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- 2021-10-26 发布
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盈亏问题
盈亏问题的特点
盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况。
还有些实际问题,是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时,如果每人少分,则物品就有余
(
也就是盈
)
,如果每人多分,则物品就不足
(
也就是亏
)
,凡研究这一类算法的应用题叫做
“
盈亏问题
”
。
小明和几位同学合买一本书,如果每人出
5
元则还少
2
元;如果每人出
4
元则少
5
元,那么有几位小朋友买书?
分析:
人不变,书的价钱也没变。
应该选取哪一个线段图?
成功属于每天都努力学习的人!
《
比和比的应用
》
洗衣厂今年计划生产洗衣机
25500
台
,
其中
Ⅰ
型
,
Ⅱ
型
,
Ⅲ
型三种洗衣机的数量之比为
1:2:14,
这三种洗衣机计划各生产多少台
?
则
Ⅰ
型
x
台,
2x
14
x
答:
Ⅰ
型
1500
台
,Ⅱ
型
3000
台
,Ⅲ
型
21000
台。
x =
1500
Ⅱ
型 台;
Ⅲ
型 台,
由题意得:
解:设一份为
x
台
,
一元一次方程应用
----
数字问题
一个两位数,个位上的数是十位上的数的
2
倍,如果把十位与个位上的数对调,那么所得的两位数比原两位数大
36
,求:原来的两位数是多少?
分析:
设十位上的数字
X
,则个位上的数是
2x
十 位
个 位
表 示
原 数
新 数
x
2
x
2
x
x
10
×
2
x
+
x
10
x
+2
x
第三章
一元一次方程
3.4
实际问题与一元一次方程
义务教育教科书 数学 七年级 上册
配套问题
(
调
diao
配
)
3
×4
=
2×6
等号两边的分子和分母分别交叉相乘
,
积相等。
如果把比例
3:6=2:4
写成分数形式,该怎么乘?
3
6
2
4
=
某服装加工车间有
54
人,每人每天可加工上衣
8
件或裤子
10
条,
应怎样分配加工上衣和加工裤子的人数,
才能是每天加工的上衣和裤子配套
?
配套就是
上衣的总数:裤子的总数
=1:1
8x
:
10(54-x)=1:1
有甲、乙两个牧童,
乙对甲说
:“最好还是把你的羊给我一
只,我们的羊数就一样了.”
甲对乙说
:“把你的羊给我一只,我的
羊数就是你的羊数的2倍.”
问:
甲乙
两个牧童各有多少只羊?
乙对甲说
:
“
最好还是把你的羊给我一只,
我们的羊数就一样了.
”
所以:设甲有
x
只羊,
则乙有(
x-2
)只羊
,
分析:假设甲有
6
只羊,给乙一只,剩下
5
只
由题意得:乙现在有
5
只,这
5
只是甲
给他一只羊之后的数量,乙原来有几只羊?
乙原来有
4
只羊,
4
和
6
相差多少?
这类问题
:
要搞清羊的数量变化
分析:设甲有
x
只羊,
则乙有(
x-2
)只羊
,
甲对乙说
:
“
把你的羊给我一只,
我的羊数就是你的羊数的2倍.
名 称
原 来
现 在
(X+1)
x
(x-2)
(x-2-1)
甲
乙
解:设甲有
x
只羊,则乙有(
x-2
)只羊
由题意得
:
(X+1)
:(x-2-1)=2:1
x =7
乙有
: x-2=7-2=5
答:甲有
7
只羊,则乙有
5
只羊。
人教版数学七年级上册
行程问题
归 纳:
在列一元一次方程解行程问题时
,
我们常画出线段图,来分析数量关系。
用线段图来分析数量关系,能够帮助我们更好的理解题意,找到适合题意的等量关系式,设出适合的未知数
,
列出方程。
正确地作出线段图,分析数量关系,能使我们分析问题和解问题的能力得到提高。
在行程问题中,我们常常研究这样的三个量:
分别是:
_________,________,_________.
路程
速度
时间
其中,路程=
______×______
速度
时间
速度=
______÷______
路程
时间
时间=
______÷______
路程
速度
在行程问题中,最常见的有相遇问题与追及问题。
知识回顾:
一列火车匀速行驶
,
隧道的顶上有一盏灯,垂直向下发光,灯光照在火车上的时间是
10
秒,
经过一条长
300
米的隧道需要
20
秒的时间,则火车的长度是多少米?
路 程
时 间
速 度
灯光照在火车上
10
秒
第一种情况:
车身长度
x
米
隧道长度:
300m
通过隧道的路程:
(
x
+300
)
m
火车完全通过隧道是指:从车头进入隧道至车尾离开隧道。
路 程
时 间
速 度
火车过隧道
20
秒
(
x
+300
)米
第二种情况:
x
= 300
答:火车的长度是
300
米。
解:设火车的长度是
x
米
由题意得:
相遇问题
:
(相向而行)
甲的路程
乙的路程
同时出发(两条段段)
不同时出发 (三条线段 )
慢车先行路程
快车路程
慢车后行路程
相遇
相遇
西安站和武汉站相距
1500km
,一列慢车从西安开出,速度为
65km/h
,一列快车从武汉开出,速度为
85km/h
,两车同时相向而行,几小时相遇?
