提公因式法教案 8页

‎4.2 因式分解――提公因式法 ‎ ‎　　（一）、内容提要 ‎ ‎　　多项式因式分解是代数式中的重要内容，它与第一章整式和后一章分式联系极为密切。因式分解是在学习有理数和整式四则运算的基础上进行的，它为今后学习分式运算、解方程和方程组及代数式和三角函数式的恒等变形提供必要的基础。 ‎ ‎　　因式分解的概念是把一个多项式化成n个整式的积的形式，它是整式乘法运算的逆过程，而提公因式法是因式分解的最基本的也是最常见的方法。它的理论依据就是乘法的分配律。运用这个方法，首先要对欲分解的多项式进行考察，提出字母系数的公因数以及公有字母或公共因式中的最高公因式。 ‎ ‎　　[知识要点] 　　1．了解因式分解的意义和要求 　　2．理解公因式的概念 　　3．掌握提公因式的概念，并且能够运用提公因式法分解因式 ‎ ‎　　（二）、例题分析 ‎ ‎　　例1．下列从左到右的变形，属于因式分解的有（　 ） 　　1.(x+1)(x-2)=x2-x-2 　　2.ax-ay-a=a(x-y)-a 　　3.6x2y3=2x2·3y3　　　　4.x2-4=(x+2)(x-2) 　　5.9a3-6a2+3a=3a(3a2-2a) 　　A、0个　　B、1个　　C、2个　　D、3个 ‎ ‎　　分析：从左到右，式1是整式乘法；式2右端不是积的形式；式3中左右两边的均是单项式，原来就是乘积形式，我们说的因式分解，指的是将多项式分解成n个整式的乘积形式；式5的右边括号内漏掉了“1”这项；只有式4是正确的。 　　解：B ‎ ‎　　例2．把-3a2b3+6a3b2c+3a2b分解因式 ‎ ‎　　分析：如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的。此题各项系数的最大公约数是3，相同字母的最低次项是a2b. 　　解：-3a2b3+6a3b2c+3a2b 　　　 =-(3a2b3-6a3b2c-3a2b) 　 　　=-3a2b(b2-2abc-1) ‎ 8‎ ‎　　评注：当公因式和原多项式中某项相同时提公因式后，该项应为1或-1，而不是零。1作为项的系数通常可以省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，为防止错误，可利用因式分解是乘法运算的逆过程的原理来检查。例如，观察-3a2b(b2-2abc-1)是否等于-3a2b3+6a3b2c+3a2b，从而检查分解是否正确以及丢项漏项。 ‎ ‎　　例3．分解因式3a2b(2x-y)-6ab2(y-2x) ‎ ‎　　分析：因为y-2x=-(2x-y), 就是说y-2x 与2x-y实质上是相同因式，因此本题的公因式是3ab(2x-y). ‎ ‎　　解：3a2b(2x-y)-6ab2(y-2x) 　　　 =3a2b(2x-y)+6ab2(2x-y) 　　　 =3ab(2x-y)(a+2b) ‎ ‎　　评注：本题的公因式是多项式，此类型题只要把(2x-y)看作一个整体即可。另外，注意因式分解的结果，单项式写在多项式的前面。 ‎ ‎　　例4．分解因式：2a(a-b)3-a2(a-b)2+ab(b-a)2 ‎ ‎　　分析：要找出这三个项的公因式。因为(b-a)2=[-(a-b)]2=(a-b)2，因此(a-b)2就是公因式，分解结果有相同的因式要写成幂的形式。 ‎ ‎　　解：2a(a-b)3-a2(a-b)2+ab(b-a)2 　　 　=2a(a-b)3-a2(a-b)2+ab(a-b)2 　　　 =a(a-b)2[2(a-b)-a+b] 　　 　=a(a-b)2(a-b) 　　 　=a(a-b)3. ‎ ‎　　评注：多项式中的公因式，有些比较简单，有些则比较复杂，需要进行些运算才能发现公因式，但不能生搬硬套。记住下面结论是有益的。 　　