数学冀教版八年级上册教案15-1二次根式(1) 5页

- 1 - 15.1 二次根式（1） 教学目标 【知识与能力】 1.了解二次根式的概念和二次根式的非负性. 2.理解和掌握二次根式的简单性质,并能利用它们进行化简和计算. 【过程与方法】 1.经历观察、比较、总结的过程,培养学生的归纳能力. 2.感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识和对数学的探 究能力. 【情感态度价值观】 1.通过探究学习,培养学生应用数学的热情. 2.培养学生主动探索、敢于实践、善于发现的科学精神以及合作精神,树立创新意识. 教学重难点 【教学重点】 二次根式的概念和简单性质. 【教学难点】 二次根式的简单性质. 课前准备 多媒体课件 教学过程 一、新课导入： 导入一: 1.回顾:什么叫平方根?什么叫算术平方根? 2.【课件 1】 填空. (1) 16 的平方根是 ; (2)一个圆的面积为 S,这个圆的半径是 ; (3)若正方形的面积为 a-4,则边长为 . 学生思考并回答. 3.提问:你能发现它们有什么共同的特征吗? 学生观察,总结共同特征并表述意见. [设计意图] 唤起学生对于平方根和算术平方根的记忆,使学生认识到学习根式的必要 性.通过观察、归纳,为后面学习二次根式的概念及其基本性质做好铺垫. 导入二: 1.已知一个正方形的面积为 a,则正方形的边长是 . 2.提问:你认为所得的代数式有什么特点?(教师鼓励学生用自己的语言总结出特征,鼓 励学生大胆表述意见,然后作适当点评,板书本课课题) [设计意图] 让学生在实际情境中写出表示算术平方根的式子,一方面复习了旧知识, 另一方面为接下来学习新课做准备.通过问题引入,调动了学生的积极性. - 2 - 导入三: 在第十四章,我们学习了平方根及算术平方根,知道当 a≥0 时, 表示非负数 a 的算术 平方根,± 表示非负数 a 的平方根; ,± 都表示非负数 a 的开平方, 中“ ”表示 一种运算,因此, (a≥0)还有一个名字,你知道吗? [设计意图] 通过复习平方根和算术平方根的表示方法和意义,引出 的另一个名称, 引起学生思考,激发学生的学习热情. 二、新知构建： 活动一:二次根式的概念 [过渡语] 我们已经学习了数的开平方,并用 (a≥0)表示非负数 a 的算术平方根.现 在,我们首先来学习二次根式的定义. 思路一 【课件 2】 (教材第 90 页一起探究) 1.(1)2,18, 8 15 , 3 10 的算术平方根是怎样表示的? (2)非负数 m,p+q,t2-1 的算术平方根又是怎样表示的? 2.学校要修建一个占地面积为 S m2 的圆形喷水池,它的半径应为多少米?如果在这个圆 形喷水池的外围增加一个占地面积为 a m2 的环形绿化带,那么所成大圆的半径应为多少米? 引导学生分析得出: 1.解:(1) 2 , 18 , 8 15 , 3 10 . (2) , + , 2 - 1 . 2. 解: π , + π . 引 导 学 生 概 括 二 次 根 式 的 定 义 : 在 上 面 的 问 题 中 , 我 们 得 到 了 2 , 18 , 8 15 , 3 10 , , + , 2 - 1 , π , + π 等式子,它们分别表示某个非负数的算术平 方根.一般地,我们把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式. [知识拓展] (1)二次根式的被开方数 a 可能为整式,也可能为分式,因此要分清 a 所代 表的式子类型. (2) 本身作分母时,要注意只能大于 0,不能等于 0. (3)要注意 2 + 1 , + 1 等,这时无论 a 取何值都有意义. [设计意图] 让学生通过自己思考,得出表示这些数的一般形式,体会概念是由具体到 抽象、由特殊到一般的过程形成的,进而给出二次根式的概念. 【课件 3】 判断下列各式是二次根式吗? ① 32 ; ②6; ③ - 12 ; ④ - (m ≤ 0); ⑤ (x,y 异 号 ); ⑥ 2 + 1 ; ⑦ +1; ⑧ 3 5 . 学生快速回答,共同分析. [设计意图] 通过小练习及时检验学生对二次根式概念的理解和把握,二次根式根号内 被开方数的取值范围一定要大于或等于 0. 思路二 活动: (引导学生概括二次根式的定义:像 2 + 4 , 2 这样表示一个非负数的算术平方根的式 子叫做二次根式) 概念深化: - 3 - 提问: +1 是不是二次根式? + 1 呢? 议一议:二次根式 + 1 表示什么意义? 此算术平方根的被开方数是什么?被开方数必须满足什么条件的二次根式才有意义? 其中字母 a 要满足什么条件?为什么? 【展示点评】 经学生讨论后,让学生回答,并让其他的学生点评. 最后教师归纳:一个非负数的算术平方根才是二次根式,如果无法判断被开方数是非负 数,那么这个式子就不能说是二次根式. +1 中的 a 可能为正,也可能为负,所以不能说这个 式子是二次根式, + 1 中的 a+1 也可能为正,也可能为负,所以也不能说这个式子是二次根 式. 