人教版 七年级下册寒假同步课程（培优版）4平面直角坐标系 10页

1 内容 基本要求 略高要求 较高要求 平面直角坐标系 认识并能画出平面直角坐标系； 在给定的直角坐标系中，会根据 坐标描出点的位置、由点的位置 写出它的坐标；了解特殊位置的 点的坐标特征． 能在方格纸上建立适当的直角坐 标系，描述物体的位置和变化； 会由点的特殊位置，求点的坐标 中相关字母的范围；会求已知点 到坐标轴的距离；能用不同的方 式确定物体的位置 一、平面直角坐标系 楷体五号 1．有序实数对 楷体五号 有顺序的两个数 a 与 b 组成的实数对，叫做有序实数对，记作 a b， ． 注意：当 a b 时，  a b， 和 b a， 是不同的两个有序实数对． 楷体五号 2．平面直角坐标系 楷体五号 在平面内有两条公共点并且互相垂直的数轴就构成了平面直角坐标系，通常把其中水平的一条数轴叫 做横轴或 x 轴，取向右的方向为正方向；铅直的数轴叫做纵轴或 y 轴，取向上的方向为正方向，两数轴的 交点叫做坐标原点； x 轴和 y 轴统称为坐标轴；建立了直角坐标系的平面叫做坐标平面． 楷体五号 3．象限 楷体五号 x 轴和 y 轴把坐标平面分成四个部分，称为四个象限，按逆时针顺序依次叫做第一象限，第二象限， 第三象限，第四象限． 注意： （1）两条坐标轴不属于任何一个象限． （2）如果所表示的平面直角坐标系具有实际意义时，要在表示横轴，纵轴的字母后附上单位． 楷体五号 4．点的坐标 楷体五号 对于坐标平面内的一点 A ，过点 A 分别向 x 轴、 y 轴作垂线，垂足在 x 轴、 y 轴上对应的数 a 、 b 分 别叫做点 A 的横坐标和纵坐标，有序实数对  a b， 叫做点 A 的坐标，记作 A  a b， ． 坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的． 注意：横坐标写在纵坐标前面，中间用“，”号隔开，再用小括号括起来． 楷体五号 二、坐标平面内特殊点的坐标特征 楷体五号 1．各象限内点的坐标特征 楷体五号 点  P x y， 在第一象限  0 0x y ， ； 平面直角坐标系基础 2 点  P x y， 在第二象限  0 0x y ， ； 点  P x y， 在第三象限  0 0x y ， ； 点  P x y， 在第四象限  0 0x y ， ． 楷体五号 2．坐标轴上点的坐标特征 楷体五号 点  P x y， 在 x 轴上  0y  ， x 为任意实数； 点  P x y， 在 y 轴上  0x  ， y 为任意实数； 点  P x y， 即在 x 轴上，又在 y 轴上  0 0x y ， ，即点 P 的坐标为  0 0， ． 楷体五号 3．两坐标轴夹角平分线上点的坐标特征 楷体五号 点  P x y， 在第一、三象限夹角的角平分线上  x y ； 点  P x y， 在第二、四象限夹角的角平分线上  0x y  ． 楷体五号 4．平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征 楷体五号 平行于 x 轴直线上的两点，其纵坐标相等，横坐标为两个不相等的实数； 平行于 y 轴直线上的两点，其横坐标相等，纵坐标为两个不相等的实数． 楷体五号 5．坐标平面内对称点的坐标特征 楷体五号 点  P a b， 关于 x 轴的对称点是  P a b ， ，即横坐标不变，纵坐标互为相反数． 点  P a b， 关于 y 轴的对称点是  P a b  ， ，即纵坐标不变，横坐标互为相反数． 点  P a b， 关于坐标原点的对称点是  P a b  ， ，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． 点  P a b， 关于点  Q m n， 的对称点是  2 2M m a n b ， ． 楷体五号 三、用坐标表示地理位置 楷体五号 1．直角坐标系法 楷体五号 先确定原点，然后画出 x 轴和 y 轴，建立平面直角坐标系，再确定它的横坐标及纵坐标．点的坐标可 以又横坐标和纵坐标唯一地确定． 楷体五号 2．方位角法 楷体五号 从一定点出发，测量出被测点到定点的距离，及相对于定点的距离及相对于定点所处的方位角．点的 位置有距离和方位角唯一地确定． 四、中点坐标公式 已知坐标系中两点    1 1 2 2A a b B a b， ， ， .则 A、B 的中点 C 坐标为 1 2 1 2 2 2 a a b b      ， 3 设点 c（x,y）,则 1 2a x a x   即 2a b， 1 2x a a x   ,所以 1 2 2 a ax  .同理求出 1 2 2 b by  例题精讲 一、 坐标平面内点的位置确定 【例 1】 与直角坐标平面内的点对应的坐标是（ ） A．