2020年秋人教版七年级数学上册七年级上册 期末试卷（2） 23页

第 1页（共 23页） 2020 年秋人教版七年级数学上册期末试卷（2） 一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填在题后的括号内.） 1．（4 分）在π，﹣2，0.3，﹣ ，0.1010010001 这五个数中，有理数的个数有 （ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2．（4 分）下列说法中，正确的是（ ） A．绝对值等于它本身的数是正数 B．任何有理数的绝对值都不是负数 C．若线段 AC=BC，则点 C 是线段 AB 的中点 D．角的大小与角两边的长度有关，边越长角越大 3．（4 分）下列说法中，正确的是（ ） A．2 不是单项式 B．﹣ab2 的系数是﹣1，次数是 3 C．6πx3 的系数是 6 D．﹣ 的系数是﹣2 4．（4 分）把方程 3x+ 去分母正确的是（ ） A．18x+2（2x﹣1）=18﹣3（x+1） B．3x+（2x﹣1）=3﹣（x+1） C．18x+（2x﹣1）=18﹣（x+1）D．3x+2（2x﹣1）=3﹣3（x+1） 5．（4 分）把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分 3 本，则剩余 20 本；如 果每人分 4 本，则还缺 25 本，设这个班有学生 x 人，下列方程正确的是（ ） A．3x+20=4x﹣25 B．3x﹣25=4x+20 C．4x﹣3x=25﹣20 D．3x﹣20=4x+25 6．（4 分）过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图几何 体，其正确展开图正确的为（ ） A． B． C ． 第 2页（共 23页） D． 7．（4 分）下列结论： ①若关于 x 的方程 ax+b=0（a≠0）的解是 x=1，则 a+b=0； ②若 b=2a，则关于 x 的方程 ax+b=0（a≠0）的解为 x=﹣ ； ③若 a+b=1，且 a≠0，则 x=1 一定是方程 ax+b=1 的解． 其中正确的结论是（ ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 8．（4 分）按下面的程序计算， 当输入 x=100 时，输出结果为 501；当输入 x=20 时，输出结果为 506；如果开始 输入的值 x 为正数，最后输出的结果为 656，那么满足条件的 x 的值最多有（ ） A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个 9．（4 分）超市店庆促销，某种书包原价每个 x 元，第一次降价打“八折”，第二 次降价每个又减 10 元，经两次降价后售价为 90 元，则得到方程（ ） A．0.8x﹣10=90 B．0.08x﹣10=90 C．90﹣0.8x=10 D．x﹣0.8x﹣10=90 10．（4 分）如图 1，将一个边长为 a 的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个“ ” 的图案，如图 2 所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图 3 所示， 则新矩形的周长可表示为（ ） A．2a﹣3b B．4a﹣8b C．2a﹣4b D．4a﹣10b 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 第 3页（共 23页） 11．（5 分）2016 年春节期间，在网络上用“百度”搜索引擎搜索“开放二孩”，能 搜索到与之相关的结果个数约为 45100000，这个数用科学记数法表示为 ． 12．（5 分）为了倡导绿色出行，某市为市民提供了自行车租赁服务，其收费标 准如下： 地区类别 首小时内 首小时外 备注 A 类 1.5 元/15 分钟 2.75 元/15 分钟 不足 15 分钟时 按 15 分钟收费B 类 1.0 元/15 分钟 1.25 元/15 分钟 C 类 免费 0.75 元/15 分钟 如果小明某次租赁自行车 3 小时，缴费 14 元，请判断小明该次租赁自行车所在 地区的类别是 类（填“A、B、C”中的一个）． 13．（5 分）刘谦的魔术表演风靡全世界，很多同学非常感兴趣，也学起了魔术．