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- 2021-10-25 发布
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2.7 角的和与差
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
1.理解角的和差、角平分线的几何意义;(重点)
2.掌握角之间的和差关系,并能进行简单的计算;(难点)
3.了解余角与补角的概念,理解余角与补角的性质并会进
行运用.(重点、难点)
AB=BC+AC
BC=AB-AC
AC=AB-BC
线段的和、差
线段中点
那么 AC=BC
AC=BC= AB
AB=2AC=2BC
1
2
若点C是线段AB的中点
角的和、差关系
图中有几个角?它们之间有什么关系?
图中有3个角.
∠AOB+∠BOC=∠AOC;它们的关系有:
∠AOC-∠BOC=∠AOB;
∠AOC-∠AOB=∠BOC.
O
C
B
例1 如图:O是直线AB上一点,∠AOC=53°.
求∠BOC的度数.
解:因为∠AOB是平角
∠AOB=∠AOC+∠BOC
所以∠BOC=∠AOB-∠AOC
=180°-53°
=127°.
A
例2 已知∠1=103 °24 ′28″, ∠2 =30 °54 ″,求
∠1+ ∠2和∠1- ∠2 .
解:∠1+ ∠2= 103°24′28″+ 30°54 ″
=133°24′82 ″
=133°25′22 ″
103°24′28″
+30° 54 ″
133°24′82 ″ (82 ″=1′22 ″)
所以 ∠1+ ∠2= 133°25′22 ″
A
B
O
12
C
∠1一 ∠2= 103°24′28″- 30°54 ″
=103°23′88 ″- 30°54 ″
=73°23′34 ″
103°24′28″
— 30° 54 ″
73°23′34″
(24′28 ″=23′88 ″)
所以 ∠1— ∠2= 73°23′24 ″.
例3.计算:
(1)37°28′+ 24°35′; (2)83°20′-45°38′20″;
(3)25°53′28″×5; (4)15°20′÷6.
解:(1) 37°28′+ 24°35′
= 61°63′ = 62°3′;
(2) 83°20′- 45°38′20″
= 82°79′60″- 45°38′20″
= 37°41′40″.
解:(3)25°53′28″×5
=25°×5+53′×5+28″×5
=125°+265′+140″=129°27′20″.
(4)15°20′÷6
=12°200′÷6=12°÷6+200′÷6
=2°+198′÷6+2′÷6
=2°+33′+120″÷6
=2°33′20″.
在进行度、分、秒的加、减、乘、除运算时,要注
意三点:
①度、分、秒均是60进制的;
②加、减法的运算,可以本着“度与度加减、分与
分加减、秒与秒加减,不够减的时候借位”的原则;
③乘、除法运算可以按分配律来进行,不够除可以
把余数化为低位的再除.
[归纳总结]
角平分线
在一张透明纸上任意画一个角∠ AOB (如右图),把这
张透明纸折叠,使角的两边OA和OB重合,然后把这张纸
展开、铺平,画出折痕OC. ∠ AOC与∠ BOC之间有怎
样的大小关系?
∠ AOC=∠ BOC
O A
B
C
从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角
分成的两个角相等,这条射线叫做这个角的
平分线.
O A
B
C
如上图射线OC是∠AOB的角平分线或OC平分∠AOB,记做:
∠AOC=∠BOC= ∠AOB 或 ∠AOB=2∠AOC=2∠BOC
1
2
几何写法:
提醒:角的平分线是射线
例4 如图,OB是∠ AOC的平分线,OD是∠COE的平分
线.
(1)如果∠ AOC=80°,那么∠BOC是多少度?
O
E
D C
B
A
解:因为OB平分∠ AOC,
∠ AOC=80°
所以∠BOC=∠AOB=40°.
所以∠AOB= ∠AOC=80× =40°.
1
2
1
2
(2)如果∠ AOB=40°, ∠ DOE=30°,
那么∠BOD是多少度?
O
E
D C
B
A
解:因为OB平分∠ AOC,
所以∠BOC=∠AOB=40°.
因为OD平分∠ COE,
所以∠COD=∠DOE=30°.
所以
∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°.
(3)如果∠ AOE=140°, ∠ COD=30°,
那么∠AOB是多少度?
