数学冀教版七年级上册教案5-4一元一次方程的应用 4页

- 1 - 5.4 一元一次方程的应用 教学目标 【知识与能力】 1、了解一元一次方程在解决实际问题中的应用、体会运用方程解决问题的关键是抓住等量 关系，建立数学模型. 2、学会通过分析图形问题中的基本等量关系，并由此关系列方程解相关的应用题.。 【过程与方法】 通过列方程解决实际问题，体会转化思想和数学建模思想. 【情感态度价值观】 1.感受数学与生活的联系,认识数学来源于生活,又服务于生活. 2.激发学生浓厚的学习兴趣,使学生有独立思考,勇于创新的精神,养成按客观规律办事的良 好习惯. 教学重难点 【教学重点】 (1)寻找图形问题中的等量关系，建立方程； (2)根据具体问题列出的方程，掌握其简单的解方程的方法. 【教学难点】 寻找图形问题中的等量关系，建立数学模型，建立一元一次方程，使实际问题数学化. 课前准备 无 教学过程 一、创新情境，引入新课 教师：怎样解答本章“情景导航”中的问题？与同学交流 教师：根据题意，请思考下列问题： (1)题目中哪些是已知量？哪些是未知量？ …… (3)题目中的等量关系是什么？ …… 二、合作探究，展示交流 根据题意列出方程： x＋2x＋4x＋8x＋16x＋32x＋64x＝381. 我们可以把这个方程看做“宝塔问题”的一个“数学模型”. 教师：很好，我这儿有一个问题：某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱、 现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m减少为 3.2m，那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4m增高为多少米？你能帮他吗？ 学生：用一元一次方程来解、这个问题的等量关系：旧水箱的体积=新水箱的体积. 教师：同学们分析得很好，列方程时，关键是找出问题中的等量关系.下面我们如果设新水 箱的高为xm，通过填写下表来看一下旧水箱的体积和新水箱的体积. - 2 - 旧水箱 新水箱 底面半径/m 2 1、6 高/m 4 x 体积/m3 π×22×4 π×1、62×x (学生计算填表，让一位同学说出自己的结果) 学生：旧水箱的圆柱的底面半径为4÷2=2m，高为4米，所以旧水箱的圆柱的体积为π×22×4m3； 新水箱的圆柱的底面半径为3.2÷2=1.6m，高设为xm，所以新水箱的体积为π×1.62×x.由 等量关系我们便可得到方程：π×22×4=π×1.62×x. 教师：列出方程我们只是走完“万里长征”重要的第一步，如何解这个方程呢？ 学生：将π换成3.14，算出x的系数π×22，然后将系数化为1就解出了方程. 学生：我认为应先观察方程的特点，左右两边都含有π，可用等式的第二个性质，方程两边 同时除以π，可使方程变得简单. 教师：这位同学的想法很好、下面我们共同把这个题的过程写一下. 解：设新水箱圆柱的高为x厘米， 根据题意，列出方程π×22×4=π×1.62×x， 解得x= 25 4 . 答：高变成了 25 4 米. 教师：通过本题的解答过程，你能总结一下列一元一次方程解决实际问题的步骤吗？ (学生认真思考后，小组内交流、教师适时引导共同归纳出列一元一次方程解决实际问题的 步骤：理解题意、寻找等量关系、设未知数列方程、解方程、作答.) 设计意图：设置丰富的问题情境，使学生经历模型化的过程，激发学生的好奇心和主动学习 的欲望. 探究：周长相等问题 教师：用你手中的铁丝围成一个四边形，在所有的四边形中他们的周长有什么特点？ 学生：不变，都相等. 教师：所围成的四边形的面积变化吗？动手操作试一试. (学生动手操作，操作完成后让学生汇报结果) 学生：面积发生变化. 教师：下面以小组为单位，借助你手中的铁丝，依据上一题的解题经验，小组内分工合作完 成下面问题. 例：用一根长为10米的铁丝围成一个长方形. (1)使得该长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长、宽各为多少米？ (2)使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽各为多少米？它围成的长方形与(1) 中所围成的长方形相比，面积有什么变化？ (3)使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所围 成的面积与(2)中相比又有什么变化？ 教学建议：小组讨论解题过程中，教师巡视课堂，指导、参与学生的讨论制作，帮助有学习 有难的个人或小组.在讨论解答完成后，让小组选代表阐述解题的步骤、思路并展示自己小 组所做的长方形(或正方形)，指导学生反思各组的解答过程并讨论：解决这道题的关键是什 么？