小 华把任意有理数对（x，y）放进装有计算装置的魔术盒，会得到一个新的有理数 x+y2+1． 例如：把（﹣1，2）放入其中，就会得到﹣1+22+1=4．现将有理数对（3，﹣2） 放入其中，得到的有理数是 ．若将正整数对放入其中，得到的值是 6，则满 足条件的所有的正整数对（x，y）为 ． 14．（5 分）书店举行购书优惠活动： ①一次性购书不超过 100 元，不享受打折优惠； ②一次性购书超过 100 元但不超过 200 元一律打九折； ③一次性购书超过 200 元一律打七折． 小丽在这次活动中，两次购书总共付款 229.4 元，第二次购书原价是第一次购书 原价的 3 倍，那么小丽这两次购书原价的总和是 元． 三、解答题（本大题共两题，每题 8 分，共 16 分） 15．（8 分）﹣13﹣（1﹣0.5）× ×[2﹣（﹣3）2]． 16．（8 分）解方程： ． 四、（本大题共两题，每题 8 分，共 16 分） 17．（8 分）如图，点 C 是线段 AB 上，AC=10cm，CB=8cm，M，N 分别是 AC， 第 4页（共 23页） BC 的中点． （1）求线段 MN 的长． （2）若 C 为线段 AB 上任一点，满足 AC+CB=acm，其他条件不变，不用计算你 猜出 MN 的长度吗？ （3）若 C 在线段 AB 的延长线上，且满足 AC﹣BC=acm，M，N 仍分别为 AC，BC 的中点，你还能猜出线段 MN 的长度吗？ （4）由此题你发现了怎样的规律？ 18．（8 分）先化简，再求值：已知 x2﹣（2x2﹣4y）+2（x2﹣y），其中 x=﹣1，y= ． 五、（本大题共两题，每题 10 分，共 20 分） 19．（10 分）一次数学课上，老师要求学生根据图示张鑫与李亮的对话内容，展 开如下活动： 活动 1：仔细阅读对话内容 活动 2：根据对话内容，提出一些数学问题，并解答． 下面是学生提出的两个问题，请你列方程解答． （1）如果张鑫没有办卡，她需要付多少钱？ （2）你认为买多少元钱的书办卡就便宜？ 20．（10 分）一般情况下 不成立，但有些数可以使得它成立，例如： a=b=0．我们称使得 成立的一对数 a，b 为“相伴数对”，记为（a，b）． （1）若（1，b）是“相伴数对”，求 b 的值； （2）写出一个“相伴数对”（a，b），其中 a≠0，且 a≠1； 第 5页（共 23页） （3）若（m，n）是“相伴数对”，求代数式 m﹣ ﹣[4m﹣2（3n﹣1）]的值． 六、（本题 12 分） 21．（12 分）如图所示，是一列用若干根火柴棒摆成的由正方形组成的图案． （1）完成下表的填空： 正方形个数 1 2 3 4 5 6 n 火柴棒根数 4 7 10 13 （2）某同学用若干根火柴棒按如上图列的方式摆图案，摆完了第 1 个后，摆第 2 个，接着摆第 3 个，第 4 个，…，当他摆完第 n 个图案时剩下了 20 根火柴棒， 要刚好摆完第 n+1 个图案还差 2 根．问最后摆的图案是第几个图案？ 七、（本题 12 分） 22．（12 分）为弘扬中华优秀文化传统，某中学在 2014 年元旦前夕，由校团委 组织全校学生开展一次书法比赛，为了表彰在书法比赛中优秀学生，计划购买钢 笔 30 支，毛笔 20 支，共需 1070 元，其中每支毛笔比钢笔贵 6 元． （1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元？ （2）①后来校团委决定调整设奖方案，扩大表彰面，需要购买上面的两种笔共 60 支（每种笔的单价不变）．张老师做完预算后，向财务处王老师说：“我这次 买这两种笔需支领 1322 元．”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买这两 种笔，那么帐肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他用这 些钱只买这两种笔的帐算错了． ②张老师突然想起，所做的预算中还包括校长让他买的一支签字笔．如果签字笔 的单价为不大于 10 元的整数，请通过计算，直接写出签字笔的单价可能为 元． 八、（本题 14 分） 第 6页（共 23页） 23．（14 分）如图 1，O 为直线 AB 上一点，过点 O 作射线 OC，∠AOC=30°，将 一直角三角板（∠M=30°）的直角顶点放在点 O 处，一边 ON 在射线 OA 上，另 一边 OM 与 OC 都在直线 AB 的上方． （1）将图 1 中的三角板绕点 O 以每秒 3°的速度沿顺时针方向旋转一周．