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- 2021-10-26 发布
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13.3.2
等边三角形
第十三章 轴对称
第
2
课时 含
30°
角的直角三角形的性质
学习目标
1
.
探索含
30°
角的直角三角形的性质.(重点)
2
.
会运用
含
30°
角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算
.
(难点)
导入新课
问题引入
问题
1
如图,将两个相同的
含
30°
角的三角尺摆放在一起,你能借助这个图形,找到
Rt△
ABC
的直角
边
BC
与斜边
AB
之间的数量关系吗?
分离
拼接
A
C
B
问题
2
将一张等边三角形纸片,沿一边上的高对折,如图所示,你有什么发现?
讲授新课
含
30°
角的直角三角形的性质
一
性质:
在直角三角形中,如果一个锐角等于
30°
,那么它所对的直角边等于斜边的一半
.
A
B
C
D
如图,
△
ADC
是
△
ABC
的轴对称图形,
因此
AB=AD
, ∠
BAD
=2×30°=60°
,
从而
△
ABD
是一个等边三角形
.
再由
AC
⊥
BD
,
可得
BC
=
CD
=
AB
.
你还能用其他方法证明吗?
证法
1
证明:延长
B
C
到
D
,
使
BD
=
AB
,
连接
AD
,
则
△
ABD
是等边三角形.
在
△
ABC
中
,∵ ∠
C
=90°
,∠
A
=30°,
∴
∠
B
=60°
.
又
∵
AC
⊥
BD
,
已知:如图,在
Rt△
ABC
中,
∠
C
=90°
,∠
A
=30°.
求证:
BC
=
AB
.
A
B
C
D
证明方法:
倍长法
∴
BC
=
AB
.
∴
BC
=
BD
.
证明
:
在
BA
上截取
BE
=
BC
,
连接
EC
.
∵ ∠
B
= 60° ,
BE=BC
.
∴ △
BCE
是等边三角形,
∴ ∠
BEC
= 60°,
BE
=
EC
.
∵ ∠
A
= 30°,
∴ ∠
ECA
=∠
BEC
-∠
A
=60°-30° = 30°
.
∴
AE
=
EC
,
∴
AE
=
BE
=
BC
,
∴
AB
=
AE
+
BE
=2
BC
.
∴
BC
=
AB
.
证明方法:
截半法
证法
2
E
A
B
C
知识要点
含
30°
角的直角三角形的性质
在直角三角形中,如果一个锐角等于
30°
,那么它所对的直角边等于斜边的一半
.
应用格式:
∵
在
Rt△
ABC
中
,
∠
C
=90°
,∠
A
=30°
,
A
B
C
∴
BC
=
AB
.
√
判断下列说法是否正确:
1
)直角三角形中
30°
角所对的直角边等于另一直角边的一半.
2
)三角形中
30°
角所对的边等于最长边的一半。
3
)直角三角形中较短的直角边是斜边的一半。
4
)直角三角形的斜边是
30°
角所对直角边的
2
倍.
例
1
如图,在
Rt△
ABC
中,
∠
ACB
=
90°
,
∠
B
=
30°
,
CD
是斜边
AB
上的高,
AD
=
3cm
,则
AB
的长度是
(
)
A
.
3cm B
.
6cm
C
.
9cm D
.
12cm
典例精析
注意:
运用含
30°
角的直角三角形的性质求线段长时,要分清线段所在的直角三角形.
D
解析:在
Rt△
ABC
中,
∵
CD
是斜边
AB
上的高,
∴∠
ADC
=
90°
,
∴∠
ACD
=
∠
B
=
30°.
在
Rt△
ACD
中,
AC
=
2
AD
=
6cm
,在
Rt△
ABC
中,
AB
=
2
AC
=
12cm.∴
AB
的长度是
12cm.
故选
D.
例
2
如图,
∠
AOP
=
∠
BOP
=
15°
,
PC∥OA
交
OB
于
C
,
PD
⊥
OA
于
D
,若
PC
=
3
,则
PD
等于
(
)
A
.
3 B
.
2
C.1.5 D
.
1
解析:如图,过点
P
作
PE
⊥
OB
于
E
,
∵
PC∥OA
,
∴∠
AOP
=
∠
CPO
,
∴∠
PCE
=
∠
BOP
+
∠
CPO
=
∠
BOP
+
∠
AOP
=
∠
AOB
=
30°.
又
∵
PC
=
3
,
∴
PE
=
1.5.∵∠
AOP
=
∠
BOP
,
PD
⊥
OA
,
∴
PD
=
PE
=
1.5.
故选
C.
E
C
方法总结:
含
30°
角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时,关键是寻找或作辅助线构造含
30°
角的直角三角形.
例
3
如图,在
△
ABC
中,
∠
C
=
90°
,
AD
是
∠
BAC
的平分线,过点
D
作
DE
⊥
AB
.
DE
恰好是
∠
ADB
的平分线.
CD
与
DB
有怎样的数量关系?请说明理由.
解:
理由如下:
∵
DE
⊥
AB
,
∴∠
AED
=
∠
BED
=
90°.
∵
DE
是
∠
ADB
的平分线,
∴∠
ADE
=
∠
BDE
.
