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- 2021-10-26 发布
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第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1.1 同底数幂相乘
基础篇
一、 单选题（共10小题)
1．下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】
解：A、，故此选项错误；
B、，正确；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误；
故选：B．
【名师点睛】
此题主要考查了同底数幂的乘法以及合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2．已知，则的值为（ ）
A.5 B.10 C.32 D.64
【答案】B
【详解】
解：∵
∴
∴
故选择：B.
【名师点睛】
本题考查了同底数幂的乘法：底数不变，指数相加；掌握同底数幂运算法则是解决本题的关键.
72
3．已知3a=1，3b=2，则3a+b的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．27
【答案】C
【解析】∵3a×3b
=3a+b
∴3a+b
=3a×3b
=1×2
=2
故选C．
4．可以改写成（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】
=，故选B.
【名师点睛】
本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则.
5．若x，y均为正整数，且2x＋1·4y＝128，则x＋y的值为( )
A．3 B．5 C．4或5 D．3或4或5
【答案】C
【解析】
∵2x＋1·4y＝128，27＝128，
∴x＋1＋2y＝7，即x＋2y＝6.
∵x，y均为正整数，
∴或
∴x＋y＝4或5.
72
6．计算，则等于（ ）
A.10 B.9 C.8 D.4
【答案】A
【详解】
解：由题意可知：a2＋x＝a12，
∴2＋x＝12，
∴x＝10，
故选：A．
【名师点睛】
本题考查同底数幂的乘法，要注意是指数相加，底数不变．
7．··100=( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】
原式=
=
故选D.
【名师点睛】
本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握计算法则是解题关键.
8．若39m27m=，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】
∵39m27m=332m33m=31+2m+3m
∴1+2m+3m=21
∴m=4
72
故选B
9．如果，则n的值为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】B
【详解】
解：∵，
∴n=7.
故选B.
【名师点睛】
此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
10．（2017·重庆十八中初二期中）已知x+y﹣4=0，则2y•2x的值是( )
A.16 B.﹣16 C. D.8
【答案】A
【解析】
∵x+y－4=0，∴x+y=4，∴2y·2x=2x+y=24=16.
故选A.
提升篇
一、 填空题（共5小题)
11．（2018秋 东台市期中）已知2x+3y-5=0，则9x•27y的值为______．
【答案】243
【详解】
∵2x+3y−5=0，
∴2x+3y=5，
∴9x×27y=32x×33y=32x+3y=35=243.
故答案为：243.
72
【名师点睛】
本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是熟练的掌握同底数幂乘法的概念和运算法则.
12．（2019·成都市武侯区西蜀实验学校初一期末）已知，则=__________.
【答案】5
【详解】
解：∵，
∴
∴.
【名师点睛】
本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握是解题的关键.
13．（2018春 临洮县期末）计算：=________.
【答案】8
【详解】
原式= (−0.125)2018×820188= (−0.125×8)20188=8，
故答案为：8.
【名师点睛】
本题考查的知识点是幂的乘方与积的乘方及同底数幂的乘方，解题的关键是熟练的掌握幂的乘方与积的乘方及同底数幂的乘方.
14．（2018春 宣城市期中）若x，y为正整数，且2x•2y=16，则x，y的值是____________．
【答案】或或．
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘法法则可得x+y=4，再根据x、y为正整数进行求解即可.
【详解】
∵2x•2y=16，∴2x+y=24，∴x+y=4．
72
∵x，y为正整数，∴或或，
故答案为：或或．
【名师点睛】
本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则和逆运算是解题的关键．
15．（2018春 宣城市期末）已知，则n的值是________________．
【答案】5
【解析】
∵，
∴，
∴，
∴n+3=8,
∴n=5.
故答案为：5.
一、 解答题（共2小题)
16．（2018春 无锡市期末）已知关于x、y的方程组
求代数式的值；
若，，求k的取值范围；
若，请直接写出两组x，y的值．
【答案】（1）；（2）；（3），．
【解析】
详解：，
72
，得，
，
把代入，得，
，
，
，
，
；
，，
，
解得；
，．
17．（2019春 南通市期中）已知x+3y﹣3＝0．
(1)求2x•8y的值；
(2)若x﹣5y≥y，求x的取值范围．
【答案】(1)8；(2)x≥2．
【详解】
解：(1)∵x+3y﹣3＝0，
∴x+3y＝3
则2x•8y＝2x•23y＝2x+3y＝23＝8．
故2x•8y的值为8．
72
(2)由x+3y﹣3＝0可得y＝，
代入不等式可得：x﹣≥，
解得：x≥2．
故x的取值范围是x≥2．
【名师点睛】
本题考查同底数幂的乘法及一元一次不等式的解法，要深刻理解“同底数幂相乘，底数不变指数相加”，对于第二问不等式的求解要注意使用换元法．
72
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1.2 幂的乘方
基础篇
一、单选题（共10小题)
1． 2101×0.5100的计算结果是（ ）
A.1 B.2 C.0.5 D.10
【答案】B
【解析】
，故选B．
2．已知：，则
A．16 B．25 C．32 D．64
【答案】C
【解析】
∵，
∴.
故选C.
3．如果a=355，b=444，c=533，那么a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a
【答案】C
【详解】
a=355=（35）11=24311，
b=444=（44）11=25611，
c=533=（53）11=12511，
∵256＞243＞125，
∴b＞a＞c．
故选C．
72
【名师点睛】
本题考查了幂的乘方，关键是掌握amn=（an）m．
4．如果(an•bmb)3＝a9b15，那么( )
A．m＝4，n＝3 B．m＝4，n＝4
C．m＝3，n＝4 D．m＝3，n＝3
【答案】A
【详解】
解:∵（anbmb）3=a9b15,∴(an)3（bm）3b3=a3nb3m+3=a9b15,
∴3n=9,3m+3=15,,
解得:m=4,n=3,
∴m、n的值为4,3.
所以A选项是正确的.
【名师点睛】
本题考查了积的乘方的性质和幂的乘方的性质,根据相同字母的次数相同列式是解题的关键.
5．（2018·广西中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a2=2a2 B．a2+a2=a4 C．（a3）2=a6 D．a8÷a2=a4
【答案】C
【详解】A、a2•a2=a4，错误；
B、a2+a2=2a2，错误；
C、（a3）2=a6，正确；
D、a8÷a2=a6，错误，
故选C．
【名师点睛】本题考查了同底数幂乘除法、合并同类项，幂的乘方等运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．
6．已知，，则的结果是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】
72
∵，，
∴=.
故选B.
【名师点睛】
考查了同底数幂的乘法、幂的乘方的性质，逆用性质是解题的关键:先根据同底数据乘法法则将原式转化成，再根据幂的乘方将转化成，再将已知代入计算即可．
7．（2018·河南中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣x2）3=﹣x5 B．x2+x3=x5 C．x3•x4=x7 D．2x3﹣x3=1
【答案】C
【解析】
A、（-x2）3=-x6，此选项错误；
B、x2、x3不是同类项，不能合并，此选项错误；
C、x3•x4=x7，此选项正确；
D、2x3-x3=x3，此选项错误；
故选：C．
8．（2018·无锡市前洲中学初一月考）已知a＝96，b＝314，c＝275，则a、b、c的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a
【答案】C
【详解】
因为a＝=312，b＝，c＝=315，
所以，c>b>a
故选：C
【名师点睛】
本题考核知识点：幂的乘方. 解题关键点：熟记幂的乘方公式.
9．（2019·安徽中考真题）计算 的结果是（ ）
A.a2 B.-a2 C.a4 D.-a4
【答案】D
72
【详解】
解：，
故选：D．
【名师点睛】
此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
10．（2019·重庆市永川区红炉镇红炉初级中学校初二期中）已知： 3x=2,9y=3,则3x+2y的值为( )
A．1 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【详解】
解：∵9y=32y=3，
∴3x+2y=3x·32y=2×3=6，
故选：D.
