精品人教版七年级数学上册第四章4.2直线、射线、 线段 61页

第四章 几何图形初步 4.2直线、射线、 线段 第1课时 1. 掌握“两点确定一条直线”的基本事实，了解点和 直线的位置关系. 2. 进一步认识直线、射线、线段，会用正确的方法 表示直线、射线、线段. (重点) 3. 理解直线、射线、线段的区别与联系. (难点) 学习目标 导入新课 情境引入 延伸向远方的火车铁轨 激光灯 铁棒 我们在小学已经学过线段、 射线和直线，它们可以分别和图 中的哪个事物相对应？结合图片 你能回忆起线段、射线和直线的 哪些特征？ 问题1 过一点O可以画几条直线？过两点A，B可以画几条直线？ 经过两点有一条直线，并且只有一条直线.结论： 简述为：两点确定一条直线. 讲授新课 合作探究 ·O ·A ·Ｂ 直线 如果你想将一根木条固定在墙上并使其不 能转动，至少需要几个钉子？你知道这样做的 依据是什么吗？ 练一练 两点确定一条直线可以用来说明生活中的现象 1. 建筑工人砌墙时，会在两个墙角的位置分别插 一根木桩，然后拉一条直的参考线. 应用举例： 2. 植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一 行树坑在一条直线上. 射击的时候，你知道是如何瞄准目标的吗？ 要点归纳：表示直线的方法 ①用一个小写字母表示，如直线m; ②用两个大写字母表示，注：这两个大写字母可 交换顺序. C E m 直线 m、直线 CE、直线 EC 问题2 如图，有哪些方法可以表示下列直线？ 判断下列语句是否正确，并把错误的语句改过来： ① 一条直线可以表示为“直线 A”； ② 一条直线可以表示为“直线 ab”； ③ 一条直线既可以表示为“直线 AB”又可以表示 为“直线 BA”，还可以记为“直线 m”. 练一练 ①一条直线可以表示为“直线 a”； ②一条直线可以表示为“直线 AB”； × × √ 问题3 观察下图，说一说点和直线有哪些位置关系. A B l 如图：点 A 在直线 l 上，点 B 在直线 l 外 或者说：直线 l 经过点 A 点 B 不在直线 l 上 (直线 l 不经过点B ) b a 问题4 如图，直线a与直线b有什么位置关系？ 当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称 这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点. 交点 O 直线 a 和 b 相交于点O 按下列语句画出图形： (1) 直线 EF 经过点C； (2) 点 A 在直线 l 外. 练一练 (2) A l C E F(1)解： 记作： 射线 OA ( 或射线d ) O A d 1. 射线用它的端点和射线上的另一点来表示 ( 表示端 点的字母必须写在前面 ) 或用一个小写字母表示 思考： 射线 OA 与射线 AO 有区别吗 问题1 类比直线的表示方法，想一想射线该如何表示？ 类比学习 射线、线段 记作：线段 a 2. 线段 (1) 用表示端点的两个大写字母表示 (2) 用一个小写字母表示 a A B 记作：线段 AB ( 或线段 BA ) 问题2 类比直线的表示方法，想一想线段该如何表示？ A BA B 直线、射线、线段三者的联系： A B 2. 将线段向两个方向无限延长就形成了直线. 1. 将线段向一个方向无限延长就形成了射线. 3. 线段和射线都是直线的一部分. 画一画 分别画一条直线、射线和线段，议一议它们 之间的联系和区别. 直线、射线、线段三者的区别： 类型 线段 射线 直线 端点个数 2个 不能延伸 延伸性 能否度量 可度量 1个 向一个方向 无限延伸 不可度量 无端点 向两个方向 无限延伸 不可度量 以下三个箱子中各有一个数学谜语，你能猜出谜底吗？ 有始有终—— 打一线的名称 有始无终—— 打一线的名称 无始无终—— 打一线的名称 猜一猜 (2) C BA D 按下列语句画出图形： (1) 经过点 O 的三条线段 a，b，c； (2) 线段 AB，CD 相交于点 B. 练一练 解：(1) a b cO 当堂练习 2. 下列表示方法正确的是 ( ) A. 线段L B. 直线ab C. 直线m D. 射线Oa C 1. 