如图 2， 经过 t 秒后，OM 恰好平分∠BOC．①求 t 的值；②此时 ON 是否平分∠AOC？请 说明理由； （2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线 OC 也绕 O 点以每秒 6° 的速度沿顺时针方向旋转一周，如图 3，那么经过多长时间 OC 平分∠MON？请 说明理由； （3）在（2）问的基础上，经过多长时间 OC 平分∠MOB？请画图并说明理 由． 第 7页（共 23页） 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填在题后的括号内.） 1．（4 分）在π，﹣2，0.3，﹣ ，0.1010010001 这五个数中，有理数的个数有 （ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【考点】有理数． 【分析】根据有理数的定义求解． 【解答】解：在π，﹣2，0.3，﹣ ，0.1010010001 这五个数中，有理数的个数 为﹣2，0.3，﹣ ，0.1010010001． 故选 D． 【点评】本题考查了有理数：整数和分数统称为有理数． 2．（4 分）下列说法中，正确的是（ ） A．绝对值等于它本身的数是正数 B．任何有理数的绝对值都不是负数 C．若线段 AC=BC，则点 C 是线段 AB 的中点 D．角的大小与角两边的长度有关，边越长角越大 【考点】绝对值；两点间的距离；角的概念． 【分析】根据绝对值、线段的中点和角的定义判断即可． 【解答】解：A、绝对值等于它本身的数是非负数，错误； B、何有理数的绝对值都不是负数，正确； C、线段 AC=BC，则线段上的点 C 是线段 AB 的中点，错误； D、角的大小与角两边的长度无关，错误； 故选 B． 【点评】此题考查绝对值、线段的中点和角的定义问题，关键是根据定义判断． 第 8页（共 23页） 3．（4 分）下列说法中，正确的是（ ） A．2 不是单项式 B．﹣ab2 的系数是﹣1，次数是 3 C．6πx3 的系数是 6 D．﹣ 的系数是﹣2 【考点】单项式． 【分析】直接利用单项式的次数与系数的概念分别判断得出即可． 【解答】解：A、2 是单项式，故此选项错误； B、﹣ab2 的系数是﹣1，次数是 3，正确； C、6πx3 的系数是 6π，故此选项错误； D、﹣ 的系数是﹣ ，故此选项错误； 故选：B． 【点评】此题主要考查了单项式，正确把握相关概念是解题关键． 4．（4 分）把方程 3x+ 去分母正确的是（ ） A．18x+2（2x﹣1）=18﹣3（x+1） B．3x+（2x﹣1）=3﹣（x+1） C．18x+（2x﹣1）=18﹣（x+1）D．3x+2（2x﹣1）=3﹣3（x+1） 【考点】解一元一次方程． 【分析】同时乘以各分母的最小公倍数，去除分母可得出答案． 【解答】解：去分母得：18x+2（2x﹣1）=18﹣3（x+1）． 故选：A． 【点评】本题考查了解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类 项和系数化为 1，在去分母时一定要注意：不要漏乘方程的每一项． 5．（4 分）把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分 3 本，则剩余 20 本；如 果每人分 4 本，则还缺 25 本，设这个班有学生 x 人，下列方程正确的是（ ） A．3x+20=4x﹣25 B．3x﹣25=4x+20 C．4x﹣3x=25﹣20 D．3x﹣20=4x+25 【考点】由实际问题抽象出一元一次方程． 【分析】设这个班有学生 x 人，等量关系为图书的数量是定值，据此列方程． 【解答】解：设这个班有学生 x 人， 第 9页（共 23页） 由题意得，3x+20=4x﹣25． 故选 A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题 意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程． 6．（4 分）过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图几何 体，其正确展开图正确的为（ ） A． B． C ． D． 【考点】几何体的展开图；截一个几何体． 