人教数学七上解一元一次方程二——去括号与去分母学案 12页

教学内容：一元一次方程（全章导学） 教学时间：1、 教学目标：1、了解本章的知识梗概，知晓重点和难点 2、根据导学卡对教材中本章知识进行了解，形成整体印象 3、通过师生活动、合作学习，体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性。 学习重点：本章的重点内容是熟练解一元一次方程 学习难点：能利用一元一次方程解决实际的应用性问题 本章的学习目标：1．经历“把实际问题抽象为数学方程”的过程，了解一元一次方程及其 相关概念，认识从算式到方程是数学的进步。 2．通过观察、归纳得出等式的性质， 能利用它们探究一元一次方程的解法。 3．了解解方程的基本目标（使方程 逐步转化为 x=a 的形式），熟悉解一元一次方程的一般步骤，掌握一元一次方程的解法，体 会解法中蕴涵的化归思想。 4．能够“找出实际问题中的已知数和未知数，分析 它们之间的关系，设未知数，列出方程表示问题中的等量关系”，体会建立数学模型的思想。 5．通过探究实际问题与一元一次方程的关系，进一步体会利用一元一次方程解决问题的基 本过程，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力。 说明：一元一次方程是在我们小学学习方程的基础进行的深入学习。首先，要理解什么是 “一元一次方程”，即它的定义。其次，要明白 x＋7=26 可以变形为 x＋7－7=26－7 的依据 以及 －5x=20 变形为－5x÷（－5）=20÷（－5）的依据。再次，能熟练的由简至繁的解各类一 元一次方程。最后，能利用方程的知识解决生活中存在的实际问题。 要了解的几个概念和性质：1、方程；2、一元一次方程；3、等式的性质；4、移项 自学导学流程： 1、利用一元一次方程解决问题的基本过程 2、本章知识安排的前后顺序 教学内容：解一元一次方程 教学时间：4、 教学目标：1、学生能根据实际问题列一元一次方程，并尝试求解 2、独立进行分析、合作探究列一元一次方程，在不断的探讨中学会求解。 3、通过师生活动、合作学习，体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性。 学习重点：能利用合并同类项和移项进行方程求解 学习难点：根据语言叙述列方程 自学导学流程： 第一部分 课前自学部分 1、以 为例说说怎样解类似方程？ 2、尝试用方程求解：我校中学部三个年级共有学生 167 人，其中七年级学生比六年级少 3 人，八年级学生是七年级学生的 2 倍，求我校六年级有多少学生？ 3、试着解方程： 自学后的疑惑： 。 第二部分 课堂合作学习部分 目标一、问难解惑。针对独立完成情况，组内进行讨论，尝试解决部分同学的问题和疑惑。 师生共同解决提交的疑惑问题。 目标二、学习展示。组内派一名学生在完成后讲解，其他学生要求完成全部题目。 ① ② ③ ④ 目标三、课堂巩固。 1、教材 89 页练习。 2、教材 93 页习题 4 和 5。 目标四、拓展提高。 1、某水果公司运来例、苹果、橘子共 3241 筐，苹果的筐数比梨的筐数的 2 倍还多 3 筐；橘 子的筐数比梨的筐数的 还少 2 筐，求三种水果各有多少筐？ 2、某班主任为班级学生发学生用本，每人 2 本，则多出 18 本；每人 3 本，又少 23 本。这 个班级有多少名学生？ 当堂盘点： 学习后你的困惑： 当堂检测：① ② ③ 教学内容：等式的性质 教学时间：3、 教学目标：1、通过尝试求解方程，观察、归纳得出等式性质能再利用它求解方程 2、独立思考将等式性质运用到求解方程中，并且在合作研究中解惑使之熟练 3、通过师生活动、合作学习，体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性。 学习重点：用等式性质求解方程 学习难点：正确的解方程 自学导学流程： 第一部分 课前自学部分 尝试用不同的方法解方程，并对每步变化说明根据（阅读教材 82 页内容）： 542 −=− x 43332 1 +×−=+− xx 2265 −=− xx 35742 ×−=+− xxx 623 2 −=+ xx 2735.42 1 ×+−=−− xx 3 1 2072 =− xx 26742 −=−− xxx 163 2 2 1 3 2 −×=− aa ① ② ③ ④ 自学后的疑惑： 。 