在同一平面内有三个点A，B，C，过其中任意两 个点做直线，可以画出的直线的条数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 1或3 D. 无法确定 C 3. 下列语句准确规范的是 ( ) A. 延长直线AB B. 直线AB,CD相交于点M C. 延长射线 AO 到点B D. 直线 a,b 相交于一点m B 4. 如图，A，B，C三点在一条直线上， (1) 图中有几条直线，怎样表示它们？ (2) 图中有几条线段，怎样表示它们？ (3) 射线 AB 和射线 AC 是同一条射线吗？ (4) 图中有几条射线？写出以点B为端点的射线. C B A 解：(1) 1条，直线AB或直线AC或直线BC； (2) 3条，线段AB，线段BC，线段AC； (3) 是； (4) 6条.以B为端点的射线有射线BC、射线BA. A B C 5. 如图，在平面上有四个点A，B，C，D ，根据下 列语句画图： (1) 做射线BC； (2) 连接线段AC，BD交于点F； (3) 画直线AB，交线段DC的延长线于点E； (4) 连接线段AD，并将其反向延长. EF A B CD 6.往返于A、B两地的客车，中途停靠三个站，每两 站间的票价均不相同，问： （1）有多少种不同的票价？ （2）要准备多少种车票？ 解：画出示意图如下： 拓展提升 A C D E B (1)图中一共有10条线段，故有10种不同的票价. (2)来回的车票不同，故有10×2=20(种)不同的车票. 课堂小结 直线、 射线、 线段 基本事实 表示方法 两点确定一条直线 用一个小写字母表示 用两个大写字母表示 射线OA与射线AO 是不同的两条射线 联系与区别 第四章 几何图形初步 4.2直线、射线、 线段 第2课时 1. 会用尺规画一条线段等于已知线段，会比较两 条线段的长短. (重点) 2. 理解线段等分点的意义. 3. 能够运用线段的和、差、倍、分关系求线段的 长度. (重点、难点) 4. 体会文字语言、符号语言和图形语言的相互转化. 5. 了解两点间距离的意义，理解“两点之间，线段 最短”的线段性质，并学会运用. (难点) 学习目标 导入新课 情境引入 观察这三组图形，你能比较出每 组图形中线段 a 和 b 的长短吗？ 三组图形中，线 段a与b的长度均 相等 很多时候，眼见未必为实. 准确 比较线段的长短还需要更加严谨 的办法. (1) (2) (3) a b a a b b 讲授新课 合作探究 做手工时，在没有刻度尺的条件下，若想从较 长的木棍上截下一段，使截下的木棒等于另一根短 木棒的长，我们常采用以上办法. 线段长短的比较 画在黑板上的线段是无法移动的，在只有圆 规和无刻度的直尺的情况下，请大家想想办法，如 何再画一条与它相等的线段？ 思考： 小提示：在可打开 角度的最大范围内， 圆规可截取任意长 度，相当于可以移 动的“小木棍”. 作一条线段等于已知线段 已知：线段 a，作一条线段 AB，使 AB=a. 第一步：用直尺画射线 AF； 第二步：用圆规在射线 AF 上截取 AB = a. ∴ 线段 AB 为所求. a A Fa B 在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和 圆规作图，这就是尺规作图. 　　 你们平时是如何比较两个同学的身高 的？你能从比身高的方法中得到启示来比较 两条线段的长短吗？ 讨论： 160cm 170cm 比较两个同学高矮的方法： ——叠合法. ②让两个同学站在同一平地上，脚底平齐，观看 两人的头顶，直接比出高矮. ①用卷尺分别度量出两个同学的身高，将所得的 数值进行比较. ——度量法. DC B 试比较线段AB，CD的长短. (1) 度量法； (2) 叠合法 将其中一条线段“移”到另一条线段上，使其一 端点与另一线段的一端点重合，然后观察两条线段 另外两个端点的位置作比较. (A) C DA B 尺规作图 C D 1. 若点 A 与点 C 重合，点 B 落 在C，D之间，那么 AB CD. (A) B ＜ 叠合法结论： C D A B B(A) 2. 若点 A 与点 C 重合，点 B 与 点 D ，那么 AB = CD. 3. 若点 A 与点 C 重合，点 B 落 在 CD 的延长线上，那么 AB CD. 