人教版初中数学七年级上全册课件有理数 355页

人教版初中 数学 七 年级上册 第一章 有理数 本课件目录 ： 1.1 正数和负数 1.2 有理数（数轴 / 相反数 / 绝对值） 1.3 有理数的加减法 1.4 有理数的乘除法 1.5 有理数的乘方（乘方 / 科学记数法 / 近似数 ） （单击上面课题进入对应幻灯片） 1.1 正数和负数 整数： 小数： 刚才的介绍中出现了几个数？分别是什么？你能将这些数按以前学过的“ 数的分类方法 ”进行分类吗？ 1.62 65 . 5 46 50 25 0 0.5 想一想 这些数是如何产生的？ 以前学过的数，实际上主要有两大类，分别是 整数 和 分数 （包括 小数 ）． 在生活中，仅有整数和分数够用了吗？ 想一想 乌鲁木齐 -2~4 太原 -1~14 长春 -3~4 你知道以上数代表什么意思 ? 最低温度是多少？ 本章我们将认识一种新的数 —— 负数 ，并在有理数的范围内研究数的表示、大小比较与运算等，提高运用数学解决问题的能力． 70:101 负于美国 75:85 负于西班牙 85:68 战胜安哥拉 59:55 战胜德国 77:91 负于希腊 68:94 负于立陶宛 男篮在各个比赛中的净得分分别是多少？ 中国男蓝在北京奥运会上 : 身边的例子 　 （ 1 ）天气预报北京冬季里某天的温度为 ―3℃ ～ 3℃ ，它的确切含义是什么？这一天北京的温差是多少？ （ 2 ） 某年，我国花生产量比上一年增长 1.8% ，油菜籽产量比上一年增长－ 2.7%.“ 增长－ 2.7%” 表示什么意思？ 　 身边的例子 在例子中你发现还不很熟悉的数字了吗？ （ 3 ）夏新同学通过捡、卖废品，既保护了环境，又积攒了零花钱．下表是他某个月的部分收支情况： 收支情况表 年 月 日期 收入（ + ）或支出（－） 结余 注释 2 日 3.50 8.50 卖废品 8 日 － 4.50 4.00 买圆珠笔、铅笔芯 12 日 － 5.20 － 1.20 买科普书，同学代付 什么意思？ 身边的例子 例如：零下 3 摄氏度 净输 2 球 根据生活中的实际需要我们通常用前面 带有“ － ” 号的新数 来表示一些生活中的实际问题，那么应怎样命名它呢？ － 3 摄氏度 净赢 － 2 球 想一想 　　 像－ 3 ，－ 0.5 ，－ 2 ，－ 2.7% 这样在正数前面加上负号“－”的数叫做负数． 　 　 像 3 ， 2 ， 0.5…… 这样大于 0 的数叫做正数． 根据需要，有时在正数前面也加上“ +” 号，例如， +3 ， +2 ， +0.5 ， … 就是 3 ， 2 ， 0.5 ， … ．一个数前面的“ +” 、“－”号叫做它的符号． 理解概念 正负数的读写注意问题有哪些？ 一个数前面的 “ + ” 、 “ - ” 号叫做它的符号。 “ － ” 号读着 “ 负 ” ，如： “ －５ ” 读着 “ 负５ ” ； “ ＋ ” 号读着 “ 正 ” ，如： “ ＋３ ” 读着 “ 正３ ” 。 “ ＋ ” 号可以省略。 正号可以省略不写，负号 不可以 省略。 一个数不是正数就是负数，对吗？ 思考 0 既不是正数也不是负数。 0 是正负数的分界。 不对 你是怎样理解 “ 正整数 ”“ 负整数 ’’ 正分数 ” 和 “ 负分数 ” 的呢？ 像 3 、 2 这样 大于 0 的整数叫做正整数 ． 像 － 3 、 － 2 这样 小于 0 的整数叫做负整数 ． 像 3.6 、 2.8 、 0.5 这样 大于 0 的分数叫做正分数 ． 像－ 3.6 、－ 2.8 、－ 0.5 这样 小于 0 的分数叫做负分数 . 想一想 “ 不是正数的数一定是负数 , 不是负数的数一定是正数”的说法对吗 ? 答案肯定是不对的，还有 0 的存在． 想一想 　　 答： 0 既不是正数，也不是负数． 0 是正数么？是负数么？ 想一想 0 的其他实际意义： 1 ．空罐中的金币数量； 2 ．温度中的 0℃ ； 3 ．海平面的高度； 4 ．标准水位； 5 ．身高比较的基准； 6 ．正数和负数的界点． 强调： 0 既不是正数也不是负数． 通过前面学习到的数，按照“两种相反意义的量”来分，应如何划分？ 正数 负数 0 正整数 正分数 负整数 负分数 想一想 观察下图，试着说明它们的海拔高度 ． 海平面的高度如何表示？ 0 8844 -155 珠穆朗玛峰的海拔高度为 8844 米，吐鲁番盆地的海拔高度为 -155 米．   　　　　　　　 解释图中的正数和负数的含义 10℃ 表示白天温度为零上 10℃ ， -5℃ 表示晚上温度为零下 5℃ 。 它们以什么为基准？ 强调： 用正数、负数表示实际问题中具有相反意义的量，而相反意义的量包含两个要素： 一 是它们的意义相反 ，如 向东与向西，收人与支出； 二 是它们都是数量， 而且是同类的量． （ 2 ）与一个量成相反意义的量不止一个，如与上升 2m 成相反意义的量就很多，如：下降 1m ，下降 0.2m,…… （ 1 ） 用正数、负数表示实际问题中具有相反意义的量， 相反意义的量包含两个要素：一是它们的意义要相反 如向东与向西，收人与支出 ； 二是它们都 是它们都是数量，而且是同类的量． 如前进 8m 与后退 5m ； 。 怎样理解具有相反意义的量 想一想：上升与下降是不是相反意义的量？ 回答：不是。