【名师点睛】
本题考查了同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握法则是解答本题的关键，特别注意运算过程中指数的变化规律，灵活运用法则的逆运算进行计算，培养学生的逆向思维意识.
提升篇
二、填空题（共5小题)
11． 3108与2144的大小关系是__________
【答案】3108＞2144
【详解】
解：3108=(33)36=2736，
2144=(24)36=1636，
∵27>16，
∴2736>1636，
即3108>2144.
故答案为：3108>2144.
【名师点睛】
本题考查了幂的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方的运算法则.
72
12．（2017春 无锡市期末）若，则=_______________．
【答案】36
【详解】因为，
所以=·=4×9=36，
故答案为：36.
【名师点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方的应用，用了整体代入思想.
13．（2018春 延边市期中）已知4×2a×2a+1＝29，且2a+b＝8，求ab＝_____．
【答案】9
【详解】
解：由4×2a×2a+1=29=22+a+a+1，得2+a+a+1=9，
∴a=3,
∵2a+b=8，
∴b=2,
∴ab=9.
【名师点睛】
本题考查了整式的幂指数运算,属于简单题,熟悉运算法则是解题关键.
14．（2018春 南昌市期末）已知a2m=3，b3n=2，则a4mb6n的值为 ____.
【答案】4
【解析】
详解: ∵a2m=3，b3n=2，
∴a4m=9，b6n=4，
∴a4mb6n=×9×4=4.
故答案为：4.
15．（2019·四川中考真题）若.则___________.
【答案】4
【详解】
72
∵
∴
【名师点睛】
本题考查了同底数幂相乘的逆运算，幂的乘方逆运算，掌握运算法则即可求解.
三、解答题（共3小题)
16．（2017春 苏州市期中）(1)已知4m＝a，8n＝b，用含a，b的式子表示下列代数式：
①求：22m+3n的值
②求：24m﹣6n的值
(2)已知2×8x×16＝223，求x的值．
【答案】（1） （2）x =6
【解析】
（1）∵4m=a，8n=b，
∴22m=a，23n=b，
①22m+3n=22m•23n=ab；
②24m-6n=24m÷26n=（22m）2÷（23n）2=；
（2）∵2×8x×16=223，
∴2×（23）x×24=223，
∴2×23x×24=223，
∴1+3x+4=23，
解得：x=6．
17．（2018春 扬州市期末）（1）若的值；（2）若求的值；
【答案】（1）144；（2）27；
【解析】
72
（1）（x2y）2n
=x4ny2n
=（xn）4（yn）2
=24×32
=16×9
=144；
（2）32a﹣4b+1
=（3a）2÷（32b）2×3
=36÷4×3
=27．
18．（2019·江苏初一期中）根据已知求值：
（1）已知，，求的值；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）10；（2）
【详解】
（1）
（2）
【名师点睛】
此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算公式的逆用.
72
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1.3 积的乘方
基础篇
一、单选题（共10小题)
1． ( )
A. B.1 C.0 D.1997
【答案】B
【解析】
试题分析：根据积的乘方，等于各个因式分别乘方，可得==1.
故选：B
2．（2017·上海市玉华中学初一期中）已知am=2，an=3，则a3m+2n的值是（ ）
A．24 B．36 C．72 D．6
【答案】C
【解析】
∵am=2，an=3，
∴a3m+2n
=a3m•a2n
=（am）3•（an）2
=23×32
=8×9
=72．
故选C.
3．（2017·深圳市龙华区锦华实验学校初一月考）若2x=4y-1，27y=3x+1，则x-y等于( )
A．－5 B．－3 C．－1 D．1
72
【答案】B
【解析】
，，
∴，
把x=2y-2代入3y=x+1中，
解得：y=-1，
把y=-1代入x=2y-2得：x=-4，
∴x-y=-4-（-1）=-3，
故选B．
【名师点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方以及二元一次方程，同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，
4．计算﹣(﹣2x3y4)4的结果是( )
A．16x12y16 B．﹣16x12y16 C．16x7y8 D．﹣16x7y8
【答案】B
【详解】
﹣（﹣2x3y4）4=-(-1)4*x3*4y4*4=﹣16x12y16
【名师点睛】
本题考查了积的乘方运算法则，掌握对应积乘方运算法则是解题关键.
5．（2018·山东中考真题）计算（a2）3﹣5a3•a3的结果是（ ）
A．a5﹣5a6 B．a6﹣5a9 C．﹣4a6 D．4a6
【答案】C
【详解】
（a2）3-5a3•a3
=a6-5a6
=-4a6．
故选C．
【名师点睛】
此题主要考查了幂的乘方运算、单项式乘以单项式，正确掌握运算法则是解题关键．
72
6．（2019·湖南中考真题）以下计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
，故A选项错误；
不能合并同类项，故B选项错误；
，故C选项错误；
，故D选项正确.
故选D．
【名师点睛】
本题考查整式的运算；熟练掌握幂的乘方与积的乘方，单项式乘以多项式法则，合并同类项法则是解题的关键．
7．计算（-）2018×（）2019的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】
（-）2018×（）2019
=[（-）×（）]2018×
=（-1）2018×
=
72
【名师点睛】
此题主要考查了积的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．
8．计算(﹣2a1+nb2)3=﹣8a9b6，则n的值是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】
∵(﹣2a1+nb2)3=-8a(1+n)×3b6=﹣8a9b6，
∴3(1+n)=9，
解得：n=2，
故选C.
【名师点睛】
本题考查积的乘方，积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，熟练掌握运算法则是解题关键.
9．（2019·江苏中考真题）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：＝（a2）3b3＝a6b3．
故选：D．
【名师点睛】
本题主要考查了幂的运算，熟练掌握法则是解答本题的关键．积的乘方，等于每个因式乘方的积．
10．（2018·吉林东北师大附中中考模拟）计算的结果是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
．
故选：C．
【名师名师点睛】
72
考查了幂的乘方和积的乘方，掌握运算法则是解答本题关键．
提升篇
二、填空题（共5小题)
11．（2018·武威第十七中学初二期末）计算：（﹣2）2016×（）2017=______．
【答案】
【解析】
（﹣2）2016×（ 2017
=（﹣）2016×（ 2016×（
=[（﹣）×（ 2016×（
= (−1)2016×
=1×=
故答案为：.
12．（2018·忠县马灌初级中学校初二期中）已知（anbm+4）3=a9b6，则mn=________
【答案】-8
【解答】
（anbm+4）3=a3nb3m+12，
∵（anbm+4）3=a9b6，
∴3n=9，3m+12=6，
解得：n=3，m=﹣2，
72
∴mn=（﹣2）3=﹣8，
故答案为：﹣8．
【名师名师点睛】
本题考查了求代数式的值和幂的乘方与积的乘方，能得出关于 m、n 的方程是解此题的关键．
13．（2017·甘肃省武威第五中学初二月考）若10m=5，10n=3，则102m+3n= ．
【答案】675．
【解析】
102m+3n=102m⋅103n=(10m)2⋅(10n)3=52⋅33=675，
故答案为：675.
【名师名师点睛】此题考查了幂的乘方与积的乘方, 同底数幂的乘法. 首先根据同底数幂的乘法法则，可得102m+3n=102m×103n，然后根据幂的乘方的运算方法，可得102m×103n=（10m）2×（10n）3，最后把10m=5，10n=2代入化简后的算式，求出102m+3n的值是多少即可．
14．（2018·南城县第二中学初一期末）82018×（﹣0.125）2019=__．
【答案】-0.125
【详解】
原式=82018×（﹣0.125）2018×（﹣0.125）
=（﹣1）2018×（﹣0.125）
=﹣0.125
【名师名师点睛】
主要考察积的乘方逆运算来解答.
15．若为正整数，且3a×9b=81，则__________。
【答案】4.