第二部分 课堂合作学习部分 目标一、讨论问难解惑。针对独立完成情况，组内进行讨论，尝试解决部分同学的问题和疑 惑。师生共同解决提交的疑惑问题。 目标二、自学展示。 ① ② ③ ④ 以小组为单位进行解题。 目标三、练习巩固 教材 85 页第 4 题，教材 84 页第 1 题。 目标四、拓展提高 1、你能解下列方程吗？ ① ② ③ 2、一个等腰三角形，相等的两边长度是第三边长度的 2 倍，又知此三角形的周长是 20cm， 你能列方程计算出这个三角形的三边长是多少吗？ 当堂盘点： 学习后你的困惑： 当堂检测： ① ② ③ ④ ⑤如果方程 2x+k=x-1 的解是 x=-4,求 3k-2 的值. 教学内容：一元一次方程（第一课时） 教学时间：2、 教学目标：1、经历“把实际问题抽象为数学方程”的过程，了解一元一次方程的相关概念。 2、通过独立思考尝试将问题转化成数学方程，并且于讨论中加深理解 3、通过师生活动、合作学习，体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性。 学习重点：知道什么是方程、一元一次方程、找相等关系列方程 学习难点：找相等关系列方程 自学导学流程： 第一部分 课前自学部分 1、方程的定义： 2、根据下列问题，设未知数列方程（只做会做的） ①等边三角形的周长是 24cm，等边三角形的每边长是多少？ ②某教师的存折上有存款 1500 元，以后每月存入 2000 元，经过几个月存款总额达到 9500 元？ 67 =+x 56 −=−x 62 −=x 163 =− x 265 =−x 542 −=− x 63.0 −=x 322 1 −=+− x 265 =− xx 5742 −=+− xxx 623 2 −=+ xx 1372 =+x 435 −=− x 15 38 −=+ x 2 112 1 −=+− x ③我校男生占全体学生的 52%，比女生多 80 人，我校有多少学生？ ④某班主任为班级学生发学生用本，每人 2 本，则多出 18 本；每人 3 本，又少 23 本。这个 班级有多少名学生？ 3、观察你列出的方程，并总结出： 一元一次方程： 方程的解： 自学后的疑惑： 。 第二部分 课堂合作学习部分 目标一、探究自习内容。针对独立完成情况，组内进行讨论，尝试解决部分同学的问题和疑 惑。以组为单位说明三个定义。 目标二、定义巩固。⑴下 列各式中：① 3+3=6 ② ③ ④ ⑤ 有______个是方程，其中__________(填写编号)是一元一次方程。 ⑵ ， , ，x=1 中，是一元一次方程的有（ ）个 目标三、当堂练习。 1、教材 82 页练习的内容。 2、骑自行车匀速行驶由小站经过人民市场、局医院到新区。已知小站到人民为 4 千米，人 民到局医院为 3 千米。从小站到人民需要 20 分钟，从人民到局医院需要 15 分钟，从局医院 到新区需要 25 分钟。求人民到新区的路程有多远？ 当堂盘点： 学习后你的困惑： 学习内容：解一元一次方程 学习时间：5 学习目标：1、能比较熟练的解带有分母的一元一次方程，并能利用方程解决实际问题 2、独立解方程并合作巩固，学会思考实际问题，在合作探究中理解列的等式 3、通过师生活动、合作学习，体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性。 学习重点：利用一元一次方程解决实际问题 学习难点：根据实际问题列方程求解 自学导学流程： 第一部分 课前自学部分 1、对于带有分母的一元一次方程的求解步骤一般分为： 2、解方程： 自学后的疑惑： 。 第二部分 课堂合作学习部分 目标一、探究自习内容。针对独立完成情况，组内进行讨论，尝试解决部分同学的问题和疑 惑。以组为单位说明求解上面方程的过程。 目标二、自学展示。 ① ② 2 17 6 aa a −+ = − 2 3 0m m− = 3 74x = 123 >+ x 39 −x 122 =− zz 0=m 3 2 2 13 4 15 xxx −−+=− ( ) xx 615000020006 −=− ( ) ( )323173 +−=−− xxx ③ ④ 目标三、（关于“盈不足问题”的探讨） 注：列方程解应用性问题关键是确定等号两边怎样表示同一个量或者是怎样表示一个相等 的量 例 1、某班主任为班级学生发学生用本，每人 2 本，则多出 18 本；每人 3 本，又少 23 本。这个班级有多少名学生？（对于学习过的问题，我们已经进行了解决，你还能思考列式 吗？） 解：设 （你会解类似的式子吗？） （变式）某班主任为班级学生发学生用本，每人 2 本，则多出 18 本；每人 3 本，又少 23 本。共有多少本？（你能直接把本数设为未知数求解吗？） 目标四、练习巩固：1、教材第 85 页 6 题； 2、教材第 102 页 10 题 3、某工人若每小时生产 38 个零件，在规定时间内还有 15 个不能完成；若每小时生产 42 个， 则可超额 5 个，问规定时间是多少？共生产多少个零件？ 4、《九章算术》中的一个问题：今人共买物，人出八盈三；人出七不足四。人数、物价各几 何？ 当堂盘点： 学习后你的困惑： 当堂检测：① ② ③ ④幼儿园的老师给小班的小朋友分水果．如果每人 4 个，则剩三个；如果每人 5 个，则少八 个。小班里有多少小朋友？老师准备了多少水果？ 学习内容：解一元一次方程 学习时间：6 学习目标：1、能比较熟练的解带有分母的一元一次方程，并能利用方程解决实际问题 2、独立解方程并合作巩固，学会思考实际问题，在合作探究中理解列的等式 3、通过师生活动、合作学习，体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性。 学习重点：利用一元一次方程解决实际问题 学习难点：根据实际问题列方程求解 自学导学流程： 第一部分 课前自学部分 1、熟练解一元一次方程： 2、关于“折扣”问题的回顾：某件商品按八折出售，既为原价的 （填百分数） 写出：原价、售价、利润率三者的关系 。 （练习）①一件标价 360 元的商品，若按八五折销售，则该商品的实际售价是 元。 ②某商品按七折出售的价钱是 84 元，则商品的原价是多少元？ ③某商品按九折出售获利 30 元，求商品的标价是多少元？（以上试着列方程解决） 自学后的疑惑： 。 第二部分 课堂合作学习部分 目标一、探究自习内容。针对独立完成情况，组内进行讨论，尝试解决部分同学的问题和疑 惑。 15 43 5 3 +=− − xx 3 1232 13 −−=−+ xxx 14 32 3 12 =−−− xx ( ) ( )12 1112 3 −−=+ xx 3 15 4 1 −−=+ xxx 6 7514 13 −=−− yy 目标二、方程巩固：① ② ③ 目标三、（关于市场经济问题）见练习册 68 页“阶段性内容回顾 4” 例：某件商品每件的进价是 2500 元，按标价的九折销售时利润率是 15.2%，这种商品每 件的标价是多少？ 目标四、练习巩固 1、 一件商品按进价的 20%加价作为售价，但是没有卖出去，于是在售价的基础上按八折出 售，那么在此次生意上商家是盈利还是亏损？若八折出售时价钱是 96 元，请说明商家 的具体盈亏情况。 2、 小刘同学买了一件衣服和一条裤子，共用 306 元。其中衣服按标价打七折，裤子按标价 打八折，衣服的标价是 300 元，则裤子的标价是多少元？ 目标五、学习探究 某商店在某一时间以每件 60 元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利 25%，另一件亏损 25%，那么卖出两件衣服总的盈亏情况如何，请具体说明。 当堂盘点： 学习后你的困惑： 当堂检测：1、一套图书按 80 元出售，可获利 20%，则图书的原来售价是多少元？ 2、一商品按进价提高 40%标价出售，又以标价的八折售出获利 15 元，则这件商品的进价 是多少元？ 学习内容：解一元一次方程 学习时间：7 学习目标：1、能熟练的解一元一次方程，对实际问题能利用一元一次方程进行解答 2、独立思考的基础上小组合作探究，学会分析问题的思路 3、通过师生活动、合作学习，体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性。 