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- 2021-10-21 发布
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4.3.3
余角和补角
第四章 图形初步认识
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
4.3
角
学习目标
1.
了解余角、补角
的概念,掌握余角和补角的性质,
并能利用余角、补角的知识解决相关问题
.
(
重点、
难点
)
2.
了解方位角的概念,并能用方位角知识解决一些
简单的实际问题
.
(
难点
)
导入新课
情境引入
将一张长方形纸片,沿一个角折叠后,折痕与长方形的边形成了
4
个角
.
1
2
3
4
思考:
1.
∠1
与
∠2
有什么数量关系?
∠1+∠2 = 90
°
2.
∠3
与
∠4
有什么数量关系?
∠3+∠4 = 180
°
讲授新课
余角和补角的概念
一
1
如果两个角的和等于
90
°
(
直角
)
,就说这两个角互为
余角
(
简称为两个角互余
).
如图,可以说
∠1
是
∠2
的余角,或
∠2
是
∠1
的余角,或
∠1
和
∠2
互余
.
2
图中给出的各角,哪些互为余角?
15
o
24
o
66
o
75
o
46.2
o
43.8
o
如果两个角的和等于
180
°
(
平角
)
,就说这两个角互为
补角
(
简称为两个角互补
).
如图,可以说
∠3
是
∠4
的补角,或
∠4
是
∠3
的补角,或
∠3
和
∠4
互补
.
4
3
图中给出的各角,哪些互为补角?
10
o
30
o
60
o
80
o
100
o
120
o
150
o
170
o
例
1
若一个角的补角等于它的余角的
4
倍,求这个角的度数
.
解:设这个角为
x
°
,则它的补角是
( 180
-
x
)
°,
余角是
( 90
-
x
)
°
.
根据题意,得
180
-
x
= 4 ( 90
-
x
) .
解得
x
= 60.
答:这个角的度数是
60 °.
典例精析
练一练
已知
∠
A
与
∠
B
互余,且
∠
A
的度数比
∠
B
度数的
3
倍还多
30°
,求
∠
B
的度数
.
解:设
∠B
的度数为
x
°,则
∠
A
的度数为
(3
x
+30)
°
.
根据题意得:
x
+ ( 3
x
+30 ) = 90.
解得
x
=15.
故
∠
B
的度数为
15
°
.
例
2
如图,已知O为AD上一点,∠AOC与∠AOB互补,OM,ON分别为∠AOC,∠AOB的平分线,若∠MON=40°,试求∠AOC与∠AOB的度数.
O
D
A
B
C
N
M
解:设∠AOB=
x
,
因为∠AOC与∠AOB互补,
则∠AOC=180°
-
x
.
因为OM,ON分别为∠AOC,
∠AOB的平分线,
所以∠AO
M=
,∠AO
M= .
O
D
A
B
C
N
M
所以
解得
x
=50
°,则
180
°
-
x
=130
°
.
即∠AOB
=50
°,
∠AOC
=130
°
.
∠α
∠α
的余角
∠α
的补角
5
°
32
°
45
°
77
°
62
°
23
′
x
°
(0
<
x
<
90)
27°37′
117°37′
85°
175°
58°
148°
45°
135°
103°
13°
观察与思考
(90
-
x
)°
(180
-
x
)°
观察可得结论:
锐角的补角比它的余角大
_____.
90°
∠
1
与∠
2
,∠
3
都互为补角,
∠
2
与∠
3
的大小有什么关系?
余角和补角的性质
二
思考:
1
2
同角
(
等角
)
的补角相等
.
结论:
3
∠
2=180
°-∠
1
∠
3=180
°-∠
1
同角
(
等角
)
的余角相等
.
类似地,可以得到:
=
例
3
如图,点
A
,
O
,
B
在同一直线上,射线
OD
和射线
OE
分别平分∠
AOC
和∠
BOC
,图中哪些角互为余角?
解:因为点
A
,
O
,
B
在同一直线
上,所以 ∠
AOC
和 ∠
BOC
互为补角
.
O
A
B
C
D
E
又因为射线
OD
和射线
OE
分别平分∠
AOC
和∠
BOC
,所以∠
COD
+
∠
COE
=
∠
AOC
+
∠
BOC
= (
∠
AOC
+
∠
BOC
) = 90
°
.
O
A
B
C
D
E
所以∠
COD
和∠
COE
互为余角,
同理∠
AOD
和∠
BOE
,∠
AOD
和∠
COE
,∠
COD
和∠
BOE
也互为余角
.
如图,O为直线AB上一点,OD平分∠AOC,∠DOE=90°.
(1)∠AOD的余角是
_______________
,∠COD的余角是
_________________;
(2 )OE是∠BOC的平分线吗?请说明理由.