虽然他们意义相反，但缺少数量。 说明 在同一问题中，用正、负数表示具有相反意义的量。收入 300 元和支出 200 元，零上 6℃ 和零下 4℃ ，向东 30 米和向西 50 米等等，如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然。 对于两个具有相反意义的量，把哪一种意义规定为正，带有任意性，不过习惯上把向东、上升、盈利、运进、增加、收入等规定为正，把它们的相反量规定为负的。 怎样理解具有相反意义的量 1. 如果 80m 表示向东走 80m ，那么 -60m 表示 。 2. 如果水位升高 3m 时水位变化记作 +3m ，那么水位下降 3m 时的水位变化记作 m 。 3. 月球表面的白天平均温度是零上 126℃ ，记作 ℃，夜间平均温度是零下 150℃ ，记作 ℃。 用正负数表示相反意义的量 向西走 60m -3 +126 -150 3 。在计算学生的测验平均分 时规定 80 分为起点分数， 83 分记作 —— 分， 75 分计作 — — 分而， 0 分却表示 —— 。 +3 -5 80 分 例 1 　一个月内，小明体重增加 2 kg ，小华体重减少 1 kg ，小强体重无变化，写出他们这个月的体重增长值； 例题示范 答：这个月小明体重增长 ， 小华增长 ， 小强体重增长 . 2 kg － 1 kg 0 kg 例 2 某年，下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况是：美国减少 6.4% ，德国增长 1.3% ，法国减少 2.4% ，英国减少 3.5% ，意大利增长 0.2%, 中国增加 7.5%. 写出这些国家这一年商品进出口总额的增长率 . 例题示范 答：六个国家这一年商品进出口总额的增长率是：美国－ 6.4% ，德国 1.3% ， 法国－ 2.4% ，英国－ 3.5% ， 意大利 0.2% ，中国 7.5%. 归纳： 在同一个问题中，分别用正数和负数表示的量具有相反的意义 . “ 负”与“正”相对，增长－ 1 就是减少 1 ；增长－ 6.4 ％，是什么意思？什么情况下增长率是 0 ？ 增长－ 6.4 ％，就是减少 6.4 ％ 没有增加又没有减少的情况下增长率为 0 现代工业生产中，对产品的尺寸、重量等都设计了标准规格．但是，一般在实际加工中，每个产品不可能都做到与标准规格完全一样．通常在某个范围内，只要不影响使用，产品比标准规格稍大一点，或稍小一点，都属于合格品，而超出这个范围的产品就是不合格的了 . 阅读与思考 用正负数表示加工允许误差 这样标注表示零件长度的标准尺寸为 100 ，实际产品的长度最大可以是（ 100+0.5 ），最小可以是（ 100-0.5 ），在这个范围内的产品都是合格的． 1 ． 正数 就是以前学过的 0 以外的数（或在其前面加“ ＋ ”）； 负数 就是在以前学过的 0 以外的数 前面加“ － ”． 2 ． 实际问题中正数与负数表示具有 相反意义 的量． 3 ． 0 既不是正数也不是负数． 　 0 一般情况下只是一个基准． 课堂小结 　　　 1 ．某年度某国家有外债 10 亿美元 , 有内债 10 亿美元 , 应用数学知识来解释说明 , 下列说法合理的是（ 　　） 　 A ．如果记外债为 － 10 亿美元 , 则内债为 ＋ 10 亿美元　 　 B ．这个国家的内债、外债互相抵消　 　 C ．这个国家欠债共 20 亿美元　 　 D ．这个国家没有钱　 A 随堂练习 　　　 2 ．在下列横线上填上适当的词 , 使前后构成意义相反的量： （ 1 ）收入 1300 元， 800 元； （ 2 ） 80 米，下降 64 米； （ 3 ）向北前进 30 米， 50 米． 支出 上升 向南 　　 3 ．下列用正数和负数表示的相反意义的量，其中正确的是（　　） A ． 2003 年全球财富 500 强中对主要零售业的统计，大荣公司年收入为 25 ， 320 ， 100 万美元，利润 － 195 ， 200 万美元，该公司亏损额为 195 ， 200 万美元 B ．如果 ＋ 9.6 表示比海平面高 9.6 米，那么 － 19.2 米表示比海平面低 － 19.2 米 C ．如果收入增加 18 元记作 ＋ 18 元，那么 － 50 元表示收入减少 50 元 D ．一天早晨的气温是 － 4℃ ，中午比早晨上升 4℃ ，所以中午的气温是 ＋ 4℃ C 　　 4 ．在下列各数： 5 ， -4 ， 7 ， 142 ， － 12 ， 0 ， -37 ， 　中，负整数共有（ ） A ． 3 个 B ． 2 个 C ． 1 个 D ． 0 个 A 5 ．“甲比乙大 -3 岁”表示的意义是 （ ） A ．甲比乙小 3 岁 B ．甲比乙大 3 岁 C ．乙比甲大 -3 岁 D ．乙比甲小 3 岁 A 　　 6 ．由于我国农业的发展，每年我国从国外进口的粮食正逐年下降， 2006 年进口粮食比 2005 年增加了 -5 ％，增加 -5 ％是什么意思？ 2006 年比 2005 年从外国进口粮食少了 5% ． 　　 7 ．甲冷库的温度是 - 12 ℃ , 乙冷库的温度比甲冷库低 5 ℃ , 则乙冷库的温度是 _________ ． － 17℃ 　　 8 ．