2020春八年级数学下册第17章分式单元复习习题课件华东师大版 58页

第 17 章 单元复习课 一、分式 ( 方程 ) 的相关概念 1. 分式的有关概念 如果 A 与 B 都是整式 , 可以把 A÷B 表示成 的形式，当 B 中含 有字母时，把 叫做分式，其中 A 叫做分式的分子， B 叫做分 式的分母 . 注意分母 B 的值不能为零 , 否则分式没有意义 . 理解分式的概念应注意的问题 : (1) 具有 的形式； (2)B 中含有字母； (3) 分式与整式区别在于分母中是否含有字母 . 2. 分式的基本性质 (M 为不等于零的整式 ) 3. 公因式 一个分式的分子与分母都含有的因式，叫这个分式的公因式 . 4. 最简分式 一个分式的分子与分母除去 1 以外都没有其他的公因式时，叫做 最简分式 . 5. 最简公分母 几个分式，取各分母的系数的最小公倍数与各分母所有因式的 最高次幂的积作分母，这样的公分母叫做最简公分母 . 6. 约分和通分 7. 零指数幂与负整数指数幂 (1) 负整数指数幂： ( 其中 a≠0 ， p 是自然数 ). (2) 引进零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围扩大到了全体 整数，已学的幂的运算法则和运算律，对负整数指数幂同样适 用 . (3) 绝对值较小的数的科学记数法表示：用科学记数法表示一些 绝对值较小的数，即把它们表示成 a×10 -n 的形式，其中 n 是正整 数， 1≤|a| ＜ 10. 8. 分式方程 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 . 分式方程与整式方程的区别是分母中是否含有未知数 . 二、分式 ( 方程 ) 的运算及解法 1. 分式的运算法则 (1) 分式的乘除 注意分式的乘除法应用关键是理解其法则 . ① 先把除法变为乘法； ②接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，若有乘 方运算的要先算乘方，然后同其他分式进行约分； ③再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘； ④最后还应检查相乘后的分式是否化为最简分式 . (2) 分式的加减 ①同分母分式相加减： ②异分母分式相加减： ( 先通分，变成同分母的 分式，然后再加减 ). 运算步骤：①先确定最简公分母； ②对每项通分 , 化为同分母分式； ③按同分母分式运算法则进行运算； ④注意结果化为最简分式 . 2. 解分式方程的基本思想 去分母 , 将分式方程转化成已学过的整式方程 , 进而求解 . 即 : 分式方程 整式方程 . 3. 解分式方程的一般步骤 (1) 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程 . (2) 解这个整式方程 . (3) 把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最 简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去 . (4) 写出原方程的根 . 解分式方程的一般步骤比解整式方程的一般步骤多两步：一是 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程 . 二是把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，即 验根 . 三、分式方程的应用 列分式方程解应用题的方法与步骤 (1) 审 —— 审清题意； (2) 设 —— 直接设未知数，或间接设未知数； (3) 列 —— 根据等量关系列出分式方程； (4) 解 —— 解这个分式方程； (5) 验 —— 既要验是否为所列分式方程的根，又要验是否符合实 际情况； (6) 答 —— 完整地写出答案，注意单位 . 列分式方程解应用题的步骤与列整式方程解应用题的步骤相 似，不同的是第五步验根，列分式方程验根时，在保证正确求 解的情况下，既要验是否为原分式方程的增根，又要验根是否 符合实际情况，而列整式方程验根时，在保证正确求解的情况 下，只需验根是否符合实际情况即可 . 丰富的问题情景 科学记数法 分式的基本性质 约分 通分 分式方程的解法 分式方程的应用 分式运算 分式的乘除法 分式的加减法 分式的混合运算 分式的化简求值 分式的概念 分式方程的概念 零指数幂 负整指数幂 观察归纳 分式有无意义及值为 0 的条件 【 相关链接 】 1. 分式有意义、无意义的条件 : 因为零不能做除数 , 因此分式的 分母不能等于零 . 当分母等于零时 , 分式无意义；当分母不等于 零时 , 分式有意义 . 2. 分式的值为零的条件是 : 分子等于零且分母不等于零 , 两者缺 一不可 . 