当n为奇数时，(x-y)n=-(y-x)n; 　　当n为偶数时，(x-y)n=(y-x)n. ‎ ‎　　例5．不解方程组 求7y(x-3y)2-2(3y-x)3的值。 ‎ ‎　　分析：先把7y(x-3y)2-2(3y-x)3进行因式分解，再将2x+y=6和x-3y=1整体代入。 ‎ ‎　　解：7y(x-3y)2-2(3y-x)3 　　　 =7y(x-3y)2+2(x-3y)3 　　　 =(x-3y)2[7y+2(x-3y)] 　　　 =(x-3y)2(2x+y) ‎ 8‎ ‎　　∵ 　　∴原式=12×6=6 ‎ ‎　　评注：先化简再求值以及整体代入的思想在求值问题中经常运用。 ‎ ‎　　例6．求证：32000-4×31999+10×31998能被7整除。 ‎ ‎　　分析：先把32000-4×31999+10×31998因式分解 ‎ ‎　　证明：∵32000-4×31999+10×31998 　　　　　 =31998×(32-4×3+10) 　　　　　 =7×31998 　　　　　∴32000-4×31999+10×31998能被7整除。 ‎ ‎　　（三）、练习 ‎ ‎　　一、选择题： ‎ ‎　　（1）在下列四个式子中，从等号左边到右边的变形是因式分解的是（　 ） 　　 A、-5x2y3=-5xy(xy2) 　　B、x2-4-3x=(x+2)(x-2)-3x 　　 C、ab2-2ab=ab(b-2) 　　 D、(x-3)(x+3)=x2-9 ‎ ‎　　（2）49a3bc3+14a2b2c2-21ab2c2在分解因式时，应提取的公因式是（　 ） 　　 A、7abc2　　 B、7ab2c2 　　　C、7a2b2c2 　　D、7a3bc3 ‎ ‎　　（3）把多项式3m(x-y)-2(y-x)2分解因式的结果是（　 ） 　　 A、(x-y)(3m-2x-2y)　　 B、(x-y)(3m-2x+2y) 　　C、(x-y)(3m+2x-2y)　　 D、(y-x)(2x-2y+3m) ‎ ‎　　（4）在下列各式中：①a-b=b-a;②(a-b)2=(b-a)2;③(a-b)2=-(b-a)2;④(a-b)3=(b-a)3;⑤(a-b)3=-(b-a)3;⑥(a+b)(a-b)=(-a+b)(-a-b) 正确的等式有（　 ） 　　 A、1个　　　 B、2个　　　 C、3个　 D、4个 ‎ ‎　　（5）在分解-5x3(3a-2b)2+(2b-3a)2时，提出公因式-(3a-2b)2后，另一个因式是（　 ） 　　 A、5x3　　 B、5x3+1　　 C、5x3-1　　 D、-5x3 ‎ ‎　　（6）下列各组代数式中没有公因式的是（　 ） 　　 A、5m(a-b)与b-a　　 B、(a+b)2与-a-b 　　C、mx+y与x+y　　　 D、-a2+ab与a2b-ab2 ‎ ‎　　（7）下列各题因式分解正确的是（　 ） 　　 A、3x2-5xy+x=x(3x-5y) 　　　　　　　　B、4x3y2-6xy3z=-2xy2(2x2-yz+3) ‎ 8‎ ‎　　 C、3ab(a-b)-6a(a-b)=3(a-b)(ab-2a) 　　D、-56x3yz+14x2y2z-21xy2z2=-7xyz(8x2-2xy+3yz) ‎ ‎　　（8）把(-2)1999+(-2)2000分解因式后是（　 ） 　　 A、21999　　　　 B、-2　　　　 C、-21999　　　　 　D、-1 ‎ ‎　　（9）把3an+2+15an-1-45an分解因式是（　 ） 　　A、3(an+2+5an-1-15an) 　　B、3an(a2+5a-1-15) 　　C、3an-1(a3+5-15a-1)　　　D、3an-1(a3+5-15a) ‎ ‎　　[答案]: 1.C　 2.A 　3. B　 4. C 　　5.C　 6.C　 7.D　 8.A　 9.D ‎ ‎　　二、填空题： ‎ ‎　　1．