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- 2021-10-26 发布
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微专题:平面直角坐标系中的规律变化
类型一 平面直角坐标系中点的运动规律
1.(2017·石家庄长安区期中)如图,在平面直角坐标系中,半径均为1个单位长度的半圆O1,O2,O3,…组成一条平滑的曲线,点P从原点O出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒个单位长度,则第2017秒时,点P的坐标是( )
A. (2016,0)
B.(2017,1)
C.(2017,-1)
D.(2018,0)
2.如图,动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第1次从原点运动到点(1,1),第2次接着运动到点(2,0),第3次接着运动到点(3,2)……按这样的运动规律,经过第2016次运动后,动点P的坐标是________.
3.如图,在平面直角坐标系中,A(1,1),B(-1,1),C(-1,-2),D(1,-2).把一条长为2016个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处,并按A→B→C→D→A→…的规律紧绕在四边形ABCD的边上,则细线另一端所在的位置的点的坐标是__________.
第3题图 第4题图 第5题图
4.如图,在直角坐标系中,设一动点M自P0(1,0)处向上运动1个单位至P1(1,1)处,然后向左运动2个单位至P2处,再向下运动3个单位至P3处,再向右运动4个单位至P4处,再向上运动5个单位至P5处……如此继续运动下去,设Pn(xn,yn)(n=1,2,3,…),则x1+x2+…+x99+x100=________.
5.(2017·石家庄模拟)一个质点P在第一象限及坐标轴上运动,在第1秒钟,从原点运动到(0,1),然后按箭头的方向运动[即:(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)→…],每秒移动一个单位,则点P运动到(7,7)位置时共运动了________秒.
类型二 根据图形的旋转变化探究点的坐标变化规律
6.如图,在平面直角坐标系中A(0,0),B(1,0),P(0,1),四边形ABQP
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是正方形,把正方形ABQP绕点B顺时针旋转180°,得到正方形CBQ1P1;把正方形CBQ1P1绕点C顺时针旋转180°,得到正方形CDQ2P2……依此类推,则旋转第2016次后,得到的正方形的顶点P2016的坐标为( )
A.(2016,1) B.(2015,1)
C.(2016,-1) D.(4032,1)
第6题图 第7题图
7.如图,等边三角形OA1B1的边长为1,且OB1在x轴上,第一次将△OA1B1边长变为原来的两倍后,将所得到的图形绕O逆时针旋转60°得到△OA2B2;第二次将△OA2B2边长变为原来的两倍后,将所得到的图形绕O逆时针旋转60°得到△OA3B3……依此类推,则点A2016的坐标为__________.
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参考答案与解析
1.B 解析:因为半圆周的周长是π,根据P点的速度知,1秒时点P的坐标为(1,1);2秒时点P的坐标为(2,0);3秒时点P的坐标为(3,-1);4秒时点P的坐标为(4,0);5秒时点P的坐标为(5,1)……即当秒数为偶数时,点P落在x轴上,其横坐标和秒数相同,纵坐标是0;点P落在第一象限的秒数是1,5,9,13,…,4n-3;点P落在第四象限的秒数是3,7,11,15,…,4n-1.因为2017=4×505-3.故第2017秒时,点P落在第一象限,其坐标为P(2017,1).故选B.
2.(2016,0) 解析:观察可知,各点的横坐标恰好是运动的次数,所以第2016次运动后点P的横坐标是2016,纵坐标依次按1,0,2,0,1,0,2,0的规律变化,即每经过4次变化完成一个循环.因为2016÷4=504,所以第2016次运动时点的纵坐标与第4次运动时的纵坐标相等,所以动点P的坐标为(2016,0).
3.(0,-2) 解析:∵A(1,1),B(-1,1),C(-1,-2),D(1,-2),∴AB=1-(-1)=2,BC=1-(-2)=3,CD=1-(-1)=2,DA=1-(-2)=3,∴绕四边形ABCD一周所需的细线长度为2+3+2+3=10.∵2016÷10=201……6,∴细线另一端在绕四边形第202圈的第6个单位长度的位置,即CD与y轴的交点,∴坐标为(0,-2).
4.50 解析:经过观察分析可得每4个点的横坐标的和为一个定值,把100个数分为25组,∵x1+x2+x3+x4=1-1-1+3=2;x5+x6+x7+x8=3-3-3+5=2……x97+x98+x99+x100=2.∴原式=2×(100÷4)=50.
5.56 解析:因为质点每秒运动一个单位,所以质点从(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)用的秒数分别是1秒,2秒,3秒,到(1,1)用2秒,到(2,2)用6秒,到(3,3)用12秒,到(4,4)用20秒,依此类推,点P运动到(7,7)位置时共运动了2+4+6+8+10+12+14=56(秒).
6.A 解析:根据题意可得P1(2,-1),P2(2,1),P3(4,-1),P4(4,1),…,P2n-1(2n,-1),P2n(2n,1),∴旋转第2016次后,得到的正方形的顶点P2016的坐标为(2016,1).
7.(22015,0) 解析:由题意得A1,A2(-1,),A3(-4,0),A4(-4,-4),A5(8,-8),A6(32,0),A7(32,32),A8(-64,64),A9(-256,0),…,A12(211,0),由此发现序号能被6整除的点在x轴的正半轴上.∵2016÷6=336,∴点A2016在x轴上.∵A6(25,0),A12(211,0),…,∴点A2016的坐标为(22015,0).
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