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- 2021-10-27 发布
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第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
第2课时 平行四边形的性质(二)
课前预习
A. 平行四边形的性质:平行四边形的对角线
______________. 互相平分
1<OA<4
1.在□ABCD中,AB=3,BC=5,对角线AC,BD
相交于点O,则OA的取值范围是___________.
B. 平行四边形的面积:平行四边形的面积
=______________. 底×高
2. 如图18-1-16,在 ABCD中,AB=4 cm,
AC=6 cm,∠BAC=90°,则BD之长为
______________, ABCD的面积为
______________.
10 cm
24
cm2
课堂讲练
【例1】如图18-1-17,在□ABCD中,对角线AC,BD相
交于点O,EF过点O分别交AD,BC于点E,F. 求证:
OE=OF.
知识点1 平行四边形的对角线特征
证明:∵四边形ABCD是平行四边
形,
∴AD∥BC,OA=OC.
∴∠EAO=∠FCO,∠AEO=∠CFO.
又∵AO=CO,
∴△AEO≌△CFO(AAS).
∴OE=OF.
1. 如图18-1-18,□ABCD的对角线AC,BD交于点O,
已知AD=8,BD=12,AC=6,求△OBC的周长.
解:∵四边形ABCD是平行四边
形,
∴BC=AD=8,OA=OC,OB=OD.
∵BD=12,AC=6,
∴BO=6,CO=3.
∴△OBC的周长为8+3+6=17.
【例2】在□ABCD中,如图18-1-19①,O为对角线
BD,AC的交点.
(1)求证:S△ABO=S△CBO;
(2)如图18-1-19②,设P为对角线BD上任意一点
(点P与点B,D不重合),S△ABP与S△CBP仍然相等吗?
若相等,请证明;若不相等,请说明理由.
知识点2 平行四边形的面积
(1)证明:在□ABCD中,AO=CO.
设点B到AC的距离为h,则S△ABO= AO·h,
S△CBO= CO·h.
∴S△ABO=S△CBO.
(2)解:S△ABP=S△CBP.证明如下:
在□ABCD中,点A,C到BD的距离相等,设为h,
则S△ABP= BP·h,S△BCP= BP·h.
∴S△ABP=S△BCP.
2. 如图18-1-20,在□ABCD中,AE⊥BC于点E,
AF⊥CD于点F,若AE=4,AF=6,且□ABCD的周长
为40,求□ABCD的面积.
解:∵□ABCD的周长为40,
∴BC+CD=20①.
∵AE⊥BC,AF⊥CD,AE=4,
AF=6,
∴4BC=6CD.
∴BC= CD②.
联立①②解得CD=8,BC=12.
∴S□ABCD=AF·CD=6×8=48.
分层训练
【A组】
1. (2019柳州)如图18-1-21,在 ABCD中,
全等三角形的对数共有( )
A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对
C
2. 下面性质中,平行四边形不一定具备的是( )
A. 对角线相等 B. 邻角互补
C. 对角相等 D. 对角线互相平分
A
3. 如图18-1-22,在□ABCD中,已知AB=6,BC=4,
若∠B=45°,则□ABCD的面积为( )
A. 8 B.
C. D. 24
B
4. 如图18-1-23,设M是□ABCD的边AB上任意
一点,设△AMD的面积为S1,△BMC的面积为
S2,△CDM的面积为S,则( )
A.S=S1+S2
B.S>S1+S2
C.S<S1+S2
D.不能确定
A
5. 在□ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,
如果AC=14,BD=8,AB=x,那么x的取值范围
是______________.3<x<11
6. 如图18-1-24,在□ABCD中,过对角线BD上
一点P作EF∥BC,GH∥AB,且CG=2BG,S△BPG=1,
则S□AEPH=_________.4
7. 如图18-1-25,已知直线a∥b,点C,D在直线a
上,点A,B在直线b上,线段BC,AD相交于点E,写
出图中面积相等的三角形:
____________________________________________. S△ABC=S△ABD,S△AEC=S△DEB,S△ACD=S△CDB
8. 如图18-1-26,已知 ABCD的对角线AC,
BD相交于点O,其周长为16,且△AOB的周长
比△BOC的周长小2,求AB,BC的长.
解:∵ ABCD的对角线AC,BD相交于点O,
其周长为16,
∴OA=OC,OB=OD,
AB=CD,AD=CB.
∴BC+AB=8①.
∵△AOB的周长比△BOC的周长小2,
∴OB+OC+BC-(OA+OB+AB)=2,
∴BC-AB=2②.
①+②得:2BC=10,
∴BC=5,
∴AB=3.
【B组】
9. 如图18-1-27,在□ABCD中,O是对角线AC,BD的
交点,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为点E,F. 那么OE
与OF是否相等?为什么?
解:OE=OF. (提示:只要
证明△BOE≌△DOF即可)
10. 如图18-1-28,在 ABCD中,点E,F分
别在AB,CD上,且BE=DF,EF与AC相交于点P.
求证:点P是 ABCD对角线的交点.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD.
∴∠AEP=∠CFP.
∵BE=DF,
∴AB-BE=CD-DF.
即 AE=CF.
在△AEP和△CFP中,
∴△AEP≌△CFP(AAS).
∴PA=PC.
即点P是 ABCD对角线的交点.
11. 如图18-1-29①,□ABCD的对角线AC,BD相交于
点O,EF过点O且与AD,BC分别相交于点E,F,则
OE=OF. 若将EF向两方向延长,并与平行四边形的两
对边的延长线分别相交(如图18-1-29②和图18-1-
29③),OE与OF还相等吗?若相等,请说明你的理
由.
【C组】
解:Ⅰ.图18-1-29②中仍然相等. 理由如下.
∵在□ABCD中,AB∥CD,OA=OC,
∴∠E=∠F.
又∵∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF(AAS).
∴OE=OF.
Ⅱ.图18-1-29③中仍然相等. 理由如下.
∵在□ABCD中,AD∥BC,OA=OC,
∴∠E=∠F.
又∵∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF(AAS).
∴OE=OF.
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