一种零件的内径尺寸在图纸上是 30±0.05 （单位：毫米），表示这种零件的标准尺寸是 30 毫米，加工要求最大不超过标准尺寸 ______ 毫米，最小不低于标准尺寸 ______ 毫米． 30.05 29.95 　　 9 ．味精袋上标有“ 500±5 克”字样中， ＋ 5 表示 ___________________ ， － 5 表示 __________________ ． 比标准重量多出 5 克 比标准重量少出 5 克 1 ．正数： 5 ， 0.56 ， ，＋ 2. 负数： ，－ 3 ，－ 25.8 ，－ 0.000 1 ，－ 600. 2 ．（ 1 ） 0.08m 表示水面高于标准水位 0.08m. － 0.2m 表示水面低于标准水位 0.2m ； （ 2 ）水面低于标准水位 0.1m 用－ 0.1m 表示， 高于标准水位 0.23m 用 0.23m 表示 . 3 ．不对．不是正数的数可以是 0 ，不一定是负 　 数；不是负数的数可以是 0 ，不一定是正数 . 习题答案 4 ．这个物体有移动＋ 5m 表示又向前移动 5m. 这 　　时物体离它两次移动前的位置 0m ，即回到 　　两次移动前的位置 . 5 ．略 . 6 ．氢原子中的原子核所带电荷可以用＋ 1 表 示，氢原子中的电子所带电荷可以用－ 1 表 示 . 7 ．－ 1℃. 8 ．中国、意大利的服务出口额增长了，美国、 　 德国、英国、日本的服务出口额减少了 . 意 　 大利的增长率最高，日本的增长率最低 . 练习：教科书第 3 页 巩固新知 1. 2010 年我国全年平均降水量比上年增加 108.7 mm ， 2009 年比上年减少 81.5 mm ， 2008 年比上年增加 53.5 mm ，用正数和负数表示这三年我国全年平均降水量比上年的增长量 . 答： 2010 年： +108.7 mm ； 2009 年：－ 81.5 mm ； 2008 年： +53.5 mm. 巩固新知 2. 如果把一个物体向右移动 1 m 记作移动 +1 m ，那么这个物体又移动了－ 1 米是什么意思？如何描述这时物体的位置？ 答：这个物体又向左移动了 1 m ，即回到了原处 . 练习：教科书第 3 页 1. 以下各数 中，正数有 ； 负数有 . 目标检测 2. 向东行进－ 50 m 表示的意义是 （ ） . ( A ) 向东行进 50 m ( B ) 向南行进 50 m ( C ) 向北行进 50 m ( D ) 向西行进 50 m 目标检测 D 3. 下列结论中正确的是 （ ） . ( A ) 0 既是正数，又是负数 ( B ) 0 是最小的正数 ( C ) 0 是最大的负数 ( D ) 0 既不是正数，也不是负数 目标检测 D 4. 举几个生活中含有正数、负数的例子，并解释其中相关数量的含义 . 目标检测 1. 下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？ -10 ， 1 ， -0.5 ， 0 ， 36 ， 15 ％， -60 ， 22.8 2 . 对于“ 0” 的说法正确的有 （ ） ① 0 是正数与负数的分界； ② 0 是整数也是偶数； ③ 0 是正数；④ 0 是自然数；⑤不存在既不是正数也不是负数的数。 3. 如果浪费 8 度电，记作 -8 度；那么节约 15 度电记作 。 如果高于海平面 100m 记作 +100m ，那么低于海平面 36m 记作 。 自学检测： 下节课我们继续学习！再见 1.2.1 有理数 检查作业： 1 、（ ）既不是正数也不是负数。正数都（ ） 0 ， 负数都（ ） 0 ，正数都（ ）负数。 2 、一对具有意义相反的量，一个量用正数表示， 另一量用（ ）表示。 3 、抗震救灾中，若仓库调入帐篷 10 万顶记作 +100000 ， 那么调出帐篷 3 万顶记作（ ） 4 、把向东的方向记为正，那么走 5km 的意义是（ ）， 走 - 2km 的意义是（ ），走 0km 的意义是（ ） 0 大于 小于 大于 负数 -30000 向东走 5km 向西走 2km 原地不动 回想一下，我们学过那些数？ 你所知道的数可以分成哪些种类，你是按着什么划分的？ 活动 1 课前导入 小明在书上看到，冬日的一天，某地的最高气温为 15℃ ，最低气温达到 -12℃ ，平均气温是 0 ℃ ，这里面的数是什么数？ 15 是正数 -12 是负数 0 既不是正数也不是负数 又是什么数？ 分数 0.1 ， -0.5 ， 5.32 ， -150.25 等为什么被列为分数？ 0.1 等都可以化为分数： 思考 新课讲解 我们学过的数有什么？ 正整数：如 1 ， 2 ， 3 ， … ； 零： 0 ； 负整数：如－ 1 ，－ 2 ，－ 3 ， … ； 正分数：如 负分数：如 正整数、零、负整数统称为 整数 。 正分数、负分数统称为 分数 。 整数 和 分数 统称为 有理数 。 有理数可以分为（定义）： 有理数 ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ 整数 分数 正整数 0 负整数 正分数 负分数 质疑空间 学了有理数的分类后，聪明的你想过没有 —— 有没有一些数 不是有理数呢？ 探究总结 两个整数的比（如 ）都可以化成 有限小数或无限循环小数。 