一对实数 B．一对有序实数 C．一对有理数 D．一对有序有理数 【例 2】 已知 A、B 两地相距 10km,在地图上相距 10cm,则这张地图的比例尺（） A.100000:1 B.1000:1 C.1:100000 D.1:1000 【例 3】 (1)平面内两条互相______并且原点______的______，组成平面直角坐标系．其中，水平的数轴 称为______或______，习惯上取______为正方向；竖直的数轴称为______或______，取______ 为正方向；两坐标轴的交点叫做平面直角坐标系的______．直角坐标系所在的______叫做坐标 平面． (2)有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个______来表示．如果有序数对(a,b)表示坐标平面 内的点 A，那么有序数对(a，b)叫做______．其中，a 叫做 A 点的______；b 叫做 A 点的______． (3)建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被______分成了Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，如图所 示，分别叫做______、______、______、______．注意______不属于任何象限． 4 二、 点的位置确定 1． 平面直角坐标系 【例 4】 在图中的直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次连结起来． （1） 2 0， 、 4 0， 、 6 2， 、 6 6， 、 5 8， 、 4 6， 、 2 6， 、 1 8， 、 0 6， 、 0 2， 、 2 0， ； （2） 1 3， 、  2 2， 、  4 2， 、 5 3， ； （3） 1 4， 、  2 4， 、  2 5， 、 1 5， 、  1 4， ； （4） 4 4， 、 5 4， 、  5 5， 、 4 5， 、  4 4， ； （5） 3 3， 观察所得的图形，你觉得它像什么？ 【例 5】 已知直角三角形 ABC 中， 90A   ， 2AC  ， 3AB  ，若点 A 在坐标原点，点 B 在 x 轴上． （1）在平面直角坐标系中画出三角形 ABC ； （2）求点 B ， C 的坐标． 5 【例 6】 在平面直角坐标系内，已知点 A（1-2k，k-2）在第三象限，且 k 为整数，求 k 的值． 【例 7】 电影票上“6 排 3 号”,记作  6,3 ,则 8 排 6 号记作_________ 2、极坐标 【例 8】 我们规定：沿正北方向顺时针旋转 角再前进 a 个单位，记作 a ， ，则分别作出下列有序数对 所表示的图形：（1）  45 6o ， ；（2） 120 8o ， . 3、坐标表示地理位置 【例 9】 小明家的坐标为（1,2）,小丽家的坐标为（-2,-1）,则小明家在小丽家的（ ） A．东南方向 B．东北方向 C．西南方向 D．西北方向 【例 10】 从车站向东走 400 米,再向北走 500 米到小红家；从车站向北走 500 米,再向西走 200 米到小 强家,则 （ ） A．小强家在小红家的正东 B．小强家在小红家的正西 C．小强家在小红家的正南 D．小强家在小红家的正北 【例 11】 芳芳放学从校门向东走 400 米,再往北走 200 米到家；丽丽出校门向东走 200 米到家,则丽丽 家在芳芳家的 （ ） A．东南方向 B．西南方向； C．东北方向 D．西北方向 三、点的坐标特征 1、各象限点的坐标特征 【例 12】  P a b， 是平面直角坐标系内一点， （1）若 0ab  ，则 P 点在 ． （2）若 0ab  ，则 P 点在 ． （3）若 0ab≥ ，则 P 点在 ． （4）若 0ab ≤ ，则 P 点在 ． （5）若 0ab  ，则 P 点在 ． （6）若 2 2 0a b  ，则 P 点在 ． 【例 13】 如图，在直角坐标系中，卡片盖住的数可能是（ ） A（2,3） B（-2，-1） C（2，-2.5） D（-2,4） 6 【例 14】 在平面直角坐标系中，点  1 2A x x ， 在第一象限，则 x 的取值范围是 ； 【例 15】 如果点  1 2P m m， 在第四象限，那么 m 的取值范围是（ ） A． 10 2m  B． 1 02 m   C． 0m  D． 1 2m  【例 16】 对任意实数 x ，点 2( 2 )P x x x， 一定不在．．（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例 17】 证明：⑴ 点 22 ,m n 不在第三、四象限；⑵ 点 2 1,2 2m m  不在第四象限； 【例 18】 已知  22 3 0x y    ，求  ,P x y 的坐标，并指出它在第几象限内． 