学习重点：利用一元一次方程解决实际问题 学习难点：分析实际问题中的等量关系式 自学导学流程： 第一部分 课前自学部分 1、解方程：① ② ③ 2、如果船在静水中的平均速度为 a 千米/时，水流的速度为 b 千米/时，则船顺水航行的速度 是： 船逆水航行的速度是： 。 自学后的疑惑： 。 第二部分 课堂合作学习部分 目标一、探究自习内容。针对独立完成情况，组内进行讨论，尝试解决部分同学的问题和疑 xx 2 11383 4 −=− ( ) ( )32713 +−=− xx 37 13 3 21 −+=− xx 1453 +=+ xx ( ) ( )427153 ++=−− xxx 5 32 10 2322 13 +−−=−+ xxx 惑。目标二、例题探究 类型一、船行驶中的问题：一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了 2 小时；从乙码头 返回甲码头逆流行驶，用了 2.5 小时。已知水流的速度是 3 千米/时，求船在静水中的平均速 度。 （变式）一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了 2 小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶， 用了 2.5 小时。已知船在静水中的平均速度是 27 千米/时，求水流的速度及甲乙两码头间的 距离。 （练习）教材 102 页第 7 题。 类型二、物件搭配问题：某车间 22 名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉 1200 个或螺母 2000 个，一个螺钉要配两个螺母。为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少工 人生产螺钉，多少名工人生产螺母？ （练习）数学课学生用卡纸做圆柱模型，一张卡纸可以做 2 个侧面或者 3 个底面，一个圆 柱需要 1 个侧面和 2 个底面，现在有 28 张卡纸，几张做侧面几张做底面可以制成整套的圆 柱？ 类型三、数字问题：一个两位数个位上的数字是 1，把个位和十位上的数字对调，新两 位数比原数小 18，求原来的两位数是多少？（注意设未知数的设法） （练习）练习册第 64 页选择题 7. 当堂盘点： 学习后你的困惑： 课堂检测：1、 2、派 40 名学生去搬桌椅，2 人抬一张桌子，1 人 能拿 2 把椅子，一张桌子和一把椅子为一套， 多少人抬桌子多少人搬椅子能使一次搬来的桌 椅恰好配套。 学习内容：解一元一次方程 学习时间：10 学习目标：1、能解决生活中存在的可用一元一次方程判断和解决的问题 2、在独立思考的基础上，针对问题进行小组探究学习，尽可能的理解实际问题 3、通过师生活动、合作学习，体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性。 学习重点：利用一元一次方程解决生活中的实际问题 学习难点：如何找问题中的等量关系式 自学导学流程： 第一部分 课前自学部分 1、解方程：① ② ③ 2、对于教材 105 页探究 2 的内容，尽可能的填写书中空白部分。 第二部分 课堂合作学习部分 目标一、探究自习内容。针对独立完成情况，组内进行讨论，分析结果和过程。 目标二、例题探究: 1、教材 105 页探究 2 内容，针对课本的留白部分进行填写。 小组根据填写情况进行探究讨论。在小组讨论的基础上请个别小组进行班级汇报 2、教材 106 页探究 3 内容 问题设置：①从表格中分析负一场的积分数是： ( ) 35 2636 1 −=−x 254203 −=+ xx ( ) ( )47153 +−=−− xxx 3 12 2 53 −=+ xx ②从表格中分析胜一场的积分数是 你是如何计算的（写出计算过程，尝试用方程） ③如果某队的获胜场数用 m 表示，请用 m 表示出该队的得分 ④在某队的 14 场比赛中胜场积分能等于他的负场积分吗？书写过程并说明。 小组根据填写情况进行探究讨论。在小组讨论的基础上请个别小组进行班级汇报 目标三、练习巩固 教材第 107 页 2 题，教材 108 页 7、8 题。 