有限小数和无限循环小数 都是分数，所以也是有理数。 无限不循环小数 （如 ）不是分数，就不是有理数。 有理数分类的几点注意： 1 ，如 能约分成整数的数 _____ ( 填“能”或“不能” ) 算做分数 ； 不能 2 ， 无限不循环小数 不是有理数； ( 无理数 ) 3 ，整数中除了正整数和负整数，还有 _____. 0 有理数还有其他的分类方法吗？ 有理数 ______ ______ ______ 有理数还可以分为（符号）： ______ ______ ______ ______ 正有理数 0 负有理数 正整数 正分数 负整数 负分数 注意： 正数 和 正有理数 是不同的，例如： 就是 正数 ，但 不是 正有理数； 所有的 正数 组成 正数集合 ； 所有的 负数 组成 负数集合 ； 所有的 正整数 组成 正整数集合 ； 所有的 负整数 组成 负整数集合 。 知识拓展 想一想 什么是整数集合、分数集合、有理数集合？ 知识应用 把下列各数填入相应的集合内。 12 ／ 7 ， -3.1416 ， 0 ， 2008 ， -8 ／ 5 ， -0.23456 ， 10% ， 10.1 ， 0.67 ， -89 …… …… 正数集合 负数集合 …… …… 整数集合 分数集合 2008 10.1 0.67 -3.1416 -8 ／ 5 -0.23456 -89 12 ／ 7 10% 0 2008 -89 12 ／ 7 -3.1416 -8 ／ 5 -0.23456 10% 10.1 0.67 把下列各数填在相应的集合中： 正数集合： { } ； 负数集合： { } ； 分数集合： { } ； 整数集合： { } ； 非负有理数集合： { } ； 有理数集合： { } ； 注意： 1 ，像 这种可以先化简成整数的数是 整数不是分数； 大于 0 是正数不是正有理数。 2 、 负整数集合是（ ） A 、有理数集合中去掉分数和零 B 、整数集合中去掉正整数和零 C 、整数集合中去掉正整数 D 、有理数集合中去掉正数和零 B 下列关于零的说法，正确的有 （ ） ①0 是最小的正整数 ② 0 是最小的有理数 ③ 0 不是负数 ④ 0 既是非正数也是非负数 B A 、 1 个 B 、 2 个 C 、 3 个 D 、 4 个 √ √ 下列说法中，正确的个数是（ ） （ 1 ）、有理数不是整数就是分数 C （ 2 ）、有理数不是正数就是负数 （ 3 ）、一个整数不是正的，就是负的 （ 4 ）、一个分数不是正的，就是负的 A 、 4 B 、 3 C 、 2 D 、 1 √ √ （ 1 ） 0 是整数（ ） （ 2 ）自然数一定是整数（ ） （ 3 ） 0 一定是正整数（ ） （ 4 ）整数一定是自然数（ ） √ √ × × 判 断 填空： （ 1 ）既是分数又是负数的数是 _______ ； （ 2 ）非负数包括 ________ 和 _______ ； （ 3 ）非正数包括 ________ 和 _______ ； （ 4 ）非负整数包括 ________ 和 _______ ；又称为 ________ ； （ 5 ）非负分数包括 ________ 和 _______ ； （ 6 ）非正分数包括 ________ 和 _______ ； 负分数 正数 0 0 负数 自然数 正整数 0 整数 正分数 整数 负分数 如果用一个字母表示一个数，那么 a 可能是什么样的数？一定是正数吗？ 答：不一定， a 可能是正数，可能是负数，也可能是 0 。 探 究 小结： 这节课我们学到了什么？ 1 、什么是有理数？ 2 、有理数的分类： （ 1 ）按定义划分； （ 2 ）按符号划分； 3 、如何理解非正数和非负数等？ 进步往往从归纳反思开始！ 4 、 数学方法：分类思想 再见 1.2.2 数轴 ★ 数轴的概念 (1) 规定了 、 和 的直线叫数轴； (2) 数轴的定义包含三层含义：①数轴是一条可以向两端无限延伸的直线；②数轴有三要素：原点、正方向、单位长度；③注意“规定”二字，原点的位置、正方向的选取，单位长度大小的选取，都是根据实际需要规定的 . 原点 正方向 单位长度 ★ 数轴的画法 (1) 一画：画一条 ； (2) 二定：在直线上选取一点作为 ，并用数 0 表示这个点 ; (3) 三选：一般选取原点向右为 ，用箭头表示出来 ; (4) 四统一：根据需要，选取适当的长度作为 ，从原点向右，每隔一个 取一个点，依次表示为 ， ， ， … ；原点向左的点依次表示为 ， ， ， …. 直线 原点 正 单位长度 单位长度 1 2 3 -1 -2 -3 ★ 数轴上的点与有理数的关系 (1) 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示，反过来不能说数轴上的点都表示有理数； (2) 正有理数都在原点的 ，负有理数都在原点的 ， 0 用原点表示． 右边 左边 例 1 画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数： 分析：正数用原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示， 0 用原点表示．如 -2 表示这个数的点到原点的距离是 2 个单位长度． 