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- 2021-07-02 发布
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2020北京西城区高三一模
数 学
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.设集合则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
直接求交集得到答案.
【详解】集合,则.
故选:.
【点睛】本题考查了交集运算,属于简单题.
2.若复数,则( )
A. B. C. D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】
化简得到,再计算模长得到答案.
【详解】,故.
故选:.
【点睛】本题考查了复数的运算,复数的模,意在考查学生的计算能力.
3.下列函数中,值域为R且为奇函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
- 18 -
【解析】
【分析】
依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.
【详解】A. ,值域为,非奇非偶函数,排除;
B. ,值域为,奇函数,排除;
C. ,值域为,奇函数,满足;
D. ,值域为,非奇非偶函数,排除;
故选:.
【点睛】本题考查了函数的值域和奇偶性,意在考查学生对于函数知识的综合应用.
4.设等差数列的前项和为,若,则( )
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意,解得,,得到答案.
【详解】,解得,,故.
故选:.
【点睛】本题考查了等差数列的求和,意在考查学生的计算能力.
5.设则以线段为直径的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
计算的中点坐标为,圆半径为,得到圆方程.
- 18 -
【详解】的中点坐标为:,圆半径为,
圆方程为.
故选:.
【点睛】本题考查了圆的标准方程,意在考查学生的计算能力.
6.设为非零实数,且,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
取,计算知错误,根据不等式性质知正确,得到答案.
【详解】,故,,故正确;
取,计算知错误;
故选:.
【点睛】本题考查了不等式性质,意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.
7.某四棱锥的三视图如图所示,记S为此棱锥所有棱的长度的集合,则( )
A.
B.
C.
D.
- 18 -
【答案】D
【解析】
【分析】
如图所示:在边长为的正方体中,四棱锥满足条件,故,得到答案.
【详解】如图所示:在边长为的正方体中,四棱锥满足条件.
故,,.
故,故,.
故选:.
【点睛】本题考查了三视图,元素和集合的关系,意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
8.设为非零向量,则“”是“与共线”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案.
【详解】若,则与共线,且方向相同,充分性;
- 18 -
当与共线,方向相反时,,故不必要.
故选:.
【点睛】本题考查了向量共线,充分不必要条件,意在考查学生的推断能力.
9.已知函数的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有( )
①绕着轴上一点旋转;
②沿轴正方向平移;
③以轴为轴作轴对称;
④以轴的某一条垂线为轴作轴对称.
A. ①③ B. ③④ C. ②③ D. ②④
【答案】D
【解析】
【分析】
计算得到,,故函数是周期函数,轴对称图形,故②④正确,根据图像知①③错误,得到答案.
【详解】,,,
当沿轴正方向平移个单位时,重合,故②正确;
,,
- 18 -
故,函数关于对称,故④正确;
根据图像知:①③不正确;
故选:.
【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数性质,意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.
10.设函数若关于的方程有四个实数解,其中,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】
画出函数图像,根据图像知:,,,计算得到答案.
【详解】,画出函数图像,如图所示:
根据图像知:,,故,且.
故.
故选:.
- 18 -
【点睛】本题考查了函数零点问题,意在考查学生的计算能力和应用能力,画出图像是解题的关键.
第Ⅱ卷(非选择题共110分)
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.在的展开式中,常数项为________.(用数字作答)
【答案】
【解析】
【分析】
的展开式的通项为,取计算得到答案.
【详解】的展开式的通项为:,取得到常数项
- 18 -
.
故答案为:.
【点睛】本题考查了二项式定理,意在考查学生的计算能力.
12.若向量满足,则实数的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意计算,解得答案.
【详解】,故,解得.
故答案为:.
【点睛】本题考查了向量的数量积,意在考查学生的计算能力.
13.设双曲线的一条渐近线方程为,则该双曲线的离心率为____________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据渐近线得到,,计算得到离心率.
【详解】,一条渐近线方程为:,故,,.
故答案为:.
【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率,意在考查学生的计算能力.
14.函数的最小正周期为________;若函数在区间
- 18 -
上单调递增,则的最大值为________.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
直接计算得到答案,根据题意得到,,解得答案.
【详解】,故,当时,,
故,解得.
故答案为:;.
【点睛】本题考查了三角函数的周期和单调性,意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
15.在一次体育水平测试中,甲、乙两校均有100名学生参加,其中:甲校男生成绩的优秀率为70%,女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%,女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试,给出下列三个结论:
①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;
②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;
③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中,所有正确结论的序号是____________.
【答案】②③
【解析】
【分析】
根据局部频率和整体频率的关系,依次判断每个选项得到答案.
【详解】不能确定甲乙两校的男女比例,故①不正确;
因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率,故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率,故②正确;
因为不能确定甲乙两校的男女比例,故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系,故③正确.
故答案为:②③.
【点睛】本题考查局部频率和整体频率的关系,意在考查学生的理解能力和应用能力.
- 18 -
三、解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
16.如图,在四棱柱中,平面,底面ABCD满足∥BC,且
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ) 证明见解析;(Ⅱ)
【解析】
分析】
(Ⅰ)证明,根据得到,得到证明.
(Ⅱ) 如图所示,分别以为轴建立空间直角坐标系,平面的法向量,,计算向量夹角得到答案.
【详解】(Ⅰ) 平面,平面,故.
,,故,故.
,故平面.
(Ⅱ)如图所示:分别以为轴建立空间直角坐标系,
则,,,,.