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【解答】解：选项 A、C、D 折叠后都不符合题意，只有选项 B 折叠后两个剪去 三角形与另一个剪去的三角形交于一个顶点，与正方体三个剪去三角形交于一 个顶点符合． 故选：B． 【点评】考查了截一个几何体和几何体的展开图．解决此类问题，要充分考虑带 有各种符号的面的特点及位置． 7．（4 分）下列结论： ①若关于 x 的方程 ax+b=0（a≠0）的解是 x=1，则 a+b=0； ②若 b=2a，则关于 x 的方程 ax+b=0（a≠0）的解为 x=﹣ ； ③若 a+b=1，且 a≠0，则 x=1 一定是方程 ax+b=1 的解． 其中正确的结论是（ ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 第 10页（共 23页） 【考点】一元一次方程的解． 【分析】根据方程的解的定义即可判断． 【解答】解：①把 x=1 代入方程得 a+b=0，故结论正确； ②方程 ax+b=0（a≠0）移项，得 ax=﹣b， 两边同时除以 a 得 x=﹣ ， ∵b=2a， ∴ =2， ∴x=﹣2， 故命题错误； ③把 x=1 代入方程 ax+b=1 一定有 a+b=1 成立，则 x=1 是方程的解． 故选 C． 【点评】本题考查了方程的解的定义，方程的解就是能使方程左右两边相等的未 知数的值，理解定义是关键． 8．（4 分）按下面的程序计算， 当输入 x=100 时，输出结果为 501；当输入 x=20 时，输出结果为 506；如果开始 输入的值 x 为正数，最后输出的结果为 656，那么满足条件的 x 的值最多有（ ） A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个 【考点】代数式求值；解一元一次方程． 【专题】图表型；规律型；方程思想；一次方程（组）及应用． 【分析】利用逆向思维来做，分析第一个数就是直接输出 656，可得方程 5x+1=656，解方程即可求得第一个数，再求得输出为这个数的第二个数，以此类 推即可求得所有答案． 【解答】解：∵最后输出的结果为 656， ∴第一个数就是直接输出其结果时：5x+1=656，则 x=131＞0， 第二个数就是直接输出其结果时：5x+1=131，则 x=26＞0， 第三个数就是直接输出其结果时：5x+1=26，则 x=5＞0， 第 11页（共 23页） 第四个数就是直接输出其结果时：5x+1=5，则 x=0.8＞0， 第五个数就是直接输出其结果时：5x+1=0.8，则 x=﹣0.4＜0， 故 x 的值可取 131、26、5、0.8 四个． 故答案为：B． 【点评】本题主要考查代数式的求值和解方程的能力，注意理解题意与逆向思维 的应用是解题的关键． 9．（4 分）超市店庆促销，某种书包原价每个 x 元，第一次降价打“八折”，第二 次降价每个又减 10 元，经两次降价后售价为 90 元，则得到方程（ ） A．0.8x﹣10=90 B．0.08x﹣10=90 C．90﹣0.8x=10 D．x﹣0.8x﹣10=90 【考点】由实际问题抽象出一元一次方程． 【分析】设某种书包原价每个 x 元，根据题意列出方程解答即可． 【解答】解：设某种书包原价每个 x 元，可得：0.8x﹣10=90， 故选 A 【点评】本题考查一元一次方程，解题的关键是明确题意，能列出每次降价后的 售价． 10．（4 分）如图 1，将一个边长为 a 的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个“ ” 的图案，如图 2 所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图 3 所示， 则新矩形的周长可表示为（ ） A．2a﹣3b B．4a﹣8b C．2a﹣4b D．4a﹣10b 【考点】整式的加减；列代数式． 【专题】几何图形问题． 【分析】根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果． 第 12页（共 23页） 【解答】解：根据题意得：2[a﹣b+（a﹣3b）]=4a﹣8b． 故选 B 【点评】此题考查了整式的加减，以及列代数式，熟练掌握运算法则是解本题的 关键． 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 11．（5 分）2016 年春节期间，在网络上用“百度”搜索引擎搜索“开放二孩”，能 搜索到与之相关的结果个数约为 45100000，这个数用科学记数法表示为 4.51 ×107 ． 