数学人教版八年级上册教案12-3角平分线的性质 4页

- 1 - 12.3 角平分线的性质 教学内容 本节课首先介绍作一个角的平分线的方法，然后用三角形全等证明角平分线的性质定理． 教学目标 1．知识与技能 通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理． 2．过程与方法 经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法． 3．情感、态度与价值观 激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力． 重点难点 1．重点：领会角的平分线的两个互逆定理． 2．难点：两个互逆定理的实际应用． 教具准备 投影仪、制作如课本图 11．3─1 的教具． 教学方法 采用“问题解决”的教学方法，让学生在实践探究中领会定理． 教学过程 一、创设情境，导入新课 【问题探究】（投影显示） 如课本图 11．3─1，是一个平分角的仪器，其中 AB=AD，BC=DC，将 点 A 放在角的顶点，AB 和 AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE，AE 就是角平分线， 你能说明它的道理吗？ 【教师活动】首先将“问题提出”，然后运用教具（如课本图 11．3─1）直观地进行 讲述，提出探究的问题． 【学生活动】小组讨论后得出：根据三角形全等条件“边边边”课本图 11．3─1 判定 法，可以说明这个仪器的制作原理． 【教师活动】 请同学们和老师一起完成下面的作图问题． 操作观察： 已知：∠AOB． 求法：∠AOB 的平分线． 作法：（1）以 O 为圆心，适当长为半径作弧，交 OA 于 M，交 OB 于 N．（2）分别以 M、N 为圆心，大于 1 2 MN 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 的内部交于点 C．（3）作射线 OC，射线 OC即为所求（课本图 11．3─2）． - 2 - 【学生活动】动手制图（尺规），边画图边领会，认识角平分线的定义；同时在实践操 作中感知． 【媒体使用】投影显示学生的“画图”． 【教学形式】小组合作交流． 二、随堂练习，巩固深化 课本 P19 练习． 【学生活动】动手画图，从中得到：直线 CD 与直线 AB 是互相垂直的． 【探研时空】（投影显示） 如课本图，将∠AOB 对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开， 观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？ 【教师活动】操作投影仪，提出问题，提问学生． 【学生活动】实践感知，互动交流，得出结论，“从实践中可以看出，第一条折痕是∠ AOB 的平分线 OC，第二次折叠形成的两条折痕 PD、PE 是角的平分线上一点到∠AOB 两边的 距离，这两个距离相等．” 论证如下： 已知：OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E（课本 图 11．3─4） 求证：PD=PE． 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠PEO=90° 在△PDO 和△PEO 中， , , , PDO PEO AOC BOC OP OP         ∴△PDO≌△PEO（AAS） ∴PD=PE 【归纳如下】 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【教学形式】师生互动，生生互动，合作交流． 三、情境合一，优化思维 【问题思索】（投影显示） 如课本图 11．3─5，要在 S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，离公 路与铁路交叉处 500 米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为 1：20 000）？ 【学生活动】四人小组合作学习，动手操作探究，获得问题结论．从实践中可知：角平 - 3 - 分线上的点到角的两边距离相等，将条件和结论互换：到角的两边的距离相等的点也在角的 平分线． 证明如下： 已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD=PE． 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上． 证明：经过点 P 作射线 OC． ∵PD⊥OA，PE⊥OB ∴∠PDO=∠PEO=90° 在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中， , , OP OP PD PE    ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL） ∴∠AOC=∠BOC， ∴OC 是∠AOB 的平分线． 【教师活动】启发、引导学生；组织小组之间的交流、讨论；帮助“学困生”． 【归纳】到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 【教学形式】自主、合作、交流，在教师的引导下，比较上述两个结论，弄清其条件和 结论，加深认识． 四、范例点击，应用所学 【例】 如课本图 11．3─6，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P，求证：点 P到三边 AB，BC，CA 的距离相等． 【思路点拨】因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离，而证明它们相等必须 标出它们．所以这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理．如果已知中写明点 P 到三边 的距离是哪些线段，那么图中画实线，在证明中就可以不写． 【教师活动】操作投影仪，显示例子，分析例子，引导学生参与． 证明：过点 P 作 PD、PE、PF 分别垂直于 AB、BC、CA，垂足为 D、E、F． ∴BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上． ∴PD=PE 同理 PE=PF ∴PD=PE=PF 即点 P 到边 AB、BC、CA 的距离相等． 【评析】在几何里，如果证明的过程完全一样，只是字母不同，可以用“同理”二字概 括，省略详细证明过程． 【学生活动】参与教师分析，主动探究学习． 五、随堂练习，巩固深化 课本 P50 练习 1、2． 六、课堂总结，发展潜能 1．学生自行小结角平分线性质及其逆定理，和它们的区别． - 4 - 2．说明本节例子实际上是证明三角形三条角平分线相交于一点的问题，说明这一点是 三角形的内切圆的圆心（为以后学习设伏）． 七、布置作业，专题突破 课本 P51 习题 12．3 第 1、2、3 题． 板书设计 把黑板分成三部分，左边部分板书概念、定理等，中间部分板书探究，右边部分板书例 题，重复使用时，中间部分和右边部分板书练习题．