点评：找出有理数在数轴上的对应点分两步： (1) 确定所找的点与原点的位置关系 ( 左负右正原点 ) ； (2) 确定具体位置，即去掉符号后的数值为这点到原点的距离． 1 ．在下图中，数轴表示正确的是 ( ) A 2 ．如图 1-2-3. A 点表示的数是 ; B 点表示的数是 ; C 点表示的数是 ; D 点表示的数是 ; E 点表示的数是 ; F 点表示的数是 ． -1 3 -0.5 0 -2 -4.5 3 ．请在如图 1-2-4 的数轴上画出表示下列各数的点： 解：如图． 例 2 已知 A 是数轴上的一个点． (1) 如果点 A 表示的数是 -2 ，将 A 向右移动 4 个单位长度，那么终点表示的数是 ； (2) 如果将点 A 向左移动 3 个单位长度，再向右移动 5 个单位长度，终点表示的数是 -2 ，那么点 A 表示的数是 ． 2 -4 分析：先分清该点到原点的距离是多少个单位，然后利用移动的单位确定，必要时可画图求解，即画图表示一个点按条件运动后到达的终点，然后便可写出平移后的数．如图 1-2-5① 、②，可分别找到终点所表示的数 ; 第 (2) 题就是求将 -2 表示的点先向左移动 5 个单位长度，再向右移动 3 个单位长度后所表示的数． 4 ．如图 1-2-6 ，数轴上一动点 A 向左移动 2 个单位长度到达点 B ，再向右移动 5 个单位长度到达点 C ．若点 C 表示的数为 1 ，则点 A 表示的数为 ( ) A ． 7 B ． 3 C ． -3 D ． -2 D 5 ． (1) 有一只蜗牛以每秒 2 个单位长度的速度从数轴上表示 -6 的点 A 出发，向右爬行 4 秒到达 B 点，则 B 点表示的数是 ； (2) 如果点 A 表示数 2 ，将 A 向左移动 4 个单位长度，再向右移动 7 个单位长度，那么终点表示的数是 ． 2 5 6 ．文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边 30 米处，玩具店在书店东边 90 米处．一天，小明、小元、小华三人去逛街，小明与小华、小元走散．小明打电话告诉小华、小元，说他从书店沿街向东走 40 米，接着又向东走 -70 米．小华说小明在玩具店东 20 米，小元说小明在文具店西边 40 米处．他们两人无法找到统一的答案，谁也说服不了谁，你能帮助他们解决纷争吗？ 解：如图建立数轴，观察数轴可知小明实际走的路线是 A→B→C ．小明走的路程在数轴上表示为：从 A 点向右移动 40 个单位长度，到 B 点 (+40) ，再从 B 点向左移动 70 个单位长度到 C 点 (-30) ，所以小明的位置应在文具店． 1 ．下图中的数轴，表示正确的是 ( ) B C 2 ．如图 1-2-7 ，数轴上所标出的点中，相邻两点间的距离相等，则点 A 表示的数为 ( ) A ． 30 B ． 50 C ． 60 D ． 80 3 ．在数轴上表示 -2 ， 0 ， 63 ， - 的点中，在原点右边的整数点有 ( ) A ． 0 个 B ． 1 个 C ． 2 个 D ． 3 个 A 4 ．下列说法正确的是 ( ) A ．数轴上所有的点都表示有理数 B ．有理数都可以用数轴上的点表示 C ．数轴上距原点 2 个单位长度的点表示的数一定是 2 D ．数轴上的一个点可以表示两个不同的数 B 5 ．如图 1-2-8 ： (1) 数轴上的点表示的数分别是： A ： ,B ： ,C ： ,D: ; (2)A 、 B 两点间的距离是 个单位长度； (3)A 、 D 两点间的距离是 个单位长度． 1 2 ． 5 -1 -3 1.5 4 6 ．如图 1-2-9 ，数轴上的点 P 表示的数是 -1 ，将点 P 向右移动 3 个单位长度得到点 P′ ，则点 P′ 表示的数是 ． 2 7 ．画出数轴 , 并在数轴上表示下列各数． 8 ．一只蚂蚁从原点 O 出发，它先向右爬了 2 个单位长度到达点 A ，再向右爬 3 个单位长度到达点 B ，然后向左爬 9 个单位长度到达点 C ． (1) 写出 A 、 B 、 C 三点表示的数； (2) 根据点 C 在数轴上的位置回答蚂蚁实际上是从原点出发，向什么方向爬行几个单位长度？ 解： (1) 如图，表示蚂蚁的路线 是 O→A→B→C ，可知 A 点表示 2 ， B 点表示 5 ， C 点表示 -4. (2) 蚂蚁实际上从原点出发，向左爬行 4 个单位长度． 9 ．如图 1-2-10 是 5 个城市的国际标准时间 ( 单位：时 ) ，那么北京时间 2017 年 9 月 3 日上午 11 时应是 ( ) A ．首尔时间是 2017 年 9 月 3 日上午 10 时 B ．伦敦时间是 2017 年 9 月 3 日凌晨 3 时 C ．多伦多时间是 2017 年 9 月 2 日晚 22 时 D ．纽约时间是 2017 年 9 月 2 日晚 20 时 B 10 ． (1) 在数轴上与 -1 相距 3 个单位长度的点有 个，为 ；长为 3 个单位长度的木条放在数轴上，最多能覆盖 个整数点； (2) 在数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是 1cm ，若在这个数轴上随意画出一条长为 2017cm 的线段 MN ，则线段 MN 盖住的整点有 个． 