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- 2021-10-27 发布
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4 角平分线
第一章 三角形的证明
第2课时 角平分线
(二)
1. 三角形的三条__________相交于一点,并且这一点
到_______________的距离相等.
2. △ABC的三边AB,BC,CA的长分别为6 cm,4 cm,
4 cm,P为三条角平分线的交点,则△ABP,△BCP,
△ACP的面积比等于( )
A. 1 ∶1 ∶1 B. 2 ∶2 ∶3
C. 2 ∶3 ∶2 D. 3 ∶2 ∶2
课前预习
角平分线
三角形三边
D
3. 有一块三角形的草坪,现要在草坪上建一座凉亭供
大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,则凉亭
的位置应选在( )
A. 三角形三条角平分线的交点
B. 三角形三边的垂直平分线的交点
C. 三角形三条中线的交点
D. 三角形三条高线的交点
A
课堂讲练
新知1:三角形三条角平分线交点的性质
典型例题
【例1】已知:如图1-4-19,在△ABC中,若点P是
∠ABC和∠ACB的角平分线的交点,求证:∠P=90°+
∠A.
证明:∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点,
∴∠PBC+∠PCB= (∠ABC+∠ACB)= (180°-
∠A)=90°- ∠A.
∴∠P=180°-(∠PBC+∠PCB)=90°+ ∠A.
模拟演练
1. 如图1-4-20,在△ABC中,若点O是∠ABC,∠ACB的
平分线的交点,且∠ABC=50°,∠ACB=60°,求∠OAB
的度数.
解:∵在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=60°,
∴∠BAC=180°-50°-60°=70°.
∵点O是∠ABC,∠ACB的平分线的交点,
∴OA是∠BAC的平分线.
∴∠OAB= ∠BAC= ×70°=35°.
【例2】如图1-4-21,已知△ABC的周长是21,OB,OC分
别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D,且OD=3,求△ABC
的面积.
典型例题
解:如答图1-4-5,过点O作OE⊥AB于点E,OF⊥AC
于点F,连接OA.
∵OB,OC分别平分∠ABC
和∠ACB,OD⊥BC,
∴OE=OF=OD=3.
∴S△ABC= AB·OE+ AC·OF+ BC·OD=
(AB+AC+BC)·3= .
2. 如图1-4-22,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线
交于点O,过点O作一直线分别交AB,AC于点E,F,且
BE=EO.
(1)说明OF与CF的大小关系;
(2)若BC=12 cm,点O到AB的距离
为4 cm,求△OBC的面积.
模拟演练
解:(1)OF=CF. 理由如下.
∵BE=EO,∴∠EBO=∠EOB.
∵△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点O,
∴∠EBO=∠OBC.
∴∠EOB=∠OBC. ∴EF∥BC.
∴∠FOC=∠OCB=∠OCF. ∴OF=CF.
(2)如答图1-4-8,过点O作OM⊥BC于点M,作
ON⊥AB于点N.
∵在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点O,点
O到AB的距离为4 cm,
∴ON=OM=4 cm.
∴S△OBC= BC·OM=
×12×4=24(cm2).
【例3】如图1-4-23,已知∠MON,点B,C分别在射线OM,
ON上,且OB=OC.
(1)用直尺和圆规作出∠MON的平分线OP,在射线OP上
取一点A,分别连接AB,AC;(只需保留作图痕迹,不
要求写作法)
(2)在(1)的条件下,
求证:AB=AC.
典型例题
新知2:与角平分线有关的尺规作图
解:(1)如答图1-4-6,射线OP即为所求.
(2)连接AB,AC,如答图1-4-6.
∵OP平分∠MON,∴∠AOB=∠AOC.
在△ABO与△ACO中,
OB=OC,
∠AOB=∠AOC,
OA=OA,
∴△ABO≌△ACO(SAS).
∴AB=AC.
3. 如图1-4-24,已知△ABC.
(1)用圆规和直尺作∠A的平分线AD;(保留作图痕
迹,不必证明)
(2)在(1)的条件下,E是AB边上一点,连接DE,
已知∠AED=∠C. 求证:AC=AE.
模拟演练
解:(1)如答图1-4-9,AD即为所求.
(2)如答图1-4-9,连接DE.
∵AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠EAD.
在△ACD和△AED中,
∠C=∠AED,
AD=AD,
∠CAD=∠EAD,
∴△ACD≌△AED(ASA).
∴AC=AE.
【例4】如图1-4-25,OA,OB表示两条道路,在OB上有
一车站(用点P表示). 现在要在两条道路形成的∠AOB
的内部建一个报亭,要求报亭到两条道路的距离相等且
在过点P与AO平行的道路上,请在图中作出报亭的位置.
