华东师大版八年级上册第11章《数的开方》单元测试（含答案解析） 16页

《第 11 章 数的开方》 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 1．一个正数的正的平方根是 m，那么比这个正数大 1 的数的平方根是（ ） A．m2+1 B．± C． D．± 2．一个数的算术平方根是 ，这个数是（ ） A．9 B．3 C．23 D． 3．已知 a 的平方根是±8，则 a 的立方根是（ ） A．2 B．4 C．±2 D．±4 4．下列各数，立方根一定是负数的是（ ） A．﹣a B．﹣a2 C．﹣a2﹣1 D．﹣a2+1 5．已知 +|b﹣1|=0，那么（a+b）2007 的值为（ ） A．﹣1 B．1 C．32007 D．﹣32007 6．若 =1﹣x，则 x 的取值范围是（ ） A．x＞1 B．x≥1 C．x＜1 D．x≤1 7．在﹣ ， ， ， ﹣ ，2.121121112 中，无理数的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．若 a＜0，则化简| |的结果是（ ） A．0 B．﹣2a C．2a D．以上都不对 9．实数 a，b 在数轴上的位置如图，则有（ ） A．b＞a B．|a|＞|b| C．﹣a＜b D．﹣b＞a 10．下列命题中正确的个数是（ ） A．带根号的数是无理数 B．无理数是开方开不尽的数 C．无理数就是无限小数 D．绝对值最小的数不存在 二、填空题 11．若 x2=8，则 x= ． 12． 的平方根是 ． 13．如果 有意义，那么 x 的值是 ． 14．a 是 4 的一个平方根，且 a＜0，则 a 的值是 ． 15．当 x= 时，式子 + 有意义． 16．若一正数的平方根是 2a﹣1 与﹣a+2，则 a= ． 17．计算： + = ． 18．如果 =4，那么 a= ． 19．﹣8 的立方根与 的算术平方根的和为 ． 20．当 a2=64 时， = ． 21．若|a|= ， =2，且 ab＜0，则 a+b= ． 22．若 a、b 都是无理数，且 a+b=2，则 a，b 的值可以是 （填上一组满足条件的值即可）． 23．绝对值不大于 的非负整数是 ． 24．请你写出一个比 大，但比 小的无理数 ． 25．已知 +|y﹣1|+（z+2）2=0，则（x+z）2008y= ． 三、解答题（共 40 分） 26．若 5x+19 的算术平方根是 8，求 3x﹣2 的平方根． 27．计算： （1） + ； （2） + + ． 28．解方程． （1）（x﹣1）2=16； （2）8（x+1）3﹣27=0． 29．将下列各数按从小到大的顺序重新排成一列． 2 ， ，﹣ ，0，﹣ ． 30．著名的海伦公式 S= 告诉我们一种求三角形面积的方法，其中 p 表示 三角形周长的一半，a、b、c 分别三角形的三边长，小明考试时，知道了三角形三边长分别是 a=3cm， b=4cm，c=5cm，能帮助小明求出该三角形的面积吗？ 31．已知实数 a、b、c、d、m，若 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，m 的绝对值是 2，求 的平方根． 32．已知实数 a，b 满足条件 +（ab﹣2）2=0，试求 + + +…+ 的值． 《第 11 章 数的开方》 参考答案与试题解析 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 1．一个正数的正的平方根是 m，那么比这个正数大 1 的数的平方根是（ ） A．m2+1 B．± C． D．± 【考点】平方根． 【分析】这个正数可用 m 表示出来，比这个正数大 1 的数也能表示出来，开方可得出答案． 【解答】解：由题意得：这个正数为：m2， 比这个正数大 1 的数为 m2+1， 故比这个正数大 1 的数的平方根为：± ， 故选 D． 【点评】本题考查算术平方根及平方根的知识，难度不大，关键是根据题意表示出这个正数及比这 个正数大 1 的数． 2．一个数的算术平方根是 ，这个数是（ ） A．9 B．3 C．23 D． 【考点】算术平方根． 【分析】根据算术平方根的定义解答即可． 【解答】解：3 的算术平方根是 ， 所以，这个数是 3． 故选 B． 【点评】本题考查了算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 3．已知 a 的平方根是±8，则 a 的立方根是（ ） A．2 B．4 C．±2 D．±4 【考点】立方根；平方根． 【分析】根据乘方运算，可得 a 的值，根据开方运算，可得立方根． 【解答】解；已知 a 的平方根是±8， a=64， =4， 故选：B． 【点评】本题考查了立方根，先算乘方，再算开方． 4．下列各数，立方根一定是负数的是（ ） A．﹣a B．﹣a2 C．﹣a2﹣1 D．﹣a2+1 【考点】立方根． 【分析】根据正数的立方根是正数，0 的立方根是 0，负数的立方根是负数，结合四个选项即可得出 结论． 【解答】解：∵﹣a2﹣1≤﹣1， ∴﹣a2﹣1 的立方根一定是负数． 故选 C． 【点评】本题考查了立方根，牢记“正数的立方根是正数，0 的立方根是 0，负数的立方根是负数” 是解题的关键． 