七年级数学余角和补角浙教版 7页

余角和补角 一、教学目标 1．知识目标：使学生掌握两个角互为余角和互为补角的概念，理解互余与互补的角的 性质 2．能力目标：学会运用类比联想的思维方法思考，并初步学会用代数方法，(主要是列 方程)解决几何问题. 3．情感目标：培养学生分析问题和解决问题的能力，以及运算能力。 二、教学重点及难点 重点：使学生掌握两个角互为余角和互为补角的概念. 难点：余角和补角的性质. 三、教学过程 （一）创设情境，自然引入 先观察如图，∠1+∠2 与 Rt∠AOB 相等吗？你是怎样判断的？ 再观察如图，∠α+∠β与∠AOB 相等吗？你是怎样判断的？ （让学生说出自己的方法：可以测量，也可以剪下来拼等等，学生的方法只要合理就应鼓 励） （二）设问质疑，探究尝试 教师用多媒体演示∠1+∠2 与 Rt∠AOB 重合，再移动一角，问∠1+∠2 与 Rt∠AOB 相 等吗？ 同样∠α+∠β与∠AOB 重合，再移动一角，问∠α+∠β与∠AOB 相等吗？ 通过上面的演示，我们看到有时两个角的和是 90°，有时两个角的和是 180°，也就是两 个角之和正好成一直角，或两个角之和正好成一平角，在这种情况下，我们给出两个新的 概念： 1、互为余角定义：如果两个锐角的和是一个直角，那么这两个角互为余角．简称互 余．用数学式子表示为：因为∠1+∠2=90°，所以∠1 与∠2 互余．反之，因为∠1 与∠2 互余，所以∠1+∠2=90°． 1 2 A O B α β A O B 2、互为补角定义：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角．简称互补．用 数学式子表示为：因为∠1+∠2=180°，所以∠1 与∠2 互补．反之，因为∠1 与∠2 互补， 所以∠1+∠2=180°． （三）归纳总结，概括知识 1、试举出互余、互补角的例子． 2、30°与 60°是互余的两角，能说 30°是余角吗？ (要特别向学生指出：互余与互补角是研究两个角的关系，单独一个角不能说是余角 或补角，就像称呼两兄弟一样，而且不会随位置的改变) 3、若一个角为 35°35′35″，写出它的余角和补角． 解：35°35′35″的余角为 90°-35°35′35″=54°24′25″． (在计算过程中将 90°写为 89°59′60″，再与 35°35′35″相减较为方便) 35°35′35″的补角为 180°-35°35′35″=144°24′25″． (在计算过程中将 180°写为 179°59′60″，再与 35°35′35″相减较为方便，也 可以将 35°35′35″的余角再加上 90°就是 35°35′35″的补角．) 4、如图，点 O 为直线 AB 上一点，∠AOC = Rt∠,OD 是∠BOC 内的一条射线。图中有 哪些角互补？有哪些角互余？说明你的理由。 师生共同总结出：同角的余角相等．同理可推出：同角的补角相等 再问：如果两个角相等，那么它们的余角和补角有什么关系？ 由此得到补角和余角的性质：同角或等角的余角相等．同角或等角的补角相等． 注意：学生往往对“同角”、“等角”的认识不太清楚，在“同角”的情况时说“等 角”，在“等角”的情况时说“同角”，因此要对学生强调指出：“等角是相等的角”， 而“同角是同一个角”．另外，这个性质在目前的应用还不太多，但今后的应用是非常广 泛的 （四）精讲细练，巩固提高 例 1、 已知一个角的补角是这个角的余角的 4 倍，求这个角的度数。 解：设这个角为 x°，则它的余角为(90-x)°，它的补角为(180-x)°． 由题意，得 180 – x = 4( 90 – x ) , 解方程，得 x= 60º 答：这个角的度数为 60°． 例 2、互为余角的两个角的差为 15°，求： (1)较大角的补角的度数； (2)较小角的补角与较大角的补角的差. 解：(1)设较大的角为 x，则较小角为 x-15，根据题意有： A O B C D x+(x-15)=90° 解得 x＝52.5° ∴180°-x＝127.5° (2)仍为 15° 例 3、一个角的补角加上 80°的余角后，等于这个角的余角的 5 倍。求这个角的补角的度 数。 分析：本题要认真审题，弄清各角数量间的关系，本题运用方程的思想，往往事半功倍。 解：设这个角为 x0，则这个角的余角为 90°－x0，补角为 180°－x0。根据题意有 )90(5)8090(180 xx   11565180)(65: 度解得 x 答：这个角的补角为 115°. （五）发散思维，解决问题 1．一个角的补角与这个角的余角的差是多少度。 2．一个角是它的补角的一半，求这个角的余角。 3.已知一个角的补角是它的余角的 5 倍，求这个角的度数. 4．已知两角之比为 7:3，它们的差为 72°，求这两个角的度数.它们互补吗 ? 5．