【 例 1】(2012· 宜昌中考 ) 若分式 有意义，则 a 的取值范 围是 ( ) (A)a=0 (B)a=1 (C)a≠-1 (D)a≠0 【 思路点拨 】 【 自主解答 】 选 C. 根据分式有意义的条件得， a+1≠0 ， 解得 a≠-1 ，故选 C. 分式的基本性质 【 相关链接 】 分式的基本性质是分式的分子与分母都乘以 ( 或除以 ) 同一个 不等于 0 的整式 , 分式的值不变 . 用式子表示为 理解此式注意以下三点 : (1)M 是不等于 0 的整式 , 是分式基本性质的一个制约条件； (2) 应用分式基本性质 , 要理解“都”、“同一个”两个关键的 含义 , 避免出现只乘分子 ( 或分母 ) 的错误； (3) 当分式的分子或分母是多项式 , 应用分式基本性质时 , 要加括 号 . 【 例 2】(2011· 贵阳中考 ) 在三个整式 x 2 -1,x 2 +2x+1,x 2 +x 中 , 请 你从中任意选择两个 , 将其中一个作为分子 , 另一个作为分母组 成一个分式 , 并将这个分式进行化简 , 再求当 x=2 时分式的值 . 【 思路点拨 】 【 自主解答 】 ( 答案不唯一 )(1) 选择 x 2 -1 为分子 ,x 2 +2x+1 为分母 , 组合分式 化简 将 (2) 选择 x 2 +x 为分子 ,x 2 +2x+1 为分母 , 组合分式 化简 将 x=2 代入 (3) 选择 x 2 -1 为分子 ,x 2 +x 为分母 , 组合分式 化简 将 x=2 代入 分式的化简与求值 【 相关链接 】 1. 分式的化简与求值一般是先将分式化简，然后再代入求值， 其依据就是分式的基本性质，在对分式化简时，一般要应用约 分和通分，约分的关键是确定分子与分母的公因式；通分的关 键是确定各分母的最简公分母 . 2. 分式运算过程中三点要求 :① 正确运用运算法则；②合理选用 运算律；③运算结果一定为最简分式 ( 即分子分母中不含有公因 式 ) 或整式 . 【 例 3】(2012· 达州中考 ) 先化简，再求值： 其中 a=-1. 【 思路点拨 】 【 自主解答 】 原式 = =2(a+4)=2a+8. 当 a=-1 时，原式 =2×(-1)+8=6 解分式方程 【 相关链接 】 1. 解分式方程的基本思想 : 将分式方程转化为整式方程； 2. 解分式方程的基本步骤 : (1) 去分母 , 化为整式方程； (2) 解整式方程； (3) 检验 . 3. 分式方程验根的两方法 : (1) 将所求得的根代入原方程进行检验； (2) 将所求得的根代入最简公分母进行检验 , 看最简公分母是否 为 0 ，从而确定整式方程的解是分式方程的根还是增根 . 【 例 4】(2012· 广安中考 ) 解方程： 【 思路点拨 】 【 自主解答 】 原方程可化为 2(3x-1)+3x=1 ， 检验：当 时， 3(3x-1)=0, 不是原方程的解 . 因此原 分式方程无解 . 分式方程的应用 【 相关链接 】 列分式方程与列整式方程一样 , 先分析题意 , 准确找出实际问题 中的相等关系 , 恰当的设出未知数 , 列出方程；不同之处是所列 方程是分式方程时 , 最后进行检验 : 既要检验是否是所列分式方 程的解 , 又要检验所解结果是否符合实际意义 . 【 例 5】(2011· 玉林中考 ) 上个月某超市购进了两批相同品种的水果 , 第一批用了 2 000 元 , 第二批用了 5 500 元 , 第二批购进水果的重量是第一批的 2.5 倍 , 且进价比第一批每千克多 1 元 . (1) 求两批水果共购进了多少千克 ? (2) 在这两批水果总重量正常损耗 10%, 其余全部售完的情况下 , 如果这两批水果的售价相同 , 且总利润率不低于 26%, 那么售价至少定为每千克多少元 ? ( 利润率 = 利润 / 成本 ×100 ％ ) 【 思路点拨 】 (1) 【 自主解答 】 (1) 设第一批购进水果 x 千克 , 则第二批购进水 果 2.5x 千克 , 依据题意得 : 解得 x=200, 经检验 x=200 是原方程的解 , ∴x+2.5x=700, 答 : 这两批水果共购进 700 千克； (2) 设售价为每千克 a 元 , 则 : 630a≥7 500×1.26, ∴a≥ ∴a≥15, 答 : 售价至少为每千克 15 元 . 整数指数幂、科学记数法的应用 【 相关链接 】 1. 灵活运用零指数幂、负整指数幂公式 , 即“ a 0 =1(a≠0), ”, 切记 a -2 ≠-a 2 . 2. 科学记数法应用的三事项 : (1) 科学记数法的关键是确定 n 值 , 用科学记数法表示较小的数时 ,n 就等于从左边第一个 0 起到第一个不为 0 的数止的 0 的个数的相反数 . (2) 用科学记数法表示一个负数时 , 不要漏掉负号 . (3) 写出科学记数法 N=a×10 n (1≤|a| ＜ 10,n 为整数 ) 的原数 : ① 当 n 为正数时 , 原数 N 等于把 a 的小数点向右移动 n 位后得到的数；②当 n 为负数时 , 原数 N 等于把 a 的小数点向左移动 |n| 位后得到的数 . 