2020八年级数学下册 专题突破讲练 二次根式基本定义及其应用试题 （新版）青岛版 6页

二次根式基本定义及其应用 一、二次根式的定义 一般地，我们把形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义。‎ 注意：在二次根式中，被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。‎ 二、二次根式的判定 二次根式必具备条件 含有二次根号 如：不是二次根式；是二次根式；不是二次根式；特别注意是二次根式。‎ 被开方数大于等于0‎ 三、二次根式有意义的条件 ‎1. 单独的二次根式：被开方数大于等于0，如，等；‎ ‎2. 含有分母的二次根式：被开方数大于等于0，分母不等于0，二者要综合考虑，如：；‎ ‎3. 二次根式永远有意义：被开方数为完全平方加正数，如。‎ 总结：‎ ‎1. 二次根式与分式、函数结合讨论未知数有意义的问题为中考必考内容；‎ ‎2. 所有的二次根式计算至最后都要化成最简二次根式。‎ ‎　　‎ 例题1 已知，y＝＋，且x、y均为整数，求x＋y的值。‎ 解析：先求出x的取值范围，再根据x，y均为整数，可得x的值，再分情况得到x＋y的值。‎ 答案：由题意知：20≤x≤30，又因为x，y均为整数，所以x－20，30－x均需是一个整数的平方，因而x只可以取21或29，当x＝21时，y＝4，x＋y的值为25；当x＝29时，y＝4，x＋y的值为33。故x＋y的值为25或33。‎ 点拨：考查了二次根式的定义，解题的难点是根据x、y均为整数，得到x－20，30－x均需是一个整数的平方。‎ 例题2 已知点P（x，y）在函数y＝‎ 6‎ 的图象上，那么点P应在平面直角坐标系中的（　　）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析：因为分式有意义的条件是分母不等于0；二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0。从而可以得到x＜0，由x2＞0，可以得到＞0，∴y＞0，即可求出点P所在的象限。‎ 答案：∵，∴x＜0；又∵x＜0，∴＞0，即y＞0‎ ‎∴P应在平面直角坐标系中的第二象限。故选B。‎ 点拨：考查了分式和二次根式有意义的条件，难点是判断出所求的点的横、纵坐标的符号。‎ 估算二次根式的值 根据提示的方法估算二次根式的大概取值。‎ 例题 阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值。‎ 小明的方法：∵＜＜，‎ 设＝3＋k（0＜k＜1）。∴（）2＝（3＋k）2。∴13＝9＋6k＋k2。∴13≈9＋6k，解得k≈。‎ ‎∴≈3＋ ≈3.67。‎ 问题：（1）请你依照小明的方法，估算的近似值；‎ ‎（2）请结合上述具体实例，概括出估算的公式：‎ 已知非负整数a、b、m，若a＜＜a＋1，且m＝a2＋b，则≈ （用含a、b的代数式表示）；‎ ‎（3）请用（2）中的结论估算的近似值。‎ 解析：（1）根据题目信息，找出41前后的两个平方数，从而确定出＝6＋k（0＜k＜1），再根据题目信息近似求解即可；（2）根据题目提供的求法，先求出k值，然后再加上a即可；（3）把a换成6，b换成1代入公式进行计算即可得解。‎ 答案：（1）∵＜＜，设＝6＋k（0＜k＜1），∴（）2＝（6＋k）2，∴41＝36＋12k＋k2，∴41≈36＋12k。解得k≈，∴≈6＋≈6＋0.42＝6.42；‎ ‎（2）设＝a＋k（0＜k＜1），∴m＝a2＋2ak＋k2≈a2＋2ak，∵m＝a2＋b，∴a2＋2ak≈a2＋b，解得k≈，∴≈a＋；‎ ‎（3），依据（2）中结论，，∴≈6＋≈6.08。‎ 6‎ 求最值问题 利用因式分解及二次根式的定义，被开方数是非负数，求最值。‎ 例题 若是整数，则整数k的最小正整数值为 。‎ 解析：设，则k2－a2＝2008，（k＋a）（k－a）＝2008，即k＋a与k－a是2008的因数，确定2008的因数，即可求得k，a的值，即可确定k的整数值。‎ 答案：设，则k2－a2＝2008，‎ ‎（k＋a）（k－a）＝2008＝1×2008＝2×1004＝4×502＝8×251‎ 分别求出k值， ‎ 则或或或。‎ 解得：（舍去），或或（舍去）。则k的最小正整数值是：253。故答案是：253。‎ ‎（答题时间：45分钟）‎ 一、选择题 ‎1. 