当堂盘点： 学习后你的困惑： 课后探究内容： 1、（易）一个黑白足球的表面一共有 32 个皮块，其中有若干块黑色五边形和白色六边形， 黑、白皮块的数目之比 3：5，问白、黑色皮块各有多少？ 2、（易）一个黑白足球的表面一共有 32 个皮块，其中有若干块黑色五边形和白色六边形， 如果白皮比黑皮多 8 块，问白、黑色皮块各有多少？ 3、（难）一个黑白足球的表面一共有 32 个皮块，其中有若干块黑色五边形和白色六边形， 每块白皮与 3 块黑皮相接，每个黑皮与五块白皮相接，问白、黑色皮块各有多少？ 学习内容：解一元一次方程 学习时间：9 学习目标：1、了解中外历史上的一元一次方程问题 2、通过独立的思考完成本节内容，小组内进行探讨释疑。 3、通过师生活动、合作学习，体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性。 学习重点：用一元一次方程解决实际问题 学习难点：列方程中找等量关系式 自学导学流程： 第一部分 课前自学部分 解方程：① ② ③ 引例：英国伦敦博物保存的珍贵文物——纸莎草文书。这是古埃及人用象形文字写在一 种特殊的草上的著作。有这样一个问题： 一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是 33。求这个 数。 自学后的疑惑： 。 第二部分 课堂合作学习部分 目标一、探究自习内容。针对独立完成情况，组内进行讨论，尝试解决部分同学的问题和疑 惑。目标二、我国古代的一元一次方程数学问题： 1、 我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“上有三十五头，下有九十四 足，问鸡兔各几何？” 隔墙听得客分银，不知人数不知银。 2、 七两分之多四两，九两分之少半斤。（注：在古代 1 斤是 16 两，半斤就是 8 两） 3、 我国民间流传着这样一首打油诗：“李白提壶去买酒：遇店加一倍，见花喝一斗，三遇 店和花，喝光壶中酒。试问壶中原有多少酒？” 4、 《九章算术》：“今有人持米出关，外关三而取一，中关五而取一，余米五斗。问：本 ( ) 62335 =+− aa ( ) 333 22 +−=+− xxy 37 13 3 21 −+=− xx 持米几何？” 5、 教材第 103 页 12 题；教材 108 页第 3 题； 目标三、国外古代的一元一次方程数学问题 6、 斐波那契的《计算之书》中：“树的 部分在地下，地上部分长 21 尺，求树高。” 7、 丢番图墓碑中的数学问题。教材 108 页第 9 题。 8、 （思考）斐波那契的《计算之书》中：一个人临终前对他的长子说，“你们之间这样来 分我的可动财产，你拿 1 比赞和余下财产的 ”；有对次子说，“你拿 2 比赞和余下财产 的 ”；又命第三个儿子拿 3 比赞和余下财产的 .这样依次分下去，他给每个儿子比前 一个儿子多 1 比赞以及余下财产的类 。把剩余的分给最小的儿子后，恰好不再有剩余。 结果。每个儿子所得一样多。问：此人有几个儿子，多少财产？型三、古埃及的数学方程题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是 33。求这 个数。 （练习）丢图墓碑中的数学问题。教材 108 页第 9 当堂盘点： 学习后你的困惑： 学习内容：解一元一次方程 学习时间：8 学习目标：1、能熟练的解一元一次方程，对工程问题能利用一元一次方程进行解答 2、独立思考的基础上小组合作探究，学会分析问题的思路 3、通过师生活动、合作学习，体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性。 学习重点：利用一元一次方程解决实际问题 学习难点：分析实际问题中的等量关系式 自学导学流程： 第一部分 课前自学部分 1 、 解 方 程 ： ① ② ③ 2、举例说明工作效率、工作总量、工作时间三者之间的关系 3、对于一项工作，甲单独做需要 3 小时完成，那么甲 1 小时完成 ，乙做这项工作 4 小时 能完成，乙 1 小时完成 ，甲乙合作，1 小时完成 。 自学后的疑惑： 。 第二部分 课堂合作学习部分 目标一、探究自习内容。针对独立完成情况，组内进行讨论，尝试解决部分同学的问题和疑 惑。 