(尺规作图,不写作法,
但要保留作图痕迹)
典型例题
解:如答图1-4-7,点T即为所求.
4. 如图1-4-26,某地有两所大学和两条交叉的公路.
图中点M,N表示大学,OA,OB表示公路,现计划修建
一座物资仓库,希望仓库到两所大学的距离相同,到
两条公路的距离也相同,你能确定出仓库P应该建在
什么位置吗?请在图中画出你的设计(尺规作图,不
写作法,保留作图痕迹).
模拟演练
解:如答图1-4-10,点P即为所求.
分层训练
A组
1. 图1-4-27如图1-4-27,△ABC的三边AB,BC,CA长
分别是20,30,40,其三条角平分线将△ABC分为3个
三角形,则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于( )
A. 1∶1∶1
B. 1∶2∶3
C. 2∶3∶4
D. 3∶4∶5
C
2. 在△ABC中,∠B,∠C的平分线的交点P恰好在BC边
的高AD上,则△ABC一定是( )
A. 直角三角形
B. 等边三角形
C. 等腰三角形
D. 等腰直角三角形
C
3. 观察图1-4-28中的尺规作图痕迹,下列说法错误的
是( )
A. OE是∠AOB的平分线
B. OC=OD
C. 点C,D到OE的距离不相等
D. ∠AOE=∠BOE
C
B组
4. 小明同学在学习了全等三角形
的相关知识后发现,只用两把完
全相同的长方形直尺就可以作出
一个角的平分线. 如图1-4-29,一
把直尺压住射线OB,另一把直尺
压住射线OA并且与第一把直尺交
于点P,小明说:“射线OP就是
∠BOA的平分线. ”他这样做的依
据是( )A
A. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线
上
B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D. 以上均不正确
5. 如图1-4-30,在△ABC中,内角∠BAC与外角∠CBE的
平分线相交于点P,BE=BC,PG∥AD交BC于点F,交AB于
点G,连接CP . 下列结论:①∠AC B = 2∠A P B;
②S△PAC ∶S△PAB=PC ∶PB;③BP垂直平分CE;
④∠PCF=∠CPF. 其中正确的是( )
A. ①②④
B. ①③④
C. ②③④
D. ①③
B
6. 如图1-4-31,在△ABC中,AB=AC,D为BC边的中点,
AE∥BC.
(1)作∠ADC的平分线DF,与AE交于点F;(用尺规作
图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,若AD=2,求DF的长.
解:(1)如答图1-4-11,DF即为所求.
(2)∵AB=AC,D为BC边的中点,
∴AD⊥BC,即∠ADC=90°.
又∵DF平分∠ADC,∴∠ADF=45°.
∵AE∥BC,
∴∠DAF=∠ADC=90°.
∴△ADF为等腰直角三角形.
∵AD=2,∴DF= .
C组
7. 如图1-4-32,在△ABC中,∠B=90°,两直角边AB=7,
BC=24,三角形内有一点P到各边的距离相等,PE⊥AB,
PF⊥BC,PD⊥AC,垂足分别为E,F,D,求PD的长.
解:如答图1-4-12,连接AP,BP,CP.
设PE=PF=PD=x.
∵在△ABC中,∠B=90°,
两直角边AB=7,BC=24,
∴AC=25.
∵S△ABC= AB·BC=84,
且S△ABC= AB·x+ AC·x+ BC·x
= (AB+AC+BC)·x
= ×56x
=28x,
∴28x=84.
解得x=3.
故PD的长为3.
8. 如图1-4-33,△ABC中,∠A=60°,∠ACB的平分线
CD和∠ABC的平分线BE交于点G.
求证:GE=GD.
证明:如答图1-4-13,连接AG,过点G作GM⊥AB于点M,
GN⊥AC于点N,GF⊥BC于点F.
∵∠A=60°,∴∠ACB+∠ABC=120°.
∵CD,BE是△ABC的角平分线,
∴∠BCG+∠CBG=120°÷2=60°.
∴∠CGB=∠EGD=120°.
∵G是∠ACB的平分线上一点,
∴GN=GF.
同理可得GF=GM.
∴GN=GM.∴AG是∠CAB的平分线.
∴∠GAM=∠GAN=30°.
∴∠NGM=∠NGA+∠AGM=60°+60°=120°.
∴∠EGD=∠NGM=120°.∴∠EGN=∠DGM.
又∵GN=GM,∴△EGN≌△DGM(AAS).
∴GE=GD.
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