苏教版数学八年级上册课件2-4线段、角的轴对称性（2） 19页

2.4 线段、角的轴对称性（2） 探究角平分线的性 质 (1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三 角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察 两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？ 活 动 2 (2)猜想:角平分线上的点到角两边的距离相 等. 同学甲、乙谁的画法是正确的? 按照做一做的顺序画∠AOB的折痕OC ,过点P的垂线 段PE，PF ，并度量所画PE，PF是否等长？ C C 角平分线上的点到角两边的距 离相等． 议一议：由折一折和画一画你可得到什么猜想？ 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA， PE⊥OB，垂足分别为D，E． 求证：PD=PE． 证明：∵OC是∠AOB的平分线， PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠1=∠2，∠PDO=∠PEO=90°. 又∵OP=OP， ∴△PDO≌ △PEO(AAS)． ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等). A O C B 1 2 P D E 角平分线上的点到角两边的距离相等. 定理：角平分线上的点到角 两边的距离相等. ∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点， PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)， ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距 离相等). A O C B 1 2 P D E ∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）， ∴ = ，( ) 角平分线上的点到角两边 的距离相等. A D C B BD CD （×） 判断 1. A C ∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）， ∴ = .（ ） DB DC 角平分线上的点到角两边的 距离相等 A D C B 不必再证全等 2. A B C 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是 否一定在这个角的平分线上呢？ （前提条 件） 已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB， 点D，E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上． A O C B 1 2 P D E 已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB， D，E为垂足且PD=PE，求证：点P在∠AOB的角平分 线上． 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠ PEO=90°. 在Rt△ODP和Rt△OEP中， 　　　 OP=OP，PD=PE， 　　　∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL)． 　　　∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等) . ∴点P在∠AOB的角平分线上． A O C B 1 2 P D E 判定定理：角的内部到角两边距离相等 的点在角的平分线上. ∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知), 且 PD=PE, ∴点P在∠AOB的平分线上(在一个角的内部,且 到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 ). A O C B 1 2 P D E 这样，我们又可以得到一个结论： A B 思考： 要在S区建一个集贸市场. （1）使它到公路，铁路距离相等，如何设计？ （2）它到公路，铁路距离相等且 离公路、铁路的交叉处400米， 应建在何处？ （比例尺 1：20 000） S O 公路 铁路 例1 已知:如图,在△ABC中,∠BAC=60°，点D在BC 上，AD=10，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,且 DE=DF,求DE的长. A B CD E F 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC ，DE ＝DF， ∴AD平分∠BAC. 又∵∠BAC=60°， ∴∠BAD=30. 在Ｒt△ADE中，∵∠AED=90°， AD=10， ∴DE= ½ AD= ½ ×10=5 . w例2 已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且 BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F. w求证:BE=CF. A B E D C F 证明：∵AD平分∠CAB， 　　 DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ DE ＝ DF(角平分线的性质). 在Ｒt△BDE和Rt△CDF中, 　　 DE=DF （已证）， BD=CD（已知）， ∴ Rt△BDE≌ Rt△CDF (HL). ∴ BE=CF （全等三角形对应边相等）. w例3 已知:如图,在△ABC中，BD=CD,DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别是E,F.且BE=CF. w求证:AD是∠BAC的角平分线. A B E D C F 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ ∠DEB=∠CFD=90°. 在Ｒt△BDE和Rt△CDF中, 　　 BE=CF （已证）， BD=CD（已知）， ∴ Rt△BDE≌ Rt△CDF (HL). ∴DE ＝ DF(全等三角形对应边相等). 又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ 点D在∠A的角平分线上，即AD是 它的角平分线. w例4 已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分 线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F. w 求: AD与EF关系. A B E D C F 证明:∵AD平分∠CAB ，DE⊥AB， DF⊥AC， ∴ DE ＝ DF(角平分线的性质)， ∠DAE=∠DAF. ∵∠DEB=∠CFD=90°， ∴ ∠ADE=∠ADF,即AD是∠EDF的角平分 线. ∵DE ＝ DF, AD是∠EDF的角平分线， ∴AD垂直平分EF(三线合一）. 如图,BD是∠ABC的平分线,P是BD上的一 点,PE⊥BA于点E,PE=4 cm,则点P到边BC的距离 为　　　　cm.  解:如图,作PF⊥BC于点F. ∵PE⊥BA于点E,BD平分∠ABC, ∴PF=PE=4 cm. 如图,已知△ABC中,BD=CD,∠1=∠2,求证:AD平 分∠BAC. 1.用尺规作角平分线. 2.角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等． 3.角平分线的判定定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 课堂小结