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  • 2021-07-02 发布

北京市西城区2020届高三第一次模拟考试数学试题 Word版含解析

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‎2020北京西城区高三一模 数 学 第Ⅰ卷(选择题 共40分)‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.设集合则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接求交集得到答案.‎ ‎【详解】集合,则.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查了交集运算,属于简单题.‎ ‎2.若复数,则( )‎ A. B. C. D. 20‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到,再计算模长得到答案.‎ ‎【详解】,故.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算,复数的模,意在考查学生的计算能力.‎ ‎3.下列函数中,值域为R且为奇函数的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C - 18 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.‎ ‎【详解】A. ,值域为,非奇非偶函数,排除; ‎ B. ,值域为,奇函数,排除;‎ C. ,值域为,奇函数,满足; ‎ D. ,值域为,非奇非偶函数,排除;‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的值域和奇偶性,意在考查学生对于函数知识的综合应用.‎ ‎4.设等差数列的前项和为,若,则( )‎ A. 10 B. ‎9 ‎C. 8 D. 7‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,解得,,得到答案.‎ ‎【详解】,解得,,故.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的求和,意在考查学生的计算能力.‎ ‎5.设则以线段为直径的圆的方程是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算的中点坐标为,圆半径为,得到圆方程.‎ - 18 -‎ ‎【详解】的中点坐标为:,圆半径为,‎ 圆方程为.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查了圆的标准方程,意在考查学生的计算能力.‎ ‎6.设为非零实数,且,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取,计算知错误,根据不等式性质知正确,得到答案.‎ ‎【详解】,故,,故正确;‎ 取,计算知错误;‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查了不等式性质,意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.‎ ‎7.某四棱锥的三视图如图所示,记S为此棱锥所有棱的长度的集合,则( )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ - 18 -‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示:在边长为的正方体中,四棱锥满足条件,故,得到答案.‎ ‎【详解】如图所示:在边长为的正方体中,四棱锥满足条件.‎ 故,,.‎ 故,故,.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查了三视图,元素和集合的关系,意在考查学生的空间想象能力和计算能力.‎ ‎8.设为非零向量,则“”是“与共线”的( )‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案.‎ ‎【详解】若,则与共线,且方向相同,充分性;‎ - 18 -‎ 当与共线,方向相反时,,故不必要.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查了向量共线,充分不必要条件,意在考查学生的推断能力.‎ ‎9.已知函数的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有( )‎ ‎①绕着轴上一点旋转; ‎ ‎②沿轴正方向平移;‎ ‎③以轴为轴作轴对称;‎ ‎④以轴的某一条垂线为轴作轴对称.‎ A. ①③ B. ③④ C. ②③ D. ②④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算得到,,故函数是周期函数,轴对称图形,故②④正确,根据图像知①③错误,得到答案.‎ ‎【详解】,,,‎ 当沿轴正方向平移个单位时,重合,故②正确;‎ ‎,,‎ - 18 -‎ 故,函数关于对称,故④正确;‎ 根据图像知:①③不正确;‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数性质,意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.‎ ‎10.设函数若关于的方程有四个实数解,其中,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 画出函数图像,根据图像知:,,,计算得到答案.‎ ‎【详解】,画出函数图像,如图所示:‎ 根据图像知:,,故,且.‎ 故.‎ 故选:.‎ - 18 -‎ ‎【点睛】本题考查了函数零点问题,意在考查学生的计算能力和应用能力,画出图像是解题的关键.‎ 第Ⅱ卷(非选择题共110分)‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.