【详解】
∵3a×9b=81，
∴，
∴a+2b=4，
故答案为：4.
72
【名师名师点睛】
此题考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解题关键在于掌握运算法则.
三、解答题（共3小题)
16．（2018春 洛阳市期中）已知27b＝9×3a+3，16＝4×22b﹣2，求a+b的值．
【答案】3
【详解】
∵27b=9×3a+3，16=4×22b-2，
∴（33）b=32×3a+3，24=22×22b-2，
∴33b=3a+5，24=22b，
∴，
解得，，
∴a+b=1+2=3．
【名师名师点睛】
本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
17．（2018春 海淀区期中）计算:
(1);
(2);
(3) (m为正整数).
【答案】(1)0；(2)；(3)0.
【解析】
（1）原式=x8+x8－x·x4·x3+x3·x4×（－x）= x8+x8－x8－x8=0；
（2）原式=（a6－2nb2m－2）（16a6－2nb2m+2）=a12－4nb4m；
（3）原式=22m－1×24×（23）m－1+（－22m）×23m=22m+3×23m－3－25m=25m－25m=0.
72
18．（2017 台州市期末）已知关于的方程和的解相同．
（）求的值．
（）求式子的值．
【答案】（）；（）-2．
【解析】
（）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵两个方程的解相同，
∴，
∴，
∴，；
（）原式【名师名师点睛】本题是考查了同解方程、积的乘方的逆用，解题的关键是先用含m的式子表示出每个方程的解，再根据同解方程得到关于m的方程.
72
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1.4 同底数幂相除
基础篇
一、单选题（共12小题)
1．（2018·江苏郭村第一中学初一月考）若ax＝6，ay＝4，则a2x﹣y的值为( )
A．8 B．9 C．32 D．40
【答案】B
【解析】
因为a2x-y=a2x÷ay=(ax)2÷ay=62÷4=9，故答案为B.
2．已知A＝﹣4x2，B是多项式，在计算B+A时，小马虎同学把B+A看成了B•A，结果得32x5﹣16x4，则B+A为（ ）
A．﹣8x3+4x2 B．﹣8x3+8x2 C．﹣8x3 D．8x3
【答案】C
【详解】
由题意可知：-4x2•B=32x5-16x4，
∴B=-8x3+4x2
∴A+B=-8x3+4x2+（-4x2）=-8x3
故选：C．
【名师点睛】
本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
3．（2018·安徽中考模拟）计算(－ab2)3÷(－ab)2的结果是( )
A．ab4 B．－ab4 C．ab3 D．－ab3
【答案】B
【解析】
(-ab2)3÷(-ab)2
=-a3b6÷a2b2
=-ab4，
故选B.
72
4．（2018·江苏中考模拟）计算a6×(a2)3÷a4的结果是（ ）
A.a3 B.a7 C.a8 D.a9
【答案】C
【详解】
解：
a6×(a2)3÷a4
= a6×a6÷a4
= a12÷a4
= a8.
故选C.
【名师点睛】
本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法的运算法则，熟记运算法则是解题的关键.
5．（2019·江苏中考真题）如图，数轴上有、、三点，O为原点，、分别表示仙女座星系、M87黑洞与地球的距离（单位：光年）．下列选项中，与点表示的数最为接近的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】
A. （）÷（）=2，观察数轴，可知A选项不符合题意；
B. ÷（）=4，观察数轴，可知B选项不符合题意；
C. ÷（）=20，观察数轴，可知C选项不符合题意；
D. ÷（）=40，从数轴看比较接近，可知D选项符合题意，
故选D．
【名师点睛】
本题考查了数轴，用科学记数法表示的数的除法，正确进行运算，结合数轴恰当地进行估算是解题的关键．
72
6．（2018·山东中考真题）已知5x=3，5y=2，则52x﹣3y=（ ）
A. B.1 C. D.
【答案】D
【解析】
∵5x=3，5y=2，
∴52x=32=9，53y=23=8，
∴52x﹣3y=．
故选：D．
【名师点睛】此题主要考查了同底数幂的除法法则，以及幂的乘方与积的乘方，同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
7．一个三角形的面积是a2－ab－2b2，它的底是a＋b，则该底上的高是( )
A．－b B．a－2b C．2a＋4b D．2a－4b
【答案】D
【详解】
a2－ab－2b2=a2+ab−2ab−2b2=a(a+b)−2b(a+b)=(a−2b)(a+b)
三角形的高==2a−4b.
故选：D.
【名师点睛】
本题主要考查的是整式的除法,将a2－ab－2b2分解为(a−2b)(a+b)是解题的关键.
8．若长方形面积是2a2﹣2ab+6a，一边长为2a，则这个长方形的周长是( )
A．6a﹣2b+6 B．2a﹣2b+6 C．6a﹣2b D．3a﹣b+3
【答案】A
【详解】
72
另一边长是：（2a2﹣2ab+6a）÷2a=a-b+3
则周长是： 2(a-b+3+2a)= 6a﹣2b+6
故选A．
【名师点睛】
本题考查多项式除以单项式运算．多项式除以单项式，先把多项式的每一项都分别除以这个单项式，然后再把所得的商相加．
9．（2018·河南初二月考）已知多项式（17x2﹣3x+4）﹣（ax2+bx+c）能被5x整除，且商式为2x+1，则a﹣b+c=（ ）
A．12 B．13 C．14 D．19
【答案】D
【解析】
依题意，得（17x2-3x+4）-（ax2+bx+c）=5x（2x+1），
∴（17-a）x2+（-3-b）x+（4-c）=10x2+5x，
∴17-a=10，-3-b=5，4-c=0，
解得：a=7，b=-8，c=4，
则a-b+c=7+8+4=19．
故选D．
10．计算：的结果是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【详解】
=-3
故选A
【名师点睛】
此题考查整式的除法，掌握运算法则是解题关键
11．（2018·四川中考真题）下列运算正确的（ ）
A．（b2）3=b5 B．x3÷x3=x C．5y3•3y2=15y5 D．a+a2=a3
72
【答案】C
【解析】
详解：A、（b2）3=b6，故此选项错误；
B、x3÷x3=1，故此选项错误；
C、5y3•3y2=15y5，正确；
D、a+a2，无法计算，故此选项错误．
故选：C．
【名师点睛】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的除法运算、单项式乘以单项式和合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
12．（2018·北京临川学校初一期末）计算（﹣8m4n+12m3n2﹣4m2n3）÷（﹣4m2n）的结果等于（ ）
A.2m2n﹣3mn+n2 B.2n2﹣3mn2+n2 C.2m2﹣3mn+n2 D.2m2﹣3mn+n
【答案】C
【解析】
原式=，故选C．
提升篇
二、填空题（共5小题)
13．（2017·重庆市第七十一中学校初二期中）已知一个三角形的面积为8x3y2－4x2y3，一条边长为8x2y2，则这条边上的高为___________.
【答案】2x－y
【解析】
∵三角形的面积为8x3y2－4x2y3，一条边长为8x2y2，
∴这条边上的高为2(8x3y2－4x2y3) ÷8x2y2=16x3y2÷8x2y2－8x2y3 ÷8x2y2=2x－y，
故答案为：2x－y.