2 -4 或 2 4 2017 或 2018 11 ．利用数轴解答：有一座三层楼房不幸起火，一位消防员搭梯子爬往三楼去救人，当他爬到梯子正中一级时，二楼窗口喷出火来，他就往下退了 3 级，等到火过去了，他又爬了 7 级，这时屋顶有砖掉下，他又往下退了 2 级，幸好没事，他又爬了 8 级，这时他距离梯子最高层还有 1 级，则这个梯子共有 级． 23 12 ．一条直线的流水线上，依次有 5 个卡通人，它们站立的位置在数轴上依次用点 M 1 、 M 2 、 M 3 、 M 4 、 M 5 表示，如图 1-2-11. (1) 点 M 4 和 M 2 所表示的有理数是什么？ (2) 点 M 3 和 M 5 两点间的距离为多少？ 解： (1)M 4 表示 2 ， M 2 表示 -3. (2) 相距 7 个单位长度 . (3) 怎样将点 M 3 移动，使它先到达 M 2 ，再到达 M 5 ，请用文字说明； (4) 若原点是一休息游乐所，那 5 个卡通人到游乐所休息的总路程为多少？ (3) 先向左移动 1 个单位长度，再向右移动 8 个单位长度 . (4)17 个单位长度． 1.2.3 相反数 ★ 相反数的概念 (1) 相反数的代数定义：只有 不同的两个数叫做互为相反数． (2) 相反数的几何定义：在数轴上，原点两旁 , 离原点距离 的两个点所表示的数叫做互为相反数． 符号 相等 注： (1) 互为相反数的两个数一定是成对出现的，它指的是两个数之间的关系； (2) 互为相反数的两个数只有符号不同，而数字部分是一致的； (3) 在数轴上，互为相反数 (0 除外 ) 的两个数一定位于原点的两侧 . ★ 相反数的表示：一般地 , 数 a 的相反数是 -a ．这里 a 表示任意一个数，可以是正数、 0 、负数 . ★ 相反数的求法 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“ -” 号即可． 例 1 求下列各数的相反数 . 解： (1)-3 的相反数是 3 ； (2)101 的相反数是 -101 ； (4)4.5 的相反数是 -4.5 ； (6)0 的相反数是 0 ； (7)-a 的相反数是 a ； (8)b+1 的相反数是 -(b+1). 点评：求一个数的相反数，即在这个数前加上一个负号或去掉负号 . 注意， b+1 的相反数为 -(b+1), 不能写为 -b+1. A 2 ．下列语句：① -6 是相反数；② -5 与 +3 互为相反数；③ -8 是 8 的相反数；④ -3 和 +3 互为相反数； ⑤ 0 的相反数是 0. 其中正确的是 ( ) A ．①② B ．②③⑤ C ．①④⑤ D ．③④⑤ D C ①② 例 2 化简下列各数： (1)-(-10); (2)+(-0.45); (3)+(+3); (4)-[+(-3)]; (5)-[-(-5)] ； (6)-{-[-(+2)]} ． 解： (1)10; (2)-0 ． 45; (3)3; (4)3; (5)-5; (6)-2 ． 点评：运用多重符号化简的规律解决这类问题较简单，即数一下数字前面有多少个负号．若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负． 5 ．下列各对数中，互为相反数的是 ( ) A ． +(-3) 与 -3 B ． -(+3) 与 -3 C ． +3 与 -(-3) D ． -(-3) 与 -3 D 6 ．化简下列各数： (1)+(-0.5)= ； (2)-(+10)= ； (3)+(+8)= ； (4)-(-20)= ； (5)-[+(+3)]= ； -0.5 -10 8 20 -3 1 ． (2017 绵阳 ) 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期， -0.5 的相反数是 ( ) A ． 0.5 B ． ±0.5 C ． -0.5 D ． 5 A B 3 ．如图 1-2-12 ，数轴上有 A 、 B 、 C 、 D 四个点，其中表示互为相反数的点是 ( ) A ．点 A 与点 D B ．点 A 与点 C C ．点 B 与点 D D ．点 B 与点 C A 4 ．下列说法中正确的是 ( ) A ．一个数的相反数一定是负数 B ．符号不同的两个数一定是相反数 C ．相反数等于它本身的数只有 0 D ． 的相反数是 3 C 5 ． 的相反数是 ； -(-8) 是 的相反数； -(+3) 与 互为相反数． 6 ． (1) 若 x 与 -2 互为相反数，则 x= ； (2) 若 x+1 是 -3 的相反数，则 x= ; (3) 一个数的相反数是最大的负整数，这个数是 ． -8 3 2 2 1 7 ．化简下列各数，并写出它们的相反数． 7.2 -7.2 84 -84 -62 62 3 -3 -a a 8 ．已知 a 是 -[-(-5)] 的相反数， b 比最小的正整数大 3 ， c 是最大的负整数的相反数，求 3a+2b+c 的值． 解：∵ a 是 -[-(-5)] 的相反数，∴ a=5 ． ∵ b 比最小的正整数大 3 ，∴ b=1+3=4 ． ∵ c 是最大的负整数的相反数，∴ c=1 ． ∴ 3a+2b+c=3×5+2×4+1=15+8+1=24 ． 