‎ ‎11.在的展开式中,常数项为________.(用数字作答)‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 的展开式的通项为,取计算得到答案.‎ ‎【详解】的展开式的通项为:,取得到常数项 - 18 -‎ ‎.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了二项式定理,意在考查学生的计算能力.‎ ‎12.若向量满足,则实数的取值范围是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意计算,解得答案.‎ ‎【详解】,故,解得.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了向量的数量积,意在考查学生的计算能力.‎ ‎13.设双曲线的一条渐近线方程为,则该双曲线的离心率为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据渐近线得到,,计算得到离心率.‎ ‎【详解】,一条渐近线方程为:,故,,.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率,意在考查学生的计算能力.‎ ‎14.函数的最小正周期为________;若函数在区间 - 18 -‎ 上单调递增,则的最大值为________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接计算得到答案,根据题意得到,,解得答案.‎ ‎【详解】,故,当时,,‎ 故,解得.‎ 故答案为:;.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的周期和单调性,意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.‎ ‎15.在一次体育水平测试中,甲、乙两校均有100名学生参加,其中:甲校男生成绩的优秀率为70%,女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%,女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试,给出下列三个结论:‎ ‎①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;‎ ‎②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;‎ ‎③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中,所有正确结论的序号是____________.‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据局部频率和整体频率的关系,依次判断每个选项得到答案.‎ ‎【详解】不能确定甲乙两校的男女比例,故①不正确;‎ 因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率,故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率,故②正确;‎ 因为不能确定甲乙两校的男女比例,故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系,故③正确.‎ 故答案为:②③.‎ ‎【点睛】本题考查局部频率和整体频率的关系,意在考查学生的理解能力和应用能力.‎ - 18 -‎ 三、解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16.如图,在四棱柱中,平面,底面ABCD满足∥BC,且 ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) 证明见解析;(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎(Ⅰ)证明,根据得到,得到证明.‎ ‎(Ⅱ) 如图所示,分别以为轴建立空间直角坐标系,平面的法向量,,计算向量夹角得到答案.‎ ‎【详解】(Ⅰ) 平面,平面,故.‎ ‎,,故,故.‎ ‎,故平面.‎ ‎(Ⅱ)如图所示:分别以为轴建立空间直角坐标系,‎ 则,,,,.‎ 设平面的法向量,则,即,‎ - 18 -‎ 取得到,,设直线与平面所成角为 故.‎ ‎【点睛】本题考查了线面垂直,线面夹角,意在考查学生空间想象能力和计算能力.‎ ‎17.已知满足 ,且,求的值及的面积.(从①,②,③这三个条件中选一个,补充到上面问题中,并完成解答.)‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 选择①时:,,计算,根据正弦定理得到,计算面积得到答案;选择②时,,,故,为钝角,故无解;选择③时,,根据正弦定理解得,,根据正弦定理得到,计算面积得到答案.‎ 详解】选择①时:,,故 - 18 -‎ ‎.‎ 根据正弦定理:,故,故.‎ 选择②时,,,故,为钝角,故无解.‎ 选择③时,,根据正弦定理:,故,‎ 解得,.‎ 根据正弦定理:,故,故.‎ ‎【点睛】本题考查了三角恒等变换,正弦定理,面积公式,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎18.2019年底,北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募,仅一个月内报名人数便突破60万,其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中,按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试,所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:‎ ‎(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中,英语测试成绩在80分以上的女生人数;‎ ‎(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人,记其中测试成绩在70分以上的人数为X,求的分布列和数学期望;‎ ‎(Ⅲ)为便于联络,现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000),并在每组中随机选取个人作为联络员,要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据,以频率作为概率,给出的最小值.