设平面的法向量,则,即,
- 18 -
取得到,,设直线与平面所成角为
故.
【点睛】本题考查了线面垂直,线面夹角,意在考查学生空间想象能力和计算能力.
17.已知满足 ,且,求的值及的面积.(从①,②,③这三个条件中选一个,补充到上面问题中,并完成解答.)
【答案】见解析
【解析】
【分析】
选择①时:,,计算,根据正弦定理得到,计算面积得到答案;选择②时,,,故,为钝角,故无解;选择③时,,根据正弦定理解得,,根据正弦定理得到,计算面积得到答案.
详解】选择①时:,,故
- 18 -
.
根据正弦定理:,故,故.
选择②时,,,故,为钝角,故无解.
选择③时,,根据正弦定理:,故,
解得,.
根据正弦定理:,故,故.
【点睛】本题考查了三角恒等变换,正弦定理,面积公式,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
18.2019年底,北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募,仅一个月内报名人数便突破60万,其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中,按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试,所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:
(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中,英语测试成绩在80分以上的女生人数;
(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人,记其中测试成绩在70分以上的人数为X,求的分布列和数学期望;
(Ⅲ)为便于联络,现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000),并在每组中随机选取个人作为联络员,要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据,以频率作为概率,给出的最小值.(结论不要求证明)
- 18 -
【答案】(Ⅰ)万;(Ⅱ)分布列见解析, ;(Ⅲ)
【解析】
【分析】
(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.
(Ⅱ) 的可能取值为,计算概率得到分布列,再计算数学期望得到答案.
(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为 ,故,解得答案.
【详解】(Ⅰ)样本中女生英语成绩在分以上的有人,故人数为:万人.
(Ⅱ) 8名男生中,测试成绩在70分以上的有人,的可能取值为:.
,,.
故分布列为:
.
(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为 ,故,故.
故的最小值为.
【点睛】本题考查了样本估计总体,分布列,数学期望,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
19.设函数其中
(Ⅰ)若曲线在点处切线的倾斜角为,求的值;
(Ⅱ)已知导函数在区间上存在零点,证明:当时,.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)证明见解析
- 18 -
【解析】
【分析】
(Ⅰ)求导得到,,解得答案.
(Ⅱ) ,故,在上单调递减,在上单调递增,,设,证明函数单调递减,故,得到证明.
【详解】(Ⅰ),故,
,故.
(Ⅱ) ,即,存在唯一零点,
设零点为,故,即,
在上单调递减,在上单调递增,
故
,
设,则,
设,则,单调递减,
,故恒成立,故单调递减.
,故当时,.
【点睛】本题考查了函数切线问题,利用导数证明不等式,转化为函数的最值是解题的关键.
20.设椭圆,直线经过点,直线经过点,直线直线,且直线分别与椭圆相交于两点和两点.
- 18 -
(Ⅰ)若分别为椭圆的左、右焦点,且直线轴,求四边形的面积;
(Ⅱ)若直线的斜率存在且不为0,四边形为平行四边形,求证:;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,判断四边形能否为矩形,说明理由.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)不能,证明见解析
【解析】
【分析】
(Ⅰ)计算得到故,,,,计算得到面积.
(Ⅱ) 设为,联立方程得到,计算,同理,根据得到,得到证明.
(Ⅲ) 设中点为,根据点差法得到,同理,故,得到结论.
【详解】(Ⅰ),,故,,,.
故四边形的面积为.
(Ⅱ)设为,则,故,
设,,故,
- 18 -
,
同理可得,
,故,
即,,故.
(Ⅲ)设中点为,则,,
相减得到,即,
同理可得:的中点,满足,
故,故四边形不能为矩形.
【点睛】本题考查了椭圆内四边形的面积,形状,根据四边形形状求参数,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
21.对于正整数,如果个整数满足,
且,则称数组为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”的个数为均为奇数的“正整数分拆”的个数为.
(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;
(Ⅱ)对于给定的整数,设是的一个“正整数分拆”,且,求的最大值;
(Ⅲ)对所有的正整数,证明:;并求出使得等号成立的的值.
(注:对于的两个“正整数分拆”与,当且仅当且时,称这两个“正整数分拆”是相同的.)
【答案】(Ⅰ) ,,,,;(Ⅱ) 为偶数时,,为奇数时,;(Ⅲ)证明见解析,,
- 18 -
【解析】
【分析】
(Ⅰ)根据题意直接写出答案.
(Ⅱ)讨论当为偶数时,最大为,当为奇数时,最大为,得到答案.
(Ⅲ) 讨论当为奇数时,,至少存在一个全为1的拆分,故,当为偶数时,
根据对应关系得到,再计算,,得到答案.
【详解】(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为:,,,,.
(Ⅱ)当为偶数时,时,最大为;
当为奇数时,时,最大为;
综上所述:为偶数,最大为,为奇数时,最大为.
(Ⅲ)当为奇数时,,至少存在一个全为1的拆分,故;
当为偶数时,设是每个数均为偶数的“正整数分拆”,
则它至少对应了和的均为奇数的“正整数分拆”,
故.
综上所述:.
当时,偶数“正整数分拆”为,奇数“正整数分拆”为,;
当时,偶数“正整数分拆”为,,奇数“正整数分拆”为,
故;
当时,对于偶数“正整数分拆”,除了各项不全为的奇数拆分外,至少多出一项各项均为的“正整数分拆”,故.
综上所述:使成立的为:或.
【点睛】本土考查了数列的新定义问题,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
- 18 -
- 18 -
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