【例 19】 已知点  A m n， 在第二象限，则点 ( )B m n， 在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2、轴上点坐标特征 【例 20】 （1）点  3 1m m ， 若在 x 轴上，则该点坐标为 ，若在 y 轴上，则该点坐标 为 ． （2）如果点  A x y， 在第三象限，则点  1B x y ， 在 ． 【例 21】 如果点  P x y， 满足 0xy  ，那么点 P 必定在（ ） A．原点上 B． x 轴上 C． y 轴上 D．坐标轴上 7 【例 22】 已知点  3 2P x x ， 在 x 轴上，求 P 点的坐标． 【例 23】 点  3 1P m m ， 在直角坐标系的 x 轴上，则点 P 的坐标为（ ） A． 0 2， B． 2,0 C．  4,0 D．  0, 4 3、象限角平分线上点坐标特征 【例 24】 （1）若 a b ，则 P 点在 ． （2）若 0a b  ，则 P 点在 ． 【例 25】 点 12, a     在第二象限的角平分线上，则 a  【例 26】 ⑴ 已知点  2 3P x x ， 在第二象限坐标轴夹角平分线上，求点  2 2 3Q x x  ， 的坐标． ⑵ 已知点  2 3P x x ， 在第一象限坐标轴夹角平分线上，求点  2 2 3Q x x  ， 的坐标． ⑶ 已知点  2 3P x x ， 在坐标轴夹角平分线上，求点  2 2 3Q x x  ， 的坐标． 4、平行或垂直于坐标轴直线上的点坐标特征 【例 27】 如图，长方形 ABCD 中，A（-4,1），B（0,1），C（0,3），则点 D 的坐标是（） A.（-3,3） B.（0，-2） C（-4,3） D（0,1） 【例 28】 在平面直角坐标系中，如图，描出下列各点：A（2,2），B（-2,2），C（-2，-3），并指出直线 AB 与 X 轴的位置关系及直线 BC 与 y 轴的位置关系. 8 【例 29】 已知正方形 ABCD 的边长为 4，它在坐标系内的位置如图所示，请你求出下列情况下四个顶 点的坐标． 【例 30】 在直角坐标系中，线段 BC∥x 轴，则（） A、点 B 与 C 的横坐标相等 B、点 B 与 C 的纵坐标相等 C、点 B 与 C 的横坐标与纵坐标分别相等 D、点 B 与 C 的横坐标、纵坐标都不相等 四、坐标与距离 1、点到坐标轴的距离 【例 31】 点 2 , 1a a  在 y 轴上，该点坐标 ；该点到 x 轴，y 轴的距离分别为 ， ； 【例 32】 ⑴ 如果点 M 在第三象限，且点 M 到 x 轴距离为 3，到 y 轴的距离为 4，求点 M 的坐标． ⑵ 如果点 M 在第四象限，且点 M 到 x 轴距离为 3，到 y 轴的距离为 4，求点 M 的坐标． ⑶ 如果点 M 到 x 轴距离为 3，到 y 轴的距离为 4，求点 M 的坐标． 【例 33】 点 A 到 x 轴的距离为1，到 y 轴的距离为 3 ，该点坐标为 ． 9 【例 34】 写出下列各点的坐标： ⑴ 如图， A （ ， ）， B （ ， ）， C （ ， ）， D （ ， ）； ⑵ 点 A 到 x 轴的距离为5 ，到 y 轴的距离为 3 ，则 A 点坐标为 ； 【例 35】 已知  3 2A  ， 、  3 2B  ， 、  3 2C ， 为长方形的三个顶点， ⑴ 建立平面直角坐标系，在坐标系内描出 A 、 B 、 C 三点； ⑵ 能根据这三个点的坐标描出第四个顶点 D ，并写出它的坐标吗？ ⑶ 描点后并进一步判断点 A 、 B 、 C 、 D 分别在哪一象限？ ⑷ 观察 A 、 B 两点，它们的坐标有何特点，位置有何特点？ B 与 C 呢？ A 与 C 呢？ ⑸ 直线 AB 、直线 BC 有何特征，你能用符号语言表达直线 AB 、直线 BC 上任一点的坐标吗？ ⑹ 求出线段 AB 、 BC 的长度，并求出长方形 ABCD 的面积． 课后作业 1. 点 3,4 到横轴的距离为 ，到纵轴的距离为 ． 2. 已知点 M  3 4a a ， 在 y 轴上，则点 M 的坐标为 ． 3. 点 2 2,1a a  在第一象限，求 a 的范围． 4. 根据如图位置，写出梯形 ABCD 的各点坐标，并注明在第几象限． 10 5. （1）已知点  2 3P x y ， 在第二象限，则点  2 2 7Q x y  ， 在第 象限． （2）已知点  2 3P x x ， 在第二象限，则 x 的取值范围是 ． （3）已知点  2 3P x x ， 在第二象限，且 x 为偶数，则 2 1x  的值为 ．