人教版七年级上数学教学课件：实际问题与一元一次方程（4） 30页

导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 3.4 实际问题与一元一次方程 第三章 一元一次方程 第 4 课时 电话计费问题 学习目标 1. 体会分类思想和方程思想在解决问题中的作用 ， 能够根据已知条件选择分类关键点对 “ 电话计费 问题 ” 进行整体分析，从而得出整体选择方案 . ( 重点、难点 ) 2. 进一步深化对数学建模方法的体验，增强应用 方程模型解决问题的意识和能力 . ( 重点 ) 情境引入 导入新课 讲授新课 电话计费问题 一 互动探究 下表中有两种移动电话计费方式： 免费 0.19 350 88 方式二 免费 0.25 150 58 方式一 被叫 主叫超时费 /( 元 / 分 ) 主叫限定时间 / 分 月使用 费 / 元 想一想 你觉得哪种计费方式更省钱？ 填填下面的表格，你有什么发现？ 主叫时间 ( 分 ) 100 150 250 300 350 450 方式一计费 ( 元 ) 方式二计费 ( 元 ) 58 58 83 95.5 108 133 88 88 88 88 88 107 计费方式一 0 加超时费 0.19 元 / 分 基本费 88 元 基本费 58 元 加超时费 0.25 元 / 分 150 分 350 分 计费方式二 哪种计费方式更省钱与 “ 主叫时间有关 ”. 考虑 t 的取值时，两个主叫限定时间 150 min 和 350 min 是不同时间范围的划分点 . 计费时首先要看主叫是否超过限定时间，主叫不超过限定时间，月使用费一定； 主叫超过限定时间，超时部分加收超时费 . 问题 1 设一个月内移动电话主叫为 t min ( t 是正整数 ) ，列表说明：当 t 在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费 . 当 t 在不同时间范围内取值时，方式一和方式二的计费如下表： 主叫时间 t / 分 方式一计费 / 元 方式二计费 / 元 t 小于 150 t 等于 150 t 大于 150 且小于 350 t 等于 350 t 大于 350 58 88 58 88 58+0.25( t － 150) 88 88 108 58+0.25( t － 150) 88 ＋ 0.19 ( t － 350 ) 主叫时间 t / 分 方式一计费 / 元 方式二计费 / 元 t 小于 150 58 88 t 等于 150 58 88 t 大于 150 且小于 350 58+0.25(t － 150) 88 t 等于 350 108 88 t 大于 350 58+0.25(t － 150) 88 ＋ 0.19 ( t － 350 ) 问题 2 观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法 . 主叫时间 t / 分 方式一计费 / 元 方式二计费 / 元 t 小于 150 58 88 t 等于 150 58 88 ① 当 t ≤150 时，方式一计费少 (58 元 ) ； (1) 比较下列 表格的第 2 、 3 行，你能得出什么结论？ < < 主叫时间 t / 分 方式一计费 / 元 方式二计费 / 元 t 等于 150 58 88 t 大于 150 且小于 350 58+0.25(t － 150) 88 t 等于 350 108 88 (2) 比较下列 表格的第 2 、 4 行，你能得出什么结论？ > < 当 t 大于 150 且小于 350 时，存在某一个值，使得两种方式计费相等 . 依题意 ，得 58 ＋ 0.25 ( t － 150) = 88 ， 解得 t =270. 主叫时间 t / 分 方式一计费 / 元 方式二计费 / 元 t 大于 350 58 ＋ 0.25 ( t － 150) 88+0.19 ( t － 350 ) 解析：当 t ＞ 350 分时，方式一的计费其实就是在 108 元的基础上，加上超过 350 分部分的超时费 [0.25(t － 350)]. (3) 当 t >350 分时，两种计费方式哪种更合算呢？ 