已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（　　）‎ A. 3 B. ‎5 ‎ C. 15 D. 25‎ ‎2. 下列说法错误的是（　　）‎ A. 零和负数没有算术平方根 B. 是一个非负数，也是二次根式 C. 的最小值是4 D. 的值一定是0‎ ‎*3. 下列根式中最简二次根式的个数有：2，，，，，，（　　）‎ A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 ‎**4. 若实数x使代数式有意义，则x的取值范围是 （ ）x≥1且x≠2。‎ A. x≥－1 B. x≥‎1 ‎ C. x≥－1且x≠2 D. x≥1且x≠2‎ ‎**5. 观察下列各式：2×＝；3×＝；4×＝；…依此类推，则第四个式子是哪个？用n（n≥2）的等式表达你所观察得到的规律应是（ ）。‎ A. 、＝ ‎ B. 、n×＝ ‎ 6‎ C. 、n×＝‎ D. 、n×＝‎ 二、填空题：‎ ‎*6. 已知化简后的二次根式 与 是同类二次根式，则x＋y＝________。‎ ‎*7. 已知＋＝y＋4，n＋是整数，则正整数n的最小值与xy的平方根的积为 。‎ ‎**8. 用下面“逐步逼近”的方法可以求出的近似值。‎ 先阅读，再答题：‎ 因为22＜7＜32，所以2＜＜3。‎ 第一步：取＝2.5，由2.52＝6.25＜7得2.5＜＜3。‎ 第二步：取＝2.75，由2.752＝7.5625＞7得2.5＜＜2.75‎ 请你继续上面的步骤，写出第三步，并通过第三步的结论，对十分位上的数字作一估计 。‎ ‎**9. 求和S＝＋＋＋＋…＋＝ 。‎ 三、解答题：‎ ‎*10. 如果y＝ ＋＋1，求2x＋y的值。‎ ‎**11. 已知：＋2＝＋|c2−49|，求实数a、b、c的值。‎ ‎**12. 已知|2009−a|＋＝a，求的值。‎ ‎（1）由式子可以得出a的取值范围是什么？‎ ‎（2）由（1），你能将等式|2009－a|＋＝a中的绝对值去掉吗？‎ ‎（3）由（2），你能求出a－20092的值吗？‎ ‎（4）讨论总结：求的值。‎ 6‎ ‎1. C 解析：∵＝3，若是整数，则也是整数；∴n的最小正整数值是15；故选C。‎ ‎2. A 解析：A. 零的算术平方根是0，负数没有平方根，故错误；B. a2＋b2是非负数，所以是一个非负数，也是二次根式，故正确；C. ∵x2＋16≥16，∴当x＝0时，有最小值是4，故正确；D. ∵－（x－1）2≤0，∴有意义的情况下它的值一定是0，故正确。故选A。‎ ‎3. B 解析：∵2＝2|x|；＝5xy；＝；＝||；‎ ‎∴它们都不是最简二次根式；因此符合最简二次根式条件的有：、、，共3个；故选B。‎ ‎4. D 解析：使代数式有意义，实数x应满足条件x−1≥0，|x＋2|−4≠0，解得x≥1且x≠2，故选D。‎ ‎5. C 解析：第四个式子是5×＝；用n（n≥2）的等式表达你所观察得到的规律应是n·＝。故选C。‎ ‎6. 2 解析：根据题意，得，即 ‎，由①×2＋②，解得，x＝1，③；把③代入①，解得，y＝1，∴x＋y＝2；故答案是2。‎ ‎7. 解析：根据题意，x－1≥0且1－x≥0，解得x≥1且x≤1，所以x＝1，所以y＝－4，‎ 又∵24n≥0，n＋是整数，∴n的最小值是6，∴xy＝1－4＝1，‎ ‎∴正整数n的最小值与xy的平方根的积为，故填：。‎ ‎8. 6或7 解析：取＝2.625，由2.6252＝6.890625＜7得2.625＜＜2.75；所以十分位上的数字可能是6或7。‎ ‎9. 12 解析：由＝‎ ‎＝＝（）＝1＋‎ 6‎ ‎＝1＋2（－），所以S＝＋＋＋＋…＋＝10＋2（1－＋－…＋－）＝10＋2（1＋－－）＝12。 ‎ ‎10. 解：根据二次根式有意义的条件可得x2－4≥0，4－x2≥0，解得：x＝±2，则y＝1，当时，2x＋y＝2×2＋1＝5，当时，2x＋y＝2×（－2）＋1＝－3，2x＋y的值为5或－3。‎ ‎11. 解：∵a－5≥0，且10－‎2a≥0，∴a＝5，∴＋|c2−49|＝0，则‎3a－b＝0，c2－49＝0，即15－b＝0，c2－49＝0，解得b＝15，c＝±7。综上所述，实数a、b、c的值分别为5，15，±7。‎ ‎12. 解：（1）根据二次根式有意义的条件可得a－2010≥0，解得a≥2010。‎ ‎（2）原式＝a−2009＋＝a，即＝2009。‎ ‎（3）∵＝2009，∴a－2010＝20092，∴a－20092＝2010。‎ ‎（4）a－20092＋15＝2010＋15＝2025，故＝45。‎ 6‎