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确 定 n 的值是易错点，由于 45100000 有 8 位，所以可以确定 n=8﹣1=7． 【解答】解：45100000 这个数用科学记数法表示为 4.51×107． 故答案为：4.51×107． 【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定 a 与 n 值是关键． 12．（5 分）为了倡导绿色出行，某市为市民提供了自行车租赁服务，其收费标 准如下： 地区类别 首小时内 首小时外 备注 A 类 1.5 元/15 分钟 2.75 元/15 分钟 不足 15 分钟时 按 15 分钟收费B 类 1.0 元/15 分钟 1.25 元/15 分钟 C 类 免费 0.75 元/15 分钟 如果小明某次租赁自行车 3 小时，缴费 14 元，请判断小明该次租赁自行车所在 地区的类别是 B 类（填“A、B、C”中的一个）． 【考点】一元一次方程的应用． 【分析】根据自行车租赁服务的收费标准，分别求出三个类别租赁自行车的收费， 进而求解即可． 【解答】解：如果租赁自行车所在地区的类别是 A 类，应该收费：1.5×4+2.75 ×8=28（元）， 第 13页（共 23页） 如果停车所在地区的类别是 B 类，应该收费：1.0×4+1.25×8=14（元）， 如果停车所在地区的类别是 C 类，应该收费：0×4+0.75×8=6（元）， 故答案为：B． 【点评】本题考查了实际问题的应用，正确理解自行车租赁服务的收费标准，求 出三个类别租赁自行车的收费是解题的关键． 13．（5 分）刘谦的魔术表演风靡全世界，很多同学非常感兴趣，也学起了魔术．小 华把任意有理数对（x，y）放进装有计算装置的魔术盒，会得到一个新的有理数 x+y2+1． 例如：把（﹣1，2）放入其中，就会得到﹣1+22+1=4．现将有理数对（3，﹣2） 放入其中，得到的有理数是 8 ．若将正整数对放入其中，得到的值是 6，则 满足条件的所有的正整数对（x，y）为 （1，2）或（4，1） ． 【考点】有理数的混合运算． 【专题】新定义；实数． 【分析】把有理数（3，﹣2）放入其中，计算即可得到结果；根据结果为 6 列出 方程，由 x 与 y 为正整数确定出（x，y）即可． 【解答】解：根据题意得：3+（﹣2）2+1=3+4+1=8； 根据题意得：x+y2+1=6， 当 x=1 时，y=2；x=4 时，y=1， 则（x，y）为（1，2）或（4，1）， 故答案为：8；（1，2）或（4，1） 【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 14．（5 分）书店举行购书优惠活动： ①一次性购书不超过 100 元，不享受打折优惠； ②一次性购书超过 100 元但不超过 200 元一律打九折； ③一次性购书超过 200 元一律打七折． 小丽在这次活动中，两次购书总共付款 229.4 元，第二次购书原价是第一次购书 原价的 3 倍，那么小丽这两次购书原价的总和是 248 或 296 元． 第 14页（共 23页） 【考点】一元一次方程的应用． 【分析】设第一次购书的原价为 x 元，则第二次购书的原价为 3x 元．根据 x 的 取值范围分段考虑，根据“付款金额=第一次付款金额+第二次付款金额”即可列出 关于 x 的一元一次方程，解方程即可得出结论． 【解答】解：设第一次购书的原价为 x 元，则第二次购书的原价为 3x 元， 依题意得：①当 0＜x≤ 时，x+3x=229.4， 解得：x=57.35（舍去）； ②当 ＜x≤ 时，x+ ×3x=229.4， 解得：x=62， 此时两次购书原价总和为：4x=4×62=248； ③当 ＜x≤100 时，x+ ×3x=229.4， 解得：x=74， 此时两次购书原价总和为：4x=4×74=296． 综上可知：小丽这两次购书原价的总和是 248 或 296 元． 故答案为：248 或 296． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是分段考虑，结合熟练关 系找出每段 x 区间内的关于 x 的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解 决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键． 