又
∵
DE
=
DE
,
∴△
AED
≌
△
BED
(ASA)
,
在
Rt△
ACD
中,
∵∠
CAD
=
30°
,
∴
AD
=
BD
,
∠
DAE
=
∠
B
.
∵∠
BAD
=
∠
CAD
=
∠
BAC
,
∴∠
BAD
=
∠
CAD
=
∠
B
.
∵∠
BAD
+
∠
CAD
+
∠
B
=
90°
,
∴∠
B
=
∠
BAD
=
∠
CAD
=
30°.
∴
CD
=
AD
=
BD
,即
CD
=
DB
.
方法总结:
含
30°
角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据,如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时,要联想此性质.
想一想:
图中
BC
、
DE
分别是哪个直角三角形的直角边?它们所对的锐角分别是多少度?
例
4
如图是屋架设计图的一部分,点
D
是斜梁
AB
的中点,立柱
BC
,
DE
垂直于横梁
AC
,
AB
=7.4 cm
,∠
A
=30°
,
立柱
BC
、
DE
要多长?
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
解:
∵
DE
⊥
AC
,
BC
⊥
AC
, ∠
A
=30 °
,
∴
BC
=
AB
,
DE
=
AD
.
∴
BC
=
AB
= ×7.4=3.7(m).
又
AD
=
AB
,
∴
DE
=
AD
= ×3.7=1.85 (m).
答:立柱
BC
的长是
3.7m
,
DE
的长是
1.85m.
例
5
已知
:
等腰三角形的底角为
15 °,
腰长为
20.
求腰上的高
.
A
C
B
D
15
°
15
°
20
解
:
过
C
作
CD
⊥
BA
,
交
BA
的延长线于点
D.
∵∠
B
=∠
ACB
=15
°
(
已知
),
∴∠
DAC
= ∠
B
+ ∠
ACB
= 15
°
+15
°
=30
°,
)
)
∴
CD
=
AC
= ×20=10.
方法总结:
在求三角形边长的一些问题中,可以构造含30°角的直角三角形来解决.本题的关键是作高,而后利用等腰三角形及外角的性质,得出
30
°角,利用含
30
°角的直角三角形的性质解决问题
.
当堂练习
1.
如图,一棵树在一次强台风中于离地面
3
米处折断倒下,倒下部分与地面成
30°
角,这棵树在折断前的高度为
( )
A
.
6
米
B
.
9
米
C
.
12
米
D
.
15
米
2.
某市在旧城改造中,计划在一块如图所示的
△ABC
空地上种植草皮以美化环境,已知
∠A
=
150°
,这种草皮每平方米售价
a
元,则购买这种草皮至少需要
( )
A
.
300
a
元
B
.
150
a
元
C
.
450
a
元
D
.
225
a
元
B
B
4
.
在
△
ABC
中,
∠
A
: ∠
B
: ∠
C
=1:2:3,
若
AB
=10,
则
BC
=
.
5
5.
如图,
Rt△
ABC
中,
∠
A
= 30°
,
AB
+
BC
=12cm
,
则
AB
=______.
A
C
B
8
3.
如图,在
△
ABC
中,
∠
ACB
=90°
,
CD
是高
,
∠
A
=30°
,
AB
=4
.
则
BD
=
.
1
第
3
题图
第
5
题图
A
B
C
D
6.
在△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,DE是AB的垂直平分线,BE=5,则求AC的长.
解:连接AE,
∵DE是AB的垂直平分线,
∴BE=AE,
∴∠EAB=∠B=15°,
∴∠AEC=
∠EAB
+
∠B=30°.
∵∠C=90°,
∴AC= AE= BE=2.5.
7.
在
△ABC
中
,
AB=AC
,
∠BAC=120
°
,
D
是
BC
的中点,
DE⊥AB
于
E
点,求证:
BE=3EA.
证明:
∵AB=AC
,
∠BAC=120
°,
∴∠B=∠C=30
°
.
∵ D
是
BC
的中点,
∴AD⊥BC
∴∠ADC=90°
,
∠BAD=∠DAC=60
°
.
∴AB=2AD.
∵DE⊥AB
,
∴∠AED=90
°,
∴∠ADE=30
°,
∴AD=2AE.
∴AB=4AE
,
∴BE=3AE.
8.
如图,已知
△ABC
是等边三角形,
D,E
分别为
BC
、
AC
上的点,且
CD=AE
,
AD
、
BE
相交于点
P
,
BQ⊥AD
于点
Q,
求证
:BP=2PQ.
拓展提升
∴∠CAD=∠ABE
.
∵
∠BAP+∠CAD=60°
,
∴∠ABE+∠BAP=60°.
∴∠BPQ=60°.
又
∵ BQ⊥AD
,
∴BP=2PQ.
∴∠PBQ=30
°
,
∴∠BQP=90
°
,
证明:
∵△ABC
为等边三角形,
∴ AC=BC=AB ,∠C=∠BAC=60°
,
∵CD=AE
,
∴△ADC
≌
△BEA.
课堂小结
内容
在直角三角形中,如果一个锐角等于
30°
,那么它所对的直角边等于斜边的一半
使用要点
含
30°
角的直角三角形的性质
找准
30 °
的角所对的直角边,点明斜边
注意
前提条件:直角三角形中
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