西安
(
慢车
)
(快车)武汉
慢车路程
快车路程
慢车路程+快车路程=总路程
西安
武汉
相遇问题:同时出发(两条段段)
相遇
西安站和武汉站相距
1500km
,一列慢车从西安开出,速度为
68km/h
,一列快车从武汉开出,速度为
85km/h
,若两车相向而行,慢车先开
0.5
小时,快车行使几小时后两车相遇?
西安
(
慢车
)
(快车)武汉
慢车先行路程
快车路程
(慢车先行路程+慢车后行路程)+快车路程=总路程
慢车后行路程
西安
武汉
相遇问题:不同时出发 (三条线段 )
相遇
追及问题的等量关系:
同时不同地出发:
被追者的路程
+
两者互相间隔的路程
=
追赶者的路程
同地不同时出发:
被追者走的路程
=
追赶者走的路程
甲
追上
乙
追赶者走的路程
追上
被追者先走的路程
被追者后走的路程
被追者的路程
追赶者的路程
间隔的路程
两匹马赛跑,黄色马的速度是
6m/s
,棕色马的速度是
7m/s
,如果让黄马先跑
5m
,棕色马再开始跑,几秒后可以追上黄色马?
追 及 问 题
5
米
相隔距离
黄色马路程
棕色马路程
追 击
黄马
棕马
棕色马路程
=
黄色马路程
+相隔距离
相隔距离
棕色马路程
追 击
黄色马路程
=
+
黄马
棕马
环形跑道问题
环形跑道问题
——
追及问题
甲乙在同一地点出发,同向而行(甲快,乙慢),
当开始出发时,甲因为速度快,一开始就跑到了乙的前面
。由图可知:甲追上乙时,肯定比乙多跑了一圈。
甲总路程
-
乙总路程
=
跑道周长
(第一次甲追上乙)
甲
乙
分析:
环形跑道问题
——
相遇问题
分析:
甲
乙
甲乙在同一地点出发,背向而行(甲快,乙慢),当甲与乙第一次相遇时,甲乙共同跑了一圈。由相遇问题,我们有:
甲总路程
+
乙总路程
=
跑道周长
小王、叔叔在
400
米长的环形跑道上练习跑步,小王每秒跑
5
米,叔叔每秒跑
7.5
米。
(
1
)若两人同时同地
反向
出发,
多长时间两人首次相遇?
叔叔
小王
小王的路程
+
叔叔的路程
= 400
分 析:
小王、叔叔在
400
米长的环形跑道上练习跑步,小王每秒跑
4
米,叔叔每秒跑
7.5
米。
(
2
)若两人同时同地
同向
出发,
多长时间两人首次相遇?
分 析:
叔叔
小王
环形跑道问题
叔叔的路程
-
小王的路程
= 400
运动场的一圈长
400
米,甲练习骑自行车,平均每分钟
250
米,乙练习跑步,平均每分钟
350
米,两人从同一处反向出发,经过多少时间首次相遇?
.
甲
乙
出发点
相遇点
甲走的路程
乙走的路程
+
=
运动场的一圈长
400
米
七年级数学第三章
一元一次方程应用题
工 程 问 题
合作的工作效率
=
各队的工作效率之和
工作总量的和
=
各队工作量之和
工作总量,如果没有给出来具体的数字,往往看成是单位“
1”
。
工作
总量 =工作效率 ×工作时间
×
工作人数
工程问题基本公式
工程问题等量关系
有一些相同的房间需要粉刷墙面.
一天
3
名一级技工粉刷
8
个房间,结果其中 有
50m
2
墙面,没有来得及刷;
同样时间内,
5
名二级技工粉刷了
10
个房间 之外,还多刷了另外的
40m
2
墙面.
每名一级技工比二级技工多粉刷
10m
2
墙面
,求每个房间需要粉刷的墙面面积.
名 称
一级技工
二级技工
工作总量
工作效率
工作时间
工作人数
工作
总量 =工作效率 ×工作时间
×
工作人数
工程问题基本公式
1
1
5
3
8
x
-50
10
x+
40
实际问题与一元一次方程
打折销售问题
★
进价(成本价):
指商家批发进货时,所需要的付出的金额;
★
售价:
指商品成交时的实际价格;
★
利润:
指商品售价与进价之间的差,老板赚
zhuan
的钱
;
知识储备
1
、一件商品的标价为
50
元,现以八折销售,售价为
元,如果进价为
25
元,则它的利润为
元
,
利润率为
_______
。
★
标价(原价):
出售商品时,标签上所标明的价格;
★
利润率:
指利润与
进价
的比
,
用百分数表示。
注意:
利润率总是,相对于进价而言。
40
15
60%
标价
售价
进价
利润
利润率
标价
指的是商家所标出的每件物品的原价。
它与售价不同,它还可以叫做原价。
商品打折
打折指的是原价乘以十分之几或百分之几十,则称将标价打了几折。
标价的六折指在买货中,将标价打了六折,即标价的百分之六十。
x
折:
=
商品售价
—
商品进价
商品
利润
利润率
=
进价
利润
×100%
商品售价=
标价
×
折扣数
10
商品进价
商品售价
=
×(1+
利润率
)
熟 记
:
公 式
某商店在某一时间以每件
60
元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利
25%
,另一件亏损
25%
,卖这两件衣服总的是盈利还是亏损,或是不盈不亏?