14．（2018·四川中考真题）已知am=3，an=2，则a2m﹣n的值为_____．
【答案】4.5
【解析】
72
∵am=3，
∴a2m=32=9，
∴a2m-n==4.5．
故答案为：4.5．
【名师点睛】此题主要考查了同底数幂的除法法则，以及幂的乘方与积的乘方，同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
15．（2018·历城区期末）已知长方形的面积为(6a2b-4a2+2a)，宽为2a，则长方形的周长为____________。
【答案】6ab+2
【详解】
∵长方形的面积为(6a2b-4a2+2a)，宽为2a,
∴长方形的长为： 3ab-2a+1
∴长方形的周长为：2×（3ab-2a+1+2a）=2×(3ab+1)=6ab+2
故本题答案为：6ab+2
【名师点睛】
长方形的面积公式和周长公式是本题的考点，多项式的化简求值也是此题的考点。根据面积公式求出长方形的宽，正确化简多项式都是解决此题的关键。
16．（2019·昭通市期末）计算：（﹣2ab2）3÷4a2b2＝_____．
【答案】﹣2ab4
【详解】
解：原式=-8 a3b6÷4a2b2=﹣2ab4，
故答案为：﹣2ab4．
【名师点睛】
本题考查此题考查了整式的除法，以及幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，属于基础题型。
17．（2018·新余市第三中学初二期末）计算：(－2)0·2－3＝________，(8a6b3)2÷(－2a2b)＝________．
72
【答案】 －32a10b5
【解析】
(－2)0·2－3＝1 ;
(8a6b3)2÷(－2a2b)＝.
故答案是：.
三、解答题（共4小题)
18．（2019·江苏初一期中）（1）已知 ，求m的值．
（2）先化简再求值： ，其中 ， ．
【答案】（1） ；（2）14.
【分析】
（1）将原式左右两边利用幂的乘方与同底数幂的乘法都变形为以2为底数的幂，据此由指数相等得出关于m的方程，解之可得；
（2）将原式利用完全平方公式和平方差公式计算，再去括号、合并同类项化简后，根据已知条件将，整体代入计算可得．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
，
即，
则m+2=5，
解得：m=3；
72
（2）
=
=，
=
∵，，
∴原式==14．
【名师点睛】
此题主要考查了整式的加减-化简求值，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
19．（2018·广西初一期中）化简求值：[，其中x＝﹣1，y＝1．
【答案】.
【详解】
[
＝[（﹣）+]
＝（+）
＝x6y6﹣，
当x＝﹣1，y＝1时，原式＝（﹣1）6×16﹣＝1﹣＝．
【名师点睛】
72
本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．
20．（2018·无锡市第一女子中学初一期中）计算：
（1）；
（2）
（3）先化简，再求值：，其中a =
【答案】（1）5；（2）（3）原式＝4a+5=11
【解析】
(1)、原式=4－8×0.125+1+1=4－1+1+1=5；
(2)、原式=；
(3)、原式=；当a=时，原式=4×+5=11．
【名师点睛】本题主要考查的是实数的运算，同底数幂的乘法以及乘法公式，属于基础题型．解答这个问题的关键就是要明白各种运算的法则．
21．（2018·深圳市耀华实验学校初一期中）先化简，再求值：，其中x =-1，y =.
【解析】
原式=
==，
将x =， y =代入上式，原式=0．
【名师点睛】本题主要考查的是多项式的乘法和除法的计算法则，属于基础题型．在解决这个问题的时候，公式的应用是非常关键的．
72
14.2.1 平方差公式
基础篇
一、单选题（共10小题)
1．（2019·四川雅安中学初一期中）计算的值为（ ）
A．5048 B．50 C．4950 D．5050
【答案】D
【详解】解：1002-992+982-972+…+22-12
=（1002-12）-（992-22）+（982-32）-…+（522-492）-（512-502）
=（100+1）（100-1）-（99+2）（99-2）+（98+3）（98-3）-…+（52+49）（52-49）-（51+50）（51-50）
=101×99-101×97+101×95-…+101×3-101×1
=101×（99-97+95-…+3-1）
=101×（2+2+…+2）
=101×25×2
=5050．
故答案为D.
【名师点睛】此题考查了平方差公式的运用，技巧性比较强，要求学生多观察式子的特点，注意结合的方法，找到第一项与最后一项结合，第二项与倒数第二项结合，依此类推的结合方法是解本题的关键．
2．（2019·湖南初一期中）若……，则A的值是（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】D
【详解】……
72
……
……
故选D
【名师点睛】能够灵活运用平方差公式解题是本题关键
3．（2017·哈尔滨市旭东中学校初二期中）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b），如图（1），把余下的部分拼成一个矩形如图（2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
阴影部分的面积==（a+b）（a-b）．故选C．
4．（2019·海口市第十四中学初二期中）已知x2-y2=6，x-y=1，则x+y等于( )
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【详解】∵x2﹣y2＝(x＋y)(x−y)＝6，x−y＝1，
72
∴x＋y＝6.
故选D.
【名师点睛】本题考查的是平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键.
5．（2018·台州市书生中学初二期中）下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【详解】解：A、由于两个括号中含x、y项的系数不相等，故不能使用平方差公式，故此选项正确；
B、两个括号中，含y项的符号相同，1的符号相反，故能使用平方差公式，故此选项错误；
C、两个括号中，含x项的符号相反，y项的符号相同，故能使用平方差公式，故此选项错误；
D、两个括号中，y相同，含2x的项的符号相反，故能使用平方差公式，故此选项错误；
故选：A．
【名师点睛】本题考查了平方差公式．注意两个括号中一项符号相同，一项符号相反才能使用平方差公式．
6．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
=-(a2-b2)(a2+b2)(a4+b4)
=-(a4-b4) (a4+b4)
=
故选：C.
【名师点睛】考查了平方差公式的运用，解题关键是连续运用平方差公式进行计算．
7．计算：（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）＝（ ）
A．（x+2y）2﹣9 B．（x﹣2y）2﹣9 C．x2﹣（2y﹣3）2 D．x2﹣（2y+3）2
【答案】C
72
【详解】原式=[x+(2y-3)][x-(2y-3)]
=x2-(2y-3)2
故选C.
【名师点睛】本题考查平方差公式，熟练掌握乘法公式是解题关键.
8．若a2﹣b2＝，a﹣b＝，则a+b的值为（ ）
A.- B. C.1 D.2
【答案】B
【解析】
∵a2－b2＝，a－b＝，
∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝ (a＋b)＝，
∴a＋b＝.
9．（2018·和县五显初级中学初二期末）已知，则的值为（ ）
A.8 B.10 C.12 D.16
【答案】D
【解析】
∵，
∴=.
故选D.
10．若三角形的底边长为2a+1，该底边上的高为2a﹣1，则此三角形的面积为（ ）
A.2a2﹣ B.4a2﹣4a+1 C.4a2+4a+1 D.4a2﹣1
【答案】A
72
【详解】三角形的面积为：.
故选：.
【名师点睛】本题考查了平方差公式，解题的关键是根据三角形的面积公式列出算式并利用平方差公式进行正确的计算.
提升篇
二、填空题（共5小题)
11．（2018春 龙岩市期末）计算： =_____．
【答案】1
【详解】解：
=
=
=
=1.
【名师点睛】本题应根据数字特点，灵活运用运算定律会或运算技巧，灵活简算.
12．（2018宝鸡市期中）设S=（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）（1+216），则S+1=______．
【答案】232．
【详解】S=(1+2)(1+22)(1+24)(1+28)(1+216)
=(2﹣1)×(2+1)×(1+22)×(1+24)×(1+28)×(1+216)
=(22﹣1)×(1+22)×(1+24)×(1+28)×(1+216)
=232﹣1，
故S+1=232，
72
故答案为：232．
【名师点睛】本题考查了平方差公式，正确应用公式是解题的关键．
13．（2019·山东省济阳县第一中学初三月考）计算:若，，则的值为________.
【答案】12
【详解】解：(a+1)2﹣(b﹣1)2
=(a+1+b-1)(a+1-b+1)
=(a+b)(a-b+2)
∵a+b=4，a﹣b=1
∴原式=4×3=12.
【名师点睛】考查利用平方差公式进行因式分解和整体代入思想.
14．（2019·江苏中考真题）计算：的结果是_____.
【答案】
【详解】
=
=
=(5-4)2018×
=+2，
故答案为：+2.
【名师点睛】本题考查了积的乘方的逆用，平方差公式，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键.
72
15．（2019·浙江中考真题）已知实数，满足，则代数式的值为_____.
