初二数学复习资料 70页

- 1 - 目录 第一讲 全等三角形提高 .............................- 1 - 第二讲 全等三角形强化及角平分线 ...................- 8 - 第三讲 等腰三角形 ................................- 14 - 第四讲 勾股定理 ..................................- 21 - 第五讲 平行四边形 ................................- 26 - 第六讲 特殊的平行四边形（一） ....................- 32 - 第七讲 特殊的平行四边形（二） ....................- 37 - 第八讲 梯形 ......................................- 43 - 第九讲 梯形中的辅助线及中位线定理 ................- 47 - 第十讲 一次函数 ..................................- 52 - 第十一讲 反比例函数 ................................- 58 - 第十二讲 分式方程 ..................................- 64 - 初二复习教材 第一讲 全等三角形提高 【中考考情】 1、全等三角形在中考中考察很灵活，各种题型都有可能出现 2、找出几何图形中的全等三角形，然后在利用全等三角形的性质是压轴题的常 考方式 【知识要点】 1、全等形：能够重合的两个图形叫做全等形。两个三角形是全等形，就说它们 是全等三角形，两个全等三角形，经过运动后一定重合，互相重合的顶点叫做对 应顶点；互相重合的边叫做对应边；互相重合的角叫做对应角。 2、两个三角形全等的性质： 　（1）全等三角形的对应角相等、对应边相等。 　（2）全等三角形的对应边上的高对应相等。 　（3）全等三角形的对应角平分线相等。 　（4）全等三角形的对应中线相等。 　（5）全等三角形面积相等。 　（6）全等三角形周长相等。 (以上可以简称:全等三角形的对应元素相等) 3、两个三角形全等的判定： （1）三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称 SSS 或“边边边”)，这一 条也说明了三角形具有稳定性的原因。　 （2）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS 或“边角边”)。 （3）有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA 或“角边角”)。 （4）有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS 或“角角边”) （5）直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全 等(HL 或“斜边，直角边”) 　　SSS,SAS,ASA,AAS,HL 均为判定三角形全等的定理。 注意：为什么 SSA 不能判断两个三角形全等，并且能够画出反例的图形。 【例题解析】 考点 1、全等形的概念 例 1：几何中，我们把上述所例举的“一模一样”的图形叫做“全等形”，以下是描述全等形的 三种不同的说法，你认为哪种说法是恰当的？ （l）形状相同的两个图形叫全等形； （2）大小相等的两个图形叫全等形； 　　（3）能够完全重合的两个图形叫全等形． - 3 - 变式 1：如图中有 6 个条形方格图，图中有哪些实线围成的图形是全等的？ 变式 2:全等三角形又叫合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同 三角形．假设△ABC 和△A1B1C1 是全等（合同）三角形，且点 A 与 A1 对应，点 B 与 B1 对应， 点 C 与 C1 对应，当沿周界 A→B→C→A 及 A1→B1→C1→A1 环绕时，若运动方向相同，则称 它们是真正合同三角形（如图）；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形,如图: 两个真正合同三角形，都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合；而两个镜面合同三角 形要重合，则必须将其中的一个翻转 180°，在下图中的各组合三角形中，是镜面合同三角 形的是（ ） 考点 2、两个三角形全等的性质 例 2：图中所示的是两个全等的五边形，指出它们的对应顶点、对应边与对应角并说出图 中标的 a、b、c、d、e、α、β各字母所表示的值． 初二复习教材 变式 1：如图所示的是三个全等的四边形，请指出它们的对应顶点、对应边与对应角，并写 出图中标的 a，b，c，d，α，β，γ各字母所表示的值． 变式 2：如图， 绕点 逆时针旋转 到 的位置，已知 ，则 等于（　　） Ａ． 　　Ｂ． 　　Ｃ． 　　Ｄ． 变式 3：如图, ≌ ，BC 的延长线交 DA 于 F，交 DE 于 G, , ,求 、 的度数. OAB△ O 80 OCD△ 45AOB∠ =  AOD∠ 55 45 40 35 ABC∆ ADE∆ 105=∠=∠ AEDACB  25,10 =∠=∠=∠ DBCAD DFB∠ DGB∠ - 5 - 考点 3、两个三角形全等的判定 证题的思路： 例 1：如图，在△ABC 与△DEF 中，给出以下六个条件中（1）AB＝DE（2）BC＝EF（3）AC ＝DF （4）∠A＝∠D（5）∠B＝∠E（6）∠C＝∠F，以其中三个作为已知条件，不能判断△ABC 与△DEF 全等的是（　　　） Ａ．（1）（5）（2）； Ｂ．（1）（2）（3）； Ｃ．（4）（6）（1）； Ｄ．（2）（3）（4） 变式 1：如图，四边形 中， 垂直平分 于点 ． （1）图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来； （2）任选（1）中的一对全等三 角形说明理由．                                  ）找任意一边（ ）找两角的夹边（已知两角 ）找夹已知边的另一角（ ）找已知边的对角（ ）找已知角的另一边（ 边为角的邻边 ）任意角（若边为角的对边，则找 已知一边一角 ）找第三边（ ）找直角（ ）找夹角（ 已知两边 AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS ABCD AC BD O A B D C O A B C D E F 初二复习教材 变式 2：已知，如图，AB=CD，DF⊥AC 于 F，BE⊥AC 于 E，DF=BE。求证：AF=CE。 变式 3：已知，如图，AB、CD 相交于点 O，△ACO≌△BDO，CE∥DF。求证：CE=DF。 变式 4：如图，正方形 ABCD 的边长为 1，G 为 CD 边上一动点（点 G 与 C、D 不重合）， 以 CG 为一边向正方形 ABCD 外作正方形 GCEF，连接 DE 交 BG 的延长线于 H。 求证：① △BCG≌△DCE ② BH⊥DE 小结：在以上例题变式练习中，可以归纳概括出目前常用的证明三角形全等时寻找非已知条 件的途径 缺边时：①图中隐含公共边；②中点概念；③等量公理④其它． 缺角时：①图中隐含公共角；②图中隐含对顶角；③三角形内角和及推论④角平分线 定义；⑤平行线的性质；⑥同（等）角的补（余）角相等；⑦等量公理；⑧其它． F E A CD B F E O D C BA F E D C A B G H - 7 - 【课后作业】 1、已知，如图，AB⊥AC，AB＝AC，AD⊥AE，AD＝AE。求证：BE＝CD。 2、已知，如图，四边形 ABCD 是正方形，△ECF 是等腰直角三角形，其中 CE=CF，G 是 CD 与 EF 的交点，求证：△BCF≌△DCE 3、如图，在ΔABC 中，D 在 AB 上，且ΔCAD 和ΔCBE 都是等边三角形，说明：（1）DE=AB， （2）∠EDB=60° A ED C B GF E D C A B 初二复习教材 4、如图，正方形 ABCD 中点 P 是边 AB 上的一个动点，且 CQ=AP，PQ 与 CD 相交于点 E，当 P 在边 AB 上运动时， 试判断△PDQ 的形状并证明。 DA B C P E Q - 9 - 第二讲 全等三角形强化及角平分线 【中考考情】 1、在尺规作图中，常考作一个叫的角平分线，要求保留作图痕迹。 