八年级下数学课件《矩形、菱形、正方形》 (16)_苏科版 22页

9.4 矩形、菱形、正方形（2） 温故而知新 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 平行四边形 一个角是直角 矩形 矩 形 的 性 质 边 角 对角线 矩形的对边平行且相等 矩形的四个角都是直角 矩形的 两条对角线相等且互相平分 1、我们知道，矩形的四个角都是直角.反 过来，四个角（或三个角）都是直角的四 边形是矩形吗？ A B C D 已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90° 求证：四边形ABCD是矩形。 A B C D ∟ ∟ ∟证明：∵ ∠A=∠B=90° ∴ ∠A+∠B=180° ∴AD∥BC 同理可证：AB∥CD ∴四边形ABCD是平行四边形 又∵ ∠A=90° ∴四边形ABCD是矩形 矩形的判定方法： 有三个角是直角的四边形是矩形 。 A B C D ∵ ∠A=∠B=∠C=90° ∴四边形ABCD是矩形 几何语言： 情境一：工人师傅为了检 验两组对边相等的四边形窗 框是否成矩形，一种方法是 量一量这个四边形的两条对 角线长度，如果对角线长相 等，则窗框一定是矩形，你 知道为什么吗？ 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 。 已知：平行四边形ABCD，AC=BD。 求证：四边形ABCD是矩形。 A B C D 证明: ∵ AB=CD, BC=BC, AC=BD ∴ △ABC≌ △DCB（SSS） ∵ AB//CD ∴ ∠ABC+∠DCB=180° ∴ ∠ABC=∠DCB=90° 又∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴四边形ABCD是矩形 ∴ ∠ABC=∠DCB 对角线相等的平行四边形是矩形 。 矩形的判定方法： 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形 AC=BD ∴四边形ABCD是矩形 （对角线相等且互相平分的四边形是矩形。） A B C D O （或OA=OC=OB=OD） 你能归纳矩形的几种判定方法吗？ 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 对角线相等的平行四边形是矩形 。 （对角线相等且互相平分的四边形是矩形。） 有三个角是直角的四边形是矩形 。 方法1： 方法2： 方法3： 议一议 1.有一个角是直角的平行四边形 2.对角线相等的平行四边形 3.有三个角是直角的四边形 矩形. 判断矩形有哪几种方法?矩形的判定方法 矩形. 矩形. 对于 四边形，满足哪些条件就可以得到矩形呢？任意平行 例1　已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°, D是AB的中点，DE、DF分别是△BDC、△ADC的 角平分线.求证：四边形DECF是矩形. EF D C A B 证明： ∵∠ACB=90°，D是AB的中点， ∴DC= AB=DA=DB ∵ DC=DA，DF平分∠ADC ， ∴DF⊥AC 即∠DFC=90 ° 同理∠DEC=90 ° ∴四边形DECF是矩形（三个角是直 角的四边形是矩形） 2 1 　　如图，直线 l1∥l2 、A、C是直线l1上任意 两点，AB⊥l2 ，CD⊥ l2 ，垂足分别为B、D， 线段AB、CD相等吗？为什么？ 两条平行线之间的距离处处相等. A DB C l2 l1 解：由AB⊥l2 ，CD⊥ l2 ， 可知AB ∥ CD. 又因为l1∥l2 ， 所以四边形ABCD是矩形， AB=CD. 下列各句判定矩形的说法是否正确？ （1）对角线相等的四边形是矩形； （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （3）有一个角是直角的四边形是矩形； （5）有三个角是直角的四边形是矩形； （6）四个角都相等的四边形是矩形； （7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是 矩形； （9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形； （8）一组对角互补的平行四边形是矩形； 1.已知：矩形ABCD的对角线AC、BD 相交于点Ｏ，点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别 在OA、OB、OC、OD上，且AE＝ BF＝CG＝DH。求证：四边形EFGH 是矩形 Ｂ A Ｃ Ｄ Ｏ Ｅ Ｆ Ｇ Ｈ 自学检测一： 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AC=BD， AO=CO= AC BO=DO= BD ∴AO=CO=BO=DO 又∵ AE＝BF＝CG＝DH ∴ EO=FO=GO=HO ∴四边形EFGH是平行四边形 ∵ EO=FO=GO=HO∴ EG=FH ∴四边形EFGH是矩形 2 1 2 1 2、已知MN∥PQ，同旁内角的平分线AB、 BC和AD、CD分别相交于点B、D． （1）猜想AC和BD间的关系是 ； （2）试用理由说明你的猜想． 相等且互相平分 3、如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么 这个四边形是矩形． 已知：如图， ABCD的四个内角的平 分线分别相交于E、F、G、H， 求证：四边形 EFGH为矩形． ∴∠BGC=90° 同理可证∠AFB=∠AED=90° ∴四边形EFGH是矩形．(有三个角是直角的四边形是矩形) 证明：∵AB∥CD 　　∴∠ABC＋∠BCD=180° 　　∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD　　 １.矩形的判定定理 (1)对角线相等的平行四边形是矩形。 (2)有三个角是直角的四边形是矩形。 ２.矩形的性质在证明中的应用。 （对角线相等和四个角都是直角） ３.线段和角转移的方法。 通过本节课的学习，你有哪 些收获？ 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形 矩形的性质：1矩形具有平行四边形的一切性质 2矩形的四个角都是直角 3矩形的对角线相等 4矩形既是轴对称图形又是中心对称图形 矩形的判定：1有一个角是直角是直角的平行四边形是 矩形 2对角线相等的平行四边形是矩形 3三个角是直角的四边形是矩形 　　如图，直线 l1∥l2 、A、C是直线l1上任 意两点，AB⊥l2 ，CD⊥ l2 ，垂足分别为B、 D，线段AB、CD相等吗？为什么？ 两条平行线之间的距离处处相等. A DB C l2 l1