【答案】3.
【详解】∵，，
∴.
故答案为：3.
【名师点睛】本题考查平方差公式，解题关键是根据平方差公式解答.
三、解答题（共4小题)
16．（2017南京市月考）先化简，再求值：已知代数式化简后，不含有x2项和常数项.
（1）求a、b的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）-6.
【详解】解：原式=2ax2+4ax-6x-12-x2-b
=，
∵代数式（ax-3）（2x+4）-x2-b化简后，不含有x2项和常数项．，
∴2a-1=0，-12-b=0，
∴ , ；
(2) 解：∵a= ，b=-12，
∴（b-a）（-a-b）+（-a-b）2-a（2a+b）
=a2-b2+a2+2ab+b2-2a2-ab
=ab
=×（-12）
72
=-6．
故答案为：（1）a= ，b= -12；（2）-6.
【名师点睛】本题考查整式的混合运算和求值，解题的关键是正确运用整式的运算法则进行化简．
17．（2017·泉州第十六中学初二期中）
【答案】
【解析】
原式
72
第十四章整式的乘法与因式分解
14.2.2完全平方公式
基础篇
一、单选题（共12小题)
1．（2018·云南中考真题）已知x+=6，则x2+=（ ）
A.38 B.36 C.34 D.32
【答案】C
【详解】把x+=6两边平方得：（x+）2=x2++2=36，
则x2+=34，
故选：C．
【名师点睛】本题考查了分式的混合运算以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
2．如果多项式p=a2+2b2+2a+4b+2008，则p的最小值是（ ）
A．2005B．2006C．2007D．2008
【答案】A
【解析】
p=a2+2b2+2a+4b+2008，
=（a2+2a+1）+（2b2+4b+2）+2005，
=（a+1）2+2（b+1）2+2005，
当（a+1）2=0，（b+1）2=0时，p有最小值，
最小值最小为2005．
故选A．
3．（2018·临沭县青云镇中心中学初二期末）已知(m－n)2＝36，(m＋n)2＝4000，则m2＋n2的值为( )
A.2016 B.2017 C.2018 D.4036
【答案】C
【解析】
72
∵，
∴，
∴，
∴.
故选C.
4．（2017·重庆市第七十一中学校初二期中）若有理数a，b满足a2+b2=5，（a+b）2=9，则－4ab的值为（ ）
A．2B．－2C．8D．－8
【答案】D
【解析】
(a+b)²=9，即a²+b²+2ab=9，又a²+b²=5，则2ab=9-5=4，所以-4ab=4×(-2)=-8.
故选：D.
5．（2018·河北中考真题）将9.52变形正确的是（ ）
A．9.52=92+0.52B．9.52=（10+0.5）（10﹣0.5）
C．9.52=102﹣2×10×0.5+0.52D．9.52=92+9×0.5+0.52
【答案】C
【详解】9.52=（10﹣0.5）2=102﹣2×10×0.5+0.52，
或9.52=（9+0.5）2=92+2×9×0.5+0.52，
观察可知只有C选项符合，
故选C．
【名师点睛】本题考查的是完全平方公式，完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
6．（2018·四川中考真题）已知实数a、b满足a+b=2，ab=，则a﹣b=（ ）
A．1 B．﹣ C．±1 D．±
【答案】C
72
【解析】∵a+b=2，ab=，
∴（a+b）2=4=a2+2ab+b2，
∴a2+b2=，
∴（a-b）2=a2-2ab+b2=1，
∴a-b=±1，
故选：C．
7．（2019·耒阳市冠湘中学初二月考）已知，则的值是（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解析】∵a+b=2，
∴a2-b2+4b=（a-b）（a+b）+4b，
=2（a-b）+4b，
=2a-2b+4b，
=2（a+b），
=2×2，
=4．
故选C．
本题考查了代数式求值的方法，同时还利用了整体思想．
8．若等式x2+ax+19＝（x﹣5）2﹣b成立，则a+b的值为（ ）
A．16B．﹣16C．4D．﹣4
【答案】D
【解析】
已知等式整理得：x2+ax+19=（x-5）2-b=x2-10x+25-b，
可得a=-10，b=6，
则a+b=-10+6=-4，
故选：D．
9．若x+y+3=0，则x（x+4y）-y（2x-y）的值为
72
A．3B．9C．6D．-9
【答案】B
【详解】∵x+y+3=0，
∴x+y=﹣3，
∴x（x+4y）﹣y（2x﹣y）
=x2+4xy﹣2xy+y2
=（x+y）2
=9．
故选B.
【名师点睛】此题主要考查了单项式乘以多项式以及完全平方公式，正确将原式变形是解题关键．
10．（2018·山东中考模拟）如图，边长为a，b的长方形的周长为13，面积为10，则a3b+ab3的值为( )
A.37.5 B.65 C.130 D.222.5
【答案】D
【详解】∵a+b=，ab=10，
∴a3b+ab3=ab[（a+b）2﹣2ab]=10×（﹣20）=222.5.
故选：D．
【名师点睛】本题考查了长方形的面积和周长公式，因式分解，配方法的应用及整体代入法求代数式的值，熟练掌握因式分解及配方法是解答本题的关键.
11．（2018·重庆市江津实验中学校初二期中）已知，则＝（ ）
A. B.﹣ C. D.
【答案】C
【解析】，故选C．
[名师点睛]本题考查的是完全平方公式的应用，属于中等难度的题型．，
72
，，本题只要明确这些即可得出答案．
12．要使式子成为一个完全平方式，则需加上（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】将式子加上或所得的式子和都是完全平方式.
故选D.
【名师点睛】熟知“完全平方式的定义：形如的式子叫做完全平方式”是解答本题的关键.
提升篇
二、填空题（共6小题)
13．（2017·泉州第十六中学初二期中）已知，，（1）则____；（2）则___．
【答案】；
【解析】将a+b=-3两边平方得：（a+b）2=a2+b2+2ab=9，
把ab=-2代入得：a2+b2-4=9，即a2+b2=13；
（a-b）2=a2+b2-2ab=13+4=17，即a-b=±．
14．（2019·娄底市娄星区小碧中学初三期末）若，则________________.
【答案】8
【详解】解：∵可化为，化为
∴原式==32-1=8
【名师点睛】
本题考查了代数式求值，解题关键在于对等式的变形和完全平方公式的灵活运用。
72
15．（2017·重庆十八中初二期中）已知（a﹣2016）2+（2018﹣a）2=20，则（a﹣2017）2的值是.
【答案】9
【解析】（a﹣2016）2+（2018﹣a）2=20，（a﹣2016）2+（a－2018）2=20，
令t=a－2017，∴（t+1）2+（t－1）2=20,2t2=18，t2=9，∴（a﹣2017）2=9.
故答案为9.
16．（2019·宜兴市新芳中学初一期中）已知，，，则代数式2(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=___________.
【答案】6
【详解】解：∵，，，
∴a-b=-1，b-c=-1，c-a=2，
∴2(a2+b2+c2-ab-bc-ca)，
=2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca，
=(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ca+a2)，
=(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2，
=(-1)2+(-1)2+22，
=1+1+4
=6．
故答案为:6.
【名师点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练利用完全平方公式因式分解是解本题的关键．
17．（2018·贵州中考真题）若是关于的完全平方式，则__________．
【答案】7或-1
【解析】∵x2+2（m-3）x+16是关于x的完全平方式，
∴2（m-3）=±8，
解得：m=-1或7，
故答案为：-1或7．
18．（2018·云南中考真题）若m+=3，则m2+=_____．
72
【答案】7
【解析】把m+=3两边平方得：（m+）2=m2++2=9，
则m2+=7，
故答案为：7
三、解答题（共3小题)
19．（2018西湖区期中）已知，．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值；
【答案】（1）-84；（2）25；（3）
【解析】因为a－b＝7，所以b－a＝－7.则：
(1)
＝ab(b－a)
＝－12×7＝－84；
(2)
＝(a－b)2＋2ab
＝(－7)2＋2×(－12)
＝25；
(3)
＝±
＝±
72
＝±
＝±1.
