． 解： ݋ a ǡ ，cos sin a 1， 䁥 a 1 ， a ǡͳ， 根据正弦定理可知： 䁥 a 䁥，求得 䁥 a ǡ ， 又 ， a 1ͳ， 又在 中， a 18ͳ， a a ǡͳ， a a ． 故答案为 2． 14.答案： a u i 解析： 本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考 查运算求解能力．属于基础题． 解： ݔuݔ a uu，െݔuݔ a uݔu ，ݔ1 െݔ1ݔ a ， 函数 的图象在点ݔuݔ 处的切线方程为ݔ1ݔ i a uݔ i ，ݔ1 即 a ui ， 故答案为 a ui ． 15.答案：8Ͷ 解析： 本题主要考查了几何体的外接球的求法，关键是求出球的半径，属于中档题． 由余弦定理和正弦定理求出底面半径，即可求出外接球半径，进而可得结论． 解：如下图所示： 由 ܥ a ܥ a 得，ܥ D在底面 ABC的投影为 的外心 E． 设 的外接圆半径为 r，则 a ， 因为 ，所以 ， 由正弦定理得 ， 则 a a 1 ͹ ͹ ， 高 ܥ a i 1 ͹ ͹ a 1 ͹ ， 设外接球的球心为 O，半径为 R， 则 a 1 ͹ i 1 ͹ ͹ ， 解得： a 1， 所以三棱锥 iܥ 的外接球的表面积为 ． 故答案为 ． 16.答案：ݔ i i Ͷ 解析： 本题考查三角函数的性质，涉及方程的根的讨论、函数的单调性与零点，属小综合题.先根据题意转 化为香 u݋ 䁥u a ͳ，进一步转化为香 Ͷ a 䁥u i 䁥u.因为在区间 i 上 a 䁥u是单调增函数， i 11的每一个值对应唯一的 x的值，原问题等价于 香 Ͷ a i ݔ i 有且只有两个实数解，等价于ݔ11 a 香 Ͷ与a iݔ i 有两个不同的交点，结合ݔ11 二次函数的图象可解． 解：函数 是定义在ݔuݔ R上的增函数，且 ݔͳݔ a 1， 香ݔ u݋ 䁥u ݔ a 1 香 u݋ 䁥u a ͳ， 即 香 Ͷ a 䁥u i 䁥u． 因为在区间 i 上 a 䁥u是单调增函数， i 11的每一个值，对应唯一的 x的值， 原问题等价于 香 Ͷ a i ݔ i ，有且只有两个实数解ݔ11 等价于 a 香 Ͷ与 a i ݔ i ．有两个不同的交点ݔ11 结合二次函数的图象得i 1 香 Ͷ ͳ， 解得 香 ݔ i i Ͷ， 故答案为ݔ i i Ͷ． 17.答案：解：ݔ1ݔ设等差数列d䁥的公差为 d． 则 1 a 5 Ͷ1 Ͷǡ a ͹解得 1 a 1 a 1 䁥 a 䁥1 ， 䁥 a 䁥1ݔ䁥ݔ a 䁥ݔ䁥ǡݔ Ͷ ． 可得䁥ݔ1ݔ由ݔݔ a 1 䁥䁥 a Ͷ ݔ䁥ǡݔݔ䁥1ݔ a ݔ 1 䁥1 i 1 䁥ǡ ，ݔ 䁥 a 1 䁥 a ݔ 1 ǡ i 1 5 1 5 i 1 ͹ 1 䁥 1 i 1 䁥 ǡ ݔ a ݔ 1 ǡ i 1 䁥ǡ ݔ a Ͷ䁥 䁥 ． 解析：本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的求和及裂项相消法求和，考查了推理能力与计 算能力． ；利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出结果ݔ1ݔ ．