人教版八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解完全平方公式教学课件 28页

第十四章 整式的乘法与因式分解 人教版 八年级数学上册 14.2.2 完全平方公式 导入新课 情境引入 直接求：总面积=（a+b)(a+b) 间接求：总面积=a2+ab+ab+b2 你发现了什么？ （a+b)2=a2+2ab+b2 讲授新课 完全平方公式一 问题1 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （1） （p+1)2=(p+1)(p+1)= .p2+2p+1 （2） （m+2)2=(m+2)(m+2)= .m2+4m+4 （3） （p-1)2=(p-1)(p-1)= .p2-2p+1 （4） （m-2)2=(m-2)(m-2)= .m2-4m+4 问题2 根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？ （a+b)2= .a2+2ab+b2 （a-b)2= .a2-2ab+b2 合作探究 知识要点 完全平方公式 （a+b)2= .a2+2ab+b2 （a-b)2= .a2-2ab+b2 也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们 的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个 公式叫做（乘法的）完全平方公式. 简记为： “首平方，尾平方，积的2倍放中间” 问题3 你能根据下图中的面积说明完全平方公式吗? 设大正方形ABCD的面积为S. S= =S1+S2+S3+S4= .(a+b)2 a2+b2+2ab S1 S2 S3 S4 几何解释: = ++ + a2 ab ab b2 （a+b)2= .a2+2ab+b2 和的完全平方公式： 几何解释: （a-b)2= .a2-2ab+b2 差的完全平方公式： (a+b)2= a2+2ab+b2. (a-b)2=a2-2ab+b2. 问题4 观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列 问题： 1.说一说积的次数和项数. 2.两个完全平方式的积有相同的项吗？与a,b有 什么关系？ 3.两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与 a, b有什么关系？它的符号与什么有关？ u 公式特征： 4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和 多项式. 1.积为二次三项式； 2.积中两项为两数的平方和； 3.另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符 号相同. 想一想：下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？ (1)(x+y)2=x2 +y2 (2)(x -y)2 =x2 -y2 (3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2 (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 × × × (x +y)2 =x2+2xy +y2 (x -y)2 =x2 -2xy +y2 典例精析 例1 运用完全平方公式计算： 解: (4m+n)2= =16m2 (1)(4m+n)2； (4m)2 +2•(4m) •n+n2 +8mn +n2； y2 =y2 -y + 1 .4 解： = + 21 2      -2•y• 1 2 (2) 21 2y    21 2y    利用完全平方公式计算： (1)(5－a)2； (2)(－3m－4n)2； (3)(－3a＋b)2. 针对训练 (3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2. 解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2； (2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2； (1) 1022； 解： 1022 = (100+2)2 =10000+400+4 =10404. (2) 992. 992 = (100 –1)2 =10000 -200+1 =9801. 例2 运用完全平方公式计算： 方法总结：运用完全平方公式进行简便计算，要熟 记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全 平方公式的形式． 利用乘法公式计算： (1)982－101×99； (2)20162－2016×4030＋20152. 针对训练 ＝(2016－2015)2＝1. 解：(1)原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1) ＝1002－400＋4－1002＋1＝－395； (2)原式＝20162－2×2016×2015＋20152 例3 已知x－y＝6，xy＝－8.求: (1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值. ＝36－16＝20； 解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8， (x－y)2＝x2＋y2－2xy， ∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy (2)∵x2＋y2＝20，xy＝－8， ∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy ＝20－16＝4. 方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的变式： x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝(x+y)2－2xy,(x－y)2＝(x+y)2 －4xy. 1.已知x+y=10,xy=24,则x2+y2=_____52 变式：已知 则 _____,101  xx  2 2 1 xx 98 拓展训练 2.如果x2+kx+81是运用完全平方式得到的结果， 则k=______ 8或-8 变式：如果x2+6x+m2是完全平方式，则m的值 是_____3或-3 3.已知ab=2,(a+b)2=9,则(a-b)2的值为______ 变式：若题目条件不变，则a-b的值为_____±1 1 添括号法则二 a+(b+c) = a+b+c; a- (b+c) = a - b – c. a + b + c = a + ( b + c) ; a – b – c = a – ( b + c ) . 去括号 把上面两个等式的左右两边反过来，也就添括号： 添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项 都不变号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都 改变符号（简记为“负变正不变”）. 知识要点 添括号法则 例5 运用乘法公式计算: (1) (x+2y-3)(x-2y+3) ; (2) (a+b+c)2. 原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]解: (1) 典例精析 (2)原式 = [(a+b)+c]2 = x2-(2y-3)2 = x2-(4y2-12y+9) = x2-4y2+12y-9. = (a+b)2+2(a+b)c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2. 方法总结：第1小题选用平方差公式进行计算，需 要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相 反的为另一组”.第2小题要把其中两项看成一个 整体，再按照完全平方公式进行计算. 计算：(1)(a－b＋c)2； (2)(1－2x＋y)(1＋2x－y)． 针对训练 ＝1－4x2＋4xy－y2. 解：(1)原式＝[(a－b)＋c]2 ＝(a－b)2＋c2＋2(a－b)c ＝a2－2ab＋b2＋c2＋2ac－2bc； (2)原式＝[1＋(－2x＋y)][1－(－2x＋y)] ＝12－(－2x＋y)2 当堂练习 2.下列计算结果为2ab－a2－b2的是( ) A．(a－b)2 B．(－a－b)2 C．－(a＋b)2 D．－(a－b)2 1.运用乘法公式计算(a-2)2的结果是（　　） A．a2-4a+4 B．a2-2a+4 C．a2-4 D．a2-4a-4 A D 3.运用完全平方公式计算: (1) (6a+5b)2=_______________； (2) (4x-3y)2=_______________ ； (3) (2m-1)2 =_______________； (4)(-2m-1)2 =_______________. 36a2+60ab+25b2 16x2-24xy+9y2 4m2+4m+1 4m2-4m+1 4.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2 ＝64，运用这一方法计算：4.3212＋8.642×0.679＋ 0.6792＝________． 25 5.计算 (1)(3a＋b－2)(3a－b＋2)； (2)(x－y－m＋n)(x－y＋m－n)． (2)原式＝[(x－y)－(m－n)][(x－y)＋(m－n)] 解：(1)原式＝[3a＋(b－2)][3a－(b－2)] ＝(3a)2－(b－2)2 ＝9a2－b2＋4b－4.　 ＝(x－y)2－(m－n)2 ＝x2－2xy＋y2－m2＋2mn－n2. 6.若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2. 7.已知x+y=8,x-y=4,求xy. 解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37； a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43. 解：∵x+y=8, ∴(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64①; ∵x-y=4, ∴(x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16②; 由①-②得 4xy=48 ∴xy=12.