2、很少单独考角平分线的性质，一般都是与几何题结合起来一起考察 【知识要点】 1、角平分线的性质定理：在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等. 2、角平分线判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上 【例题解析】 全等三角形解题方法: 　　一般来说考试中线段和角相等需要证明全等，因此我们可以来采取逆思维的 方式，来想要证全等，则需要什么条件，另一种则要根据题目中给出的已知条件， 求出有关信息，然后把所得的等式运用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）证明三角形全 等。 例 1：将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠， 为折痕，求 的度数 变式 1：如图所示，D 在 AB 上，E 在 AC 上，AB=AC, ∠B=∠C.求证：AD=AE BC BD， CBD∠ A E C B A′ E′ D 初二复习教材 变式 2：沿矩形 ABCD 的对角线 BD 翻折△ABD 得△A/BD,A/D 交 BC 于 F,如图所示,△BDF 是何 种三角形？请说明理由. 例 2：如图，已知在△ABC 中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，求证：AB＝AC＋CD。 变式 1：如图 20 所示,已知 AB=DC,AE=DF,CE=FB,求证:AF=DE. 变式 2：如图所示,已知△ACB、△FCD 都是等腰直角三角形,且 C 在 AD 上,AF 的延长线与 BD 交于 E,请你在图中找出一对全等三角形,并写出证明它们全等的过程. (20) FE D C B A (21) F E D C B A - 11 - 一般在判定三角形全等时，我们可以用到以下解题技巧： （1）综合法：由已知条件出发，根据正确的定义、定理逐步说理得出结论的方法（思维： 顺向而行） （2）分析法：从结论出发，利用已学过的定理，定义或法则为依据，逐步逆推,朝已知条件 靠拢，直至达到已知条件。（思维：逆向思维） （3）分析综合法：在数学学习中，要灵活把握综合法和分析法两种思维方法 用分析法探索思路寻求解法 用综合法进行有条理的表述 （先分析后综合；边分析边综合） 考点 2、角平分线性质定理 例 3：如图，E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是 C，D. 试证明 OC=OD． 变式 1：如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC，AD 平分∠CAB，交 BC 于点 D，DE⊥AB 于点 E，若△BDE 的周长是 4cm，求 AB 的长． 变式 2：已知：如图，△ABC 中，∠ACD=90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D， DE⊥AB 于 E 求证： AD⊥CE E B D A C 初二复习教材 变式 3： 已知：∆ABC 中，∠B 和∠C 的平分线相交于 D，过 D 作 BC 的平行线交 AB,AC 于 E， F 求证：EF=BE+CF 考点 3、角平分线判定定理 例 4：如图，BD=CD， 。求证：点 D 在 的平分线上。 变式 1：如图，∠B=∠C=90°，M 是 BC 的中点，DM 平分∠ADC，求证：AM 平分∠DAB. ABCEACBF ⊥⊥ , BAC∠ - 13 - 【课后作业】 1、(1) 如图 1，∠AOB=60°，CD⊥OA 于 D，CE⊥OB 于 E，且 CD=CE，则∠DOC=_________. (2)如图，在△ABC 中,∠C=90°,AD 是角平分线，DE⊥AB 于 E，且 DE=3 cm，BD=5 cm，则 BC=_________ cm. 2、 如图所示，∠1=∠2，AE⊥OB 于 E，BD⊥OA 于 D，交点为 C，则图中全等三角形共有（ ） A．2 对 B．3 对 C．4 对 D．5 对 3、如图所示，在△ABC 中，AB=AC，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是 E，F，则下列四个结论：①AD 上任意一点到 C，B 的距离相等；②AD 上任意一点到 AB，AC 的距离相等；③BD=CD，AD⊥BC；④∠BDE=∠CDF，其中正确的个数是（ ）． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 4、在 中， ，CD 是 的平分线，求证：BC＝AD＋AC 5、已知如上右图，B 是 CE 的中点，AD=BC，AB=DC．DE 交 AB 于 F 点 求证：（1）AD∥BC　 （2）AF=BF． D F A C E B 初二复习教材 第三讲 等腰三角形 【中考考情】 1、等腰三角形的性质可以单独考察，也可以综合考察，一般出现在 7 分题和 9 分题中。 2、等腰三角形中最常用的辅助线（三线合一）是解题的关键，腰和底的分情况 讨论是易错点。 【知识要点】 1、等腰三角形的性质 定理：等腰三角形有两边相等。 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论 1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等 腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论 2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于 60°。等腰三角形 是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形。 2、等腰三角形的判定 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写 成“等角对等边”。） 推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论 2：有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形。 推论 3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等 于斜边的一半。 3、等边三角形 定义：三条边都相等的三角形 性质：三边相等，三角相等且都为 60 度，加等腰三角形性质。 判定： （1）有三条边相等的三角形叫做等边三角形； （2）有三个角相等的三角形叫做等边三角形； （3）有两个内角都等于 600 的三角形叫做等边三角形； （4）有一个内角等于 600 的等腰三角形叫做等边三角形。 - 15 - 【例题解析】 考点 1、等腰三角形的性质 例 1：如图，等腰三角形 ABC 中，AB=AC，一腰上的中线 BD将这个等腰三角形周长分成 15 和 6 两部分，求这个三角形的腰长及底边长。 【分析】要分 AB+AD=15，CD+BC=6 和 AB+AD=6，CD+BC=15 两种情况讨论。 变式 1：如图，已知： 中， ，D 是 BC 上一点，且 ， 求 的度数。 变 式 2 ： 已 知 ： 如 图 ， 中 ， 于 D 。 求 证 ： 。 ABC∆ ACAB = CADCDBAD == ， BAC∠ A B C D ABC∆ ABCDACAB ⊥= ， DCB2BAC ∠=∠ A 1 2 D B CE 3 初二复习教材 变式 3：如图，在△ABC 中，∠B=2∠C，AD⊥BC 于 D，求证：CD=AB+BD．请思考： （1）若在 CD 上截取 DE=DB，连结 AE， 如何证明． （2）若延长 CB 到 E，使 BE=AB，连结 AE， 是否可以证出结论． 说明： 1. 作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质，构造角的倍半关系。 因此添加底边的高是一条常用的辅助线； 2. 对线段之间的倍半关系，常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加方法， 对角间的倍半关系也同理，或构造“半”，或构造“倍”。 变式 4: （1）等腰三角形中，两条边的长分别为 4 和 9，则它的周长是 ． （2）等腰三角形的顶角是 40°，则它的底角度数是 . （3）等腰三角形顶角的外角是 130°，它的一个底角是 . （4）等腰三角形中，和顶角相邻的外角的平分线和底边的位置关系是 . （5）若一个等腰三角形有一个角为 100o，则另两个角为 ． （6）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30°，则顶角为 . 