利用“裂项相消法”求和即可得出ݔݔ 18.答案：ݔ1ݔ证明：因为 ܥ 平面 ABM， 平面 ABM， 得 ܥ ， 又 a a a ܥ a Ͷ， 所以 a a Ͷ， a Ͷ ， 所以 a ， 所以 ， 又 ܥ a ，AD、 平面 ABCD， 所以 平面 ABCD． 解：因为底面ݔݔ ABCD是直角梯形， 所以 ܥ ，ܥ 所以 ，ܥ 所以i a iܥ a 1 ǡ ܥ a 1 ǡ 1 Ͷ Ͷ a 1 ǡ ， 又 ܥ ，ܥ 所以 a ܥ ܥ a 5， 由ݔ1ݔ知 平面 ABCD， 又 平面 ABCD， 所以 ， 则 a 1 Ͷ 5 a 1ͳ， 设 E到平面 ACM的距离为 h， 则由i a i，得 1 ǡ 1ͳ a 1 ǡ ， 得 a 8 5 ， 即 E到平面 ACM的距离为 8 5 ． 解析：本题考查空间几何体的结构特征，考查线面垂直的判定，考查利用等体积法求点到面的距离， 属中档题． 依题意，根据ݔ1ݔ ܥ 平面 ABM，得 ܥ ，又 a a Ͷ， a Ͷ ，得 ，进 而证得 平面 ܥ 依题意，利用iݔݔ a i，即可求得 E到平面 ACM的距离． 19.答案：解：ݔ1ݔ当 a 1时，ݔuݔ a u u i u， െݔuݔ a u ui 1，设 䁤ݔuݔ a െݔuݔ， 因为 䁤െݔuݔ a u > ͳ，可得 䁤ݔuݔ在 R上递增，即 െݔuݔ在 R上递增， 因为 െݔͳݔ a ͳ，所以当 u > ͳ时，െݔuݔ > ͳ；当 u ͳ时，െݔuݔ ͳ， 所以 ͳݔ的增区间为ݔuݔ ݔ减区间为，ݔ i ͳݔ； 当ݔݔ u ͳ时，ݔuݔ 1 uǡ 1恒成立， 当 u a ͳ时，不等式恒成立，可得 ； 当 u > ͳ时，可得 1 u ǡu1iu u 恒成立， 设 ݔuݔ a 1 u ǡu1iu u ，则 െݔuݔ a ui1uݔݔiuݔ iui1ݔ uǡ ， 可设 香ݔuݔ a u i 1 u i u i 1，可得 香െݔuݔ a u i u i 1， 设 ݔuݔ a 香െݔuݔ a u i u i 1，则 െݔuݔ a u i 1， 由 u > ͳ，可得 െݔuݔ > ͳ恒成立，可得 ͳݔ在ݔuݔ 递增，即ݔ 香െݔuݔ在ݔͳ ，递增ݔ 所以 香െݔuݔ > 香െݔͳݔ a ͳ，即 香ݔuݔ在ݔͳ 递增，所以ݔ 香ݔuݔ > 香ݔͳݔ a ͳ， 再令 െݔuݔ a ͳ，可得 u a ， 当 ͳ u 时，െݔuݔ > ͳ，ݔuݔ在ݔͳݔ递增； 当 u > 时，െݔuݔ ͳ，ݔuݔ在ݔ ，递减ݔ 所以 香uݔuݔ a ݔݔ a ͹i Ͷ ， 所以 ͹i Ͷ ， 综上可得 a的取值范围是 ͹i Ͷ ．ݔ 解析：本题考查导数的运用：求单调性和最值，考查不等式的恒成立问题，考查构造函数法，主要 考查分类讨论思想和化简运算能力、推理能力，属于较难题． 求得ݔ1ݔ a 1时，ݔuݔ的解析式，两次对 x求得导数，结合指数函数的值域判断导数的符号，即可 得到所求单调性； 讨论ݔݔ u a ͳ，不等式恒成立；u > ͳ时，运用参数分离和构造函数，求得导数，判断单调性和最值， 进而得到所求范围． 20.