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- 2021-10-26 发布
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第2课时 一次函数的图象与性质
1.会用两点法画出正比例函数和一次函数的图象,并能结合图象说出正比例函数和一次函数的性质;(重点)[来源:Zxxk.Com]
2.能运用性质、图象及数形结合思想解决相关函数问题.(难点)
一、情境导入
做一做:在同一个平面直角坐标系中画出下列函数的图象.
(1)y=x; (2)y=x+2;[来源:学科网ZXXK]
(3)y=3x; (4)y=3x+2.
观察函数图象有什么形式?
二、合作探究
探究点一:一次函数的图象
【类型一】 一次函数图象的画法
在同一平面直角坐标中,作出下列函数的图象.
(1)y=2x-1; (2)y=x+3;
(3)y=-2x; (4)y=5x.
解析:分别求出满足各直线的两个特殊点的坐标,经过这两点作直线即可.(1)一次函数y=2x-1图象过(1,1),(0,-1);(2)一次函数y=x+3的图象过(0,3),(-3,0);(3)正比例函数y=-2x的图象过(1,-2),(0,0);(4)正比例函数y=5x的图象过(0,0),(1,5).
解:如图所示.
方法总结:此题考查了一次函数的作图,解题关键是找出两个满足条件的点,连线即可.
【类型二】 判定一次函数图象的位置
已知正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小,则一次函数y=x+k的图象大致是( )
解析:∵正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小,∴k<0.∵一次函数y=x+k的一次项系数大于0,常数项小于0,∴一次函数y=x+k的图象经过第一、三、四象限,且与y轴的负半轴相交.故选B.
方法总结:一次函数y=kx+b(k、b为常数,k≠0)是一条直线.当k>0,图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大;当k<0,图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小.图象与y轴的交点坐标为(0,b).
探究点二:一次函数的性质
【类型一】 判断增减性和图象经过的象限等
对于函数y=-5x+1,下列结论:①它的图象必经过点(-1,5);②
它的图象经过第一、二、三象限;③当x>1时,y<0;④y的值随x值的增大而增大.其中正确的个数是( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解析:∵当x=-1时,y=-5×(-1)+1=6≠5,∴点(1,-5)不在一次函数的图象上,故①错误;∵k=-5<0,b=1>0,∴此函数的图象经过第一、二、四象限,故②错误;∵x=1时,y=-5×1+1=-4.又∵k=-5<0,∴y随x的增大而减小,∴当x>1时,y<-4,则y<0,故③正确,④错误.综上所述,正确的只有③.故选B.
方法总结:一次函数的性质:k>0,y随x的增大而增大,函数从左到右上升;k<0,y随x的增大而减小,函数从左到右下降.
【类型二】 一次函数的图象与系数的关系
已知函数y=(2m-2)x+m+1,
(1)当m为何值时,图象过原点?
(2)已知y随x增大而增大,求m的取值范围;
(3)函数图象与y轴交点在x轴上方,求m的取值范围;
(4)图象过第一、二、四象限,求m的取值范围.
解析:(1)根据函数图象过原点可知,m+1=0,求出m的值即可;(2)根据y随x增大而增大可知2m-2>0,求出m的取值范围即可;(3)由于函数图象与y轴交点在x轴上方,故m+1>0,进而可得出m的取值范围;(4)根据图象过第一、二、四象限列出关于m的不等式组,求出m的取值范围.
解:(1)∵函数图象过原点,∴m+1=0,即m=-1;[来源:Z,xx,k.Com]
(2)∵y随x增大而增大,∴2m-2>0,解得m>1;
(3)∵函数图象与y轴交点在x轴上方,∴m+1>0,解得m>-1;
(4)∵图象过第一、二、四象限,∴解得-1<m<1.
方法总结:一次函数y=kx+b(k≠0)中,当k<0,b>0时,函数图象过第一、二、四象限.
探究点三:一次函数图象的平移
在平面直角坐标系中,将直线l1:y=-2x-2平移后,得到直线l2:y=-2x+4,则下列平移作法正确的是( )
A.将l1向右平移3个单位长度[来源:学§科§网Z§X§X§K]
B.将l1向右平移6个单位长度
C.将l1向上平移2个单位长度
D.将l1向上平移4个单位长度
解析:∵将直线l1:y=-2x-2平移后,得到直线l2:y=-2x+4,∴-2(x+a)-2=-2x+4,解得a=-3,故将l1向右平移3个单位长度.故选A.
方法总结:求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变,只有b发生变化.解析式变化的规律是:左加右减,上加下减.
探究点四:一次函数的图象与性质的综合运用
一次函数y=-2x+4的图象如图,图象与x轴交于点A,与y轴交于点B.
(1)求A、B两点坐标;
(2)求图象与坐标轴所围成的三角形的面积.
解析:(1)x轴上所有的点的纵坐标均为0,y轴上所有的点的横坐标均为0;(2)利用(1)中所求的点A、B的坐标可以求得OA、OB的长度.然后根据三角形的面积公式可以求得△OAB的面积.
解:(1)对于y=-2x+4,令y=0,得-2x+4=0,∴x=2.∴一次函数y=-2x+4的图象与x轴的交点A的坐标为(2,0);令x=0,得y=4.∴一次函数y=-2x+4的图象与y轴的交点B的坐标为(0,4);
(2)由(1)中知OA=2,OB=4.∴S△AOB=·OA·OB=×2×4=4.∴图象与坐标轴所围成的三角形的面积是4.
方法总结:求一次函数与坐标轴围成的三角形的面积,一般地应先求出一次函数图象与x轴、y轴的交点坐标,进而求出三角形的底和高,即可求面积.[来源:学科网]
三、板书设计
1.一次函数的图象
2.一次函数的性质
3.一次函数图象的平移规律
本节课,学生活动设计了三个方面:一是通过画
函数图象理解一次函数图象的形状.二是两点法画一次函数的图象.三是探究一次函数的图象与k、b符号的关系.在学生活动中,如何调动学生的积极性、互动性,提高学生活动的实效性值得深入探讨.为了达到上述目的,应结合每个活动,给学生明确的目的和要求,而且提供操作性很强的程序和题目.学生目标明确,操作性强,受到了较好的效果.
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