八年级数学下册知能提升作业二十八第20章平行四边形的判定20 6页

知能提升作业（二十八）‎ 第20章平行四边形的判定 20.4正方形的判定 一、选择题(每小题4分，共12分)‎ ‎1.如图是用4个相同的小矩形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案.已知该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示小矩形的两边长(x>y)，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是( )‎ ‎(A)x+y=7 (B)x-y=2 (C)4xy+4=49 (D)x2+y2=25‎ ‎2.(2012·广州中考)在平面中，下列命题为真命题的是( )‎ ‎(A)四边相等的四边形是正方形 ‎(B)对角线相等的四边形是菱形 ‎(C)四个角相等的四边形是矩形 ‎(D)对角线互相垂直的四边形是平行四边形 ‎3.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=，CD=，点P在四边形ABCD的边上.若点P到BD的距离为则点P的个数为( )‎ ‎(A)1 (B)2‎ ‎(C)3 (D)4‎ 二、填空题(每小题4分,共12分)‎ ‎4.四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,给出以下题设条件:①AB＝BC＝CD＝DA；②AO＝BO＝CO＝DO；③‎ - 6 -‎ AO＝CO=BO＝DO,AC⊥BD；④AB＝BC,CD＝DA.其中能判断它是正方形的题设条件是__________(把正确的序号填在横线上).‎ ‎5.如图,将一张正方形纸片剪成四个小正方形,得到4个小正方形,称为第一次操作；然后,将其中的一个正方形再剪成四个小正方形,共得到7个小正方形,称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形,共得到10个小正方形,称为第三次操作，……,根据以上操作,若要得到2 011个小正方形,则需要操作__________次.‎ ‎6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于D，交AB于E,且CF=BE.当∠A=_______时，四边形BECF是正方形.‎ 三、解答题(共26分)‎ ‎7.(8分)(2012·内江中考)如图,四边形ABCD是矩形,E是BD上的一点,∠BAE=∠BCE,∠AED=∠CED,点G是BC,AE延长线的交点,AG与CD相交于点F,求证:四边形ABCD是正方形.‎ - 6 -‎ ‎8.(8分)(2012·南京中考)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,对角线AC,BD交于点O,AC⊥BD,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点.‎ ‎(1)求证:四边形EFGH为正方形；‎ ‎(2)若AD=2,BC=4,求四边形EFGH的面积.‎ ‎【拓展延伸】‎ ‎9.(10分)矩形、菱形、正方形都是平行四边形,但它们都是有特殊条件的平行四边形,正方形不仅是特殊的矩形,也是特殊的菱形.因此,我们可利用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题.回答下列问题:‎ ‎(1)将平行四边形、矩形、菱形、正方形它们的包含关系填入下图中；‎ ‎(2)要证明一个四边形是正方形,可先证明四边形是矩形,再证明这个矩形的一组邻边___________；或者先证明四边形是菱形,再证明这个菱形有一个角是_________________；‎ ‎(3)某同学根据菱形面积计算公式推导出对角线长为a的正方形面积是S=0.5a2‎ - 6 -‎ ‎,对此结论,你认为是否正确?若正确,请说明理由；若不正确,请举出一个反例说明.‎ 答案解析 ‎1.【解析】选D.大正方形的面积为49，边长x+y=7；小正方形的面积为4，边长x-y=2.四个小矩形的面积4xy加上小正方形的面积等于大正方形的面积，即4xy+4=49.‎ ‎2.【解析】选C.根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理，选项C正确.‎ ‎3.【解析】选B.过点B作DC延长线的垂线相交于点E，由于∠A=∠ADC=∠E=90°，且AB=AD.所以，四边形ABED为正方形.又即C为DE中点.作CF⊥BD,F为垂足，设CF=DF=x,则解得x=1,即CF=1.又因为正方形的对角线所以当P点在AB、AD上时，P点到BD的距离可以为 ‎4.【解析】由①得四边形是菱形；由②得四边形是矩形；由③得四边形是正方形；由④得四边形为一般四边形.‎ 答案：③‎ ‎5.【解析】根据题意,知第一次操作得4=3+1(个),第二次操作得7=2×3+1(个),第三次操作得10=3×3+1(个)，……,即第n次操作得(3n+1)(个),当3n+1=2 011时,解得n=670.‎ 答案：670‎ ‎6.【解析】∵EF垂直平分BC,‎ ‎∴BE=EC,BF=CF.‎ ‎∵CF=BE,∴BE=EC=CF=BF.‎ ‎∴四边形BECF是菱形.‎ 当∠A=45°时，△ABC为等腰直角三角形，‎ - 6 -‎ ‎∴∠ABC=45°，‎ ‎∴∠ECB=∠ABC=45°，‎ ‎∴∠ECF=90°，∴菱形BECF为正方形.‎ 答案：45°‎ ‎7.【证明】∵∠AED=∠CED,∴∠AEB=∠CEB.‎ 又∵∠BAE=∠BCE,BE=BE,‎ ‎∴△ABE≌△CBE,∴AB=CB.‎ 又∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴四边形ABCD是正方形.‎ ‎8.【解析】(1)在△ABC中,E,F分别是AB,BC的中点,‎ 故可得同理 在梯形ABCD中,AB=DC,故AC=BD.‎ ‎∴EF=FG=GH=HE,‎ ‎∴四边形EFGH是菱形.‎ 设AC与EH交于点M,‎ 在△ABD中,E,H分别是AB,AD的中点,‎ 则EH∥BD,同理GH∥AC,‎ 又∵AC⊥BD,∴∠BOC=90°,‎ ‎∴∠EHG=∠EMC=90°,‎ ‎∴四边形EFGH是正方形.‎ ‎(2)连结EG.‎ 在梯形ABCD中,‎ ‎∵E,G分别是AB,DC的中点,‎ - 6 -‎ 在Rt△EHG中,‎ ‎∵EH2+GH2=EG2,EH=GH,‎ ‎∴即四边形EFGH的面积为 ‎9.【解析】(1)‎ ‎(2)相等 直角 ‎(3)正确.设菱形的两条对角线分别为a,b,则它的面积为S=0.5ab,当两条对角线相等时,这个四边形就为正方形,可得正方形的面积是0.5a2.‎ - 6 -‎