考点 2、等腰三角形的判定 例 2：如图所示，AD＝AE，BD＝CE，B、D、E、C 在同一线上，试判断△ABC 的形状，说明理 由．（用两种不同的方法证明） A B CD E - 17 - 变式 1：如图，△ABC 中 BA=BC，点 D 是 AB 延长线上一点，DF⊥AC 于 F 交 BC 于 E， 求证：△DBE 是等腰三角形． 变式 2：如图，△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE 分别为∠ABC 与∠ACB 的角平分线， 且相交于点 F，则图中的等腰三角形有（ ） A. 6 个 B. 7 个 C. 8 个 D. 9 个 变式 3：如图，在 中，点 在 上，点 在 上， ， ， 与 相交于点 ，试判断 的形状，并说明理由． E D CA B F A 36° E D F B C ABC△ E AB D BC BD BE= BAD BCE=∠ ∠ AD CE F AFC△ B CD F A E 初二复习教材 考点 3：等边三角形 例 3：已知：如图，△ABC 为正三角形，D 是 BC 延长线上一点，连结 AD，以 AD 为边作等边 三角形 ADE，连结 CE，用你学过的知识探索 AC、CD、CE 三条线段的长度有何关系?试写出 探求过程． 变式 1：如图，已知点 B、C、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE都是等边三角形．BE 交 AC 于 F，AD 交 CE 于 H，求证：（1）△BCE≌△ACD． （2） △BCF≌△ACH 变式 2：如图，在等边 中，点 分别在边 上，且 ， 与 交于点 ． （1）求证： ； （2）求 的度数． E DCB A E DC A B HF ABC△ D E， BC AB， BD AE= AD CE F AD CE= DFC∠ D A E F B C - 19 - 变式 3：如图，在ΔABC 中，D 在 AB 上，且ΔCAD 和ΔCBE 都是等边三角形，说明：（1） DE=AB，（2）∠EDB=60° 本节知识可以归纳为： 等腰三角形 60                                       ° 等边对等角性质 三线合一腰与底边不等的等腰三角形 等角对等边判定 定义 三边相等性质 三角都相等 有一个角等于 的等腰等边三角形 三角形判定 三边都相等( 或三角都相等) 的 三角形 初二复习教材 【课后作业】 1、下列说法中，正确的有 ( ) ①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与 底边上的高相等；④等腰三角形是轴对称图形． A．1 个 B．2 个 C.3 个 D．4 个 2、如果△ABC 的∠A，∠B 的外角平分线分别平行于 BC，AC，则△ABC 是 ( ) A．等边三角形 D．等腰三角形 C. 直角三角形 D．等腰直角三角形 3、在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(2，－2)，在 y 轴确定点 P，使△AOP 为等腰三角形， 则符合条件的点有 ( ) A．2 个 D．3 个 C．4 个 D．5 个 4、如图，在下列三角形中，若 AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是( ) A．(1)(2)(3) B．(1)(2)(4) C. (2)(3)(4) D．(1)(3)(4) 5、已知等腰三角形的两边长是 1cm 和 2cm，则这个等腰三角形的周长为_______cm． 6、三角形三内角的度数之比为 1∶2∶3，最大边的长是 8cm，则最小边的长是_______cm． 7、如图，∠A＝15°，AB＝BC=CD=DE＝EF，则∠GEF=_______． (第 7 题) 8、等腰三角形的底边长为 6cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，这两部分 之差是 3cm，那么这个等腰三角形的腰长是_______． 9、如图，∠ABD=∠ACD=60º，∠ADB=90º-1/2∠BDC。求证：△ABC 是等腰三角形。 (1) 36° CB A (2) 45° CB A (3) 90° CB A 108° (4) CB A G F E D C B A B C A D - 21 - 第四讲 勾股定理 【中考考情】 1、勾股定理解直角三角形一般出现在 6 分题或者是 7 分题中，而且以常见直角 三角形为主。 2、考察知识点主要以解三角形，判定直角三角形为主。 【知识要点】 1、勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方． 表达形式：在 中， 的对 边分别为 ，则有：① ；② ；③ ． 2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长为 ，满足 ，那么， 这个三角形是直角三角形。 勾股数： （1）满足 的三个正整数，称为勾股数． （2）勾股数中各数的相同的整数倍，仍是勾股数，如 3、4、5 是勾股数，6、 8、10 也是勾股数。 （3）常见的勾股数有：①3、4、5②5、12、13；③88、15、17；④7、24、25； ⑤10、24、26；⑥9、40、41． 【例题解析】 考点 1、勾股定理 例 1：已知直角三角形 ABC 中，∠C=900，AB=10，BC=6，求 AB 边上的高。 变式 1：直角三角形的两直角边为 6、8，则斜边上的高等于 。 变式 2：直角三角形的两边长为 5、12，则另一边的长为 。 ABCRt∆ ,,,90 BAC ∠∠°=∠ C∠ cba ,, 222 bac += 222 bca −= 222 acb −= cba ,, 222 cba =+ 222 cba =+ C A B 初二复习教材 变式 3：如图，已知△ABC 中，AD、AE 分别是 BC 边上的高和中线，AB=9 ，AC=7 ，BC=8 ，求 DE 的长。 变式 4：如图折叠长方形的一边 BC，使点 B 落在 AD 边的 F 处，已知：AB=3，BC=5， 求折痕 EF 的长． 变式 5：如图，铁路上 A、B 两点相距 25km，C、D 为两村庄，DA 垂直 AB 于 A，CB 垂直 AB 于 B，已知 DA=15km，CB=10km，现在要在铁路 AB 上建一个土特产品收购站 E，使得 C、D 两 村到 E 站的距离相等，则 E 站应建在距 A 站多少千米处？ cm cm cm A CDEB A E B C DF - 23 - 考点 2、勾股定理的逆定理（直角三角形的判别条件） 例 2：判断以下各组线段为边能否组成直角三角形。 （1）9、41、40； （2）5、5、5 （3） 、 、 ； （4） 、 、 （5） 、 、 变式 1：如图所示，已知△DEF 中，DE=17cm，EF=30cm，EF 边上中线 DG=8cm。 求证：△DEF 是等腰三角形。 变式 2：如图所示，在△ABC 中，D 是 BC 上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17。 求△ABC 的面积。 变 式 3 ： 如 图 ， 和 都 是 等 边 三 角 形 ， ， 试 说 明 ： 2 1 3 1 4 1 5 23 24 25 2 3 5 ADC∆ BCE∆ 30=∠ABC 222 BCABBD += E D C B A D E FG A B CD 初二复习教材 变式 4：在等腰直角三角形中，AB=AC，点 D 是斜边 BC 的中点，点 E、F 分别为 AB、AC 边上 的点，且 DE⊥DF。 （1）证明： 是直角三角形； (2)若 BE=12,CF=5，试求 的面积。 归纳总结：利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： ①先找出最大边（如 c） ②计算 与 ，并验证是否相等。 若 = ，则△ABC 是直角三角形。 若 ≠ ，则△ABC 不是直角三角形。 DEF∆ DEF∆ 2c 2 2a b+ 2c 2 2a b+ 2c 2 2a b+ F E D CB A - 25 - 【课后作业】 1、如图，在边长为 c 的正方形中，有四个斜边为 c 的全等直角三角形，已知其直角边长为 a，b.利用这个图试说明勾股定理? 2、如图，四边形 ABCD，已知∠A=90°，AB=3，BC=13，CD=12，DA=4。求四边形的面积。 3、已知，如图，折叠长方形的一边 AD 使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知 AB = 8cm，BC = 10 cm，求 EC 的长 4、如图，长方形 ABCD 中，AB＝8，BC＝4，将长方形沿 AC 折叠，点 D 落在 D/处，则重叠部 分△AFC 的面积是多少？ C 第 1 题图 A B C D 第 2 题图 A B C D E F A B CD F D/ 初二复习教材 第五讲 平行四边形 【中考考情】 1、四边形这章内容是中考中的重点内容，常与函数结合起来出现在压轴题当中。 2、学好本节的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，这为解 9 分题做准备。 【知识要点】 1、多边形： （1）多边形的内角和：多边形内角和等于 （2）多边形的外角和：多边形外角和等于 360° （3）常用结论：过 n 边形的一个顶点共有(n－3)条对角线，n 边 形共有 条对角线；过 n 边形的一个顶点将 n 边形分成(n－2)个三角形。 2、 平行四边形性质： 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 平行四边形的定义要抓住两点，即“四边形”和“两组对边分别平行” 平行四边形性质： （1）边的性质：对边平行且相等； （2）角的性质：对角相等，邻角互补； （3）对角线的性质：两条对角线互相平分； （4）对称性：不是轴对称图形，是中心对称图形。 3、平行四边形的判定： （1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（定义）； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （4）对角线互相平分的四边形是平行四边形； （5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 【例题解析】 考点 1、多边形 例 1：一个多边形每一个外角都是 30°，则这个多边形是（ 　　）边形. 变式 1：如果从一个凸多边形的一个顶点出发，一共有 17 条对角线，则这个多边形内角和 为（ 　　） （A）1800°　　 （B）2400°　　 （C）3240°　　 （D）4206° 变式 2：（1）六边形共有（ 　　）条对角线. （2）一个多边形内角和为 540°，则其边数为（ 　　）. （3）任意多边形的外角和为（ 　　）度. （4）一个凸多边形内角和 900°，则这个多边形边数为（　　 ）条. 0180)2n( − 2 )3( −nn - 27 - 考点 2、平行四边形的性质 例 2：已知： ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，EF 过点 O 与 AB、CD 分别相交于点 E、 F．求证：OE＝OF，AE=CF，BE=DF． 变式 1：已知四边形 ABCD 是平行四边形，AB＝10cm，AD＝8cm，AC⊥BC，求 BC、CD、AC、OA 的长以及 ABCD 的面积． 变式 2：如图 12 -1,平行四边形 ABCD 中,AE⊥BC 于 E,AF⊥CD 于 F,AE=4,AF=6,周长等于 24. 求:平行四边形 ABCD 的边长. 变式 3：如图 12-11,在平行四边形 ABCD 中,D 在 AB 的垂直平分线 DE 上,若四边形 ABCD 的周 长为 38cm, △ABD 的周长比四边形的周长少 10cm. 求:平行四边形 ABCD 各边的长. 볍㈱ⴠⴠ Ｑ ａ ⴠ ｃ ｄ ｅ ⴠ ﹅ ﹄ ﹃ ﹂﹁ 볍㈱ⴠ� ㄱ！ 初二复习教材 变式 4：如图，在 中， 为 边上一点，且 ． （1）求证： ． （2）若 平分 ， ，求 的度数． 考点 3、平行四边形判定 例 3：已知，如图， ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，E、F 是 AC 上的两点，并且 AE=CF．求证：四边形 BFDE 是平行四边形． 变式 1：已知：如图，A′B′∥BA，B′C′∥CB，C′A′∥AC． 求证：∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′； 变式 2：如图，已知⊿DAB，⊿EAC, ⊿FBC 都是等边三角形，求证：四边形 DECF 为平行四边 形。 ABCD E BC AB AE= ABC EAD△ ≌△ AE DAB∠ 25EAC = ∠ AED∠ ⽅ 㭄 㵃 F A B A B C D E - 29 - 变式 3：如图，平行四边形 ABCD 中，E、F 分别在 AD、BC 上，AE=CF，AF 与 BE 交于点 G，CE 与 DF 交于点 H，求证：EF 与 GH 互相平分。 归纳总结： 1.学过本节内容后，应掌握平行四边形的性质和判定方法，可从三方面记忆： （1）从边看；（2）从对角线看；（3）从角看。 2.了解平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问 题．例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等；二是判定一个四边形是平行 四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形 的性质去解决某些问题． 3.平行四边形的概念、性质、判定都是非常重要的基础知识，这些知识是本章的重点内容。 初二复习教材 【课后作业】 一、选择题 1. 如图 1，在平行四边形 ABCD 中，下列各式不一定正确的是（ ） 2. 如图 2，在 ABCD 中，EF//AB，GH//AD，EF 与 GH 交于点 O，则该图中的平行四边 形的个数共有（ ） A. 7 个 B. 8 个 C. 9 个 D. 11 个 二、填空题 1、在平行四边形 ABCD 中，若∠A－∠B=70°，则∠A=_______，∠B=_______， ∠C=_______，∠D=_________． 2 、 在 ABCD 中 ， AC ⊥ BD ， 相 交 于 O ， AC=6 ， BD=8 ， 则 AB=________ ， BC= _________． 3、如图 9， ABCD 中，DB=DC，∠C=70°，AE⊥BD 于 E，则∠DAE=_____度。 三、解答题 1. 如图 11，在 ABCD 中，已知对角线 AC 和 BD 相交于点 O，△AOB 的周长为 25，AB=12， 求对角线 AC 与 BD 的和。 - 31 - 2. 已知如图 12，在 ABCD 中，延长 AB 到 E，延长 CD 到 F，使 BE=DF，则线段 AC 与 EF 是否互相平分？说明理由。 3. 如图 13， ABCD 中，BD⊥AB，AB=12cm，AC=26cm，求 AD、BD 的长． 初二复习教材 第六讲 特殊的平行四边形（一） 【中考考情】 1、特殊平行四边形是中考的必考题，常出现在 7 分题和 9 分题当中， 以特殊的 四边形为框架来开综合考察几何代数知识。 2、特殊四边形的性质比较多，难点在于选择有用的条件。 【知识要点】 特殊平行四边形的性质： １、菱形 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 菱形的性质： （1）边的性质：对边平行，四条边都相等。 （2）角的性质：对角相等，邻角互补。 （3）对角线的性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平 分一组对角。 （4）对称性：是轴对称图形，有两条对称轴．也是中心对称图形。 2、矩形 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 矩形的性质： （1）边的性质：对边平行且相等。 （2）角的性质：四个角都是直角。 （3）对角线的性质：两条对角线互相平分且相等。 （4）对称性：是轴对称图形，有四条对称轴．也是中心对称图形称。 3、正方形 正方形性质： （1）边的性质：对边平行，四条边都相等。 （2）角的性质：四个角都是直角。 （3）对角线的性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平 分一组对角。 （4）对称性：是轴对称图形，有四条对称轴。 【例题解析】 考点 1、菱形的性质 例 1：已知，如图，菱形 ABCD 中∠B=60°； E,F 在边 BC,CD 上，且∠EAF=60 °； 求证：AE=AF. F E D CB A - 33 - 变式 1：如图，在菱形 ABCD 中，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，求∠CEF 的度数。 