单项式-4a2b2c3，12ab2c, 8ab3的公因式是________。 ‎ ‎　　2．多项式9x3y-36xy3+3xy提取公因式________后，另一个因式是______。 ‎ ‎　　3．多项式8x2n-4xn提取公因式后，括号内的代数式是______。 ‎ ‎　　4．分解因式：x(m-n)(a-b)-y(n-m)(b-a)=_________. ‎ ‎　　5．分解因式：x(x+y)(x-y)-x(y+x)2=________. ‎ ‎　　6．2y(x-2)-x+2 分解因式________。 ‎ ‎　　[答案]：1. 4ab2 　　2. 3xy, 3x2-12y2+1　　 3. 2xn-1 ‎ ‎　　4. (m-n)(a-b)(x-y)　 5. -2xy(x+y)　 6. (x-2)(2y-1) ‎ ‎　　三、解答题： ‎ ‎　　1．把下列各多项式分解因式 ‎ ‎　　(1) a5b-a2b3+a2b 　　(2) -7x2y-14xy2+49x2y2 ‎ ‎　　(3) (x+y)(a2+a+1)-(x-y)(a2+a+1) 　　(4) 18x2(x-2y)2-24xy(2y-x)2-12x(2y-x)3 ‎ ‎　　(5) x(x+y-z)+y(x+y-z)+z(z-x-y) 　　(6) y(2x-y)2-2x(y-2x)2 ‎ ‎　　2．计算下列各式 ‎ ‎　　(1) 7.6×200.1+4.3×200.1-1.9×200.1 　　(2) 1011-5×109 ‎ 8‎ ‎　　3．先化简，再求值。 　　(1)已知2x-y=, xy=2, 求2x4y3-x3y4的值。 　　(2)已知4x2+7x+2=4,求-12x2-21x的值。 ‎ ‎　　4．求证下列各题 　　(1)证明72000-71999-71998能被41整除 　　(2)求证：奇数的平方减去1能被8整除 　　(3)求证：连续两个整数的积，再加上较大的整数其和等于较大整数的平方。 ‎ ‎　　[答案]： ‎ ‎　　1．(1)a2b(a3-b2+1)　　 (2)-7xy(x+2y-7xy)　　 (3)2y(a2+a+1) ‎ ‎　　(4)6x(2y-x)2(5x-8y)　　 (5)(x+y-z)2 ‎ ‎　　(6)原式=y(2x-y)2-2x(2x-y)2 　　　　　　=(2x-y)2(y-2x) 　　　　　　=-(2x-y)3 ‎ ‎　　2．(1)原式=200.1×(7.6+4.3-1.9) 　　　　　　　=200.1×10 　　　　　　　=2001 ‎ ‎　　(2)原式=109×(102-5) 　　　 　　=109×95 　　　 　　=9.5×1010 ‎ ‎　　3．(1)解：∵2x-y=, xy=2, 　　∴2x4y3-x3y4=x3y3(2x-y)=23·=. ‎ ‎　　(2)解：∵4x2+7x+2=4 　　∴4x2+7x=2 　　∴-12x2-21x=-3(4x2+7x)=-3×2=-6. ‎ ‎　　4．(1)证明：∵72000-71999-71998=71998(72-7-1)=41×71998 　　∴72000-71999-71998能被41整除。 　　 　　(2)证明：设奇数为2n+1, 　　则(2n+1)2-1=(2n+1-1)(2n+1+1) ‎ 8‎ ‎　　　=2n·(2n+2) 　　　=4n(n+1) ‎ ‎　　又∵相邻两个整数的积一定是偶数 　　∴n(n+1)是偶数 　　即n(n+1)是2的倍数， 　　∴4n(n+1)是8的倍数， 　　故原命题成立。 ‎ ‎　　(3)证明：设n为整数，则n, n+1是两个连续整数， 　　∴n·(n+1)+(n+1)=(n+1)(n+1)=(n+1)2, 故原命题成立.‎ 中考考点 ‎ ‎　　1．正确理解因式分解的概念及它与整式乘法的区别与联系。 　　