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- 2021-07-02 发布
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2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)
数 学(文史类)
一、选择题:本大题共9小题,每小题5分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数z=i·(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于___ ____
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.“1<x<2”是“x<2”成立的______
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件。为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n=___ D ____
A.9 B.10 C.12 D.13
4.已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于____
A.4 B.3 C.2 D.1
5.在锐角ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b. 若2sinB=b,则角A等于______
A. B. C. D.
6.函数f(x)=㏑x的图像与函数g(x)=x2-4x+4的图像的交点个数为______
A.0 B.1 C.2 D.3
7.已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个面积为的矩形,则该正方体的正视图的面积等于______
A. B.1 C. D.
8.已知a,b是单位向量,a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为____ C ____
A. B. C. D.
9.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使△APB的最大边是AB”发生的概率为,则=____
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
10.已知集合,则_____
11.在平面直角坐标系xOy中,若直线(s为参数)和直线(t为参数)平行,则常数a的值为_____
12.执行如图1所示的程序框图,如果输入a=1,b=2,则输出的a的值为____9___
7
13.若变量x,y满足约束条件则x+y的最大值为______
14.设F1,F2是双曲线C, (a>0,b>0)的两个焦点。若在C上存在一点P。使
PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,则C的离心率为___________.
15.对于E={a1,a2,….a100}的子集X={a1,a2,…,an},定义X的“特征数列”为x1,x2…,x100,其中x1=x10=…xn=1.其余项均为0,例如子集{a2,a3}的“特征数列”为0,1,0,0,…,0
(1) 子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前三项和等于____ _______;
(2) 若E的子集P的“特征数列”P1,P2,…,P100 满足P1+Pi+1=1, 1≤i≤99;
E 的子集Q的“特征数列” q1,q2,q100 满足q1=1,q1+qj+1+qj+2=1,
1≤j≤98,则P∩Q的元素个数为_________.
三、解答题;本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=
(1) 求的值;
(2) 求使 成立的x的取值集合
17.(本小题满分12分)
如图2.在直菱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=,AA1=3,D是BC的中点,点E在菱BB1上运动。
(I) 证明:AD⊥C1E;
7
(I) 当异面直线AC,C1E 所成的角为60°时,求三菱子C1-A2B1E的体积。
18.(本小题满分12分)
某人在如图3所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验,一株该种作物的年收货量(单位:kg)与它的“相近”作物株数之间的关系如下表所示:
这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米。
(Ⅰ)完成下表,并求所种作物的平均年收获量;
(Ⅱ)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为48kg的概率.
19.(本小题满分13分)
设为数列{}的前项和,已知,2,N
(Ⅰ)求,,并求数列{}的通项公式;(Ⅱ)求数列{}的前项和。
20.(本小题满分13分)
已知,分别是椭圆的左、右焦点,关于直线的对称点是圆的一条直径的两个端点。
(Ⅰ)求圆的方程;
(Ⅱ)设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为,。当最大时,求直线的方程。
7
21.(本小题满分13分)已知函数f(x)=.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)证明:当f(x1)=f(x2)(x1≠x2)时,x1+x2<0.
参考答案
一、选择题
1.B
2.A
3.D
4.B
5.A
6.C
7.D
8.C
9.D
10.
11.4
12.4
13.6
14.
15.(1) 2 (2)17
16.解: (1)
。
(2)由(1)知,
17.解: (Ⅰ) .
.
(证毕)
(Ⅱ).
7
.
18.解: (Ⅰ) 由图知,三角形中共有15个格点,
与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个,坐标分别为(4,0),(0,4)。
与周围格点的距离不超过1米的格点数都是2个的格点有4个,坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1)。
与周围格点的距离不超过1米的格点数都是3个的格点有6个,坐标分别为(1,0), (2,0), (3,0),(0,1,) ,(0,2),(0,3,)。
与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个,坐标分别为(1,1), (1,2), (2,1)。如下表所示:
Y
51
48
45
42
频数
2
4
6
3
平均年收获量.
(Ⅱ)在15株中,年收获量至少为48kg的作物共有2+4=6个.
所以,15株中任选一个,它的年收获量至少为48k的概率P=.
19.解: (Ⅰ)
-
(Ⅱ)
上式左右错位相减:
。
20.解: (Ⅰ) 先求圆C关于直线x + y – 2 = 0对称的圆D,由题知圆D的直径为直线对称.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知(2,0), ,据题可设直线方程为: x = my +2,m∈R. 这时直线可被圆和椭圆截得2条弦,符合题意.
圆C:到直线的距离。
7
.
由椭圆的焦半径公式得:
.
所以当
21.解: (Ⅰ)
.
所以,。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,只需要证明:当x>0时f(x) < f(-x)即可。
。
。
7
。
7
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