数学冀教版八年级上册教案17-3勾股定理（3） 5页

- 1 - 17.3 勾股定理（3） 教学目标 【知识与能力】 1.理解并掌握勾股定理的逆定理. 2.能应用勾股定理的逆定理解决实际问题. 【过程与方法】 进一步发展数感,增加对勾股数的直观体验,培养从实际问题抽象出数学问题的能力,建立数 学模型. 【情感态度价值观】 1.通过介绍有关历史资料,激起学生的学习兴趣和解决问题的愿望. 2.通过对勾股定理逆定理的综合应用,培养学生学习数学的兴趣及克服困难的勇气;体验勾 股定理及其逆定理在实际生活中的实用性. 教学重难点 【教学重点】 勾股定理的逆定理的推导过程. 【教学难点】 勾股定理的逆定理的应用. 课前准备 多媒体课件 教学过程 一、新课导入： 导入一: 【课件 1】 小明找来了长度分别为 12 cm,40 cm 的两条线,利用这两条线采用固定三边的 方法,画出了如图所示两个图形,他画的是直角三角形吗? 由 32+42=52,82+152=172,你想到了什么?与勾股定理有什么不同? [设计意图] 联想旧知识,锻炼学生的辨别能力,激发学生的求知欲望,从而自然地引入到本 节课的学习之中. 导入二: - 2 - 我们学过的直角三角形的判定方法有哪些?(定义:有一个角是直角的三角形是直角三角形.) (学生回忆直角三角形的判定方法.) 那么把勾股定理反过来是不是可以判定一个三角形是直角三角形呢?(即如果三角形三边 a,b,c 满足 a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形吗?) [设计意图] 复旧导新,让学生通过勾股定理的逆命题,猜想它的逆命题是否可以作为判定 一个三角形是直角三角形的依据,从而突出本节课的重点. 导入三: 【课件 2】 如图所示,工人师傅想要检测一扇小门的两边 AB,CD 是否垂直于底边 BC 和门的 上边 AD,你能用工具帮工人师傅完成任务吗? [设计意图] 设疑引起下文,激发学生的学习兴趣,为学生进一步学习埋下伏笔. 二、新知构建： 活动一:探究勾股定理的逆定理 思路一 操作验证: (1)将上面导入一中给出的两个三角形用量角器量一量,有直角吗? (2)分别以 5,12,13 为三边长作三角形,用量角器量一量,它是直角三角形吗? 学生动手操作并测量. (3)你发现什么规律? 学生思考、回答:如果三角形的三边长 a,b,c 满足 a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 教师说明:在ΔABC 中,由边的关系 a2+b2=c2,推导出∠C 是直角较难做到.若作一个与ΔABC 全 等的直角三角形,则可借助全等的性质来说明∠C 是直角. 推理证明: 【课件 3】 已知:如图(1)所示,在ΔABC 中,AB=c,BC=a,CA=b,且 a2+b2=c2. 求证:∠C=90°. 引导学生分析:要证∠C=90°,就是要构建一个与ΔABC 全等的直角三角形,作ΔA'B'C',使 ∠C'=90°,B'C'=a,C'A'=b,证ΔABC≌ΔA'B'C'. 证 明 : 如 图 (2) 所 示 , 作 Δ A'B'C', 使 ∠ C'=90°,B'C'=a,C'A'=b, 由 勾 股 定 理 , 可 得 - 3 - A'B'2=a2+b2. ∵a2+b2=c2, ∴A'B'2=c2,即 A'B'=c. 在ΔABC 和ΔA'B'C'中, ∵BC=B'C'=a,AC=A'C'=b,AB=A'B'=c, ∴ΔABC≌ΔA'B'C'(SSS), ∴∠C=∠C'=90°(全等三角形的对应角相等). 展示学生的证明过程,全班点评、交流. 教师强调:刚才我们证明的结论是真命题.即如果三角形的三边 a,b,c 满足 a2+b2=c2,那么这 个三角形是直角三角形,这是勾股定理的逆定理. 想一想:勾股定理和其逆定理有什么区别?两者应用的条件分别是什么? 小组讨论区别,选派代表发言. [设计意图] 让学生实际测量、画图,锻炼学生的动手能力,在证明的过程中,培养学生分析 问题及运用所学知识进行证明的能力,拓宽学生的思路. 思路二 活动 1 【课件 4】 问题:据说古埃及人用如图所示的方法画直角:把一根长绳打上等距离的 13 个结,然后以 3 个结、4 个结、5 个结的长度为边长,用木桩钉成一个三角形,其中一个角便是直角. 这个问题意味着,如果围成的三角形的三边长分别为 3,4,5,满足下面的关系“32+42=52”,那 么围成的三角形是直角三角形. 大家画一画、量一量,看看这样画出的三角形是直角三角形吗? 再画画看,如果三角形的三边长分别为 2.5 cm,6 cm,6.5 cm,满足下面的关系“2.52+62=6.52, 那么画出的三角形是直角三角形吗?换成三边长分别为 4 cm,7.5 cm,8.5 cm 的三角形,再试 一试. 