考点 2、矩形的性质 例 2：如图，已知矩形 ABCD 的纸片沿对角线 BD 折叠，使 C 落在 C’处，BC’边交 AD 于 E， AD=4，CD=2 （1）求 AE 的长 （2）△BED 的面积 变式 1：如图，矩形 ABCD 中，AD=9，AB=3，将其折叠，使其点 D 与点 B 重合，折痕为 EF 求 DE 和 EF 的长。 C DA B C E F DA B C E C’ A B C D E F 初二复习教材 变式 2：已知：在矩形 ABCD 中，AE 平分∠BAD，∠AOD＝120°，求：∠BOE. 考点 3、正方形的性质 例 3：如图 1，两个正方形的边长均为 1，其中一个正方形的顶点在另一个正方形的中心， 则两个正方形重合部分的面积为__________。 变式 1：如图，将边长为 1 的正方形 ABCD 绕 A 点按逆时针方向旋转 30°，至正方形 AB′C′D′，则旋转前后正方形重叠部分的面积是________． 变式 2：已知，如图，在正方形 ABCD 中，AC．BD 相交于点 O，E．F 分别在 OB．OC 上，且 OE=OF．求证：AE⊥BF． O A B C D E F O E D CB A - 35 - 变式 3：如图，在正方形 ABCD 中，H 在 BC 上，EF⊥AH 交 AB 于点 E，交 DC 于点 F.若 AB=3， BH=1，求 EF 的长。 D C B H E G F A 初二复习教材 【课后作业】 1、下列四边形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形，而且有四条对称轴的是 （ ）． A．平行四边形； B．矩形； C．菱形； D．正方形． 2、如图，矩形 ABCD 中，DE⊥AC 于 E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE 的度数为 （ ）． A．36o ； B．18o ； C．27o ； D．9o ． 3、如图，在正方形 ABCD 中，E 是对角线 AC 上一点，AE＝AB,则∠EBC＝_________． 4、如图，正方形 ABCD 的边 BC 的延长线上取一点 E，使 CE=AC，AE 与 CD 交于点 F， 则∠AFC=_________． 第 6 题图 第 7 题图 第 8 题图 5、已知：如图，正方形 ABCD，AE+CF=EF。求证： EDF= 。 6、已知：如图，矩形 ABCD 中，AE=CD，AB=2AD，求： EBC 的度数。 ∠ °45 ∠ A D C F BE A D E C B - 37 - 初二复习教材 第七讲 特殊的平行四边形（二） 【中考考情】 1、特殊平行四边形的判定在中考中考察比较灵活，各种题型和层次都有可能。 2、当特殊四边形的判定出现在 9 分题中时，要根据已知条件灵活选用判定方法。 【知识要点】 1、矩形 矩形的判定： （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）对角线相等的平行四边形是矩形． （3）有三个角是直角的四边形是矩形． 2、菱形 菱形的判定： （1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 （2）一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （3）四条边都相等的四边形是菱形。 3、正方形 正方形的判定： （1）有一个角是直角的菱形是正方形。 （2）有一组邻边相等的矩形是正方形。 （3）对角线相等的菱形是正方形。 （4）对角线互相垂直的矩形是正方形。 平行四边形与特殊平行四边形的关系： 【例题解析】 考点 1、矩形的判定 例 1：已知点 E 为□ABCD 外一点，AE⊥EC，BE⊥DE，求证：□ABCD 是矩形． O A B C D E - 39 - 变式 1：已知，如图，等腰梯形 ABCD 中，AB=CD，AD//BC，点 E、F、G 分别在边 AB、BC、CD 上，AE=GF=GC。 （1）求证：四边形 AEFG 是平行四边行。 （2）当 时，求证：四边形 AEFG 是矩形 考点 2、菱形的判定 例 2：已知:，如图，AD 是△ABC 的角分线，DE∥AC，DF∥AB 交 AC 于 F 求证：AD⊥EF 变式 1：已知，如图，EF 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线，EF 与对角线 AC 及边 AD、 BC 分别交于点 O、E、F。 （1）求证：四边形 AFCE 是菱形。 （2）如果 FE=2ED，求 AE：ED 的值。 F E D CB A O E F C D B A 2FGC EFB∠ = ∠ G F E D CB A 初二复习教材 变式 2：已知，如图，在四边形 ABCD 中，E 为 AB 上一点，△ADE 和△BCE 都是等边三角形， AB、BC、CD、DA 的中点分别为 P、Q、M、N，试判断四边形 PQMN 为怎样的四边形，并证明你 的结论． 考点 3、正方形的判定 例 3：如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E、F 是边 AB、CD 的中点，AF 与 DE 交于点 H，BF 与 CE 交于点 G。 （1）求证：四边形 EGFH 是平行四边形； （2）试问：当平行四边形 ABCD 的边满足何条件时，四边形 EGFH 是正方形？ 变式 1：已知：如图，已知平行四边形 中，对角线 交于点 ， 是 延 长线上的点，且 是等边三角形． （1）求证：四边形 是菱形； （2）若 ，求证：四边形 是正 H G D F C BEA ABCD AC BD， O E BD ACE△ ABCD 2AED EAD∠ = ∠ ABCD E C D B A O 图 - 41 - 方法总结：（1）矩形和菱形的判定方法分两类：从四边形来判定和从平行四边形来判定。 如果是从一般的四边形出发来判断，可先判断是平行四边形，进而在判断为矩形或是菱形。 常用的判定方法有三种：定义和两个判定定理．遇到具体题目，可根据条件灵活选用恰当的 方法．（2）判断一个四边形是正方形，需要先判断为菱形或是矩形，然后在分别个有两种方 法判断为正方形，这需要根据题干条件来选择最优的方法。 【课后作业】 1、下列命题中正确的是（ ）． A．对角线相等的四边形是矩形； B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形； C．对角线垂直的四边形是矩形； D．对角线相等且垂直的四边形是矩形． 2、平行四边形 ABCD 的对角线 AC．BD 相交于点 O，下列条件中，不能判定它为菱形的是 （ ）． A．AB=AD； B．AC⊥BD； C．∠A=∠D； D．CA 平分∠BCD． 3、下列命题中，真命题是（ ）． A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形； B．有一条对角线平分对角的四边形是菱形； C．菱形是对角线互相垂直平分的四边形； D．菱形的对角线相等． 4、如图，以△ABC 的边 AB．AC 为边的等边三角 ABD 和等边三角形 ACE，四边形 ADFE 是平行 四边形． （1）当∠BAC 满足什么条件时，四边形 ADFE 是矩形？ （2）当∠BAC 满足什么条件时，平行四边形 ADFE 不存在？ （3）当△ABC 分别满足什么条件时，平行四边形 ADFE 是菱形，正方形？ 初二复习教材 5、已知：如图，在正方形 ABCD 中，G 是 CD 上一点，延长 BC 到 E，使 CE＝CG，连接 BG 并 延长交 DE 于 F．将△DCE 绕点 D 顺时针旋转 90°得到△DAE′，判断四边形 E′BGD 是什么 四边形？并说明理由． 课后把一下表格完成 1．平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质 边 角 对角线 平 行 四 边形 矩形 菱形 正方形 2．平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定 平行四边形 矩形 菱形 正方形 A B C D E F E′ G - 43 - 初二复习教材 第八讲 梯形 【中考考情】 1、中考中一般会考一道与梯形有关的题型，一般是 7 分题，难度中等的几何题。 2、经常考察等腰梯形及直角梯形为背景，来进行线段长度及角度的计算或者是 证明题。 【知识要点】 1、梯形 （1）梯形定义：一组对边平行，另一组对进不平行的四边形叫梯形。 特殊的梯形：有一个角是直角的梯形叫直角梯形。两腰相等的梯形叫等腰梯 形。 （2）证明一个四边形是梯形的方法： ①证明它的一组对边平行,并且另一组对边不平行； ②证明它的一组对边平行并且不相等。 