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- 2021-10-27 发布
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11.3.2
多边形的内角和
第十一章 三角形
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
11.3
多边形及其内角和
八年级数学上(RJ)
教学课件
情境引入
学习目标
1.
能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式
.
(重点)
2.
学会
运用多边形的内角和与外角和公式解决问题
.
(难点)
法国的建筑事务所atelierd将协调坚固的蜂窝与人类天马行空的想象力结合,创造了这个“
abeilles bee pavilion
”
.
导入新课
情景引入
思考:
你知道正六边形的内角和是多少吗?
问题
2
你知道长方形和正方形的内角和是多少 度?
问题
1
三角形内角和是多少度?
三角形内角和 是
180°.
都是
360°.
问题
3
猜想任意四边形的内角和是多少度?
讲授新课
多边形的内角和
一
猜想:
四边形
ABCD
的内角和是
360°.
问题
4
你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗?
猜想与证明
方法
1
:如图,连接
AC
,
所以四边形被分为两个三角形,
所以四边形
ABCD
内角和为
180
°×
2=360
°
.
A
B
C
D
A
B
C
D
E
方法
2
:如图,在
CD
边上任取一点
E
,连接
AE
,
DE
,
所以该四边形被分成三个三角形,
所以四边形
ABCD
的内角和为
180
°×
3-(∠
AEB
+∠
AED
+∠
CED
)
=
180
°×
3-180
°
=
360
°
.
方法
3
:如图,在四边形
ABCD
内部取一点
E
,
连接
AE
,
BE
,
CE
,
DE
,
把四边形分成四个三角形:△
ABE
,
△
ADE
,
△
CDE
,
△
CBE
.
所以四边形
ABCD
内角和为:
180
°×
4-(∠
AEB
+∠
AED
+∠
CED
+∠
CEB
)
=180
°×
4-360
°
=360
°
.
A
B
C
D
E
A
B
C
D
P
方法
4
:如图,在四边形外任取一点
P
,
连接
PA
、
PB
、
PC
、
PD
将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形
.
所以四边形
ABCD
内角和为
180° ×3
-
180° = 360°.
这四种方法都运用了
转化思想
,把
四边形分割成三角形
,转化到已经学了的
三角形内角和
求解
.
结论:
四边形的内角和为
360
°
.
例
1
:
如果一个四边形的一组对角互补,那么另一组对角有什么关系?试说明理由
.
解:
如图,四边形
ABCD
中,
∠
A
+ ∠
C
=180°.
∠
A
+∠
B
+∠
C
+∠
D
=(4
-
2) ×180 °= 360 °
,
因为
∠
B
+∠
D
= 360°
-(∠
A
+∠
C
)
= 360°
-
180° =
180°.
所以
A
B
C
D
如果一个四边形的一组对角互补,那么另一组对角互补
.
典例精析
【变式题】
如图,在四边形
ABCD
中,∠
A
与∠
C
互补,
BE
平分∠
ABC
,
DF
平分∠
ADC
,若
BE
∥
DF
,求证:△
DCF
为直角三角形.
证明:∵在四边形
ABCD
中,∠
A
与∠
C
互补,
∴∠
ABC
+∠
ADC
=180°,
∵
BE
平分∠
ABC
,
DF
平分∠
ADC
,
∴∠
CDF
+∠
EBF
=90°,
∵
BE
∥
DF
,∴∠
EBF
=∠
CFD
,
∴∠
CDF
+∠
CFD
=90°,
故△
DCF
为直角三角形.
运用了整体思想
A
C
D
E
B
A
B
C
D
E
F
问题
5
你能仿照求四边形内角和的方法,选一种方
法求五边形和六边形内角和吗
?
内角和为
180° ×3 = 540°.
内角和为
180° ×4 = 720°.
n
边形
六边形
五边形
四边形
三角形
多边形内角和
分割出三角形的个数
从多边形的一顶点引出的对角线条数
图形
边数
······
0
n
-
3
1
2
3
1
2
3
4
n
-
2
(
n
-
2
)
·
180º
1
×
180º
=
180º
2
×
180º
=
360º
3
×
180º
=
540º
4
×
180º
=
720º
······
······
······
······
由特殊到一般
分割
多边形
三角形
分割点与多边形的位置关系
顶点
边上
内部
外部
转化思想
总结归纳
多边形的内角和公式
n
边形内角和等于
(
n
-2)×180 °.