2．能够用提公因式法把多项式进行因式分解。 ‎ ‎　　考点讲解 ‎ ‎　　1．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。 　　注意：①必须是把一个多项式因式分解。如：-2ab=-2a·b　 ∵-2ab不是多项式，∴-2ab=-2a·b不是因式分解。②因式分解的结果必须是几个整式的积的形式。 ‎ ‎　　如：3x2+6xy-12x=3x(x+2y-4) 　　a2-b2=(a+b)(a-b) 　　都是正确的，但像 　　（1）a2-b2=(a+b)2·； 　　（2）x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x； 　　就不是因式分解了。因为（1）中不是整式；（2）中(x+2)(x-2)+3x不是积的形式。 ‎ ‎　　2．本节另一个重点是掌握提公因式方法，关键是确定公因式，难点是寻找隐含的公因式。利用提公因式法进行因式分解时，可按如下法则进行： 　　①提出的公因式必须是各项系数的最大公约数与各项都含有的字母的最低次幂的积。 　　②把确定的公因式提出写在括号外面作为一个因式，而括号里面的每一个因式是多项式除以公因式的商。 ‎ 8‎ ‎　　3．利用提公因式法分解因式时，要防止出现以下错误： 　　①提不“全”或提不“净”现象： 　　如 12a2-6a2-18a=3a(4a2-2a-6)的错误原因是只注意到字母的指数，而没有提系数的最大公约数。 　　②出现“丢项”： 　　如 3x2y2-9x2y-3x2=3x2(y2-3y)的错误原因是丢项（-3x2），当某一项恰是这个多项式各项的公因式时，它被提出后不是没有了，而是还有“1”； 　　又如 -a2+ab-ac=-a(a+b-c)的错误原因是提“-a”后括号内各项没有变号。 ‎ ‎　　考题例析 　　1．因式分解：=__________。 ‎ ‎　　考点：提公因式法；平方差公式法；分解因式。 ‎ ‎　　评析思路，先提公因式，然后再用平方差公式进行分解. ‎ ‎　　说明:分解因式要彻底。 ‎ ‎　　答案：x2(x-4y) ‎ ‎　　2．分解因式：4q(1-p)3+2(p-1)2 ‎ ‎　　考点：提公因式法 ‎ ‎　　分析：注意到(p-1)2=(1-p)2, 把(1-p)看作一个整体，且最低次幂是(1-p)2, 系数的最大公约数是2，故提2(1-p)2. ‎ ‎　　解：4q(1-p)3+2(p-1)2 　 　　=2(1-p)2[2q(1-p)+1] 　 　　=2(1-p)2(2q-2pq+1). ‎ ‎　　真题实战 ‎ ‎　　1．选择：若二次三项式x2+ax-1可分解为(x-2)(x+b),则a+b的值为（）。 　　A、-1　　 B、1　　 C、-2　　 D、2 ‎ ‎　　分析：解此类题关键在于理解因式分解的概念，根据题意x2+ax-1=(x-2)(x+b),把右边展开后，再由恒等式的性质即可求解，故选（A）。 ‎ ‎　　2．选择：把ab+a-b-1分解因式的结果为（　 ） 　　A、(a+1)(b+1)　　 B、(a-1)(b-1)　 C、(a+1)(b-1)　 D、(a-1)(b+1) ‎ 8‎ ‎　　解：ab+a-b-1 　　 　=(ab+a)-(b+1) 　　 　=a(b+1)-(b+1) 　　　 =(b+1)(a-1) ‎ ‎　　答案：D ‎ ‎　　3．填空：分解因式2a(b+c)-3(b+c)=________. ‎ ‎　　解：应填(b+c)(2a-3). ‎ ‎　　4．分解因式：x2y-xy2. ‎ ‎　　解：x2y-xy2=xy(x-y). ‎ ‎　　5．分解因式：a-ab2=____． ‎ ‎　　答案：a(1+b)(1-b) ‎ ‎　　6．因式分解：x2－xy=______． ‎ ‎　　答案：x(x-y) ‎ 8‎