三、解答题（本大题共两题，每题 8 分，共 16 分） 15．（8 分）﹣13﹣（1﹣0.5）× ×[2﹣（﹣3）2]． 【考点】有理数的混合运算． 【分析】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果． 【解答】解：原式=﹣1﹣ × （2﹣9）=﹣1+ = ． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16．（8 分）解方程： ． 第 15页（共 23页） 【考点】解一元一次方程． 【专题】计算题． 【分析】这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，合并 同类项，系数化为 1，从而得到方程的解． 【解答】解：去分母得，2（x+1）﹣4=8+2﹣x， 去括号得，2x+2﹣4=8+2﹣x， 移项得，2x+x=8+2﹣2+4， 合并同类项得，3x=12， 系数化为 1 得，x=4． 【点评】本题主要考查了解一元一次方程，注意在去分母时，方程两端同乘各分 母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式） 作为一个整体加上括号． 四、（本大题共两题，每题 8 分，共 16 分） 17．（8 分）如图，点 C 是线段 AB 上，AC=10cm，CB=8cm，M，N 分别是 AC， BC 的中点． （1）求线段 MN 的长． （2）若 C 为线段 AB 上任一点，满足 AC+CB=acm，其他条件不变，不用计算你 猜出 MN 的长度吗？ （3）若 C 在线段 AB 的延长线上，且满足 AC﹣BC=acm，M，N 仍分别为 AC，BC 的中点，你还能猜出线段 MN 的长度吗？ （4）由此题你发现了怎样的规律？ 【考点】两点间的距离． 【分析】（1）根据 M，N 分别是 AC，BC 的中点，找到线段之间的关系，即可求 出结果； （2）根据 M，N 分别是 AC，BC 的中点，找到线段之间的关系，即可得出结论； （3）根据 M，N 分别是 AC，BC 的中点，找到线段之间的关系，即可得出结论； （4）分析上面结论，即可得出“MN 的长度与 C 点的位置无关，只与 AB 的长度 第 16页（共 23页） 有关”这一结论． 【解答】解：（1）MN=MC+CN= AC+ CB= ×10+ ×8=5+4=9cm． 答：线段 MN 的长为 9cm． （2）MN=MC+CN= AC+ CB= （AC+CB）= cm． （3）如图， MN=AC﹣AM﹣NC=AC﹣ AC﹣ BC= （AC﹣BC）= cm． （4）当 C 点在 AB 线段上时，AC+BC=AB， 当 C 点在 AB 延长线上时，AC﹣BC=AB， 故找到规律，MN 的长度与 C 点的位置无关，只与 AB 的长度有关． 【点评】本题考查了两点间的距离，解题的关键是根据 M，N 分别是 AC，BC 的 中点，找到线段之间的关系． 18．（8 分）先化简，再求值：已知 x2﹣（2x2﹣4y）+2（x2﹣y），其中 x=﹣1，y= ． 【考点】整式的加减—化简求值． 【专题】计算题． 【分析】先去括号得到原式=x2﹣2x2+4y+2x2﹣2y，再合并同类项得 x2+2y，然后 把 x=﹣1，y= 代入计算． 【解答】解：原式=x2﹣2x2+4y+2x2﹣2y =x2+2y， 当 x=﹣1，y= 时，原式=（﹣1）2+2× =2． 【点评】本题考查了整式的加减﹣化简求值：先去括号，再合并同类项，然后把 满足条件的字母的值代入计算得到对应的整式的值． 五、（本大题共两题，每题 10 分，共 20 分） 19．（10 分）一次数学课上，老师要求学生根据图示张鑫与李亮的对话内容，展 开如下活动： 第 17页（共 23页） 活动 1：仔细阅读对话内容 活动 2：根据对话内容，提出一些数学问题，并解答． 下面是学生提出的两个问题，请你列方程解答． （1）如果张鑫没有办卡，她需要付多少钱？ （2）你认为买多少元钱的书办卡就便宜？ 【考点】一元一次方程的应用． 【分析】（1）设如果张鑫没有办卡，她需要付 x 元，根据关系式为：书的原价﹣ 12=书的原价×0.8+20 列出一元一次方程即可； （2）设买 y 元的书办卡与不办卡的花费一样多，根据题意得到 y=20+0.8y，求出 y 即可． 