9 ．如果 a=-a ，那么表示 a 的点在数轴上的位置是 ( ) A ．原点左侧 B ．原点右侧 C ．原点 D ．原点或原点右侧 10 ．数轴上点 A 表示 +4 ， B 、 C 两点所表示的数互为相反数，且 C 到 A 的距离为 2 ，则点 B 对应的数为 和点 C 对应的数为 . C -2 或 -6 2 或 6 11 ．已知 -2 的相反数是 x ， -5 的相反数是 y ， z 的相反数是 0 ，求 x+y+z 的相反数 . 12 ． A 、 B 两点在数轴上的位置如图 1-2-13 ． (1) 若将点 A 先向右移 4 个单位长度得到点 A′ ，再写出 A′ 点关于原点的对称点 A″ 所表示的数； 解： (1)-7. (2) 若将点 B 先向左移 2 个单位长度得到点 B′ ，再写出 B′ 点关于原点的对称点 B″ 所表示的数； (3) 若同时移动 A 、 B 两点，使 A 、 B 两点所表示的数互为相反数，移动的方式有多少种？ (2)6. (3) 无数种． 1.2.4 绝对值 ( 第一课时 ) ★ 绝对值的概念 数轴上表示数 a 的点到 的距离叫做数 a 的绝对值． ★绝对值的性质 一个正数的绝对值是 ；一个负数的绝对值是 ； 0 的绝对值是 ． 原点 它本身 它的相反数 0 (1) 如果 a>0 ，那么 |a|= ; (2) 如果 a=0 ，那么 |a|= ； (3) 如果 a<0 ，那么 |a|= . 由此可知：若 |a|=a ，则 a ； 若 |a|=-a ，则 a ． a 0 -a ≥0 ≤0 例 1 求下列各数的绝对值： 点评：求一个数的绝对值关键在于判断要求绝对值的数是正数、负数还是 0, 再根据绝对值的性质，求出准确答案 . A 0 2.5 6.3 3 8 3 ． (1) 数轴上的点 A 到原点的距离是 6 ，则点 A 表示的数为 ； (2) 数轴上与表示 2 的点相距 3 个单位长度的点所表示的数是 ; (3) 绝对值小于 4 的非负整数是 ． 6 或 -6 -1 或 5 0,1,2,3 例 2 已知 |x+2|+|y-3|=0 ，求 x 、 y 的值． 分析：由两数和等于 0 ，两数互为相反数，而互为相反数的两个数，或者为一个正数、一个负数，或者两个都是 0 ，这里 |x+2| 和 |y-3| 都是非负数，所以它们均应等于 0 ． 解：几个非负数的和为 0 ，则这几个数都等于 0 ， 故 |x+2|=0,|y-3|=0, ∴x+2=0,y-3=0, ∴x=-2,y=3. 4 ． (1) 若 a=|-4|, 则 a= ; (2) 若 |a|=|-4| ，则 a= ; (3) 若 |m-2|=0 ，则 |m+1|= . 4 ±4 3 5 ． (1) 若 |m|+|n|=0, 则 m= ,n= ; (2) 若 |m-1|+|n+2|=0, 则 m= ,n= ; (3) 若 |m+2|+|n-3|+|f-4|=0, 则 |m|+n+f= ． 6 ．当 x= 时，式子 3+|x-4| 有最小值是 ． 0 0 1 -2 9 4 3 B B 3 ．检测 4 个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，下列图中最接近标准的是 ( ) C 7.5 5 -7 8 π-3 ． 14 6 ． (1) 若 |x|=|+3|, 则 x= ； (2) 若 |x-5|=0, 则 x= ； (3) 若 a ＜ 0 ，且 |a|= , 则 a= ． ±3 5 7 ． (1) 数轴上有一点到原点的距离是 5 ，那么这 个点表示的数是 ； (2) 数轴上与表示 3 的点相距 2 个单位长度的点所表示的数是 ; (3) 绝对值不大于 4 的非负整数是 . 1 或 5 0,1,2,3,4 8 ．计算： (1)|-12|+|-5| ； (2)|-1.25|×|-8|; (3)|-10|-|+15|; (4)|-3|×|-2|-|+6|. 解：原式 =17 ； 解：原式 =10 ； 解：原式 =-5 ； 解：原式 =0. 9 ．下列说法正确的是 ( ) A ．若 a ＞ 0 ，则 |a|=a, 反之，若 |a|=a ，则 a ＞ 0 B ．若 |a|=-a ，则 a 必为负数 C ．绝对值不大于 3 的整数有 6 个，分别是 ±1, ±2,±3 D ．任意有理数的绝对值都是非负数 D 10 ．如图 1-2-14 ，数轴上的 A 、 B 、 C 三点所表示的数分别是 a 、 b 、 c ，其中 AB=BC ，如果 |a| ＞ |b| ＞ |c| ，那么该数轴的原点的位置应该在 ( ) A ．点 A 的左边 B ．点 A 与点 B 之间 C ．点 B 与点 C 之间 D ．点 B 与点 C 之间或点 C 的右边 D 【 提示 】∵|a| ＞ |b| ＞ |c| ，∴点 A 到原点的距离最大，点 B 其次，点 C 最小．又∵ AB=BC ，∴原点的位置是在点 C 的右边，或者在点 B 与点 C 之间，且靠近点 C 的地方． 11 ．若 a 为最小的自然数 ,b 为最大负整数的相反数 ,c 是绝对值最小的有理数 , 则 a+b+c= ． 1 12 ．已知 |3x-2|+|y-2|=0 ，求 |6x-y| 的值． 