重合 ＞ BA BA C D (A) (B) 在直线上画出线段 AB=a ，再在 AB 的延长线 上画线段 BC=b，线段 AC 就是 与 的和，记 作 AC= . 如果在 AB 上画线段 BD=b，那么线 段 AD 就是 与 的差，记作AD= . A B CD a+b a-b a b b 画一画 a b a+b a b a-b 线段的和、差、倍、分 1. 如图，点B，C在线段 AD 上则AB+BC=____； AD－CD=___；BC＝ ___ －___= ___ － ___. A B C D AC AC AC AB BD CD 做一做 2. 如图，已知线段a，b，画一条线段AB，使 AB=2a－b. a b A B2a－b 2a b 在一张纸上画一条线段，折叠纸片，使 线段的端点重合，折痕与线段的交点处于线 段的什么位置？ A BM A BM 如图，点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段 AM 与 BM，点 M 叫做线段 AB 的中点. 类似地， 还有线段的三等分点、四等分点等. 线段的三等分点 线段的四等分点 A a a M B M 是线段 AB 的中点 几何语言：∵ M 是线段 AB 的中点 ∴ AM = MB = AB ( 或 AB = 2 AM = 2 MB ) 1 2 反之也成立：∵ AM = MB = AB ( 或 AB = 2 AM = 2 AB ) ∴ M 是线段 AB 的中点 1 2 点 M , N 是线段 AB 的三等分点： 1 3AM = MN = NB = ___ AB (或 AB = ___AM = ___ MN = ___NB)3 3 3 NM BA 例1 若 AB = 6cm，点 C 是线段 AB 的中点，点 D 是线段 CB 的中点，求：线段 AD 的长是多少? 解：∵ C 是线段 AB 的中点， ∵ D 是线段 CB 的中点， 典例精析 ∴ AC = CB = AB = ×6= 3 (cm).1 2 1 2 ∴ CD = CB = ×3=1.5 (cm).1 2 1 2 ∴ AD =AC + CD = 3 + 1.5 = 4.5 (cm). A C BD 例2 如图，B、C是线段AD上两点，且AB：BC：CD= 3：2：5，E、F分别是AB、CD的中点，且EF=24，求 线段AB、BC、CD的长． FE CB DA 解析：根据已知条件AB：BC：CD=3：2：5，不妨设 AB=3x,BC =2x,CD=5x,然后运用线段的和差倍分，用含x的 代数式表示EF的长，从而得到一个关于x的一元一次方程， 解方程，得到x的值，即可得到所求各线段的长. FE CB DA 解：设AB=3x，BC=2x，CD=5x， 因为E、F分别是AB、CD的中点， 所以 1 3 ,2 2BE AB x  1 5 ,2 2CF CD x  所以EF=BE+BC+CF= 3 52 6 .2 2x x x x   因为EF=24，所以6x=24,解得x=4. 所以AB=3x=12，BC=2x=8，CD=5x=20. 方法总结：求线段的长度时，当题目中涉及到线段 长度的比例或倍分关系时，通常可以设未知数，运 用方程思想求解. 变式训练： 如图，已知线段AB和CD的公共部分BD= AB = CD，线段AB、CD的中点E、F之间距离是10cm， 求AB，CD的长． 1 31 4 FE BD CA 解析：根据已知条件，不妨设BD=xcm，则AB= 3xcm,CD=4xcm,易得AC=6xcm.在由线段中点的定义及线 段的和差关系，用含x的代数式表示EF的长，从而得到 一个一元一次方程，求解即可. 解：设BD=xcm,则AB=3xcm，CD=4xcm，AC =6xcm， 因为E、F分别是AB、CD的中点， 所以 1 3 cm,2 2AE AB x  1 2 cm,2CF CD x  所以EF=AC-AE-CF= 3 56 2 (cm).2 2x x x x   所以AB=3xcm=12cm，CD=4xcm=16cm. FE BD CA 因为EF=10，所以 x=10,解得x=4.5 2 例3 A，B，C三点在同一直线上，线段AB=5cm， BC=4cm，那么A，C两点的距离是（　　） A．1cm B．9cm C．