5．已知 +|b﹣1|=0，那么（a+b）2007 的值为（ ） A．﹣1 B．1 C．32007 D．﹣32007 【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值． 【分析】本题首先根据非负数的性质“两个非负数相加，和为 0，这两个非负数的值都为 0．”得到 关于 a、b 的方程组，然后解出 a、b 的值，再代入所求代数式中计算即可． 【解答】解：依题意得：a+2=0，b﹣1=0 ∴a=﹣2 且 b=1， ∴（a+b）2007=（﹣2+1）2007=（﹣1）2007=﹣1． 故选 A． 【点评】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数： （1）绝对值； （2）偶次方； （3）二次根式（算术平方根）． 当它们相加和为 0 时，必须满足其中的每一项都等于 0．根据这个结论可以求解这类题目． 6．若 =1﹣x，则 x 的取值范围是（ ） A．x＞1 B．x≥1 C．x＜1 D．x≤1 【考点】二次根式的性质与化简． 【分析】等式左边为算术平方根，结果为非负数，即 1﹣x≥0． 【解答】解：由于二次根式的结果为非负数可知， 1﹣x≥0，解得 x≤1， 故选 D． 【点评】本题利用了二次根式的结果为非负数求 x 的取值范围． 7．在﹣ ， ， ， ﹣ ，2.121121112 中，无理数的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】无理数． 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数 是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即 可判定选择项． 【解答】解：﹣ ， ， ﹣ 是无理数， 故选：B． 【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽 的数；以及像 0.1010010001…，等有这样规律的数． 8．若 a＜0，则化简| |的结果是（ ） A．0 B．﹣2a C．2a D．以上都不对 【考点】二次根式的性质与化简． 【分析】根据 =|a|，再根据绝对值的性质去绝对值合并同类项即可． 【解答】解：原式=||a|﹣a|=|﹣a﹣a|=|﹣2a|=﹣2a， 故选：B． 【点评】此题主要考查了二次根式的性质和化简，关键是掌握 =|a|． 9．实数 a，b 在数轴上的位置如图，则有（ ） A．b＞a B．|a|＞|b| C．﹣a＜b D．﹣b＞a 【考点】实数与数轴． 【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，绝对值的定义，不等式的性质，可得答案． 【解答】解： A、数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，b＞a，故 A 正确； B 绝对值是数轴上的点到原点的距离，|a|＞|b|，故 B 正确； C、|﹣a|＞|b，|得﹣a＞b，故 C 错误； D、由相反数的定义，得﹣b＞a，故 D 正确； 故选：C． 【点评】本题考查了实数与数轴，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，绝对值的定义， 不等式的性质是解题关键． 10．下列命题中正确的个数是（ ） A．带根号的数是无理数 B．无理数是开方开不尽的数 C．无理数就是无限小数 D．绝对值最小的数不存在 【考点】命题与定理． 【分析】根据各个选项中的说法正确的说明理由，错误的说明理由或举出反例即可解答本题． 【解答】解：∵ ，故选项 A 错误； 无理数是开放开不尽的数，故选项 B 正确； 无限不循环小数是无理数，故选项 C 错误； 绝对值最小的数是 0，故选项 D 错误； 故选 B． 【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是明确题意，正确的命题说明理由，错误的命题说明理 由或举出反例． 二、填空题 11．若 x2=8，则 x= ±2 ． 【考点】平方根． 【分析】利用平方根的性质即可求出 x 的值． 【解答】解：∵x2=8， ∴x=± =±2 ， 故答案为±2 ． 【点评】本题考查平方根的性质，利用平方根的性质可求解这类型的方程：（x+a）2=b． 12． 的平方根是 ±2 ． 【考点】平方根；算术平方根． 【分析】根据平方根的定义，求数 a 的平方根，也就是求一个数 x，使得 x2=a，则 x 就是 a 的平方 根，由此即可解决问题． 【解答】解： 的平方根是±2． 故答案为：±2 【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0； 负数没有平方根． 13．如果 有意义，那么 x 的值是 ± ． 【考点】二次根式有意义的条件． 【分析】根据二次根式有意义的条件可得：﹣（x2﹣2）2≥0，再解即可． 【解答】解：由题意得：﹣（x2﹣2）2≥0， 解得：x=± ， 故答案为： ． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 14．a 是 4 的一个平方根，且 a＜0，则 a 的值是 ﹣2 ． 【考点】平方根． 【分析】4 的平方根为±2，且 a＜0，所以 a=﹣2． 【解答】解：∵4 的平方根为±2，a＜0， ∴a=﹣2， 故答案为﹣2． 【点评】本题考查平方根的定义，注意一个正数的平方根有两个，且互为相反数． 15．当 x= ﹣2 时，式子 + 有意义． 【考点】二次根式有意义的条件． 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 【解答】解：由题意得，x+2≥0，﹣x﹣2≥0， 解得，x=﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键． 16．若一正数的平方根是 2a﹣1 与﹣a+2，则 a= 1 或﹣1 ． 【考点】平方根；解一元一次方程． 【专题】计算题． 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，分 2a﹣1 与﹣a+2 是同一个平方根与两个平方根 列式求解． 【解答】解：①2a﹣1 与﹣a+2 是同一个平方根，则 2a﹣1=﹣a+2， 解得 a=1， ②2a﹣1 与﹣a+2 是两个平方根，则 （2a﹣1）+（﹣a+2）=0， ∴2a﹣1﹣a+2=0， 解得 a=﹣1． 综上所述，a 的值为 1 或﹣1． 故答案为：1 或﹣1． 【点评】本题考查了平方根与解一元一次方程，注意平方根是同一个平方根的情况，容易忽视而导 致出错． 17．计算： + = 1 ． 【考点】二次根式的性质与化简． 【分析】直接利用二次根式的性质化简求出即可． 【解答】解： + =π﹣3+4﹣π=1． 故答案为：1． 【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确化简二次根式是解题关键． 18．如果 =4，那么 a= ±4 ． 【考点】二次根式的性质与化简． 【分析】根据二次根式的性质得出 a 的值即可． 【解答】解：∵ =4， ∴a=±4， 故答案为±4． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握 a2=16，得出 a=±4 是解题的关键． 19．﹣8 的立方根与 的算术平方根的和为 1 ． 【考点】立方根；算术平方根． 【分析】﹣8 的立方根为﹣2， 的算术平方根为 3，两数相加即可． 【解答】解：由题意可知：﹣8 的立方根为﹣2， 的算术平方根为 3， ∴﹣2+3=1， 故答案为 1． 【点评】本题考查立方根与算术平方根的性质，属于基础题型． 20．当 a2=64 时， = ±2 ． 【考点】立方根；算术平方根． 【分析】由于 a2=64 时，根据平方根的定义可以得到 a=±8，再利用立方根的定义即可计算 a 的立方 根． 【解答】解：∵a2=64， ∴a=±8． ∴ =±2． 【点评】本题主要考查了立方根的概念．如果一个数 x 的立方等于 a，即 x 的三次方等于 a（x3=a）， 那么这个数 x 就叫做 a 的立方根，也叫做三次方根． 21．若|a|= ， =2，且 ab＜0，则 a+b= 4﹣ ． 【考点】实数的运算． 【分析】根据题意，因为 ab＜0，确定 a、b 的取值，再求得 a+b 的值． 【解答】解：∵ =2， ∴b=4， ∵ab＜0， ∴a＜0， 又∵|a|= ， 则 a=﹣ ， ∴a+b=﹣ +4=4﹣ ． 故答案为：4﹣ ． 【点评】本题考查了实数的运算，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握绝对值的性质和二次根 式的非负性． 22．若 a、b 都是无理数，且 a+b=2，则 a，b 的值可以是 π；2﹣π （填上一组满足条件的值即 可）． 【考点】无理数． 【专题】开放型． 【分析】由于初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像 0.1010010001… 的数，而本题中 a 与 b 的关系为 a+b=2，故确定 a 后，只要 b=2﹣a 即可． 【解答】解：本题答案不唯一． ∵a+b=2， ∴b=2﹣a． 例如 a=π，则 b=2﹣π． 故答案为：π；2﹣π． 【点评】本题主要考查了无理数的定义和性质，答案不唯一，解题关键是正确理解无理数的概念和 性质． 23．绝对值不大于 的非负整数是 0，1，2 ． 【考点】估算无理数的大小． 【分析】先估算出 的值，再根据绝对值的性质找出符合条件的所有整数即可． 【解答】解：∵4＜5＜9， ∴2＜ ＜3， ∴符合条件的非负整数有：0，1，2． 故答案为：0，1，2． 【点评】本题考查的是估算无理数的大小及绝对值的性质，根据题意判断出 的取值范围是解答此 题的关键． 24．请你写出一个比 大，但比 小的无理数 + ． 【考点】无理数． 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数 是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数． 