北师大版八年级下册数学同步练习课件-第1章-1 等腰三角形（四） 31页

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AB=AC, 在△ABD和△ACE中，∠B=∠ACE, BD=CE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）. ∴AD=AE，∠BAD=∠CAE. ∴∠BAC=∠DAE. 又∵∠BAC=60°，∴∠DAE=60°. ∴△ADE为等边三角形. 2. 已知如图1-1-42，△ABC是等边三角形，D为AC上 任意一点，∠ABD=∠ACE，BD=CE. 求证：△ADE是等 边三角形. 模拟演练 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°. 在△ABD和△ACE中， AB=AC, ∠ABD=∠ACE, BD=CE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）. ∴AD=AE，∠BAD=∠DAE=60°. ∴△ADE是等边三角形. 【例3】已知如图1-1-43，BC⊥AC，DE⊥AC，D为AB的 中点，∠A=30°，AB=8. 求BC，DE的长. 典型例题 新知2：含30°角的直角三角形的性质 解:∵BC⊥AC，DE⊥AC， ∴∠BCA=∠DEA=90°. ∵D为AB的中点，AB=8， ∴AD=DB=4. ∵∠A=30°， ∴BC= AB=4，DE= AD=2. 3. 如图1-1-44，△ABC中，∠BAC=90°，AD是△ABC 的高，∠C=30°，BC=4，求BD的长. 模拟演练 解：∵在△ABC中，∠BAC=90°， ∠C=30°，AD是高， ∴∠ADB=90°，∠BAD=∠C=30°. ∴在Rt△ABC中，AB= BC=2. ∴在Rt△ABD中，BD= AB=1. 【 例 4 】 如 图 1 - 1 - 4 5 ， 在 △ A B C 中 ， A B = A C ， ∠BAC=120°，D为BC的中点，DE⊥AC于点E，AE=1，求 CE的长. 典型例题 解：连接AD，如答图1-1-3. ∵AB=AC，∠BAC=120°， D为BC的中点， ∴AD⊥BC，AD平分∠BAC， ∠B=∠C=30°. ∴∠DAC= ∠BAC=60°. ∵DE⊥AC，∴∠AED=90°.∴∠ADE=30°. 在Rt△ADE中，AE=1，∠ADE=30°，∴AD=2AE=2. 在Rt△ADC中，AD=2，∠C=30°，∴AC=2AD=4. 则CE=AC-AE=4-1=3. 4. 如图1-1-46，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， D，E分别为AC，AB上的点，且AD=BD，AE=BC，DE=DC， 求∠EDC的度数. 模拟演练 解：∵∠C=90°，∠A=30°， ∴∠ABC=60°，BC= AB. ∵AE=BC，∴BE=AE=BC. ∵AD=BD，∴∠ABD=∠A=30°. ∴∠DBC=30°.∴∠BDC=60°. 在△BDE与△BDC中， BE＝BC, BD＝BD, DE＝DC， ∴△BDE≌△BDC（SSS）. ∴∠EDB=∠BDC=60°. ∴∠EDC=120°. 分层训练 A组 1. 下列条件中，不能得到等边三角形的是（ ） A. 有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形 B. 三边都相等的三角形是等边三角形 C. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 D. 有两个内角是60°的三角形是等边三角形 A 2. 如图1-1-47，在△ABC中，下列条件能说明△ABC是 等边三角形的是（ ） A. AB=AC，∠B=∠C B. AD⊥BC，BD=CD C. BC=AC，∠B=∠C D. AD⊥BC，∠BAD=∠CAD C 3. 如图1-1-48，△ABC中，∠C=90°，AB=6，∠B=30°， 点P是BC边上的动点，AP的长不可能是（ ） A. 2.5 B. 4.2 C. 5.8 D. 3.6 A 4. 将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测 得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如 图1-1-49，则三角板最长边的长为______cm. B组 5. 已知：如图1-1-50，在Rt△ABC中，∠A=90°， ∠ABC=2∠C，BD是∠ABC的平分线. 求证：CD=2AD. 证明：∵∠A=90°，∠ABC=2∠C， ∴∠ABC+∠C=90°. ∴2∠C+∠C=90°. 解得∠C=30°，∠ABC=60°. ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD=∠CBD=30°. ∴∠CBD=∠C.∴BD=CD. 在Rt△ABD中，∵∠ABD=30°， ∴BD=2AD.∴CD=2AD. 6. 如图1-1-51，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边 BC，AC上. 若CD=2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE， 交BC的延长线于点F.求EF的长. 解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠ACB=60°. ∵DE∥AB， ∴∠EDC=∠B=60°. ∴△EDC是等边三角形. ∴DE=DC=2. 在Rt△DEF中， ∵∠DEF=90°，DE=2，∠F=30°, ∴DF=2DE=4. ∴EF= . 7. 如图1-1-52，已知等边三角形ABC，D是边AB的中点， 过点D作DF⊥AC，垂足为点F，过点F作FH⊥BC，垂足为 点H.若等边三角形ABC的边长为4，求BH的长. 解：∵△ABC是等边三角形，DF⊥AC， ∴∠A=60°，∠DFA=90°. ∴∠ADF=30°. ∵D是AB的中点， ∴AD= AB＝2. ∴AF= AD＝1.∴CF=AC-AF=4-1=3. 在Rt△FHC中，∵∠C=60°，∠FHC=90°， ∴∠HFC=30°.∴HC= FC＝1.5. ∴BH=BC-HC=4-1.5=2.5. C组 8. 如图1-1-53，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D 在CB的延长线上，且AE=BD. （1）当点E为AB的中点时，如图1-1-53①，求证： EC=ED； （2）当点E不是AB的中点时，如图1-1-53②，过点E作 EF∥BC. 求证：△AEF是等边三角形; （3）在第（2）小题的条件下，EC与ED还相等吗？请说 明理由. （1）证明：在等边三角形ABC中，AB=BC=AC， ∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°. ∵点E为AB的中点，∴AE=EB=BD. ∴∠ECB= ∠ACB=30°， ∠EDB=∠DEB= ∠ABC=30°. ∴∠ECB=∠EDB. ∴EC=ED. （2）证明：∵EF∥BC， ∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠C=60°. ∴△AEF为等边三角形. （3）解：EC=ED. 理由如下： ∵AE=BD，△AEF为等边三角形，∴BD=EF. ∵∠A=∠AEF=∠ABC=60°， ∴∠EFC=∠DBE=120°. ∵AB=AC，AE=AF，∴AB-AE=AC-AF，即BE=FC. DB=EF, 在△DBE和△EFC中，∠DBE=∠EFC, BE=FC, ∴△DBE≌△EFC（SAS）. ∴ED=EC.