20．（2017门头沟区期中）已知，，，求的值．
【答案】3
【解析】
，
∵，，，
代入原式
．
21．（2018达川区期末）(1)若3a=5，3b=10，则3a+b的值．
(2)已知a+b=3，a2+b2=5，求ab的值．
【答案】(1)50；(2)2.
【详解】（1）∵3a=5，3b=10，
∴3a+b=3a×3b=5×10=50；
（2）∵a+b=3，
∴（a+b）2=9，
即a2+2ab+b2=9，
72
又∵a2+b2=5，
∴ab=2.
【名师点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆用，完全平方公式，熟练掌握同底幂乘法的运算法则是解（1）的关键，掌握完全平方公式是解（2）的关键.
72
第十四章 整式的乘法与因式分解
专题14.3.1 提公因式法
基础篇
一、 单选题（共10小题)
1．（2018·福建省永春第二中学初二期中）如图，边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a3b+ab3的值为( )
A．15 B．30 C．60 D．78
【答案】D
【详解】解：根据题意得：a+b＝5，ab＝6，
则a3b+ab3＝ab（a2+b2）＝ab[（a+b）2﹣2ab]＝6×（52﹣2×6）＝6×13＝78．
故选：D．
【名师点睛】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了数学整体思想和正确运算的能力．
2．把多项式（3a-4b）（7a-8b）+（11a-12b）（8b-7a）分解因式的结果( )
A．8（7a-8b）（a-b） B．2（7a-8b）2
C．8（7a-8b）（b-a） D．-2（7a-8b）
【答案】C
【解析】把(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)运用提取公因式法因式分解即可得(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)
=(7a-8b)(3a-4b-11a+12b)
=(7a-8b)(-8a+8b)
=8(7a-8b)(b-a).
故选：C.
3．已知a+b=,ab=2,则3a2b+3ab2的值为（ ）
72
A. B. C.6+ D.2+
【答案】A
【解析】根据题意先因式分解（提公因式）可得3a2b+3ab2=3ab（a+b），整体代入可得原式=3×2×=6.
故选：A.
4．（2018·张家港市梁丰初级中学初一期中）若分解因式2x2＋mx＋15＝(x－5)(2x－3)，则（ ）
A．m＝－7 B．m＝7 C．m＝－13 D．m＝13
【答案】C
【解析】∵(x－5)(2x－3)= 2x2﹣13x+15，∴m=﹣13．
故选C．
5．如果一个多项式4x3y-M可以分解因式得4xy（x2-y2+xy），那么M等于( )
A．4xy3+4x2y2 B．4xy3-4x2y2 C．-4xy3+4x2y2 D．-4xy3-4x2y2
【答案】B
【详解】解：∵4xy（x2-y2+xy）=4x3y-4xy3+4x2y2=4x3y-(4xy3-4x2y2）=4x3y-M，
∴M=4xy3-4x2y2．
故选：B．
【名师点睛】本题考查了因式分解--提公因式法．提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
6．（2018·广东深圳中学初二期中）把多项式(m+1)(m﹣1)+(m+1)提取公因式m+1后，余下的部分是( )
A．m+1 B．m﹣1 C．m D．2 m+1
【答案】C
72
【详解】（m+1）（m﹣1）+（m+1）
＝（m+1）（m﹣1+1）
＝m（m+1），
故选C．
【名师点睛】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．
7．若x-2和x+3是多项式x2+mx+n仅有的两个因式，则mn的值为( )
A．1 B． C． D．6
【答案】C
【详解】解：(x-2)(x+3)=x2+x-6，
∵x-2和x+3是多项式x2+mx+n仅有的两个因式，
∴m=1，n=-6，
∴mn=1×(-6)=-6，
故选：C．
【名师点睛】本题考查了多项式乘以多项式和因式分解的定义，能熟练地运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
8．已知多项式3x²-mx+n分解因是的结果为(3x+2)(x-1)，则m,n的值分别为（ ）
A．m=1， n=－2 B．m=-1，n=－2
C．m=2，n=－2 D．m=－2， n=－2
【答案】A
【解析】∵(3x+2)(x-1)=3x2-x-2,
∴m=1,n=-2
故选A.
9．（2018·北京北师大实验中学初二期中）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】A. 右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
72
B. 右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
C. 是因式分解，故本选项正确；
D. 右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
故选:C.
【名师点睛】考查因式分解的定义，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.
10．下列各式变形中，是因式分解的是（ ）
A.a2﹣2ab+b2﹣1=（a﹣b）2﹣1 B.x4﹣1=（x2+1）（x+1）（x﹣1）
C.（x+2）（x﹣2）=x2﹣4 D.2x2+2x=2x2（1+）
【答案】B
【详解】A选项：它的结果不是乘积的形式，不是因式分解，故是错误的；
B选项：x4﹣1=（x2+1）（x+1）（x﹣1）结果是乘积形式，是因式分解，故是正确的；
C选项：（x+2）（x﹣2）=x2﹣4中结果不是乘积的形式，不是因式分解，故是错误的；
D选项：2x2+2x=2x2（1+）结果不是整式乘积的形式，不是因式分解，故是错误的；
故选:B.
【名师点睛】考查了因式分解的定义，理解因式分解的定义（把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式）是解题的关键。
提升篇
一、 填空题（共5小题)
1．若 ,那么 =________.
【答案】0
【详解】∵a2+a+1=0，
∴a2001+a2000+a1999=a1999（a2+a+1）=0．
故答案为：0．
【名师点睛】本题考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
72
12．若x2+mx-n能分解成（x-1）（x+4），则m=______，n=______．
【答案】3 4
【详解】解：由题意得：x2＋mx－n＝（x－1）（x＋4）＝x2＋3x－4，
则m＝3，n＝4，
故答案为：3；4．
【名师点睛】此题考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
13．（2019·内蒙古中考真题）因式分解：__________．
【答案】
【详解】解：原式，
故答案为：
【名师点睛】本题考查提公因式，熟练掌握运算法则是解题关键.
14．（2019·隆昌市知行中学初二期末）因式分解：______.
【答案】（x+y）（x-y）．
【详解】原式=（x+y）（x+y-2y）
=（x+y）（x-y）．
故答案为（x+y）（x-y）．
【名师点睛】此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
15．（2018·北京市第一六一中学初二期中）若关于x的二次三项式因式分解为，则的值为__．
【答案】-1
【解析】∵，
∴，
∴.
故答案为：.
72
一、 解答题（共3小题)
16．请把下列各式分解因式
（1）x(x-y)-y(y-x) （2）-12x3+12x2y-3xy2
（3）(x+y)2+mx+my （4）a(x-a)(x+y)2-b(x-a)2(x+y)
（5）15×（a-b）2-3y（b-a） （6）（a-3）2-（2a-6）
（7）（m+n）（p-q）-（m+n）（q+p）
【答案】（1）(x-y)(x+y)；（2）-3x(2x-y)2；（3）(x+y)(x+y+m)；（4）(x-a)(x+y)(ax+ay-bx+ab)；（5）3（a-b）（5ax-5bx+y）；（6）（a-3）（a-5）；（7）-2q（m+n）
【解析】试题分析：（1）运用提取公因式法因式分解即可；
（2）运用提取公因式法因式分解即可，注意先提取负号；
（3）先分组，提公因式，再利用整体法运用提取公因式法因式分解即可；
（4）运用提取公因式法因式分解即可，注意整体思想的应用；
（5）根据a-b与b-a互为相反数，利用整体法提取公因式法因式分解即可；
（6）运用提取公因式法因式分解即可；
（7）运用提取公因式法因式分解即可，注意符号变化.
