人教版七年级上数学同步辅导：三法巧求线段的长度 2页

三法巧求线段的长度 齐 齐 方法一：直接推理法 根据题设图形的特征，利用中点的性质或者图中线段的和差关系，直接推理进行求解．‎ 例１ 如图１所示，已知线段ＡＢ＝８０ ｃｍ，Ｍ为ＡＢ的中点，点Ｐ在ＭＢ上，点Ｎ为ＰＢ的中点，且ＮＢ＝１４ ｃｍ，求线段ＡＰ的长．‎ 思路分析：由图形可以看出，线段ＡＰ等于线段ＡＭ与ＭＰ的和，也等于线段ＡＢ与ＰＢ的差，所以欲求线段ＡＰ的长，只要求出线段ＡＭ与ＭＰ的长或者线段ＰＢ的长即可．‎ 解：由题意可得ＰＢ＝２ＮＢ＝２×１４＝２８（ｃｍ），所以ＡＰ＝ＡＢ－ＰＢ＝８０－２８＝５２（ｃｍ）．‎ 评注：直接推理计算，需要认真观察图形，灵活运用图中线段的和、差、倍、分关系，然后进行变换迅速解题．‎ 方法二：利用整体求解法 根据题中线段间的关系，通过整体思想，把所要求解的线段作整体处理的方法．‎ 例２ 如图２所示，点Ｐ在线段ＡＢ上，ＡＢ＝１０ ｃｍ，点Ｍ为ＡＰ的中点，Ｎ为ＢＰ的中点，求线段ＭＮ的长度．‎ 思路分析：虽然由图可知ＭＮ＝ＭＰ＋ＮＰ，但无法分别求出ＭＰ和ＮＰ的长．再仔细分析发现ＭＰ＋ＮＰ＝ＡＢ，于是把ＭＮ作整体化处理，则可以把问题简单化.‎ 解：由ＭＰ＝ＡＰ，ＮＰ＝ＰＢ得ＭＮ＝ＭＰ＋ＮＰ＝（ＡＰ＋ＰＢ）＝ＡＢ＝×１０＝５（ｃｍ）．‎ 评注：当无法确定某些线段的长度时，可考虑整体求解．‎ 方法三：运用分类讨论法 根据所研究对象的性质差异，分不同情况予以分析的解决方法．‎ 例３ 在一条直线上有Ａ，Ｂ，Ｃ三个点，Ｍ为ＡＢ的中点，Ｎ为ＢＣ的中点，若ＡＢ＝ａ，ＢＣ＝ｂ，试用ａ，ｂ表示线段ＭＮ的长度．‎ 思路分析：由于题目没有说清楚Ａ，Ｂ，Ｃ三点之间确切的位置关系，所以要根据Ａ，Ｂ，Ｃ三点的位置和ａ，ｂ的大小关系进行分类讨论.‎ 解：（１）如图3－①所示，点Ｂ在Ａ，Ｃ两点之间时，ＭＮ＝ＢＭ＋ＢＮ＝（ＡＢ＋ＢＣ）＝（ａ＋ｂ）；‎ ‎（２）如图3－②所示，点Ａ在Ｂ，Ｃ两点之间，即ｂ＞ａ时，ＭＮ＝ＢＮ－ＢＭ＝（ＢＣ－ＡＢ）＝（ｂ－ａ）；‎ ‎　　（３）如图3－③所示，点Ｃ在Ａ，Ｂ两点之间，即ａ＞ｂ时，ＭＮ＝ＢＭ－ＢＮ＝（ＡＢ－ＢＣ）＝（ａ－ｂ）．‎ 评注：解答这类问题首先要审题，弄清楚点之间的位置关系，只有这样才能做到无遗漏．‎