O
E
D C
B
A
解:因为∠ COD=30°,
所以∠COE=2∠COD=60°,
所以∠AOC=∠AOE-∠COE=140°-
60°=80°,
因为OB平分∠ AOC,
所以∠AOB= ∠AOC= ×80°=40°.
1
2
1
2
1.如图:OC是∠AOB的平分线,OD是∠BOC的平
分线,那么下列各式中正确的是:( )
2.如图,OC是平角∠AOB的角平分线,
∠COD=32°,求∠AOD的度数.
1 2A B
2 3
1 3C D
3 2
COD AOC AOD AOB
BOD AOB BOC AOB
. .
. .
D
C
O BA
A
∠AOD=122°.
角的互补与互余
2
1
如果两个角的和等于90°,那么说这两个角互为余角
(简称互余),也说其中一个角是另一个角的余角.
定义:
如图,可以说∠1是∠2的余角或∠2是∠1的余角.
图中给出的各角,那些互为余角?
15o 24o
66o
75o
46.2o
43.8o
3
4
如果两个角的和等于一个180°,那么说这两个角互为
补角(简称互补),也说其中一个角是另一个角的补角.
定义:
如图,可以说∠3是∠4的余角或∠4是∠3的补角.
例5 如图,∠CDF=90°,AD是一条射线,则∠1
的余角和补角各是哪个角?
解:因为∠CDF=90°,即∠1+
∠ADC=90°,所以∠1的余角是
∠ADC.
因为∠EDF是一个平角,所以
∠1+∠ADE=180°,所以∠1
的补角是∠ADE.
图中给出的各角,那些互为补角?
10o
30o 60o
80o
100o
120o 150o 170o
∠1与∠2,∠3都互为补角,
∠2与∠3的大小有什么关系?
思考:
1 2
同角(等角)的补角相等
结论:
3
∠2=180°-∠1 ∠3=180°-∠1
同角(等角)的余角相等
类似的可以得到:
例6 如图所示,已知∠AOC=∠BOD=90°,且∠AOB=40°,
求∠COD的度数.
解:因为∠AOC=∠BOD=90°,
所以∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC=90°,
所以∠AOB,∠COD都是∠BOC的余角,
所以∠AOB=∠COD.
因为∠AOB=40°,所以∠COD=40°.
例7 一个角的补角比它的余角的2倍多12°,求这个
角的度数.
解:设这个角的度数为x°.
所以它的补角为(180-x)°,
它的余角为(90-x)°,
依题意,得 180-x=2(90-x)+12.
解方程,得 x=12.
答:这个角的度数为12°.
2.下列四个角中,最有可能与70°角互余的角是( )
1.如图,点O在直线AB上,若∠1=40°,则∠2的
度数是( )
A.50° B.60°
C.140° D.150°
C
A
3.如图,直线AB,CD相交于点O,射线OM
平分∠AOC,∠MON=90°.若∠AOM=35°,
则∠CON的度数为( )
A.35° B.45°
C.55° D.65°
C
4.如图:OC是∠AOB的平分线,OD是∠BOC的
平分线,那么下列各式中正确的是:( )
1 2A B
2 3
1 3C D
3 2
COD AOC AOD AOB
BOD AOB BOC AOB
. .
. .
A
5. 如图,∠AOB与∠BOD互为余角,OC是
∠BOD的平分线,∠AOB=29.66°,求∠COD的度数.
解:因为∠AOB与∠BOD互为余角,
所以∠BOD = 90°-∠AOB
= 90°-29.66°= 60.34°.
又因为OC是∠BOD的平分线,
因此,∠COD 的度数为 30.17°.
29.66°
60.34°
所以
1 1= = 60.34 =30.17 .2 2∠ ∠ ×COD BOD ° °
30.17°
6.已知一个角的余角是这个角的补角的 ,
求这个角的度数
1
3
解:设这个角为x°,
则这个角的余角为(90-x)°,
补角为(180-x)°.
根据题意,得 ,
解得 x = 45 .
因此,这个角的度数为45°.
190 = 1803x x( )- -
角的和与差
角的和与差
{角的平分线
角的互补与互余
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