【解答】（1）解：设如果张鑫没有办卡，她需要付 x 元， 则有：20+0.8x=x﹣12， 整理方程得：0.2x=32， 解得：x=160， 答：如果张鑫没有办卡，她需要付 160 元； （2）解：设买 y 元的书办卡与不办卡的花费一样多， 则有：y=20+0.8y， 解得 y=100． 所以当购买的书的总价多于 100 元时，办卡便宜， 答：我认为买多于 100 元钱的书办卡就便宜． 【点评】此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据 题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 第 18页（共 23页） 20．（10 分）一般情况下 不成立，但有些数可以使得它成立，例如： a=b=0．我们称使得 成立的一对数 a，b 为“相伴数对”，记为（a，b）． （1）若（1，b）是“相伴数对”，求 b 的值； （2）写出一个“相伴数对”（a，b），其中 a≠0，且 a≠1； （3）若（m，n）是“相伴数对”，求代数式 m﹣ ﹣[4m﹣2（3n﹣1）]的值． 【考点】整式的加减；代数式求值． 【专题】计算题；新定义；实数． 【分析】（1）利用“相伴数对”的定义化简，计算即可求出 b 的值； （2）写出一个“相伴数对”即可； （3）利用“相伴数对”定义得到 9m+4n=0，原式去括号整理后代入计算即可求出 值． 【解答】解：（1）∵（1，b）是“相伴数对”， ∴ + = ， 解得：b=﹣ ； （2）（2，﹣ ）（答案不唯一）； （3）由（m，n）是“相伴数对”可得： + = ，即 = ， 即 9m+4n=0， 则原式=m﹣ n﹣4m+6n﹣2=﹣ n﹣3m﹣2=﹣ ﹣2=﹣2． 【点评】此题考查了整式的加减，以及代数式求值，弄清题中的新定义是解本题 的关键． 六、（本题 12 分） 21．（12 分）如图所示，是一列用若干根火柴棒摆成的由正方形组成的图案． （1）完成下表的填空： 第 19页（共 23页） 正方形个数 1 2 3 4 5 6 n 火柴棒根数 4 7 10 13 （2）某同学用若干根火柴棒按如上图列的方式摆图案，摆完了第 1 个后，摆第 2 个，接着摆第 3 个，第 4 个，…，当他摆完第 n 个图案时剩下了 20 根火柴棒， 要刚好摆完第 n+1 个图案还差 2 根．问最后摆的图案是第几个图案？ 【考点】规律型：图形的变化类． 【专题】规律型． 【分析】（1）易得组成一个正方形都需要 4 根火柴棒，找到组成 1 个以上的正方 形需要的火柴棒的根数在 4 的基础上增加几个 3 即可． （2）根据（1）的规律得出 3（n+1）+1=22，解出 n 即可． 【解答】解：（1）按如图的方式摆放，每增加 1 个正方形火花图案，火柴棒的根 数相应地增加 3 根， 若摆成 5 个、6 个、n 个同样大小的正方形火花图案，则相应的火柴棒的根数分 别是 16 根、19 根、（3n+1）根． 正方形个数 1 2 3 4 5 6 n 火柴棒根数 4 7 10 13 16 19 3n+1 （2） ∵当他摆完第 n 个图案时剩下了 20 根火柴棒，要刚好摆完第 n+1 个图案还差 2 根． ∴3（n+1）+1=22， 解得 n=6， ∴这位同学最后摆的图案是第 7 个图案． 【点评】本题考查图形的规律性问题；得到不变的量及变化的量与 n 的关系是解 决本题的关键． 七、（本题 12 分） 22．（12 分）为弘扬中华优秀文化传统，某中学在 2014 年元旦前夕，由校团委 组织全校学生开展一次书法比赛，为了表彰在书法比赛中优秀学生，计划购买钢 笔 30 支，毛笔 20 支，共需 1070 元，其中每支毛笔比钢笔贵 6 元． 第 20页（共 23页） （1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元？ （2）①后来校团委决定调整设奖方案，扩大表彰面，需要购买上面的两种笔共 60 支（每种笔的单价不变）．张老师做完预算后，向财务处王老师说：“我这次 买这两种笔需支领 1322 元．”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买这两 种笔，那么帐肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他用这 些钱只买这两种笔的帐算错了． ②张老师突然想起，所做的预算中还包括校长让他买的一支签字笔．如果签字笔 的单价为不大于 10 元的整数，请通过计算，直接写出签字笔的单价可能为 2 或 8 元． 