试题解析：（1）x(x-y)-y(y-x)=(x-y)(x+y)
（2）-12x3+12x2y-3xy2=-3x(4x2-4xy+y2)=-3x(2x-y)2
（3）(x+y)2+mx+my=(x+y)2+m(x+y)=(x+y)(x+y+m)
（4）a(x-a)(x+y)2－b(x-a)2(x+y)=(x-a)(x+y)［a(x+y)-b(x-a)］=(x-a)(x+y)(ax+ay-bx+ab)
（5）15x（a-b）2-3y（b-a）=15x（a-b）2+3y（a-b）=3（a-b）（5ax-5bx+y）；
（6）（a-3）2-（2a-6）=（a-3）2-2（a-3）=（a-3）（a-5）；
（7）（m+n）（p-q）-（m+n）（q+p）=（m+n）（p-q-q-p）=-2q（m+n）
17．试说明817-279-913必能被45整除.
【答案】证明见解析.
【解析】817-279-913
=（34）7-（33）9-（32）13
=328-327-326
=326（32-3-1）
=326×5=324×45
72
∴817-279-913能被45整除。
18.已知△ABC的三边长a，b，c，满足a²-bc-ab+ac=0，求证：△ABC为等腰三角形．
【答案】证明见解析.
【解析】证明：∵ a2-bc-ab+ac=0
∴ (a-b)(a+c)=0
∵ a,b为△ABC三边
∴ a+c＞0，则a-b=0,即a=b
∴△ABC为等腰三角形
72
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.3.2-1 公式法（平方差）
基础篇
一、 单选题（共10小题)
1．（2019·山东中考真题）将进行因式分解，正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】，
故选：C．
【名师点睛】此题主要考查了了提公因式法和平方差公式综合应用，解题关键在于因式分解时通常先提公因式，再利用公式，最后再尝试分组分解；
2．（2018·襄樊市期末）分解因式x4-1的结果是
A．（x+1）（x-1） B．（x2+1）（x2-1）
C．（x2+1）（x+1）（x-1） D．（x+1）2（x-1）2
【答案】C
【详解】x4﹣1=（x2）2﹣12
=（x2+1）（x2﹣1）
=（x2+1）（x+1）（x﹣1），
故选C．
【名师点睛】本题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
3．（2017·厦门市期中）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）
72
A.（a-b）2=a2-2ab+b2 B.a（a-b）=a2-ab
C.（a-b）2=a2-b2 D.a2-b2=（a+b）（a-b）
【答案】D
【解析】由题意可知：
（1）左边图中：阴影部分的面积= ；
（2）右边长方形的长为，宽为，因此右边长方形的面积=；
∵左边图中阴影部分面积=右边长方形的面积，
∴.
故选D.
4．（2019·娄底市娄星区小碧中学初三期末）已知三个整数a.b.c的和是偶数，则（ ）
A．一定是偶数 B．一定是奇数 C．等于0 D．不能确定
【答案】A
【详解】解：
∵a+b+c为偶数.
∴a、b、c三数中可能有两个奇数、一个偶数，或者三个都是偶数.
当a、b、c中有两个奇数、一个偶数时，则a+b-c为偶数.
当a、b、c三个都是偶数时，也有a+b-c为偶数.
.（a+b+c）（a+b-c）是偶数.
故选：A
【名师点睛】本题考查了整数的奇偶性问题.把式子配方是解题关键.
5．（2018·甘肃省武威第五中学初二期末）计算：852﹣152=（ ）
A．70 B．700 C．4900 D．7000
72
【答案】D
【解析】原式=（85+15）（85-15）=100×70=7000，故选D.
6．（2017·虹桥区期中）下列多项式中，与﹣x﹣y相乘的结果是x2﹣y2的多项式是（ ）
A.y﹣x B.x﹣y C.x+y D.﹣x﹣y
【答案】A
【解析】∵，
∴与相乘的结果是的是.
故选A.
7．（2018·吉林长春外国语学校初一期末）已知，则的值（ ）．
A．2 B．3 C．6 D．4
【答案】D
【解析】∵，
∴.
故选D.
8．（2019·江苏中考真题）分解因式的结果是（ ）
A．（4 +）（4 -） B．4（ +）（ -）
C．（2 +）（2 -） D．2（ +）（ -）
【答案】C
【详解】4x2-y2
=(2x)2-y2
=(2x+y)(2x-y)，
故选C.
【名师点睛】本题考查了利用平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键.
9．（2017·建湖县城南实验初中教育集团中考模拟）因式分解的结果是（ ）
A．(x+8)(x+1) B．(x+2)(x-4)
72
C． D．
【答案】B
【解析】试题分析：=（x﹣1+3）（x﹣1﹣3）=（x+2）（x﹣4）．故选B．
10．已知a-b=3，则 的值是（ ）
A.4 B.6 C.9 D.12
【答案】C
【解析】∵a-b=3，
∴
=(a+b)(a-b)-6b
=(a+b)(a-b)-6b
=3(a+b) -6b
=3a+3b-6b
=3(a-b)
=3×3
=9.
故选C.
提升篇
一、 填空题（共5小题)
11．（2019·山东初一期中）若m ﹣2n=﹣1,则代数式m 2﹣4n 2+4n= ____________．
【答案】1
【详解】解：
72
,
故答案为：1．
【名师点睛】本题考查了平方差公式的应用，能根据公式分解因式是解此题的关键．
12．（2018·河北中考真题）若a，b互为相反数，则a2﹣b2=_____．
【答案】0
【详解】∵a，b互为相反数，
∴a+b=0，
∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=0，
故答案为：0．
【名师点睛】本题考查了公式法分解因式以及相反数的定义，正确分解因式是解题关键．
13．（2018·浙江中考真题）已知x，y满足方程组，则的值为______．
【答案】-15
【详解】∵，
∴=（x+2y）（x-2y）=-3×5=-15，
故答案为：-15.
【名师点睛】本题考查代数式求值，涉及到二元一次方程组、平方差公式因式分解，根据代数式的结构特征选用恰当的方法进行解题是关键.
14．（2018·昌平区期末）若，则的值为__________.
【答案】9
【解析】详解：
∵，
∴
72
=
=
=
=
=9.
故答案为：9.
15．（2017·湖南中考模拟）分解因式：（a﹣b）2﹣4b2＝_____．
【答案】（a+b）（a﹣3b）
【解析】直接利用平方差公式分解即可，即原式=（a-b+2b）（a-b-2b）=(a＋b)(a－3b).
一、 解答题（共3小题)
16．（2017·延边市期中）因式分解：
（1）；
（2） ；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】试题分析：（1）先提取公因式2y，再运用完全平方公式进行分解即可；
（2）先提取公因式（x-y），再运用平方差公式进行分解即可；
（3）直接运用平方差公式进行分解即可；
（4）先运用完全平方公式分解，然后再运用平方差公式分解即可.
试题解析：（1）
=
=
72
（2）
=
=
（3）
=
=
（4）
=
=
=
17．（2018·四平市期末）把下列各式因式分解：
(1) （2)
【答案】（1）（x-y）（2a+b）；（2）－3（m+n）（m-n）
【详解】（1）原式=（x-y）（2a+b）
（2）原式=（m+2n+2m+n）（m+2n-2m-n）=－3（m+n）（m-n）
【名师点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法. 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.
18．（2018·三门峡市期末）分解因式：
（1）x2+y2+2xy﹣1
（2）4（a﹣b）2﹣（a+b）2
【答案】（1）（x+y+1）（x+y﹣1）；（2）（3a﹣b）（a﹣3b）．
【详解】解：（1）原式＝（x2+y2+2xy）﹣1
＝（x+y）2﹣1
72
＝（x+y+1）（x+y﹣1）；
（2）原式＝[2（a﹣b）]2﹣（a+b）2
＝[2（a﹣b）+（a+b）][2（a﹣b）﹣（a+b）]
＝（3a﹣b）（a﹣3b）．
故答案为：（1）（x+y+1）（x+y﹣1）；（2）（3a﹣b）（a﹣3b）．
【名师点睛】本题考查了因式分解，掌握分组分解法进行因式分解是解题的关键．
72
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.3.2-2公式法（完全平方）
基础篇
一、 单选题（共10小题)
1．已知，，，则代数式的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【详解】
∵，，，
∴，
，
，
∴
故选D.