让学生在小组内共同合作,协同完成此活动. 用尺规作图的方法作出三角形,经过测量后,发现以以上两组数为边长组成的三角形是直角 三角形,而且三边满足 a2+b2=c2. 我们进而会想:是不是三角形的三边只要有两边的平方和等于第三边的平方,就能得到一个 直角三角形呢? 活动 2 下面的三组数分别是一个三角形的三边长 a,b,c. 5,12,13;7,24,25;8,15,17. (1)这三组数都满足 a2+b2=c2 吗? (2)分别以每组数为三边长作出三角形,用量角器量一量,它们都是直角三角形吗? 学生以小组为单位,以给出的三组数为边长作出三角形,从而更加坚信前面猜想出的结论. - 4 - 从而得出一个命题: 如果三角形的三边 a,b,c 满足 a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 同时,我们也进一步明白了古埃及人那样做的道理.直至科技发达的今天——人类已跨入 21 世纪,建筑工地上的工人师傅们仍然离不开“三四五放线法”. “三四五放线法”是一种古老的归方操作.所谓“归方”就是“成直角”,譬如建造房屋,房 角—般总是成 90°,怎样确定房角的纵横两线呢? 【课件 5】 如图所示,欲过基线 MN 上的一点 C 作它的垂线,可由三名工人操作:一人手拿布 尺或测绳的 0 和 12 尺处,固定在 C 点;另一人拿 4 尺处,把尺拉直,在 MN 上定出 A 点,再由一 人拿 9 尺处.把尺拉直,定出 B 点,连接 BC,则∠ACB=90°. 师:建筑工人用 3,4,5 作出了一个直角,能不能用其他的整数组作出直角呢? 生:可以,例如 7,24,25;8,15,17. 据说,我国古代大禹治水测量工程时,也用类似的方法确定直角. 满足 a2+b2=c2 的三个正整数,称为勾股数.如 3,4,5;5,12,13. 活动 3 问题: 勾股定理:如果直角三角形的两直角边分别为 a,b,斜边为 c,那么 a2+b2=c2. 勾股定理的逆定理:如果三角形的三边 a,b,c 满足 a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 它们的题设和结论有何关系? 教师在本活动中应重点关注学生能否发现勾股定理及其逆定理的题设和结论之间的关系. 活动二:例题讲解 【课件 6】 如图所示的是一个机器零件示意图,∠ACD=90°是这种零件合格的一项指标.现 测得 AB=4 cm,BC=3 cm,CD=12 cm,AD=13 cm,∠ABC=90°.根据这些条件,能否知道∠ACD=90°? 小组合作探索,互相交换意见,选一名代表板演过程,其余学生在练习本上完成解题过程. 解:在ΔABC 中, ∵∠ABC=90°, ∴AC2=AB2+BC2(勾股定理), ∵AB=4,BC=3, ∴AC2=32+42=52,∴AC=5. 在ΔACD 中, ∵AC=5,CD=12,AD=13, - 5 - ∴AC2+CD2=52+122=169,AD2=132=169. ∴AC2+CD2=AD2, ∴∠ACD=90°(勾股定理的逆定理). 所以根据这些条件,能知道∠ACD=90°. [知识拓展] (1)勾股定理与其逆定理的关系:勾股定理是已知直角三角形,得到三边长的关 系,它是直角三角形的重要性质之一;而勾股定理的逆定理是由三角形三边长的关系判断一 个三角形是不是直角三角形,这是直角三角形的判定,也是判断两直线是否垂直的方法之一. 二者的条件和结论刚好相反. (2)勾股定理的逆定理的延伸:如果三角形的三边长 a,b,c(c 为最长边的长)满足 a2+b2c2,那么这个三角形是锐角三角形. (3)勾股定理的逆定理的应用:应用勾股定理的逆定理可以判断一个三角形是不是直角三角 形,在实际应用时,可用较短两边长的平方和与较长边长的平方作比较,若它们正好相等,则 三角形为直角三角形,较长边所对的角为直角. 三、课堂小结： 1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边 a,b,c 满足 a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.它是判断一个三角形 是不是直角三角形的重要方法. 2.勾股定理与其逆定理的联系与区别 联系:①两者都与三角形三边关系 a2+b2=c2 有关;②两者都与直角三角形有关. 区别:勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件,进而得到这个直角三角形的三边数 量关系,即 a2+b2=c2;勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足 a2+b2=c2”为条件,进而 得到这个三角形是直角三角形,是判别一个三角形是不是直角三角形的有效方法.