【考点】一元一次方程的应用． 【专题】应用题． 【分析】（1）设钢笔得单价为 x 元，则毛笔单价为（x+4）元，根据题意列出方 程，求出方程的解即可得到结果； （2）①设单价为 19 元得钢笔 y 支，则单价为 25 元的毛笔为（60﹣y）支，根据 题意列出方程，求出方程的解即可得到结果； ②设单价为 19 元的钢笔 z 支，签字笔的单价为 a 元，根据题意列出关系式，根 据 z，a 为整数，确定出 a 与 z 的值，即可得到结果． 【解答】解：（1）设钢笔的单价为 x 元，则毛笔的单价为（x+6）元， 由题意得：30x+20（x+6）=1070， 解得：x=19， 则 x+6=25， 答：钢笔的单价为 19 元，毛笔的单价为 25 元； （2）①设单价为 19 元的钢笔 y 支，则单价为 25 元的毛笔为（60﹣y）支， 根据题意得：19y+25（60﹣y）=1322， 解得：y= ， 不合题意，即张老师肯定搞错了； ②设单价为 19 元的钢笔 z 支，签字笔的单价为 a 元， 根据题意得：19z+25（60﹣z）=1322﹣a，即 6z=178+a， 由 a，z 都是整数，且 178+a 应被 6 整除， 第 21页（共 23页） 经验算当 a=2 时，6z=180，即 z=30，符合题意； 当 a=8 时，6z=186，即 z=31，符合题意， 则签字笔的单价为 2 元或 8 元． 故答案为：2 或 8． 【点评】此题考查了一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键． 八、（本题 14 分） 23．（14 分）如图 1，O 为直线 AB 上一点，过点 O 作射线 OC，∠AOC=30°，将 一直角三角板（∠M=30°）的直角顶点放在点 O 处，一边 ON 在射线 OA 上，另 一边 OM 与 OC 都在直线 AB 的上方． （1）将图 1 中的三角板绕点 O 以每秒 3°的速度沿顺时针方向旋转一周．如图 2， 经过 t 秒后，OM 恰好平分∠BOC．①求 t 的值；②此时 ON 是否平分∠AOC？请 说明理由； （2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线 OC 也绕 O 点以每秒 6° 的速度沿顺时针方向旋转一周，如图 3，那么经过多长时间 OC 平分∠MON？请 说明理由； （3）在（2）问的基础上，经过多长时间 OC 平分∠MOB？请画图并说明理 由． 【考点】角的计算；角平分线的定义． 【分析】（1）根据图形和题意得出∠AON+∠BOM=90°，∠CON+∠COM=90°，再 根据∠AON=∠CON，即可得出 OM 平分∠BOC； （2）根据图形和题意得出∠AON+∠BOM=90°，∠CON=∠COM=45°，再根据转动 速度从而得出答案； （3）分别根据转动速度关系和 OC 平分∠MOB 画图即可． 第 22页（共 23页） 【解答】解：（1）①∵∠AON+∠BOM=90°，∠COM=∠MOB， ∵∠AOC=30°， ∴∠BOC=2∠COM=150°， ∴∠COM=75°， ∴∠CON=15°， ∴∠AON=∠AOC﹣∠CON=30°﹣15°=15°， 解得：t=15°÷3°=5 秒； ②是，理由如下： ∵∠CON=15°，∠AON=15°， ∴ON 平分∠AOC； （2）5 秒时 OC 平分∠MON，理由如下： ∵∠AON+∠BOM=90°，∠CON=∠COM， ∵∠MON=90°， ∴∠CON=∠COM=45°， ∵三角板绕点 O 以每秒 3°的速度，射线 OC 也绕 O 点以每秒 6°的速度旋转， 设∠AON 为 3t，∠AOC 为 30°+6t， ∵∠AOC﹣∠AON=45°， 可得：6t﹣3t=15°， 解得：t=5 秒； （3）OC 平分∠MOB ∵∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠COM， ∵三角板绕点 O 以每秒 3°的速度，射线 OC 也绕 O 点以每秒 6°的速度旋转， 设∠AON 为 3t，∠AOC 为 30°+6t， ∴∠COM 为 （90°﹣3t）， ∵∠BOM+∠AON=90°， 可得：180°﹣（30°+6t）= （90°﹣3t）， 解得：t= 秒； 第 23页（共 23页） 如图： 【点评】此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个 量之间的关系求出角的度数是解题的关键．