(结论不要求证明)‎ - 18 -‎ ‎【答案】(Ⅰ)万;(Ⅱ)分布列见解析, ;(Ⅲ)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.‎ ‎(Ⅱ) 的可能取值为,计算概率得到分布列,再计算数学期望得到答案.‎ ‎(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为 ,故,解得答案.‎ ‎【详解】(Ⅰ)样本中女生英语成绩在分以上的有人,故人数为:万人.‎ ‎(Ⅱ) 8名男生中,测试成绩在70分以上的有人,的可能取值为:.‎ ‎,,.‎ 故分布列为:‎ ‎.‎ ‎(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为 ,故,故.‎ 故的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查了样本估计总体,分布列,数学期望,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎19.设函数其中 ‎(Ⅰ)若曲线在点处切线的倾斜角为,求的值;‎ ‎(Ⅱ)已知导函数在区间上存在零点,证明:当时,.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)证明见解析 - 18 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)求导得到,,解得答案.‎ ‎(Ⅱ) ,故,在上单调递减,在上单调递增,,设,证明函数单调递减,故,得到证明.‎ ‎【详解】(Ⅰ),故,‎ ‎,故.‎ ‎(Ⅱ) ,即,存在唯一零点,‎ 设零点为,故,即,‎ 在上单调递减,在上单调递增,‎ 故 ‎,‎ 设,则,‎ 设,则,单调递减,‎ ‎,故恒成立,故单调递减.‎ ‎,故当时,.‎ ‎【点睛】本题考查了函数切线问题,利用导数证明不等式,转化为函数的最值是解题的关键.‎ ‎20.设椭圆,直线经过点,直线经过点,直线直线,且直线分别与椭圆相交于两点和两点.‎ - 18 -‎ ‎(Ⅰ)若分别为椭圆的左、右焦点,且直线轴,求四边形的面积;‎ ‎(Ⅱ)若直线的斜率存在且不为0,四边形为平行四边形,求证:;‎ ‎(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,判断四边形能否为矩形,说明理由.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)不能,证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)计算得到故,,,,计算得到面积.‎ ‎(Ⅱ) 设为,联立方程得到,计算,同理,根据得到,得到证明.‎ ‎(Ⅲ) 设中点为,根据点差法得到,同理,故,得到结论.‎ ‎【详解】(Ⅰ),,故,,,.‎ 故四边形的面积为.‎ ‎(Ⅱ)设为,则,故,‎ 设,,故,‎ - 18 -‎ ‎,‎ 同理可得,‎ ‎,故,‎ 即,,故.‎ ‎(Ⅲ)设中点为,则,,‎ 相减得到,即,‎ 同理可得:的中点,满足,‎ 故,故四边形不能为矩形.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆内四边形的面积,形状,根据四边形形状求参数,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎21.对于正整数,如果个整数满足,‎ 且,则称数组为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”的个数为均为奇数的“正整数分拆”的个数为.‎ ‎(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;‎ ‎(Ⅱ)对于给定的整数,设是的一个“正整数分拆”,且,求的最大值;‎ ‎(Ⅲ)对所有的正整数,证明:;并求出使得等号成立的的值.‎ ‎(注:对于的两个“正整数分拆”与,当且仅当且时,称这两个“正整数分拆”是相同的.)‎ ‎【答案】(Ⅰ) ,,,,;(Ⅱ) 为偶数时,,为奇数时,;(Ⅲ)证明见解析,,‎ - 18 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)根据题意直接写出答案.‎ ‎(Ⅱ)讨论当为偶数时,最大为,当为奇数时,最大为,得到答案.‎ ‎(Ⅲ) 讨论当为奇数时,,至少存在一个全为1的拆分,故,当为偶数时, ‎ 根据对应关系得到,再计算,,得到答案.‎ ‎【详解】(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为:,,,,.‎ ‎(Ⅱ)当为偶数时,时,最大为;‎ 当为奇数时,时,最大为;‎ 综上所述:为偶数,最大为,为奇数时,最大为.‎ ‎(Ⅲ)当为奇数时,,至少存在一个全为1的拆分,故;‎ 当为偶数时,设是每个数均为偶数的“正整数分拆”,‎ 则它至少对应了和的均为奇数的“正整数分拆”,‎ 故.‎ 综上所述:.‎ 当时,偶数“正整数分拆”为,奇数“正整数分拆”为,;‎ 当时,偶数“正整数分拆”为,,奇数“正整数分拆”为,‎ 故;‎ 当时,对于偶数“正整数分拆”,除了各项不全为的奇数拆分外,至少多出一项各项均为的“正整数分拆”,故.‎ 综上所述:使成立的为:或.‎ ‎【点睛】本土考查了数列的新定义问题,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎ ‎ - 18 -‎ - 18 -‎