解：∵ |3x-2|≥0 ， |y-2|≥0 ， 且 |3x-2|+|y-2|=0, ∴|3x-2|=0,|y-2|=0, ∴3x-2=0,y-2=0, 1.2.4 绝对值 ( 第二课时 ) ★ 有理数的大小比较 (1) 在数轴上，右边的数总比左边的数 ； (2) 正数 0 ，负数 0 ，正数 负数； (3) 两个负数，绝对值大的反而 ． 大 大于 小于 大于 小 例 1 比较大小： 点评：两个异分母的分数相比较时，一般先化为同分母的分数；两个负数，一个为分数，另一个为小数时，既可统一成分数，也可统一成小数． D B -1 例 2 若 m ＞ 0,n ＜ 0 ，且 |m| ＞ |n|, 用“＞”号把 m,-m,n,-n 连接起来． 分析：由题意， m ＞ 0 ， n ＜ 0 ，可得 m 为正数， n 为负数，则 -m 为负数， -n 为正数．又∵ |m| ＞ |n| ，可得 m ＞ -n ．根据两个负数，绝对值大的反而小，有 n ＞ -m ．∴ m ＞ -n ＞ n ＞ -m ．此题也可先把表示 m,n,-m,-n 的点根据条件大致表示在数轴上，再比较大小． 解：∵ m ＞ 0,n ＜ 0 ，且 |m| ＞ |n| ， 把 m ， n ， -m ， -n 表示在数轴上，如图 1-2-15 ． ∵数轴上的数右边的总比左边的数大， ∴ m ＞ -n ＞ n ＞ -m ． 点评：挖掘题中所给的每一个信息，逐层深入，准确掌握知识点，巧妙运用解题方法． 5 ．如图 1-2-16 ，数轴上的 0 是原点， A 、 B 、 C 三点所表示的数分别为 a 、 b 、 c. 根据图中各点的位置，下列各数的绝对值的比较正确的是 ( ) A ． |b|<|c| B ． |b|>|c| C ． |a|<|b| D ． |a| ＞ |c| A 6 ． (1) 大于 -2 且小于 3 的整数是 ; (2) 绝对值大于 6 且小于 9 的所有整数有 ． -1 ， 0 ， 1 ， 2 ±7,±8 1 ． (2017 咸宁 ) 下表是我市四个景区今年 2 月份某天 6 时的气温，其中气温最低的景区是 ( ) A ．潜山公园 B ．陆水湖 C ．隐水洞 D ．三湖连江 C 2 ． (2017 内江 ) 下面四个数中比 -5 小的数是 ( ) A ． 1 B ． 0 C ． -4 D ． -6 3 ．下列式子中成立的是 ( ) A ． -|-5| ＞ 4 B ． -3 ＜ |-3| C ． -|-4|=4 D ． |-5 ． 5| ＜ 5 D B 4 ．在 -3.14 ， 0 ， ， -|-2017| ， -(-1) 中，最小的数是 ( ) A ． -3.14 B ． 0 C ． -(-1) D ． -|-2017| 5 ．用不等号“ >” 或“ <” 填空： (1)- - ; (2) 0 -|-0 ． 1|; (3)-2 ． 1 -|-2 ． 2|; (4)-|1+1 ． 15| |-1 ． 14| ． D ＞ ＞ ＞ ＜ 6 ． (1) 绝对值小于 3 的所有整数是 ； (2) 绝对值大于 且不大于 5 的整数是 ． 0 ， ±1 ， ±2 ±3,±4,±5 7 ． (1) 请你在图 1-2-17 的数轴上表示下列有理数 : - ， |-2.5| ， 0 ， -|+4| ， -(-4) ； (2) 将上列各数用“ <” 号连接起来 . 解： (1) 化简，得 |-2.5|=2.5,-|+4|=-4,-(-4)=4 ，如图 ; (2) 结合数轴，得 -|+4|<- <0<|-2.5|<-(-4). 8 ．某工厂生产一批螺帽，根据产品质量要求，螺帽的内径可以有 0.02mm 的误差，抽查 5 只螺帽，超过规定内径的毫米数记作正数，不足的记为负数，检查结果如下表： (1) 指出哪些产品是合乎要求的？ (2) 指出合乎要求的产品中哪个质量好一些？ 解： (1)2,5 是合乎要求的 . (2)5 的质量好一些 , 它与标准相差最小 , 最接近于规定内径． 9 ．如图 1-2-18 ，若点 A 是有理数 a 在数轴上对应的点，则关于 a ， -a ， 1 的大小关系表示正确的是 ( ) A.a ＜ 1 ＜－ a B.a ＜－ a ＜ 1 C.1 ＜－ a ＜ a D. － a ＜ a ＜ 1 A 10 ．若有理数 a 、 b 在数轴上对应的点的位置如图 1-2-19 所示，则下列关系正确的是 ( ) A ． |a| ＞ -b B ． |b| ＞ -a C ． a ＞ b D ． |b| ＞ |a| A 11 ．已知 |a|=20,|b|=9, 且 a ＜ b, 求 a 、 b 的值． 解：∵ |a|=20, ∴a=±20. ∵|b|=9, ∴b=±9. ∵a ＜ b, 且 -20 ＜ 9,-20 ＜ -9 ， ∴ a 的值为 -20 ， b 的值为 9 或 -9. 12 ．若 |a|=-a,|b|=b,|c|=-c,|d|=-d,a 、 b 、 c 、 d 都不为零，并且 |a|>|b|>|c|>|d|, 请把 a 、 b 、 c 、 d 四个数从小到大用“ <” 号连接 . 解：由 |a|=-a,|b|=b,|c|=-c,|d|=-d,a 、 b 、 c 、 d 不为零，可得 a<0,b>0,c<0,d<0. 又∵ |a|>|c|>|d|, 则 a