【 例 6】(1)(2012· 绥化中考 ) 已知 1 纳米 =0.000 000 001 米， 则 2 012 纳米用科学记数法表示为 ______ 米 . (2)(2012· 滨州中考 ) 计算： |-2|+(-1) 2 012 ×(π-3) 0 - +(-2) -2 . 【 思路点拨 】 (1) 【 自主解答 】 (1)∵1 纳米 =0.000 000 001 米 =10 -9 米， 2 012=2.012×10 3 , ∴2 012 纳米 =2.012×10 3 ×10 -9 米 =2.012×10 -6 米 . 答案： 2.012×10 -6 (2) 原式 = 【 命题揭秘 】 近几年来 , 分式的概念 , 分式的基本性质 , 分式的化简、运算以及分式方程的解法和应用是中考考查内容的热点 , 重点考查 : ① 分式有无意义及分式值为 0 的条件；②利用分式的基本性质进行分式的变形及运算；③分式方程的解法及实际应用 . 命题有时单独命题 , 有时与函数、不等式 ( 组 ) 及其他知识综合命题考查 . 命题以选择、填空、解答的形式出现 . 1.(2012· 南京中考 )PM2.5 是指大气中直径小于或等于 0.000 002 5 m 的颗粒物，将 0.000 002 5 m 用科学记数 法表示为 ( ) (A)0.25×10 -3 (B)0.25×10 -4 (C)2.5×10 -5 (D)2.5×10 -6 【 解析 】 选 D.0.000 002 5=a×10 n , 因为 1≤|a| ＜ 10, 所以 a=2.5, 因为 0.000 002 5 ＜ 1, 所以小数点右移 6 位，故 n=-6, 所以 0.000 002 5=2.5×10 -6 . 2. 若分式 : 的值为 0, 则 ( ) (A)x=1 (B)x=-1 (C)x=±1 (D)x≠1 【 解析 】 选 A. 由 x 2 -1=0 解得 :x=±1, 又∵ x+1≠0 即 x≠-1, ∴x=1. 3.(2012· 威海中考 ) 化简 的结果是 ( ) 【 解析 】 选 B. 原式 = 4.(2012· 苏州中考 ) 计算： 【 解析 】 原式 =1+2-2=1. 答案： 1 5.(2011· 安顺中考 ) 某市今年起调整居民用水价格 , 每立方米水费上涨 20%, 小方家去年 12 月份的水费是 26 元 , 而今年 5 月份的水费是 50 元 . 已知小方家今年 5 月份的用水量比去年 12 月份多 8 立方米 , 设去年居民用水价格为 x 元 / 立方米 , 则所列方程为 _______. 【 解析 】 根据题意得，今年居民用水价格为 (1+20%)x 元 / 立方米 , 根据题意得 : 答案： 6.(2011· 贵港中考 ) 若记 其中 f(1) 表示当 x=1 时 y 的值 , 即 f( ) 表示当 时 y 的值 , 即 …… 则 【 解析 】 ∴f(1)+f(2)+f( )+f(3)+f( )+ … +f(2 011)+f( ) 答案： 7.(1)(2012· 绵阳中考 ) 化简： (2)(2012· 恩施中考 ) 先化简，再求值： 其中 【 解析 】 (1) 原式 (2) 原式 将 代入上式，原式 8.(1)(2011· 綦江中考 ) 计算 : (2)(2012· 天门中考 ) 解方程： 【 解析 】 (1) ＝ 3 － 1+4 － 1 ＝ 5 ； (2) 原方程可变形为 2x(2x+5)-2(2x-5) =(2x-5)(2x+5). 展开，得 4x 2 +10x-4x+10=4x 2 -25, 整理得 6x=-35. 解得 检验： 时， 2x+5≠0 且 2x-5≠0, ∴ 是原分式方程的解 . 9. 某一工程 , 在工程招标时 , 接到甲、乙两个工程队的投标书 . 施工一天 , 需付甲工程队工程款 1.2 万元 , 乙工程队工程款 0.5 万元 . 工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算 , 有如下方案 : (1) 甲队单独完成这项工程刚好如期完成； (2) 乙队单独完成这项工程要比规定日期多用 6 天； (3) 若甲、乙两队合做 3 天 , 余下的工程由乙队单独做也正好如期完成 . 试问 : 在不耽误工期的前提下 , 你觉得哪一种施工方案最节省工程款 ? 请说明理由 . 【 解析 】 设规定日期为 x 天 , 则甲队单独完成这项工程需 x 天， 乙队单独完成这项工程需 (x+6) 天 , 由题意得 , 3(x+6)+x 2 =x(x+6) 解得 :x=6. 经检验 :x=6 是原方程的根 . 显然 , 方案 (2) 不符合要求； 方案 (1) 工程款 :1.2×6=7.2( 万元 ) ； 方案 (3) 工程款 :1.2×3+0.5×6=6.6( 万元 ). 因为 7.2 ＞ 6.6, 所以在不耽误工期的前提下 , 选第三种施工方 案最节省工程款 .