例
2
一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°,并且这个多边形的各内角都相等,这个多边形的每个内角是多少度?
解:设这个多边形边数为
n
,则
(
n
-2)•180=360+720,
解得
n
=8,
∵这个多边形的每个内角都相等,
(
8
-2)×180°
=
1080°,
∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°.
典例精析
例
3
已知
n
边形的内角和θ=(
n
-2)×180°.
(1)甲同学说,θ能取360°;而乙同学说,θ也能取630°.甲、乙的说法对吗?若对,求出边数
n
.若不对,说明理由;
解:∵360°÷180°=2,
630°÷180°=3
......
90°,
∴甲的说法对,乙的说法不对,
360°÷180°+2=4.
故甲同学说的边数
n
是4;
(2)若
n
边形变为(
n
+
x
)边形,发现内角和增加了360°,用列方程的方法确定
x
.
解:依题意有
(
n
+
x
-2)×180°-(
n
-2)×180°=360°,
解得
x
=2.
故
x
的值是2.
【变式题】
一个同学在进行多边形的内角和计算时,求得内角和为
1125°
,当他发现错了以后,重新检查,发现少算了一个内角,问这个内角是多少度?他求的是几边形的内角和?
解:设此多边形的内角和为
x
,
则有
1125°
<
x
<
1125°
+
180°
,
即
180°×6
+
45°
<
x
<
180°×7
+
45°
,
因为
x
为多边形的内角和,所以它是
180°
的倍数,
所以
x
=
180°×7
=
1260°.
所以
7
+
2
=
9
,
1260°
-
1125°
=
135°.
因此,漏加的这个内角是
135°
,这个多边形是九边形.
思路点拨:多边形的内角的度数在
0
°
~180
°之间
.
例
4
如图,在五边形
ABCDE
中,∠
C
=100°,∠
D
=75°,∠
E
=135°,
AP
平分∠
EAB
,
BP
平分∠
ABC
,求∠
P
的度数.
解析:根据五边形的内角和等于540°,由∠
C
,
∠
D
,
∠
E
的度数可求∠
EAB
+∠
ABC
的度数,再根据角平
分线的定义可得∠
P
AB
与∠
P
BA
的角度和,进一步求
得∠
P
的度数.
可运用了整体思想
解:∵∠
EAB
+∠
ABC
+∠
C
+∠
D
+∠
E
=540°,∠
C
=100°,∠
D
=75°,∠
E
=135°,
∴∠
EAB
+∠
ABC
=540°-∠
C
-∠
D
-∠
E
=230°
.
∵
AP
平分∠
EAB
,
∴∠
PAB
= ∠
EAB
,
同理可得∠
ABP
= ∠
ABC
,
∵∠
P
+∠
PAB
+∠
PBA
=180°,
∴∠
P
=180°-∠
PAB
-∠
PBA
=180°− (∠
EAB
+∠
ABC
)=180°− ×230°=65°.
2
4
1
3
2
4
1
3
2
4
1
3
2
4
1
3
2
4
1
3
2
4
1
3
2
4
1
3
2
4
1
3
2
4
1
3
2
4
1
3
2
4
1
3
2
4
1
3
用形状、大小完全相同的任意四边形可拼成一块无空隙的地板,你知道这是为什么吗?
你知道吗?
多边形的外角和
二
如图,在五边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫做五边形的外角和.
问题
1
:
任意一个外角和它相邻的内角有什么关系?
问题
2
:
五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少?
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
互补
5
×
180
°
=900
°
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
五边形外角和
=360 °
=
5
个平角
-
五边形内角和
=
5×180°
-
(5
-
2) × 180°
结论:五边形的外角和等于
360°
.
问题
3
:
这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系?
在
n
边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫做
n
边形的外角和.
n
边形外角和
n
边形的外角和等于
360°
.