变式训练
∠COE、∠BOE
O
A
B
C
D
E
∠COE、∠BOE
解:OE平分∠BOC,理由如下:∵∠DOE=90°,∴∠AOD+∠BOE=90°,
∴∠COD+∠DOE=90°,
∴∠AOD+∠BOE=∠COD+∠DOE,
∵OD平分∠AOC∴∠AOD=∠COD,
∴∠COE=∠BOE,∴OE平分∠BOC.
如图
,
已知
∠
AOB
=90°
,
∠
AOC
= ∠
BOD
,则与
∠
AOC
互余的角有
_________
_____
____.
∠
BOC
和
∠
AOD
练一练
O
A
B
C
D
方位角
三
互动探究
观看下列视频,议一议其中蕴含的数学知识
.
东
西
北
南
O
正东:
正南:
正西:
正北:
西北方向:
西南方向:
东北方向:
东南方向:
射线
OA
A
B
C
D
45°
E
G
F
H
45°
八大方位
45°
45°
射线
O
B
射线
O
C
射线
O
D
射线
O
E
射线
O
F
射线
O
H
射线
O
G
45
°
如图,说出下列方位
(
1
)
射线
OA
表示的方向
为
.
(
2
)
射线
OB
表示的方向
为
___
_
.
(
3
)
射线
OC
表示的方向
为
.
(
4
)
射线
OD
表示的方向
为
.
北
东
西
南
C
A
B
D
北偏东
40
°
北偏西
65
°
南偏西
45
°
(
西南
)
南偏东
20
°
40
°
65
°
70
°
O
20
°
例
4
如图,货轮
O
在航行过程中,发现灯塔
A
在它南偏东
60°
的方向上
.
同时,在它北偏东
40°
,南偏西
10°
,西北
(
即北偏西
45°)
方向上又分别发现了客
轮
B
,货轮
C
和海岛
D
.
仿照表示灯塔方位的
方法画出表示客轮
B
,
货轮
C
和海岛
D
方向的
射线
.
东
南
西
北
60°
●
B
40°
10°
45°
C
●
●
A
●
D
O
●
费俊龙、聂海胜乘坐
“
神舟”六号遨游太空时,我国当时派出远望一号
~
四号船队,跟踪检测
.
其中远望一、二号停在太平洋洋面上,某一时刻,分别测得神舟六号在北偏东
60°
和北偏东
30°
的方向,你能在下图中画出当时神舟六号所处的位置吗?
●
●
远望一号
远望二号
练一练
●
●
远望一号
远望二号
60°
30°
●
当堂练习
1.
一个角的余角是它的2倍,这个角的度数是( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
A
2.
下列说法正确的是( )
A.一个角的补角一定大于它本身
B.一个角的余角一定小于它本身
C.一个钝角减去一个锐角的差一定是一个锐角
D.一个角的余角一定小于其补角
D
3.
已知∠A与∠B互余,∠B与∠C互补,若∠A=60°,则∠C的度数是
_______.
150
°
4.
∠1
与
∠2
互余,
∠1 = (6
x
+ 8)
°,
∠2 = (4
x
-
8)
°,
则
∠1=
,
∠2=
.
62
°
28
°
5.
如图,已知
∠
ACB=
∠CDB=90
°
.
(
1
)
图中有哪几对互余的角?
(
2
)
图中哪几对角是相等的角
(
直角除外
)
?为什么?
答案:
∠
A
+∠
B
=90°
∠
A
+∠2=90°
∠1+∠
B
=90°
∠1+∠2=90°
答案:
∠
B
=∠2
∠
A
=∠1
(
同角的余角相等
)
(
同角的余角相等
)
A
C
D
1
2
B
60
°
30
°
6.
垃圾打捞船
A
和
B
都停驻在湖边观测湖面,从
A
船发现它的北偏东
60
°方向有白色漂浮物,
同时,从
B
船也发现该白色漂浮物在它的北偏
西
30
°方向
.
(
1
)
试在图中确定白色漂浮物
C
的位置;
A
B
北
北
C
60
°
北
A.
南偏东
30°
B.
南偏西
30°
C.
南偏东
60°
D.
南偏西
60°
(
2
)
点
C
在点
A
的北偏东
60
°的方向上,那么点
A
在点
C
的
______
方向上
.
60
°
30
°
A
B
北
北
C
D
同角或等角的
补角相等
课堂小结
同角或等角的
余角相等
互余
互补
两角间的数量关系
对应图形
性质
方位角
物体运动的方向与正北、正南方向之间的夹角称为方位角,一般以正北、正南为基准,用向东或向西旋转的角度表示方向
定义
书写
通常要先写北或南,再写偏东或偏西
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