八年级下数学课件1-4 角平分线的性质_湘教版 16页

第1章直角三角形1.4角平分线的性质 第2课时角平分线性质定理的应用目标突破总结反思第1章直角三角形知识目标 1.4角平分线的性质知识目标1．在掌握角平分线性质定理和其逆定理的基础上，针对角平分线、距离、面积等进行综合计算．2．根据几何图形并结合实际情况，利用角平分线性质定理去解决线段相等的证明及等距离的有关作图问题． 目标突破目标一　能运用角平分线的性质定理及其逆定理解决问题例1教材补充例题如图1－4－4，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.(1)求证：AM平分∠BAD；(2)试说明线段DM与AM之间有怎样的位置关系；(3)线段CD，AB，AD之间有怎样的数量关系？并说明理由．1.4角平分线的性质图1－4－4 [解析](1)首先要作辅助线ME⊥AD，则利用角平分线上的点到角两边的距离相等可知ME＝MC，再利用中点的条件可知ME＝MB，然后利用角平分线性质定理的逆定理即可证明AM平分∠BAD.(2)根据平行线的性质得出∠CDA＋∠BAD＝180°，求出∠ADM＋∠DAM＝90°，根据三角形内角和定理求出∠AMD的度数即可．(3)证Rt△DCM≌Rt△DEM，推出CD＝ED，同理得出AE＝AB，即可得出答案．1.4角平分线的性质 解：(1)证明：如图，过点M作ME⊥AD于点E.∵MC⊥DC，ME⊥AD，DM平分∠ADC，∴ME＝MC.∵M为BC的中点，∴MB＝MC.∴ME＝MB.又∵ME⊥AD，MB⊥AB，∴AM平分∠BAD.(2)如图，∵DM平分∠ADC，AM平分∠BAD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∵∠B＝∠C＝90°，∴CD∥AB，∴∠CDA＋∠BAD＝180°，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠AMD＝180°－(∠1＋∠3)＝90°，即DM⊥AM.1.4角平分线的性质 (3)CD＋AB＝AD.理由：如图，∵ME⊥AD，MC⊥CD，∴∠C＝∠DEM＝90°.在Rt△DCM和Rt△DEM中，∵DM＝DM，MC＝ME，∴Rt△DCM≌Rt△DEM，∴CD＝ED.同理AE＝AB.∵ED＋AE＝AD，∴CD＋AB＝AD. 【归纳总结】应用角平分线的性质定理及其逆定理解决问题的步骤(1)根据角找出平分线及平分线上的点；(2)过这点找出表示距离的两条线段(或构造垂线段)；(3)得出距离相等(或角相等)的结论．1.4角平分线的性质 目标二　角平分线的性质定理在尺规作图上的应用图1－4－5例2教材补充例题图1－4－5是三条公路AB，BC，CA.现欲建一个加油站P，使加油站到三条公路的距离相等．(1)在△ABC内部能建出符合要求的加油站吗？若能，请你作出它的位置；(2)在△ABC外部能建出符合要求的加油站吗？若能，请你作出它的位置，试想有几个位置符合题意？1.4角平分线的性质 [解析]△ABC的三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，但不要忽视△ABC的两条外角平分线的交点到三角形三边的距离也同样相等．1.4角平分线的性质 解：(1)能．如图①，作出△ABC的三条角平分线交于点P，将加油站建在P点的位置即可．(2)能．如图②，分别作出△ABC的三条外角平分线，两两相交于点P1，P2，P3，将加油站建在点P1或点P2或点P3的位置均符合题意，即有3个位置符合题意．1.4角平分线的性质 【归纳总结】根据角平分线的性质定理及其逆定理作图要综合考虑下列三种交点：(1)内角平分线的交点；(2)外角平分线的交点；(3)角平分线与其他符合条件线的交点．1.4角平分线的性质 总结反思知识点一　角平分线的性质定理及其逆定理的综合运用小结运用角平分线的性质定理去判定点到角两边的距离相等；运用角平分线性质定理的逆定理去判定点的位置是否在角的平分线上．1.4角平分线的性质 知识点二　利用角平分线的性质作图点到角的两边的距离相等的作图转化为作这个角的__________．平分线1.4角平分线的性质 反思王芳说：一个三角形两个外角的平分线的交点一定在另一个内角的平分线上．你是否同意王芳的观点？1.4角平分线的性质 1.4角平分线的性质解：我同意王芳的观点．如图所示，P是△ABC两个外角的平分线的交点，过点P分别作AB，AC，BC的垂线段PD，PE，PG，可证PD＝PG＝PE，由角平分线性质定理的逆定理可得点P在另一个内角∠A的平分线上．