售价
利润率
总利润是正还是负
¥
60
¥
60
如何判断是盈是亏?
(售价之和)
-
(进价之和)为正
—
盈利
(售价之和)
-
(进价之和)为负
—
亏损
想一想:
x
25%
售价
进 价
利润率
盈利的衣服
亏损的衣服
y
-
25%
某服装店在某一时间以每件
60
元的价格卖出两件服装,其中一件盈利
25%
,另一件亏损
25%
,卖这两件衣服总的是盈利还是亏损,或是不盈不亏?
商品进价
商品售价
=
×(1+
利润率
)
x
25%
售价
进 价
利润率
盈利的衣服
亏损的衣服
y
-
25%
由题意得:
解
:
设其中盈利
25%
那
件衣服进价为
x
元
.
解这个方程得
x
= 48
由题意得:
设其中亏损
25%
那
解这个方程得
y
= 80
件衣服进价为
y
元
.
60
60
两件衣服的进价是
x
+
y
=_____
元,
而两件衣服的售价是
_____
元,
由此可知:
卖这两件衣服总的盈亏情况是
_________.
128
亏损
8
元
120
利润
=
售价
-
进价
讲解
商店对某种商品作调价,按原价的
8
折出售,此时商品的利润率是
10%
,此商品的进价为
1600
元。问商品的原价是多少?
条件
按原价的
8
折出售
按
8
折出售时的利润率是
10%
商品的进价为
1600
元
——
原价的
80%
为售价
——
利润率
——
进价
问题
商品原价是多少?
根据题意找出等量关系:
已知为:
10%
已知:
1600
元
商品的利润率
商品售价
商品进价
=
商品进价
–
商品原价
×
80%
已知:
1600
元
如果设商品原价为
x
元,由题意得:
10%
解:设此商品的原价为
x
元,由题意得
x
· 80%
-
1600
1600
=
10%
去分母
x
· 80%
-
1600
=
10%×
1600
移项
x
·80%
=
10%
×
1600
+
1600
合并同类项
x
·80%
=
1760
系数化为
1
x
=2200
答:此商品的原价为
2200
元。
鸿宝商场进行促销活动,出售一种优惠购物卡(注:此卡只作为购物优惠凭证不能顶替货款),花
300
元买这种卡后,凭卡可在这家商场按标价的
8
折购物. 问:顾客购买多少元金额的商品时,
买卡与不买卡花钱相等?
在什么情况下购物合算?
解:
设顾客购买
x
元的商品时,
买卡与不买卡花钱相等.
由题意得:
300+0.8
x
=
x
,
x
= 1500
结论:
当顾客消费少于
1500
元时
不买卡合算;
当顾客消费等于
1500
元时
买卡与不买卡花钱相等;
当顾客消费大于
1500
元时
买卡合算;
七年级数学
(
人教版
)
上册
3.4
实际问题与一元一次方程
——
球赛积分表问题
体育比赛中
,
每两个队之间进行一场比赛的赛制叫单循环比赛。
体育小知识
每两个队之间进行两场比赛的赛制叫双循环比赛
.
每队的胜场数+负场数= 这个队比赛场次
;
每队胜场总积分+负场总积分=这个队的积分
;
一份试卷共
25
题
,
每道题都给出四个答案
,
其中只有一个是正确的
,
要求学生把正确答案选出来
,
每题选对得
4
分
,
不选或选错扣
1
分。
①
如果一个学生得
90
分
,
那么他选对几道题
?
②
有得
83
分的同学吗
?
名 称
选 对
不选或选错
数 量
得 分
-1×
(
25-
x
)
(25-
x
)
x
4
x
解:设他选对了
x
道题,由题意得:
4
x
-(25-
x
) = 90
x
= 23
若
4
x
-(25-
x
)= 83
x
=21.6
∵
题目选对的数量
x
是整数
∴
x
=21.6
不符合题意
答:如果一个学生得
90
分
,
那么他选对
23
道题,没有得
83
分的同学
.
周末小明去科技馆参观,
坐出租车
,
共花车费
28
元
.
出租车的计费标准如下:行程不超过
4
千米,
收起步价
10
元,
超出
4
千米部分每千米加收
1.2
元.
问:他们坐出租车的路程有几千米?
解:设他们坐出租车的路程为
x
千米,由题意得:
10+1.2(x-4)=28
X=19
答:他们坐出租车的路程为
19
千米。
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