甲、乙、丙三人同时从同一地点 O 出发，甲沿北偏东 30°方向走了 4 千米 到达 A 地，乙沿南偏西 30°方向走了 3 千米到达 B 地，丙沿南偏东 60°方向走了 3 千米到达 C 地. 取 1cm 表示 1 千米，在纸上描出 A、B、C 三地的点. 答案：1．90 ° 2．30° 3.67.5° 4．设其中一个角为 7x，另一个角为 3x 7x-3x=72° 解得：x＝18° ∴7x＝126°，3x＝54° ∴两角互补 5．(如下图) （六）总结串联，纳入系统 1、这例题是利用代数方法解决几何问题，关键是正确设出未知数，正确列出方程，求 出未知数的值．在设未知数的过程中，可以有不只一种设法． 2、注意题目中的隐含条件，若一个角为 x 时，它的余角为 90-x，它的补角为 180-x． 3、在设未知数的过程中，要注意写单位，但在列方程时，可以不带单位． （七）布置作业，落实目标 P139 T6 T10 四、教学检测 (一)请你选一选。 1．一个角的余角和补角也互为补角，这个角的度数是( )。 A.90° B.75° C.45° D.15° 2.若∠1 与∠2 互补，∠1 与∠3 互余，则错误的是( ) A.∠2＞∠1 B.∠2＞∠3 C.0°＜∠1＜90° D.∠1＞∠3 3.如下图,∠DOB 为平角，∠AOC 为直角，∠AOD=20°，则∠AOD 的余角的补角是( ) A.20° B.70° C.110° D.160° 4．若∠α+∠β=90°，∠β与∠γ互为余角，则∠α与∠γ的关系是( )。 A.互余 B.互补 C.相等 D.不确定 5．如下图所示，O 是直线 AB 上一点，∠BOC 是直角，则∠COD 的余角是( )。 A.∠BOC B.∠BOD C.∠AOC D.∠AOD 6.互为补角的两个角( )。 A.是一个锐角、一个钝角或两个都是直角。 B.都是钝角。 C.都是锐角。 D.一定是一个锐角，另一个是钝角。 （二）请你填一填。 1.互余的两个角的度数之比是 2∶7，则这两个角的度数分别为和. 2.已知∠α的余角是 36°28′，那么∠α=。 3.4 点整时钟上的时针与分针所夹的角是°。 4.度角的余角比它的七分之二大 9°. 5.一个角的余角和它的补角之比是 2∶5，则这个角是 6．48°16′的补角是，72°39′16″的余角是。 7．一个角的补角是它的 3 倍，则这个角是。 8．一个角比它的余角大 15°，这角是。 9．一个角等于它的补角的 4 倍，这个角的补角是°. 10．已知∠α的余角等于∠α的补角的 4 1 ，则∠α=°。 （三）请你来思考。 1、某火车站的钟楼上装有一电子报时钟,在钟面的边界上,每一分钟的刻度都装有一只小 彩灯,晚上九点三十五分二十秒时,时针和分针所夹的角之内装有多少只小彩灯? 2、如图，图 1 中有几个角，图 2 中有几个角，图 3 中有几个角，则 n 条射线可构成几个 角？ 图 1 图 2 图 3 答案： (一)请你选一选。 1.C 2. D 3. C 4．C 5.D 6.A （二）请你填一填。 1.20° 70° 2.53°32′ 3.120 4.63° 5.30° 6．131 °44′，17°20′44″ 7．45° 8．52.5° 9．36° 10．60° （三）请你来思考。 1、12 2、3；6；10； 2 )1( nn 五、数学史话 3 根指挥棒和 12 个直角 英国发明家瓦特（1736—1819）获得了蒸汽机专利后，从一个大学实验员一跃为波士 顿──瓦特公司的老板，还成为英国皇家学会的会员，引起了许多旧贵族的不满。据说， 在一次皇家音乐会上，有个贵族故意嘲讽地对瓦特说：“乐队指挥手里拿的东西在物理学 家眼里仅仅是根棒子而已。”瓦特回答道：“是的，那的确是根棒子但是我可以用这样 3 根 棒子组成 12 个直角，而你却不能做到。”那个贵族不服气地用 3 根指挥棒在桌上摆来摆去， 可始终无法摆出 12 个直角。 你能拼出 12 个直角吗？ 你自己先试试看。 下面我们一起来讨论一下： 如果把图 1 中最下面的一根指挥棒向左平移，就摆成了 6 个直角（见图 2）。如果把图 2 中最下面的指挥棒往上平移，就可以摆出 8 个直角（见图 3）。 这时候，我们会发现，在桌面无论怎样摆法，直角数都不会超过 8 个。于是，我们可 以得出结论：在桌面上，无法用 3 根指挥棒拼出 12 个直角。 图 1 图 2 图 3 但是，瓦特并没有说“我能在桌面上拼出 12 个直角”！ 因此，我们应该离开桌面来讨论这个问题。 我们重新来考虑一下： 如果把 2 根指挥棒十字交叉地放在桌面上，另一根指挥棒的一端摆在前 2 根指挥棒的 交叉处并使这根棒与桌面垂直（如图 4），这时拼出的直角也是 8 个。 如果把摆在桌面上的两根指挥棒离开桌面，紧挨着与桌面垂直的小棒向上方平移（如 图 5）。那么，这时我们会发现，12 个直角出现了。 图 4 图 5 好了，现在问你另一个问题：我们知道，以 3 根火柴为边可以组成一个三角形。那么，用 6 根火柴能组成 4 个三角形吗？