1cm或9cm D．以上答案都不对 解析：分以下两种情况进行讨论：当点C在AB之间上，故 AC=AB-BC=1cm；当点C在AB的延长线上时， AC=AB+BC=9cm． C 方法总结：无图时求线段的长，应注意分类讨论，一般分以 下两种情况：点在某一线段上；点在该线段的延长线. 变式训练： 已知A，B，C三点共线，线段AB=25cm，BC=16cm， 点E，F分别是线段AB，BC的中点，则线段EF的长 为（　　） A．21cm或4cm B．20.5cm C．4.5cm D．20.5cm或4.5cm D 1. 如图，点C 是线段AB 的中点，若 AB = 8 cm， 则 AC = cm. A BC 4 C 练一练 A C B 2. 如图，下列说法，不能判断点C 是线段AB 的 中点的是 ( ) A. AC = CB B. AB = 2 AC C. AC + CB = AB D. CB = AB A C B 2 1 3. 如图，线段 AB =4 cm，BC = 6 cm，若点D 为 线段 AB 的中点，点 E 为线段 BC 的中点，求 线段 DE 的长. A D B E C 答案：DE 的长为 5 cm. 如图：从 A 地到 B 地有四条道路，除它们外 能否再修一条从 A 地到 B 地的最短道路？如果能， 请你联系以前所学的知识，在图上画出最短路线. • • A B 议一议 有关线段的基本事实 经过比较，我们可以得到一个关于线段的基本 事实：两点的所有连线中，线段最短. 连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离. • • A B 你能举出这条性质在生活中的应用吗？ 简单说成： 两点之间，线段最短. 两点之间线段最短 1. 如图，这是 A，B 两地之间的公路，在公路工程 改造计划时，为使 A，B 两地行程最短，应如何 设计线路？请在图中画出，并说明理由. 想一想 . B A . 2. 把原来弯曲的河道改直，A，B 两地间的河道长 度有什么变化？ A B A，B 两地间的 河道长度变短. 1. 如图，AB+BC AC，AC+BC AB，AB+ AC BC (填“>”“<”或“=”). 其中蕴含的 数学道理是 . ＞ 两点之间线段最短 练一练 ＞ ＞ A B C 2. 在一条笔直的公路两侧，分别有 A，B 两个村庄， 如图，现在要在公路 l 上建一个汽车站 C，使汽 车站到 A，B 两村庄的距离之和最小，请在图中 画出汽车站的位置. C A B l 1. 下列说法正确的是 ( ) A. 两点间距离的定义是指两点之间的线段 B. 两点之间的距离是指两点之间的直线 C. 两点之间的距离是指连接两点之间线段的长度 D. 两点之间的距离是两点之间的直线的长度 2. 如图，AC = DB，则图中另外两条相等的线段为 _____________. 当堂练习 C A C D B AD＝BC 3.已知线段 AB = 6 cm，延长 AB 到 C，使 BC = 2 AB，若 D 为 AB 的中点，则线段 DC 的长 为________. CA D B 15 cm 4.点A，B，C在同一条数轴上，其中点A，B表示 的数分别是-3，1，若BC=5，则AC=_________．11或1 5. 如图：AB = 4 cm，BC = 3 cm，如果点O 是线 段 AC 的中点．求线段 OB 的长度． A B CO 解：∵ AC = AB + BC = 4+3=7 (cm)， 点O 为线段 AC 的中点， ∴ OC = AC= ×7 = 3.5 (cm)， ∴ OB = OC－BC = 3.5－3 = 0.5 (cm)． 1 2 1 2 6.已知，如图，B，C两点把线段AD分成2：5：3三部 分，M为AD的中点，BM=6，求CM和AD的长． D A C B M AD=10x=20 ． 解：设AB=2x，BC=5x，CD=3x, 所以AD=AB+BC+CD=10x. 因为M是AD的中点， 所以AM=MD=5x，所以BM=AM-AB=3x. 因为BM=6，即3x=6，所以x=2. 故CM=MD-CD=2x=4， 课堂小结 线段 长短 的比 较与 运算 线段长短的比较 基本事实 线段的和差 度量法 叠合法 中点 两点间的距离 思想方法 方程思想 分类思想 基本作图