从解这道题中你有何收获和体验、通过猜测、验证说明三个长方形面积变化的规律，教 师及时引导学生给予评价，表扬鼓励，同时用多媒体展示解题步骤，进一步规范学生的解题 格式. 解：(1)设此时长方形的宽为xm，则它的长为(x+1.4)m， 根据题意，得x+(x+1.4)=10× 1 2 ， 解这个方程，得x=1.8， x+1.4=1.8+1.4=3.2， 此时长方形的长为3.2m，宽为1.8m. - 3 - (2)此时长方形的宽为xm，则它的长为(x+0.8)m， 根据题意，得x+(x+0.8)=10× 1 2 、解这个方程，得x=2.1， x+0.8=2.1+0.8=2.9， 此时长方形的长为2.9m，宽为2.1m，面积为2.1×2.9=6.09m2，(1)中长方形的面积为3、 2×1.8=5.76m2，此时长方形的面积比(1)中长方形面积增大6.09－5.76=0.33m2. (3)设正方形的边长为xm， 根据题意，得4x=10× 1 2 ，解这个方程，得x=2.5， 正方形的边长为2.5m， 正方形的面积为2.5×2.5=6.25m2，比(2)中面积增大6.25－6.09=0.16m2. 教师：我们解答这个题的关键是我们在改变长方形的长和宽的同时，长方形的周长不变，始 终是铁丝的长度10米，由此便可建立“等量关系”，但是我们可以发现，虽然长方形的周长 不变，改变长方形的长和宽，长方形的面积却在发生变化，而且围成正方形的时候面积达到 最大. 设计意图：通过例题让学生再次感受找到题目中的等量关系是列方程解应用题的关键，让学 生经历知识的探索、发现、掌握、应用的过程、使学生体验“数学化”过程，使学生在实际 动手计算、制作中体验合作的愉快及成功的喜悦，进一步理性地感受上一个环节中得出的结 论，培养学生数学思考的严谨性，判断推理的科学性，语言表述的准确性. 三、训练反馈，应用提升 1、问答题 (1)小明家离学校有1000米，他骑车的速度是25米/分，那么小明从家到学校需___小时. (2)甲、乙两地相距1600千米，一列火车从甲地出发去乙地，经过16小时，距离乙地还有240 千米.这列火车每小时行驶多少千米？ 2、抢答题 (1)用一元一次方程解决问题的基本步骤：____________. (2)行程问题主要研究、三个量的关系. 路程=_____，速度=_____，时间=_____. (3)若小明每秒跑4米，那么他10秒跑___米. 自主学习 例：小明早晨要在7：50以前赶到距家1000米的学校上学，一天，小明以80m/min的速度出发， 5min后，小明的爸爸发现他忘了带语文书，于是，爸爸立即以180m/min的速度去追小明，并 且在途中追上了他. (1)爸爸追上小明用了多长时间？ (2)追上小明时，距离学校还有多远？ 独立思考，完成上面的问题. 1、根据题目已知条件，画出线段图： 2、找出等量关系： 小明走过的路程＝爸爸走过的路程. 3、板书规范写出解题过程： 解：(1)设爸爸追上小明用了xmin. 根据题意，得80×5＋80x=180x 化简得100x=400. 解得，x=4. 因此，爸爸追上小明用了4min. (2)180×4=720(m) - 4 - 1000-720=280(m) 所以，追上小明时，距离学校还有280米. (学生独立完成，找到等量关系并列出方程，教师巡视学生并给予检查和指导.请书写规范的 学生到前面板演，并讲解其解题思路，其他同学对照黑板谈谈自己的不足之处.) 分析出发时间不同的追及问题，能画出线段图，进行图形语言、符号语言与文字语言之间的 相互转化，理解题中的等量关系，培养学生思维的灵活性，进一步列出方程，解决问题，既 能娴熟使用“线段图”又能利用方程的思想解决问题. 课堂小结 教师：通过本节课的学习，你有哪些收获？还有那些困惑？ 教学建议：先让学生畅所欲言，着重引导学生总结以下三个方面： 1、通过对“水箱变高了”的了解，我们知道“旧水箱的体积=新水箱的体积”，“变形前周长 等于变形后周长”是解决此类问题的关键，即变的是什么，不变的是什么. 2、遇到较为复杂的实际问题时，我们可以借助表格分析问题中的等量关系，借此列出方程， 并进行方程解的检验. 3、解出的数学问题要联系生活实际问题来检验它的结果的合理性. 4、会借“线段图”分析行程问题. 5、各种行程问题中的规律及等量关系. 同向追及问题： (1)同时不同地——甲路程＋路程差＝乙路程；甲时间＝乙时间. (2)同地不同时——甲时间＋时间差＝乙时间；甲路程＝乙路程. 6、能理解商品销售问题中的基本概念及相等关系，熟练地应用“利润=售价－成本价”“利 润率=利润÷成本价×100%”来寻找商品销售中的相等关系. 7、能联系以前研究过的问题，加深理解用一元一次方程解决实际问题的一般步骤.