答案：解：ݔⅠݔ设 则1，ݔuݔ，ݔu11ݔ a u1， a u. i，得 1ݔ i 1ݔݔ ݔ a u1ݔ i uݔ． 又因为 是线段ݔ11ݔ AB的中点，所以1 a ， ， 所以，ᦙ a 1i u1iu a 1 a 1. 又直线 AB过 所以直线，ݔ11ݔ l的方程为 a u； 设ݔⅡݔ 由，ݔuݔ a ͳ，知 a ͳ， 因为 a ，ݔuݔ a uݔ i 1 i uݔ所以，u，ݔ1 i ݔ1 ݔ i ݔ1 a ͳ， 即点 M的轨迹方程为u i u i a ͳݔ不含点ݔͳ1ݔݔ. 解析：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，圆锥曲线中的轨迹问题，向量的坐标运算，向量的 数量积，属于中档题． 1ݔ根据题意得出ݔⅠݔ i 1ݔݔ ݔ a u1ݔ i uݔ，进而得到ᦙ a 1i u1iu a 1 a 1即可； 设ݔⅡݔ 由，ݔuݔ a ͳ，知 a ͳ从而可以得到结果． 21.答案：解 因为 െݔuݔ a i 1 u a ui1 u ， 所以当 ͳ 1 时，ݔuݔ在ݔͳ 1 ݔ上单调递减，在ݔ 1 上单调递增， 所以 minݔuݔ a ݔ 1 ݔ a 1 ln a ， 解得 a ，满足条件 当 1 时，ݔuݔ在ݔͳ上单调递减，ݔuݔmin a ݔݔ a i 1 a ， 解得 a ǡ ．ݔ舍去ݔ 综上，正实数 a的值为 e． 解析：本题考查利用导数研究函数的最值问题，求导判断函数的单调性，结合单调性即可求出函数 的最值，属于基础题． 22.答案：解：ݔ1ݔ对曲线1： ， ， 曲线1的普通方程为u ǡ a 1． 对曲线消去参数 t可得 a Ͷݔ i uݔ且 a iݔ Ͷݔ， 曲线的直角坐标方程为 u i 8 a ͳ． 又 ， ， 从而曲线的极坐标方程为 ； 设曲线1上的任意一点为ݔݔ ， 则点 P到曲线：u i 8 a ͳ的距离： ， 当 ，即 a ǡ时，香䁥 a ǡ ， 此时点 P的坐标为ݔ 1 ǡ ．ݔ 解析：本题考查了简单曲线的极坐标方程与参数方程，为中档题． 根据直角坐标系与极坐标系的关系可得1方程，消去参数可得直角坐标方程，然后由直角坐标方ݔ1ݔ 程化为极坐标方程； 设出ݔݔ P点坐标，然后由点到直线的距离公式求解． 23.答案：解：ݔ1ݔ根据题意可得：ݔuݔ a i Ͷui u i ǡ Ͷ i ǡ u 1 Ͷu u > 1 当 u > 1 时Ͷu 1ͳ，解得 u ， 1 u ； 当i ǡ u 1 时，ݔuݔ a Ͷ 1ͳ恒成立； 当 u i ǡ 时 i Ͷu i 1ͳ，解得 u >i ǡ，i ǡ u i ǡ ； 综上，不等式的解集为ݔ i ǡݔ． 可得，函数ݔ1ݔ由ݔݔ 最小值为ݔuݔ 4； 又对任意 u ，g i 1g ，恒成立ݔuݔ g i 1g Ͷ，i ǡ 5； 的取值范围为 i ǡ5． 解析：本题主要考查解绝对值不等式，不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想的应用，属于基础 题． 去绝对值，将ݔ1ݔ ；转化为分段函数，从而分类讨论求解即可ݔuݔ ．将恒成立问题转化为最值问题，然后解绝对值不等式即可ݔݔ