【名师点睛】
72
本题考查利用完全平方公式因式分解，解决本题时①将原代数式分三部分，每一部分利用完全平方公式因式分解，②再根据已知条件计算出a-b,b-c,a-c的值，整体代入.
2．（2019·兴化市顾庄学校中考模拟）已知等腰三角形两边a，b，满足a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．9或12
【答案】C
【详解】
解：∵a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0，
∴（a2﹣4a+4）+（b2﹣10b+25）＝0，
∴（a﹣2）2+（b﹣5）2＝0，
∴a＝2，b＝5，
∴当腰为5时，等腰三角形的周长为5+5+2＝12，
当腰为2时，2+2＜5，构不成三角形．
故选：C．
【名师点睛】
此题考查了配方法的应用，三角形三边关系及等腰三角形的性质，解题的关键熟练掌握完全平方公式．
3．（2018·新郑市期末）将下列多项式分解因式，结果中不含因式x+1的是( )
A．x2−1 B．x2−2x+1 C．x(x−2)+(x−2) D．x2+2x+1
【答案】B
【详解】
A、x2-1=（x+1）（x-1），故此选项不合题意；
B、x2-2x+1=（x-1）2，故此选项符合题意；
C、x（x-2）+（x-2）=（x+1）（x-2），故此选项不合题意；
D、x2+2x+1=（x+1）2，故此选项不合题意；
故选B．
【名师点睛】
此题主要考查了公式法以及提公因式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
4．（2018·阜阳市期末）多项式能用公式法分解因式，则k的值为（ ）
72
A. B. C.3 D.6
【答案】B
【解析】
详解: 根据题意得：x2+kx+9=（x±3）2=x2±6x+9，
∴k=±6．
故选：B.
5．（2018·北京101中学初二期中）多项式能用完全平方因式分解，则m的值是（ ）
A.3 B.6 C. D.
【答案】D
【详解】
∵x2−mxy+9y2能用完全平方因式分解，
∴m=±6，
故答案选D.
【名师点睛】
本题考查的知识点是因式分解-运用公式法，解题的关键是熟练的掌握因式分解-运用公式法.
6．（2018·桂林市期末）下列多项式中，能用完全平方公式因式分解的是（ ）
A.m2 - mn +n2 B.x2- y2 - 2xy
C.a2 - 2a + D.n2 - 2n + 4
【答案】A
【解析】
详解：A．m2﹣mn+n2其中有两项m2、n2能写成平方和的形式，mn正好是m与n的2倍，符合完全平方公式特点，故本选项正确；
B．x2﹣y2﹣2xy其中有两项x2、－y2不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式特点，故本选项错误；
C．a2﹣2a+中2a不是a与的积的2倍，不符合完全平方公式特点，故本选项错误；
72
D．n2﹣2n+4中，2n不是n与2的2倍，不符合完全平方公式特点，故此选项错误．
故选A．
7．（2019·金龙中学初二期中）下列各式中能用完全平方公式分解的是( )．
①x2－4x＋4；②6x2＋3x＋1；③4x2－4x＋1；④x2＋4xy＋2y2；⑤9x2－20xy＋16y2.
A．①② B．①③ C．②③ D．①⑤
【答案】B
【详解】
解：x2－4x＋4=(x-2)2，4x2－4x＋1=(2x-1)2，只有这两个能用完全平方公式进行因式分解，故①和③能用，其他几项均不能用，
故选择B.
【名师点睛】
本题考查了完全平方公式，熟记公式是解题关键.
8．若a+b+1=0，则3a2+3b2+6ab的值是( )
A．1 B．-1 C．3 D．-3
【答案】C
【详解】
解：∵3a2+3b2+6ab=3（a+b）2,
∵a+b+1=0，即a+b=-1，
∴原式=3×（-1）2=3,
故选C.
【名师点睛】
本题考查了用完全平方的方法化简求值,属于简单题,熟悉整体代入的思想,用完全平方的方法因式分解是解题关键.
9．（2017·烟台南山东海外国语学校初二期中）下列因式分解正确的是（ ）
A．+=(m+n)(m−n) B．−a=a(a−1)
C．(x+2)(x−2)=−4 D．+2x−1=(x−1)2
【答案】B
【详解】
72
A选项：通常情况下，m2+n2不能进行因式分解，故A选项错误.
B选项：，故B选项正确.
C选项：本选项是整式乘法而不是因式分解，故C选项错误.
D选项：本选项左侧的整式x2+2x-1不符合完全平方公式的形式，不能用公式法进行因式分解，故D选项错误.
故本题应选B.
【名师点睛】
本题考查了因式分解的基本概念以及因式分解的常用方法. 因式分解是将一个多项式化成几个整式的积的变形，它不是一种运算. 要注意理解整式乘法与因式分解之间的区别与联系. 另外，在运用公式法进行因式分解的时候，待分解的整式在形式上必须与平方差公式或完全平方公式的基本特征一致，一旦有不一致的地方就不能用相应的公式进行因式分解.
10．（2018·四川大学附属中学西区学校初二月考）下列多项式中不能用公式进行因式分解的是（ ）
A.a2+a+ B.a2+b2-2ab C. D.
【答案】D
【详解】A. ,用完全平方公式；
B．，用完全平方公式；
C. ,用平方差公式；
D. 不能用公式.
故正确选项为D.
【名师点睛】此题主要考核运用公式法因式分解.解题的关键在于熟记整式乘法公式，要分析式子所具备的必要条件，包括符号问题.
提升篇
一、 填空题（共5小题)
11．（2019·广西中考真题）若，则_____．
72
【答案】-4
【详解】
解：∵，
∴
故答案为：
【名师点睛】
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
12．（2018·西安电子科技大学附属中学太白校区初一期末）已知a、b满足，则________.
【答案】12
【解析】
详解:因为,
所以,
所以,
所以,
所以,
所以.
13．（2018·固阳县期末）利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形(如图所示)，从而可得到因式分解的公式________．
【答案】a2+2ab+b2=（a+b）2
【解析】
试题分析：两个正方形的面积分别为a2，b2，两个长方形的面积都为ab，组成的正方形的边长为a＋b，面积为(a＋b)2，
72
所以a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2．
14．（2019·百色市期末）若，，则代数式__________.
【答案】20
【详解】
解：
故答案为：20
【名师点睛】
本题考查了二次根式的运算，能利用完全平方公式变形计算是解题关键．
15．（2019·江苏中考真题）分解因式的结果是____________．
【答案】
【详解】
解：.
故答案为：.
【名师点睛】
此题主要考查了运用公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
一、 解答题（共3小题)
16．（2018·西湖区期末）如果x2+2(m-3)x+25能用公式法分解因式，那么m的值是多少？
【答案】m=8或-2．
【解析】
试题解析：∵x2+2（m-3）x+25能用公式法分解因式，
∴2（m-3）=±10，
解得：m=8或-2．
17．（2018·仪征市扬子中学初一期末）分解因式：
(1)x4﹣2x2y2+y4； (2) .
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【答案】（1）（x﹣y）2（x+y）2；（2）
【解析】
详解：（1）原式=.
（2）原式=.
18．（2019·东莞市期中）已知：求、的值。
【答案】x=2，y=3．
【详解】
∵=（x-2）+（y-3）=0，
∴x-2=0，y-3=0，
解得：x=2，y=3．
【名师点睛】
此题考查因式分解-运用公式法，非负数的性质：偶次方，解题关键在于掌握计算公式.
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