八年级数学上册第2章三角形2-4线段的垂直平分线第1课时线段垂直平分线的性质和判定教案 湘教版 4页

1 2.4 线段的垂直平分线 第 1 课时 线段垂直平分线的性质和判定 【知识与技能】 证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理. 【过程与方法】 经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力，丰富对几何图形的认 识. 【情感态度】 通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果. 【教学重点】 运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题. 【教学难点】 垂直平分线的性质与判定的运用. 一、情景导入，初步认知 如图，直线 l 垂直平分线段 AB，P1、P2、P3 是 l 上的点. （1）P1 到端点 A、B 的距离是什么？分别表示为_______、_______. （2）量一量这两个距离，你能猜想出什么结论？ （3）你能用什么方法来证明你的猜想，试写出论证(或说明). 二、思考探究，获取新知 1.观察：如图，人字形屋顶的框架中，点 A 与 A′关于线段 CD 所在的直线 l 对称，问 线段 CD 所在的直线 l 与线段 AA′有什么关系？ 【归纳结论】垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线. 2.探究：如图，在线段 AB 的垂直平分线 l 上任取一点 P,连接 PA,PB，线段 PA,PB 之间 有什么关系？ 2 【归纳结论】线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等. 3.动脑筋：如图，我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来，如 果一点 P 到线段 AB 两端的距离 PA,PB 相等，那么点 P 在线段 AB 的垂直平分线上吗？ 【归纳结论】线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两端点距离相等的点在线段 的垂直平分线上. 【教学说明】引导学生分析证明过程. 三、运用新知，深化理解 1.教材 P69 例题. 2.已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC. 求证：直线 AO 垂直平分线段 BC． 证明：∵ AB = AC ∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段 的垂直平分线上）. 同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上. ∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线） 3.如图，DE 为△ABC 的 AB 边的垂直平分线，D 为垂足，DE 交 BC 于 E， AC = 5，BC = 8， 求△AEC 的周长. 解：∵DE 为△ABC 的 AB 边的垂直平分线 3 ∴AE=BE ∴C△AEC=AC+AE+CE=AC+BE+CE =AC+BC=5+8=13 4.如图，已知：线段 CD 垂直平分 AB，AB 平分∠DAC. 求证：AD∥BC. 证明：∵CD 是 AB 的垂直平分线， ∴AC=BC， ∴∠CAB=∠B， 又∵∠CAB=DAB， ∴∠DAB=∠B， ∴AD∥BC. 5.如图，已知：AD 是△ABC 的高，E 为 AD 上一点，且 BE=CE. 求证：△ABC 是等腰三角 形. 证明：∵BE=CE,AD⊥BC， ∴AD 是 BC 的垂直平分线， ∴AB=AC， ∴△ABC 是等腰三角形. 6.如图，已知：AB⊥BC，CD⊥BC，∠AMB=75°，∠DMC=45°，AM=DM. 求证：AB=BC. 证明：连接 AC ∠AMD=180°-75°-45°=60°，且 AM=DM， ∴△AMD 是等边三角形 ∴AM=AD. 又∵∠MDC=90°-45°=45°， 4 ∴∠MDC=∠DMC， ∴CD=CM， ∴AC 为 DM 的垂直平分线， 又∵CD=CM ∴CH 是△CDM 的角平分线 ∴∠ACM=90°-45°=45°， ∴BC=AB. 【教学说明】学生是第一次证明一条直线是已知线段的垂直平分线，因此老师要引导学 生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程. 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 布置作业:教材“习题 2.4”中第 1、2、6 题. 由于本节课是对垂直平分线的性质与判定的综合应用，学生掌握起来难度较大，所以要 引导学生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程.