【反思小结】 教师总结:从形式上看,二次根式必须具备以下两个条件: (1)必须有二次根号; (2)被开方数不能小于 0. [设计意图] 通过探究促使学生独立思考、合作探讨,并最终获得结论,有利于帮助学生 从被动地接受知识到主动地探索新知,满足学生的多样化学习需求,通过学生自己归纳总结, 让学生经历二次根式概念的形成过程,符合学生的认知规律,避免了概念教学的机械记忆,同 时提高学生的概括总结能力,培养了学生思维的严谨性. 活动二:二次根式的简单性质 [过渡语] 了解了二次根式的概念,实际上 (a≥0)表示的就是我们以前学过的非负 数 a 的算术平方根,下面我们来研究一下它有哪些简单性质. 思路一 【课件 4】 (教材第 90 页大家谈谈)小亮和小颖对二次根式“ (a≥0)”分别有如下 的观点.你认同小亮和小颖的观点吗?请举例说明. 小亮的观点:因为 表示的是非负数 a 的算术平方根,所以根据算术平方根的意义,有 ≥0. 小颖的观点:因为 表示的是非负数 a 的算术平方根,所以根据算术平方根和被开方数 的意义,有( )2=a. 学生讨论举例后得出小亮和小颖的观点都正确. 教师总结:(1) (a≥0)是一个非负数,即 具有双重非负性,一是被开方数是非负数, 二是它的结果是非负数;(2)( )2=a(a≥0),即非负数 a 的算术平方根的平方等于 a. 【课件 5】 做一做: 2 2 = ; 0 . 01 2 = ; 1 10 2 = ; 2 3 2 = ; 0 2 = . 教 师 点 评 : 根 据 算 术 平 方 根 的 意 义 , 我 们 可 以 得 到: 2 2 =2; 0 . 01 2 =0.01; 1 10 2 = 1 10 ; 2 3 2 = 2 3 ; 0 2 =0. 想一想:根据上面的计算,你能得到什么结论? 学生讨论得出,一般地, 2 =a(a≥0). 【课件 6】 (教材第 91 页做一做)化简. (1)( 3 )2; (2) 5 2 2; (3) 5 2 ; (4) 3 4 2 . 教师指名回答,公布答案. - 4 - 解:(1)( 3 )2=3. (2) 5 2 2 = 5 2 . (3) 5 2 =5. (4) 3 4 2 = 3 4 . 思路二 我们知道非负数有算术平方根,所以根据算术平方根的意义,我们不难得到非负数的算 术平方根还是非负数,即 ≥0(a≥0). 1.性质 1:( )2=a(a≥0). (1)观察:22=4,即( 4 )2=4;32=9,即( 9 )2=9…… (2)提问:观察上述等式的两边,你得到什么启示? (3)板书:当 a≥0 时, 2 =a. [设计意图] 通过观察、思考、解答,培养学生自己发现问题、分析问题和解决问题的 能力,使学生真正成为知识的主动建构者. 2.性质 2: 2 =a(a≥0). (1)提问: 2 等于什么? (2)举例: 2 2 = 4 =2; (- 2 ) 2 = 4 =2; 3 2 = 9 =3; (- 3 ) 2 = 9 =3…… (3)发现:当 a≥0 时, 2 =a;当 a<0 时, 2 =-a. (4)归纳: 2 = = ( ≥ 0 ), - ( < 0 ). 3.比较( )2 和 2 的区别. 学生讨论,回答. 说明:关键抓住被开方数的非负性和 (a≥0)的非负性. [知识拓展] 理解( )2 和 2 时应注意以下几点: (1)从 a 的取值范围理解: 2 中的 a 为全体实数,而( )2 中的 a 为非负数. (2)从所得的结果理解: 2 = ,而( )2=a,也就是说当 a≥0 时, 2 =( )2. [设计意图] 通过比较、讨论、试做的教学方式,加深学生对两个性质的认识,同时,也 关注了学生学习方式的个性化,做到既着眼于共同发展,又关注于个性差异. 活动三:例题讲解 【课件 7】 化简. (1) 0 . 04 ; (2) 3 1 9 2. 〔解析〕 0.04=0.22, 1 9 = 1 3 2 ,可以利用 2 =a(a≥0)化简. 解:(1) 0 . 04 = 0 . 2 2 =0.2. (2) 3 1 9 2 = 3 × 1 3 2 2 = 3 × 1 3 2 =12=1. [设计意图] 尽管问题相对简单,但规范的解答还是非常有必要的,要养成学生学习一 个新概念时稳扎稳打的态度,这样对于概念才会认识得更深更透. 三、课堂小结： 1.二次根式的定义 一般地,把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式. 判断一个式子是不是二次根式,一定要紧扣定义,看所给的式子是否同时具备如下两个 特征: - 5 - (1)带有二次根号“ ”,即根指数是 2; (2)被开方数不小于零. 只有同时满足上述两个特征,才是二次根式,如果不满足其中任何一个特征,就不是二次 根式. 2.二次根式的基本性质 (1)当 a≥0 时,( )2=a;(2)当 a≥0 时, 2 =a. 们服务.