2、等腰梯形 （1）等腰梯形的定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形 （2）等腰梯形的判定： ①先证明它是梯形,再证明一组对边不相等； ②先证明它是梯形,再证明同一底上的两个角不相等； ③先证明它是梯形,再证明两条对角线不相等。 （3）等腰梯形的性质： ①等腰梯形在同一底上的两个角相等 ②等腰梯形的两条对角线相等 ③等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的一条直线 3、直角梯形 直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。 【例题解析】 考点 1、梯形 例 1：如图:，已知在梯形 ABCD 中，AB//CD,DE//BC,点 E 在 AB 上且 BE＝4，△AED 的周长是 18，求梯形 ABCD 的周长. D C A E B - 45 - 变式 1：如图：梯形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交点 O，那么△AOB 和△COD 的面积相等吗？ 变式 2：如图，已知梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=CD，∠BOC=120°，AD=4，BC=8， 求： 梯形面积 变式 3：如图，在梯形 中， ， 平分 ， ，交 的 延长线于点 ， ．求证： ； 考点 2、等腰梯形 例 2：如图，等腰梯形 ABCD 中，AD//BC,AD＝AB,BD⊥CD, 求：∠C 的度数. ABCD AD BC∥ CA BCD∠ DE AC∥ BC E 2B E=∠ ∠ AB DC= D C B A O D CB A DA B C O A B C D E 初二复习教材 变式 1：已知在△ABC 中，AH⊥BC 于 H，E、F、D 分别为 AB、AC、BC 的中点． 求证：四边 形 EFHD 为等腰梯形． 　 变式 2：如图,等腰梯形 ABCD 中，AD//BC,BA＝CD,E 是 AD 延长线上一点，CE=CD. 求证：∠B=∠E. 考点 3：直角梯形 例 3：如图在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠A＝90°，中位线 EF 长为 3cm，⊿BDC 为等边三 角形，求梯形的两腰 AB、DC 的长及梯形的面积。 变式 1：如图，在直角梯形 中 ，则 cm． ABCD 1cm 2cmAB CD AD CD AB AD= =∥ ， ⊥ ， ， ， 4cmCD = BC = H FE D CB A ED CB A B CD A B CD A - 47 - 变式 2：已知直角梯形 中， ， ， ， 是 的中点． （1）求证：四边形 是正方形． （2）求 的度数． 变式 3：直角梯形的两腰的比为 1：2，则它的锐角等于__________度． ABCD AB DC∥ 90DAB∠ =  1 2AD DC AB= = E AB AECD B∠ Ｄ Ｃ ＥＡ Ｂ 初二复习教材 【课后作业】 一、填空题 1.直角梯形的上底是 6 ，下底是 10 ，高为 3 ，则梯形的周长为___________。 2. 梯 形 的 两 底 分 别 为 6 和 3 ， 两 腰 长 分 别 为 5 和 4 ， 则 梯 形 的 面 积 是 ___________。 3.等腰梯形的锐角是 60°，它的两底分别是 15 ，49 ，则腰长为____________。 4. 若 梯 形 的 上 、 下 底 分 别 是 3 和 7 ， 一 腰 长 为 4 ， 则 另 一 腰 长 的 取 值 范 围 是 ____________。 5.等腰梯形上底为 6 ，下底为 8 ，高为 ，则腰长为___________。 二、选择题 1.等腰梯形 ABCD 的两条对角线相并于点 O，则其中全等三角形有（ ） A、1 对 B、2 对 C、3 对 D、4 对 2.如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD=5，AB=6，BC=8，且 AB∥DE，则△DEC 周长为（ ） A、3 B、12 C、15 D、19 3.梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=CD，则∠A：∠B：∠C：∠D 可能是（ ） A、1：1：2：2 B、1：2：2：1 C、2：1：2：1 D、1：2：1：2 4.等腰梯形的一个内角为 120°，则高与腰长的比为（ ） A、1：2 B、2：1 C、1： D、 ：2 5．如果顺次连接四边形各边中点所围成的四边形是矩形，那么原来的四边形一定是（ ） （A）平行四边形； （B）梯形； （C）对角线相等的四边形； （D）对角线垂直的四边形． cm cm cm cm cm cm cm cm cm m cm cm 3 cm 3 3 A B C D E - 49 - 第九讲 梯形中的辅助线及中位线定理 【中考考情】 1、往往几何题都需要通过辅助线来解题，而梯形中的辅助线做法多样，需要根 据条件及结论来选择。 2、中位线是梯形及三角形中常用的辅助线，出现中点，则作中位线的可能性很 大。 【知识要点】 1、常用的梯形中的辅助线 平移、作梯形的高、平移对角线、作中位线、延长 2、中位线概念及定理 （1）中位线概念： 　 ①三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 　 ②梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线． 　 （2）中位线定理： 　①三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半． 　②梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半． 【例题解析】 考点1、梯形中常用的几种作辅助线的方法 （1）平移一条腰（移腰法） 如图1，在梯形ABCD中，AB∥DC，作BM∥AD,则： ①梯形ABCD被分成一个三角形和一个________________形， ②∠ADM=∠____,DM=_____,BM=_____,两底之差DC-AB=_______. ③若AD=BC，DC－AB=BC，则ΔBMC是______三角形,∠A=_______度. ④若AD=4，DC=7，AB=2，则BM=____,MC=____,BC的长度的取值范围是_____0 时，图像经过一、三象限；k<0 时，图像经过二、四象限 (4) 增减性：k>0，y 随 x 的增大而增大；k<0，y 随 x 增大而减小 (5) 倾斜度：|k|越大，越接近 y 轴；|k|越小，越接近 x 轴 3、一次函数及性质 定义：一般地，形如 y=kx＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么 y 叫做 x 的一次函数. 当 b=0 时，y=kx＋b 即 y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 性质： （1）解析式：y=kx+b(k、b 是常数，k 0) （2）必过点：（0，b）和（- ，0） （3）走向和增减性： 　 b>0 b<0 b=0 ≠ k b - 55 - 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 k>0 图象从左到右上升，y 随 x 的增大而增大 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 k<0 图象从左到右下降，y 随 x 的增大而减小 （4）倾斜度：|k|越大，图象越接近于 y 轴；|k|越小，图象越接近于 x 轴. （5）图像的平移： 当 b>0 时，将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位； 当 b<0 时，将直线 y=kx 的图象向下平移 b 个单位. 4、直线 y=k1x+b1 与 y=k2x+b2 的位置关系 （1）两直线平行：k1=k2 且 b1 b2 （2）两直线相交：k1 k2 （3）两直线重合：k1=k2 且 b1=b2 【例题解析】 考点 1、与函数相关的基本概念 例 1：（1）在匀速运动公式 中, 表示速度, 表示时间, 表示在时间 内所走的路程, 则变量是________,常量是_______. （2）下列函数中，自变量 x 的取值范围是 x≥2 的是（ ） A．y= B．y= C．y= D．y= · 变式 1：在圆的周长公式 C=2πr 中，变量是________，常量是_________. 变式 2：函数 中自变量 x 的取值范围是___________. 