当 t >350 时， 方式一： 58 ＋ 0.25 ( t － 150)= 108 ＋ 0.25 ( t － 350) ， 方式二： 88 ＋ 0.19 ( t － 350) ， 所以，当 t ＞ 350 分时，方式二计费少 . 加超时费 0.19 元 / 分 加超时费 0.25 元 / 分 350 0 150 计费方式一 计费方式二 108 88 58 88 （ t 是正整数） t / 分 88 88 270 综合以上的分析，可以发现： 时，选择方式一省钱； 时，选择方式二省钱； 时，方式一、方式二均可． t 小于 270 t 大于 270 t 等于 270 (1) 回顾问题的解决过程，谈谈你的收获 . (2) 解决本题的过程中你觉得最难突破的步骤是哪些？本题中运用了哪些方法突破这些难点？ (3) 电话计费问题的解决过程中运用一元一次方程解决了什么问题？ 想一想 列表分析 借助数轴 审题 分类讨论 更优惠 费用相同 列方程 用未知数表示费用 设未知数 如何比较两个代数式的大小 要找不等关系先找等量关系 例 小明和小强为了买同一种火车模型，决定从春节开始攒钱，小明原有200元，以后每月存50元；小强原有150元，以后每月存60元．设两人攒钱的月数为 x （个）（ x 为整数）． （ 1 ）根据题意，填写下表： 攒钱的月数 / 个 3 6 … x 小明攒钱的总数/元 350 … 小强攒钱的总数/元 510 … 330 500 200+50 x 150+60 x （ 2 ）在几个月后小明与小强攒钱的总数相同？此时他们各有多少钱？ (2) 根据题意，得200+50 x =150+60 x ， 解得 x =5． 所以150+60 x =450． 答：在5个月后小明与小强攒钱的总数相同，此时每人有450元钱． （ 3 ）若这种火车模型的价格为780元，他们谁能够先买到该模型？ (3) 根据题意，由200+50 x = 780 ，解得 x = 11.6 ，故小明在 12 个月后攒钱的总数超过 780 元 . 由150+60 x = 780 ，解得 x=10.5 ， 故小强在 11 个月后攒钱的总数超过 780 元 . 所以小强能够先买到该模型． 方法总结： 解决此类 问题的 关键是 能够根据已知条件 找到合适的分段点，然后建立方程模型分类讨论， 从而得出整体选择方案 . 做一做 移动公司推出两种智能手机上网流量包： 月使用费 ( 元 ) 含上网流量 (M) 流量超出部分 ( 元 /M) A 种 30 320 0.2 B 种 50 550 0.1 如何选择流量包更划算？ 解：设一个月内使用的流量为 x M ，根据题意， 当 x 在不同范围内取值时， 两种流量包计费如下表： 使用流量 x (M) A 种计费 ( 元 ) B 种计费 ( 元 ) x 小于等于 320 30 50 x 大于 320 且小于 550 30+0.2( x － 320) 50 x 等于 550 76 50 x 大于 550 30+0.2( x － 320) 50+0.1( x － 550) (1) 当 x ≤ 320 时，流量包 A 计费少 (30 元 ) ； (2) 当 320 ＜ x ＜ 420 时，流量包 A 计费少 ( ＜ 50 元 ) ； (3) 当 x = 420 时，两种流量包计费相等，都是 50 元； (4) 当 420 ＜ x ＜ 550 时，流量包 B 计费少 (50 元 ) ； (5) 当 x = 550 时，流量包 B 计费少 (50 元 ) ； (6) 当 x ＞ 550 时，流量包 B 计费少 . 综上所述， 当月使用流量小于 420 M 时，选择流量包 A 划算； 当月使用流量等于 420 M 时，两种流量包费用一样； 当月使用流量大于 420 M 时，选择流量包 B 划算 . 1. 