角平分线(1)教案 3页

课 题 ‎1.4、角平分线(一)‎ 课型 新授课 教学目标 ‎1．要求学生掌握角平分线的性质定理及其逆定理——判定定理，会用这两个定理解决一些简单问题。‎ ‎2．理解角平分线的性质定理和判定定理的证明。‎ ‎3．能够作已知角的角平分线，并会熟练地写出已知、求作和作法，可以说明为什么所作的直线是角平分线。‎ 教学重点 角平分线性质定理及其逆定理。‎ 教学难点 掌握角平分线性质定理及其逆定理并进行证明。‎ 教学方法 教学后记 教 学 内 容 及 过 程 教师活动 学生活动 引入新课：我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下：‎ 从折纸过程中，我们可以得出CD=CE，‎ 即角平分线上的点到角两边的距离相等．‎ 你能证明它吗?‎ 讲授新课：请同学们自己尝试着证明它，然后在全班进行交流．‎ 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．‎ 求证：PD=PE．‎ 证明：∵∠1=∠2，OP=OP，‎ ‎∠PDO=∠PEO=90°，‎ ‎∴△PDO≌△PEO(AAS)．‎ ‎∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)．‎ 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．‎ 你能写出这个定理的逆命题吗?‎ 我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题．‎ 如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上．‎ 此时有学生提问：“我觉得这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点．”‎ 事实上，从同一点出发的两条射线一般组成两个角，而“‎ 拿出准备好的纸折的角，在老师示范的同时按要求把角和角的边对折几次，观察折痕的性质。由折纸的过程，可以观察到折痕和角的边垂直，并且对应的折痕长度相等。‎ 说出猜想：折痕和角的两边垂直，并且对应的折痕长度相等。说明白已是通过折纸的过程和观察得到上述猜测的。‎ 加深对角平分线性质定理的理解。朗读：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。在读的同时加强记忆和理解。‎ 3‎ 角的内部”通常是指其中小于180°的角的内部，其余部分为角的外部．如上图所示，到∠AOB两边距离相等的点的集合应是射线OC、OD、OE、OF，但其中只有射线OC(即在∠AOB内部的射线)才是∠AOB的平分线．因此逆命题中应加上“在角的内部”的条件．‎ 再来完整地叙述一下角平分线性质定理的逆命题。‎ 在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．‎ 它是真命题吗? 你能证明它吗?‎ 证明如下：‎ 已知：在么AOB内部有一点P，且PD上OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，‎ 求证：点P在么AOB的角平分线上．‎ 证明：PD⊥OA，PE⊥OB，‎ ‎∴∠PDO=∠ PEO=90°．‎ 在Rt△ODP和Rt△OEP中 OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL定理)．‎ ‎∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．‎ 逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理．我们就把它叫做角平分线的判定定理。‎ 角平分线的判定定理：在一个角的内部，且到角的 两边距离相等的点，在这个角的平分线上。‎ 做一做：你能用什么办法平分一个已知角呢?能利用角平分线的性质定理和判定定理平分一个角吗？请在小组内交流．‎ 学生提出：可以用量角器、三角尺、角尺等以前常见的方法．‎ 教师提出：学习的是用直尺和圆规平分一个已知角．‎ 已知：∠AOB(如图)‎ 求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC．‎ 作法：1、在OA和OB上分别分别截取OD、OE，使OD=OE．‎ ‎2．分别以D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在么AoB内交于点C．‎ ‎3．作射线OC OC就是∠AOB的平分线．‎ ‎(教学时，教师可以边介绍作法，边让学生动手完成整个操作过程)‎ 完成做法后，请学生说明OC为什么是∠AOB的平分线，与同伴交流．‎ 回忆有关线段垂直平分线的知识，知道线段垂直平分线的性质定理和判定定理互为逆定理，通过类比联想，知道对于角平分线，也有类似的结论。回答：角平分线和要证明的命题是互逆命题。‎ 回忆线段垂直平分线性质定理的逆定理的构造方法，写出角平分线性质定理的逆定理。与同桌互相检查。‎ 联想线段垂直平分线性质定理和判定定理的关系，有助于理解角平分线性质定理和判定定理的关系。‎ 依据作图的过程，参照 老师的讲解，写出已知和求作以及作法。有的学生可能写得不够规范。‎ 思考这样的作法的合理性，添加辅助线，对作出来的射线给以证明。找到思路后，与同伴交流。大多数学生可以通过证明三角形全等说出理由。‎ 3‎ 从作图的过程中，不难发现OD=OE，CE=CD，OC=OC，‎ ‎△OCEC≌△OCD(SSS)．‎ ‎∴∠1=∠2，即OC是∠AOB的角平分线．‎ 随堂练习 如图，AD、AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外角平分线，它们有什么关系？‎ 解：∵AD平分∠CAB．‎ ‎∴又∠1=∠2=12 ∠CAB 又∵AE平分∠CAF．‎ ‎∠CAB+∠CAF=180°，‎ ‎∴∠3=∠4= 12 ∠CAF ‎∵∠CAB+∠CAF=180°‎ ‎∴∠1+∠3= 12 （∠CAB+∠CAF）=12 ×180°=90°，即AD⊥AE．‎ 作业：1、2、3题 板书设计：‎ 一、角平分线性质定理 二、角平分线判定定理 三、用直尺和圆规作角的平分线 3‎