变式 3： 中，自变量 x 的取值范围是 . 考点 2、正比例函数图象及性质 例 2：若关于 x 的函数 是正比例函数，则 m= ，n . ≠ ≠ vts = v t s t 2 x− 1 2x − 24 x− 2x + 2x − 5y x= − 1xy x += 1( 1) my n x −= + 初二复习教材 变式 1：正比例函数 ，当 m 时，y 随 x 的增大而增大. 变式 2：函数 y=(k-1)x，y 随 x 增大而减小，则 k 的范围是 ( ) A. B. C. D. 变式 3： 是正比例函数，则 m= 。 变式 4：写出一个函数解析式 ，满足：函数的图象经过（-1,2），且 y 随 x 的 增大而减小。 变式 5：已知 y-3 与 x 成正比例，且当 x= 2 时，y=7，求 y 与 x 的函数解析式。 考点 3、一次函数及性质 例 3：下列函数中，是一次函数的是 。 ① ；② ；③y=x；④y=-x-1；⑤ ；⑥ 变 式 1 ： 已 知 函 数 ， 当 m 时 ， 它 是 一 次 函 数 ， 当 m 时，它是正比例函数。 例 4：直线 y=2x-4 与 x 轴的交点坐标是 ，与 y 轴的交点坐标是 ，该直线 与坐标轴围成的三角形的面积是 。 变式 1：已知直线 y=(a+2)x-4a+4，当 a= 时，直线经过原点，当 a= 时，直线与 y 轴交于点（0，-2）。 变式 2：已知点 A（a+2，1-a）在函数 y=2x-1 的图象上，则 a= 。 变式 3：已知一次函数 和 的图象都经过点 A（-2，0），且与 y 轴分 别交于 B、C 两点，求△ABC 的面积。 (3 5)y m x= + 0k 1≤k 10 时， 变式 1：已知函数 y=-x+1，当 时，则 。 变式 2：二元一次方程组 的解集是 ，则直线 y=2x-1 与直线 y=x+2 的交 点坐标是 。 例 9：工厂现有甲种原料 360 千克，乙种原料 290 千克，计划利用这两种原料生产 A，B 两 1 2x x< 1y 2y 2 0 2 x y x y  − = − + = 3 5 x y  =  = - 59 - 种产品，共 50 件．已知生产一件 A 种产品需用甲种原料 9 千克、乙种原料 3 千克，可获利 润 700 元；生产一件 B 种产品，需用甲种原料 4 千克、乙种原料 10 千克，可获利润 1200 元．生产 A，B 两种产品获总利润是 (元)，其中一种的生产件数是 ，试写出 与 之间 的函数关系式，并说明哪种生产方案获总利润最大?最大利润是多少? 【课后作业】 1、下列各图象中，y 不是 x 的函数的是（ ） 2、y=(1-m)x+7 与 y=(2m-5)x-1 的图象平行，则 m= 。 3、一次函数 y=-2x+4 和一次函数 y=x+6 的图象的交点坐标，即为二元一次方程组 的解。 4、若 y-2 与 x+1 成正比例，且当 x= 0 时，y= 4，求 y 与 x 的函数解析式。 5、已知函数 y=kx+3 与 y=mx 的图象相交于点 P（2，1），求图中阴影部分的面积。 6、Ａ城有化肥 200 吨，Ｂ城有化肥 300 吨，现要把化肥运往Ｃ，Ｄ两农村，如果从Ａ城运 往Ｃ，Ｄ两地运费分别是 20 元／吨与 25 元／吨，从Ｂ城运往Ｃ，Ｄ两地运费分别是 15 元 ／吨与 22 元／吨，现已知Ｃ地需要 220 吨，Ｄ地需要 280 吨，怎样调运花钱最小? y x y x 初二复习教材 第十一讲 反比例函数 【中考考情】 1、反比例函数的命题放在各个位置都有，最常出现在 7 分题，突出考查学生的 数形结合思想等，且与一次函数结合起来考察。 2、本节重点是掌握反比例函数的图象及性质，难点是理解反比例函数的概念 、反比例函数的图象及性质的运用。 【知识要点】 1、反比例函数的概念： 一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 或 y=kx-1（k 为常 数， ）的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数。 2、反比例函数的图象及性质 反比例函数的图象：反比例函数 的图象是双曲线，它有两个分支，这两 个分支分别位于第一、三象限或第二、 四象限。它们关于原点对称、反比例函 数的图象与 x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永 远不与坐标轴相交。 画反比例函数的图象时要注意的问题： （1）画反比例函数图象的方法是描点法； （2）画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是 ，因此不能把两个分支 连接起来。 （3）由于在反比例函数中，x 和 y 的值都不能为 0，所以画出的双曲线的两个分 支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到 x 轴和 y 轴的变化趋势。 反比例函数的性质 的变形形式为 （常数）所以： （1）其图象的位置是： 当 时，x、y 同号，图象在第一、三象限； 当 时，x、y 异号，图象在第二、四象限。 （2）若点(m,n)在反比例函数 的图象上，则点（-m,-n）也在此图象上， 故反比例函数的图象关于原点对称。 （3）当 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小； 当 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大； x ky = 0k ≠ x ky = 0x ≠ x ky = )0k( ≠ kxy = 0k > 0k < x ky = 0k > 0k < - 61 - 3、反比例函数解析式的确定。 （1）反比例函数关系式的确定方法：待定系数法，由于在反比例函数关系式 中，只有一个待定系数 k，确定了 k 的值，也就确定了反比例函数，因此 只需给出一组 x、y 的对应值或图象上点的坐标，代入 中即可求出 k 的值， 从而确定反比例函数的关系式。 （2）用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： ①设所求的反比例函数为： （ ）； ②根据已知条件，列出含 k 的方 程； ③解出待定系数 k 的值； ④把 k 值代入函数关系式 中。 5、反比例函数综合 【例题解析】 考点 1、比例函数的基本题 例 1：在函数 中，自变量 x 的取值范围是（ ）。 A、x≠0 B、x≥2 C、x≤2 D、x≠2 变式 1：反比例函数 图象上一个点的坐标是　　　　　　。 变式 2：若反比例函数 的图像在第二、四象限，则 的值是（　 　） A、－1 或 1 　 B、小于 的任意实数 C、－1　　 　Ｄ、不能确定 考点 2、反比例函数的图象 例 2：根据物理学家波义耳 1662 年的研究结果：在温度不变的情况下，气球内气体的压强 p(pa)与它的体积 v(m3)的乘积是一个常数 k，即 pv＝k(k 为常数，k＞0)，下列图象能正确 反映 p 与 v 之间函数关系的是（ ）。 变式 2：已知反比例函数 的图像上有两点 A( ， )，B( ， )，且 ， 则 的值是 （ ） A 、正数 B、 负数 C 、非正数 D 、不能确定 x ky = x ky = x ky = 0k ≠ x ky = 1 2y x = − 6y x = − 22 )12( −−= mxmy m 2 1 )0( <= kx ky 1x 1y 2x 2y 21 xx < 21 yy − p vO p vO p vO p vOA B C DD 初二复习教材 变式 3：正比例函数 和反比例函数 在同一坐标系内的图象为（ ） 考点 3、反比例函数图象的面积与 k 问题 例 3：反比例函数 （k0）在第一象限内的图象如图 1 所示，P 为该图象上任一点，PQ⊥ x 轴，设△POQ 的面积为 S，则 S 与 k 之间的关系是（ ） A． B． C．S=k D．S>k 变式 1：设 P 是函数 在第一象限的图像上任意一点，点 P 关于原点的对称点为 P’， 过 P 作 PA 平行于 y 轴，过 P’作 P’A 平行于 x 轴，PA 与 P’A 交于 A 点，则 的面 积（ ） A．等于 2 B．等于 4 C．等于 8 D．随 P 点的变化而变化 变式 2：如图，A、B 是反比例函数 y＝ 的图象上的两点。AC、BD 都垂直于 x 轴，垂足分 别为 C、D。AB 的延长线交x 轴于点 E。