小明所在城市的“阶梯水价”收费办法是：每户用水不超过5吨，每吨水费 x 元；超过5吨，超过部分每吨加收2元，小明家今年5月份用水9吨，共交水费为44元，根据题意列出关于x的方程正确的是（　　） A．5 x +4（ x +2）=44 B．5 x +4（ x - 2）=44 C．9（ x +2）=44 D．9（ x +2） - 4×2=44 当堂练习 A 2. 某市为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段 计费方式收取水费：若每户每月用水不超过 7m 3 ， 则按 2 元 /m 3 收费；若每户每月用水超过 7 m 3 ， 则超过的部分按 3 元 /m 3 收费 . 如果某居民户去年 12 月缴纳了 53 元水费，那么这户居民去年 12 月 的用水量为 _______m 3 . 20 3. 某市生活拨号上网有两种收费方式，用户可以任选 其一 . A 计时制： 0.05 元 / 分钟； B 包月制： 60 元 / 月 (限一部个人住宅电话上网 ). 此外，两种上网 方式都得加收通信费 0.02 元 / 分钟． ( 1 ) 某用户某月上网时间为 x 小时，请分别写出两种 收费方式下该用户应该支付的费用； ( 2 ) 你认为采用哪种方式比较合算？ 解：(1) 采用计时制：(0.05＋0.02)×60 x ＝4.2 x ， 采用包月制：60＋0.02×60 x ＝60＋1.2 x ； (2) 由 4.2 x ＝ 60＋1.2 x ，得 x ＝20. 又由题意可知，上 网时间越长，采用包月制越合算．所以， 当 0 < x < 20 时，采用计时制合算； 当 x ＝20 时，采用两种方式费用相同； 当 x > 20 时，采用包月制合算． 4. 用A4纸在某 复 印社复印文件，复印页数不超过20 时每页收费0.12元；复印页数超过20时，超过部 分每页收费0.09元. 在某图书馆复印同样的文件， 不论复印多少页，每页收费0.1元. 问： 如何根据 复印的页数选择复印的地点使总价格比较便宜？ ( 复印的页数不为零 ) 复印页数 x 复 印社复印费用 / 元 图书馆复印费用 / 元 x 小于 20 0.12 x 0.1 x x 等于 20 0.12 ×20 ＝ 2.4 0.1 ×20 ＝ 2 x 大于 20 2.4 ＋ 0.09( x － 20) 0.1 x 解：设复印页数为 x ，依题意，列表得： (1) 当 x ＜ 20 时， 0.12 x 大于 0.1 x 恒成立，图书馆价 格便宜； (2) 当 x = 20 时，图书馆价格便宜； (3) 当 x 大于 20 时，依题意得 2.4+0.09( x － 20) ＝ 0.1 x. 解得 x ＝ 60 所以，当 x 大于 20 且小于 60 时，图书馆价格便宜； 当 x 等于 60 时，两者价格相同； 当 x 大于 60 时，复印社价格便宜 . 综上所述：当 x 小于 60 页时，图书馆价格便宜； 当 x 等于 60 时，两者价格相同； 当 x 大于 60 时，复印社价格便宜 . 5. 小明可以到甲或乙商店购买练习本 . 已知两商店的标 价都是每本 1 元，甲商店的优惠方法是：购买 10 本 以上时，从第 11 本开始按标价的 70% 出售；乙商店 的优惠方法是：从第一本开始就按标价的 80% 出售 . ( 1 ) 小明要买 20 本时，到哪家商店购买省钱； ( 2 ) 买多少本时，到两个商店花的钱一样多； ( 3 ) 小明现有 24 元钱，最多可买多少本练习本 . 答案： (1) 小明要买 20 本时，到乙家商店购买省钱 ； (2) 买 30 本时，到两个商店花的钱一样多； (3) 小明现有 24 元钱，最多可买 30 本练习本 . 课堂小结 1. 解决 电话计费问题需要明确 “ 哪种计费方式更省 钱 ” 与 “ 主叫时间 ” 有关 . 2. 此类 问题的 关键是 能够根据已知条件 找到合适 的分段点，然后建立方程模型分类讨论， 从而 得出整体选择方案 .