目标二、例题学习 引例：《希腊选集》有一个水池，用第一个喷口注水，1 日可以注满；用第二个喷口注水， 2 日可以注满；用第三个喷口注水，3 日可以注满；用第四个喷口注水，4 日可以注满；若 四个喷口同时注水，多长时间可以注满水池？（变式问题：同时打开多长时间注满水池的一 半？） 例：整理一批图书，由一个人做要 40 小时完成，现在计划由一部分人先做 4 小时，再增加 12 7 7 1 7 1 7 1 7 1 5539 +=− yy ( ) ( )423234 +=−− xxx 6 7514 13 −=−− yy 2 人和他们一起做 8 小时，完成这项工作，若这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人 工作？ 目标三、练习巩固 教材第 102 页 8 题（供需时间为初二学生总共用的时间）。第 9 题（与例题类似）。 目标四、拓展提高 教材第 103 页 14 题；教材第 108 页第 5 题。 当堂盘点： 学习后你的困惑： 当堂检测： 一项工作，甲单独做 3 小时完成，乙单独做 4 小 时完成，甲做 1 小时以后，由甲乙合作，还需要 几小时完成这项工作？ 一元一次方程练习 一、耐心填一填！ 1、若 3x+6=17，移项得＿＿＿＿＿， x=＿＿＿＿。 2、代数式 5m＋ 与 5(m－ )的值互为相反数，则 m 的值等于＿＿＿＿＿＿。 3、如果 x=5 是方程 ax+5=10－4a 的解，那么 a=＿＿＿＿＿＿ 4、在解方程 时，去分母得 。 5、若(a－1)x|a|＋3＝－6 是关于 x 的一元一次方程，则 a＝＿＿；x＝＿＿＿。 6、当 x=＿＿＿时，单项式 5a2x+1b2 与 8ax+3b2 是同类项。 7、甲比乙大 15 岁，5 年前甲的年龄是乙的两倍，乙现在的年龄是＿＿＿。 8、如果 2a+4=a－3，那么代数式 2a+1 的值是________。 9、一个长方形周长是 16cm，长与宽的差是 1cm，那么长与宽分别为＿＿＿。 10、10、当 x 的值为－3 时，代数式－3x 2 + a x－7 的值是－25，则当 x =－1 时， 这个代数式的值为 。 11、若 ，则 x+y=___________ 12、某学校为保护环境，绿化家园，每年组织学生参加植树活动，去年植树 x 棵， 今年比去年增加 20%，则今年植树___________棵. 二．解下列方程： 1、 2、8(3x－1)－9(5x－11)－2(2x－7)=30 3 1232 13 −−=−+ xxx 1 4 1 4 1 2 3 12 3 x x− +− = ( ) 02 2 =−+− yyx 14 12 6 110 3 12 −+=−−− xxx 3、 4、 四、列方程解应用题 1、一辆汽车已经行驶了 12000 千米，计划每月再行驶 800 千米，几个月后这辆 汽车将行驶 20800 千米？ 2、某种商品因换季准备打折出售．如果按定价的七五折出售将赔 25 元，而按定 价的九折出售将赚 20 元，这种商品的定价是多少？ 3、一个两位数，十位上的数字是个位上数字的 2 倍，如果把个位上的数与十位 上的数对调得到的数比原数小 36，求原来的两位数. 4、一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了 2 小时；从乙码头返回甲码头逆流 行驶，用了 2.5 小时。已知水流的速度是 3 千米/时，求船在静水中的平均速度。 5、把一些本分给学生，如果每人 3 本，则剩余 20 本；如果每人分 4 本，则缺少 25 本。这个班有多少学生？ 2(x+1) 5(x+1)= 13 6 － 3 15 4 1 −−=+ xxx 6、用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身 16 个，或盒底 43 个，一个盒身与两 个盒底配成一套罐头盒。现有 150 张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底， 可以正好制成整套罐头盒？ 快捷方式：＋－×÷±≤≥＜＞＝≈①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼⑽ 3 2 3 2−