若 C、D 的坐标分别为（1，0）、（4，0），则ΔBDE 的 面积与ΔACE 的面积的比值是（ ） A． B． Ｃ． D． kxy = x ky = x ky = 4 kS = 2 kS = 4p x = PAP′△ 2 x 2 1 4 1 8 1 16 1 y xo y xo y xo y xo - 63 - 变式 3：反比例函数 在第一象限内的图象如图，点 M 是图像上一点， MP 垂直 轴于点 P，如果△MOP 的面积为 1，那么 的值是 ； 考点 4、利用图象，比较大小 例 4：已知三点 ， ， 都在反比例函数 的图象上，若 ， ，则下列式子正确的是（ ） A． B． C． D． 变式 1：在函数 y= (k<0)的图像上有 A(1,y )、B(－1,y )、C(－2,y )三个点，则下列各 式中正确的是（ ） (A) y = kx ky x k 1 1 1( )P x y， 2 2 2( )P x y， 3 (1 2)P −， ky x = 1 0x < 2 0x > 1 2 0y y< < 1 20y y< < 1 2 0y y> > 1 20y y> > x k 1 2 3 1 2 3 1 3 2 3 2 1 2 3 1 x m y xO P M 初二复习教材 变式 1：如图，已知点 A（4，ｍ），B（－1，ｎ）在反比例函数 的图象上，直线 AB 与ｘ 轴交于点 C， （1）求 n 值 （2）如果点 D 在 x 轴上，且 DA＝DC，求点 D 的坐标. xy 8= - 65 - 【课后作业】 1、在同一直角坐标平面内，如果直线 与双曲线 没有交点，那么 和 的 关系一定是（ ） A <0， >0 B >0， <0 C 、 同号 D 、 异号 2、若点（x1，y1）、（x2，y2）是反比例函数 的图象上的点，并且 x1＜x2＜，则下列 各式中正确的是　　　　　　　　　　　（　　） A、y1＜y2　　B、y1 >y2　　C、y1= y2　　　D、不能确定 3、已知 -2 与 成反比例，当 =3 时， =1，则 与 间的函数关系式为 ； 4、在体积为 20 的圆柱体中，底面积 S 关于高 h 的函数关系式是 ； 5、对于函数 ，当 时，y 的取值范围是______ ______；当 时且 时，y 的取值范围是 y ______1，或 y ______。（提示：利用图像解答） 6、如图，Rt△ABO 的顶点 A 是双曲线 与直线 在第二象限的交点， AB⊥ 轴于 B 且 S△ABO= （1）求这两个函数的解析式 （2）A，C 的坐标分别为（-，3）和（3，1）求△AOC 的面积。 xky 1= x ky 2= 1k 2k 1k 2k 1k 2k 1k 2k 1k 2k xy 1−= y x x y y x 2y x = 2x > y< < 2x ≤ 0x ≠ x ky = )1( +−−= kxy x 2 3 O y x B A C 初二复习教材 第十二讲 分式方程 【中考考情】 1、分式难点主要放在分式方程及分式方程应用题中来考察，一般是 6 分题解分 式方程，或者 7 分题的应用题。 2、分式的性质及分式方程的解法为重点考察点。 【知识要点】 1、分式的定义：如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 叫 做分式。 （1）分式有意义的条件是分母不为零；【B≠0】 （2）分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】 （3）分式值为零的条件分子为零且分母不为零。【B≠0 且 A=0 即子零母不零】 2、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于 0 的整式，分式 的值不变。 （1）分式的基本性质： （2）分式的变号法则： 3、分式的运算： 分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。 分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分 式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。 4、分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。 （1）解分式方程的步骤： ①在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。 ②解这个整式方程。 B A MB MA MB MA B A ÷ ÷=× ×= b a b a b a b a =−−=+ −−=− − ,a b a b a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd ± ±± = ± = ± = bc ad c d b a d c b a bd ac d c b a =⋅=÷=⋅ ; n n n b a b a =)( - 67 - ③把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的 根是原方程的增根，必须舍去。 ④写出原方程的根。 增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为 0，二是其值应是去分母后所 的整式方程的根。 （2）分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的 值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的 解。 【例题解析】 考点 1、分式定义 例 1：下列代数式中： ，是分式的有： . 变式 1：当 有何值时，下列分式有意义 （1） （2） （3） 变式 2：当 取何值时，下列分式的值为 0. （1） （3） 变式 3：（1）当 为何值时，分式 为正； （2）当 为何值时，分式 为非正数. yx yx yx yx ba bayxx − + + − + −− 1 ,,,2 1, 22 π x 4 4 + − x x 2 3 2 +x x 1 2 2 −x x 3 1 + − x x 65 32 2 2 −− −− xx xx x x−8 4 x 3 2 + − x x 初二复习教材 考点 2、分式的基本性质 例 2：不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. （1） （2） 变式 1：不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1） （2） 变式 2：已知： ，求 的值. 变式 3：若 ，求 的值. 变式 4：先化简代数式： ，然后选取一个使原式有意义的 的值代 入求值． 考点 3、分式的运算 1．确定最简公分母的方法： ①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂. 2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数； ②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂. yx yx 4 1 3 1 3 2 2 1 + − ba ba + − 04.0 03.02.0 yx yx −− +− b a − −− 21 =− xx 2 2 1 x x + 0)32(|1| 2 =−++− xyx yx 24 1 − 2 2 1 2 1 1 1 1 x x x x x − + ÷ + − −  x - 69 - 例 3：将下列各式分别通分. （1） ； （2） ； 变式 1：约分： （1） ； （2） . 变式 3：计算下列各式： （1） ； （2） ； 考点 4、分式方程 例 4：解下列分式方程 （1） ； （2） cb a ca b ab c 22 5 , 3 ,2 −− ab b ba a 22, −− 3 2 20 16 xy yx− 6 2 2 2 −− −+ xx xx 42 2 3 2 )()()( a bc ab c c ba ÷−⋅− 11 2 −−− aa a xx 3 1 1 =− x x x x − +=+ + 4 5 3 5 初二复习教材 变式 1：解下列方程 （1） ； （2） 考点 5、分式方程的应用 例 5：A 城市每立方米水的水费是 B 城市的 1.25 倍，同样交水费 20 元，在 B 城市比在 A 城 市可多用 2 立方米水，那么 A、B 两城市每立方米水的水费各是多少元？ 变式 1：甲、乙两地相距 19 千米，某人从甲地去乙地，先步行 7 千米，然后改骑自行车， 共用了 2 小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的 4 倍，求步行的速度和骑 自行车的速度. 444 1 =+++ x x x x 22 3 2 2 =−−+ xx x