-
(
n
-
2) × 180°
=360 °
=
n
个平角
-
n
边形内角和
= n
×180 °
A
n
A
2
A
3
A
4
1
2
3
4
n
A
1
思考:
n
边形的外角和又是多少呢?
与边数无关
问题
4
:
回想正多边形的性质,你知道正多边形的每个内角是多少度吗?每个外角呢?为什么?
每个内角的度数是
每个外角的度数是
练一练:
(1)
若一个正多边形的内角是
120 °
,
那么这是正
____
边形
.
(2)
已知多边形的每个外角都是
45
°
,
则这个多边形是
______
边形
.
六
正八
典例精析
例
4
已知一个多边形,它的内角和等于外角和的
2
倍,求这个多边形的边数
.
解: 设多边形的边数为
n
.
∵
它的内角和等于
(
n
-
2)•180°
,
多边形外角和等于
360
°
,
∴
(
n
-
2)•180°=2× 360º.
解得
n
=6.
∴
这个多边形的边数为
6.
例
5
已知一个多边形的每个内角与外角的比都
是
7:2
,求这个多边形的边数
.
解法一:设这个多边形的内角为
7
x
°
,
外角为
2
x
°
,
根据题意得
7
x
+2
x
=180
,
解得
x
=20.
即每个内角是
140 °
,
每个外角是
40 °.
360
° ÷40 °=9.
答:这个多边形是九边形
.
还有其他解法吗?
解法二:设这个多边形的边数为
n
,
根据题意得
解得
n
=9.
答:这个多边形是九边形
.
【变式题】
一个正多边形的一个外角比一个内角大60°,求这个多边形的每个内角的度数及边数.
解:设该正多边形的内角是
x
°,外角是
y
°,
则得到一个方程组 解得
而任何多边形的外角和是360°,
则该正多边形的边数为360÷120=3,
故这个多边形的每个内角的度数是60°,边数是三条.
例
6
如图,在正五边形
ABCDE
中,连接
BE
,求∠
B
E
D
的度数.
解:由题意得
AB
=
AE
,
所以
∠AEB
= (180
°
-∠
A
)=36
°,
所以∠
B
E
D
=∠
AED
-∠
AEB
=108
°
-36
°
=72
°
.
当堂练习
1.
判断.
(1)
当多边形边数增加时,它的内角和也随着增加
.( )
(2)
当多边形边数增加时,它的外角和也随着增加
.( )
(3)
三角形的外角和与八边形的外角和相等.
( )
2.
一个正多边形的内角和为720°,则这个正多边形的
每一个内角等于
______
.
120
°
3.
如图所示,小华从点
A
出发,沿直线前进10米后左转24°,再沿直线前进10米,又向左转24°,…,照这样走下去,他第一次回到出发地点
A
时,走的路程一共是
________
米.
150
4.
一个多边形的内角和不可能是( )
A.1800° B.540 ° C.720 ° D.810 °
D
5.
一个多边形从一个顶点可引对角线
3
条,这个多边形
内角和等于( )
A.360° B.540 ° C.720 ° D.900 °
B
6.
一个多边形的内角和为
1800°
,截去一个角后,求得到的多边形的内角和
.
解:
∵1800÷180
=
10
,
∴
原多边形边数为
10
+
2
=
12.
∵
一个多边形截去一个内角后,边数可能减
1
,可能不变,也可能加
1
,
∴
新多边形的边数可能是
11
,
12
,
13
,
∴
新多边形的内角和可能是
1620°
,
1800°
,
1980°.
能力提升:
如图,求
∠
1
+
∠2
+
∠
3
+
∠
4
+
∠
5
+
∠
6
+
∠
7
的度数
.
解:如图,
∵∠3
+
∠4
=
∠8
+
∠9
,
∴∠1
+
∠2
+
∠3
+
∠4
+
∠5
+
∠6
+
∠7
=
∠1
+
∠2
+
∠8
+
∠9
+
∠5
+
∠6
+
∠7
=五边形的内角和=
540°.
8
9
课堂小结
多边形的内角和
内角和计算公式
(
n
-2) × 180 °(
n
≥3
的整数)
外角和
多边形的外角和等于
360°
特别注意:与边数无关
.
正多
边形
内角
=
,外角
=
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