【解答】解：写出一个比 大，但比 小的无理数 + ， 故答案为： + ． 【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽 的数；以及像 0.1010010001…，等有这样规律的数． 25．已知 +|y﹣1|+（z+2）2=0，则（x+z）2008y= 1 ． 【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方． 【分析】根据非负数的性质列方程求出 x、y、z 的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：由题意得，x﹣3=0，y﹣1=0，z+2=0， 解得 x=3，y=1，z=﹣2， 所以，（3﹣2）2008×1=12008=1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为 0 时，这几个非负数都为 0． 三、解答题（共 40 分） 26．若 5x+19 的算术平方根是 8，求 3x﹣2 的平方根． 【考点】算术平方根；平方根． 【分析】先依据算术平方根的定义得到 5x+19=64，从而可术的 x 的值，然后可求得 3x﹣2 的值，最 后依据平方根的定义求解即可． 【解答】解：∵5x+19 的算术平方根是 8， ∴5x+19=64． ∴x=9． ∴3x﹣2=3×9﹣2=25． ∴3x﹣2 的平方根是±5． 【点评】本题主要考查的是算术平方根和平方根的定义，掌握算术平方根和平方根的定义是解题的 关键． 27．计算： （1） + ； （2） + + ． 【考点】实数的运算． 【专题】计算题；实数． 【分析】（1）原式利用平方根、立方根定义计算即可得到结果； （2）原式利用平方根及立方根定义计算即可得到结果． 【解答】解：（1）原式=5﹣2=3； （2）原式=﹣3+5+2=4． 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 28．解方程． （1）（x﹣1）2=16； （2）8（x+1）3﹣27=0． 【考点】立方根；平方根． 【分析】（1）两边直接开平方即可； （2）首先将方程变形为（x+1）3= ，然后把方程两边同时开立方即可求解． 【解答】解：（1）由原方程直接开平方，得 x﹣1=±4， ∴x=1±4， ∴x1=5，x2=﹣3； （2）∵8（x+1）3﹣27=0， ∴（x+1）3= ， ∴x+1= ， ∴x= ． 【点评】本题考查了平方根、立方根的性质与运用，是基础知识，需熟练掌握． 29．将下列各数按从小到大的顺序重新排成一列． 2 ， ，﹣ ，0，﹣ ． 【考点】实数大小比较． 【分析】把 2 ， ，﹣ ，0，﹣ 分别在数轴上表示出来，然后根据数轴右边的数大于左边的 数即可解决问题． 【解答】解：如图， 根据数轴的特点：数轴右边的数字比左边的大， 所以以上数字的排列顺序如下：2 ＞ ＞0＞﹣ ＞﹣ ． 【点评】此题主要考查了利用数轴比较实数的大小，解答本题时，采用的是数形结合的数学思想， 采用这种方法解题，可以使知识变得更直观． 30．著名的海伦公式 S= 告诉我们一种求三角形面积的方法，其中 p 表示 三角形周长的一半，a、b、c 分别三角形的三边长，小明考试时，知道了三角形三边长分别是 a=3cm， b=4cm，c=5cm，能帮助小明求出该三角形的面积吗？ 【考点】二次根式的应用． 【分析】先根据 BC、AC、AB 的长求出 P，再代入到公式 S= ，即可求得该 三角形的面积． 【解答】解：∵a=3cm，b=4cm，c=5cm， ∴p= = =6， ∴S= = =6（cm2）， ∴△ABC 的面积 6cm2． 【点评】此题考查了二次根式的应用，熟练掌握三角形的面积和海伦公式是本题的关键． 31．已知实数 a、b、c、d、m，若 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，m 的绝对值是 2，求 的平方根． 【考点】实数的运算． 【分析】根据相反数，倒数，以及绝对值的意义求出 a+b，cd 及 m 的值，代入计算即可求出平方根． 【解答】解：根据题意得：a+b=0，cd=1，m=2 或﹣2， 当 m=±2 时，原式=5， 5 的平方根为± ． 【点评】此题考查了实数的运算，平方根，绝对值，以及倒数，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 32．已知实数 a，b 满足条件 +（ab﹣2）2=0，试求 + + +…+ 的值． 【考点】分式的化简求值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根． 【分析】根据 +（ab﹣2）2=0，可以求得 a、b 的值，从而可以求得 + + +…+ 的值，本题得以解决． 【解答】解：∵ +（ab﹣2）2=0， ∴a﹣1=0，ab﹣1=0， 解得，a=1，b=2， ∴ + + +…+ = …+ = +…+ = = ． 【点评】本题考查分式的化简求值、偶次方、算术平方根，解题的关键是明确分式化简求值的方法．