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  • 2021-10-27 发布

北师大版八年级下册数学同步练习课件-第1章-4 角平分线(二)

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(1)说明OF与CF的大小关系; (2)若BC=12 cm,点O到AB的距离 为4 cm,求△OBC的面积. 模拟演练 解:(1)OF=CF. 理由如下. ∵BE=EO,∴∠EBO=∠EOB. ∵△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点O, ∴∠EBO=∠OBC. ∴∠EOB=∠OBC. ∴EF∥BC. ∴∠FOC=∠OCB=∠OCF. ∴OF=CF. (2)如答图1-4-8,过点O作OM⊥BC于点M,作 ON⊥AB于点N. ∵在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点O,点 O到AB的距离为4 cm, ∴ON=OM=4 cm. ∴S△OBC= BC·OM= ×12×4=24(cm2). 【例3】如图1-4-23,已知∠MON,点B,C分别在射线OM, ON上,且OB=OC. (1)用直尺和圆规作出∠MON的平分线OP,在射线OP上 取一点A,分别连接AB,AC;(只需保留作图痕迹,不 要求写作法) (2)在(1)的条件下, 求证:AB=AC. 典型例题 新知2:与角平分线有关的尺规作图 解:(1)如答图1-4-6,射线OP即为所求. (2)连接AB,AC,如答图1-4-6. ∵OP平分∠MON,∴∠AOB=∠AOC. 在△ABO与△ACO中, OB=OC, ∠AOB=∠AOC, OA=OA, ∴△ABO≌△ACO(SAS). ∴AB=AC. 3. 如图1-4-24,已知△ABC. (1)用圆规和直尺作∠A的平分线AD;(保留作图痕 迹,不必证明) (2)在(1)的条件下,E是AB边上一点,连接DE, 已知∠AED=∠C. 求证:AC=AE. 模拟演练 解:(1)如答图1-4-9,AD即为所求. (2)如答图1-4-9,连接DE. ∵AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠EAD. 在△ACD和△AED中, ∠C=∠AED, AD=AD, ∠CAD=∠EAD, ∴△ACD≌△AED(ASA). ∴AC=AE. 【例4】如图1-4-25,OA,OB表示两条道路,在OB上有 一车站(用点P表示). 现在要在两条道路形成的∠AOB 的内部建一个报亭,要求报亭到两条道路的距离相等且 在过点P与AO平行的道路上,请在图中作出报亭的位置. (尺规作图,不写作法, 但要保留作图痕迹) 典型例题 解:如答图1-4-7,点T即为所求. 4. 如图1-4-26,某地有两所大学和两条交叉的公路. 图中点M,N表示大学,OA,OB表示公路,现计划修建 一座物资仓库,希望仓库到两所大学的距离相同,到 两条公路的距离也相同,你能确定出仓库P应该建在 什么位置吗?请在图中画出你的设计(尺规作图,不 写作法,保留作图痕迹). 模拟演练 解:如答图1-4-10,点P即为所求. 分层训练 A组 1. 图1-4-27如图1-4-27,△ABC的三边AB,BC,CA长 分别是20,30,40,其三条角平分线将△ABC分为3个 三角形,则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于( ) A. 1∶1∶1 B. 1∶2∶3 C. 2∶3∶4 D. 3∶4∶5 C 2. 在△ABC中,∠B,∠C的平分线的交点P恰好在BC边 的高AD上,则△ABC一定是( ) A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 C 3. 观察图1-4-28中的尺规作图痕迹,下列说法错误的 是( ) A. OE是∠AOB的平分线 B. OC=OD C. 点C,D到OE的距离不相等 D. ∠AOE=∠BOE C B组 4. 小明同学在学习了全等三角形 的相关知识后发现,只用两把完 全相同的长方形直尺就可以作出 一个角的平分线. 如图1-4-29,一 把直尺压住射线OB,另一把直尺 压住射线OA并且与第一把直尺交 于点P,小明说:“射线OP就是 ∠BOA的平分线. ”他这样做的依 据是( )A A. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线 上 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D. 以上均不正确 5. 如图1-4-30,在△ABC中,内角∠BAC与外角∠CBE的 平分线相交于点P,BE=BC,PG∥AD交BC于点F,交AB于 点G,连接CP . 下列结论:①∠AC B = 2∠A P B; ②S△PAC ∶S△PAB=PC ∶PB;③BP垂直平分CE; ④∠PCF=∠CPF. 其中正确的是( ) A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①③ B 6. 如图1-4-31,在△ABC中,AB=AC,D为BC边的中点, AE∥BC. (1)作∠ADC的平分线DF,与AE交于点F;(用尺规作 图,保留作图痕迹,不写作法) (2)在(1)的条件下,若AD=2,求DF的长. 解:(1)如答图1-4-11,DF即为所求. (2)∵AB=AC,D为BC边的中点, ∴AD⊥BC,即∠ADC=90°. 又∵DF平分∠ADC,∴∠ADF=45°. ∵AE∥BC, ∴∠DAF=∠ADC=90°. ∴△ADF为等腰直角三角形. ∵AD=2,∴DF= . C组 7. 如图1-4-32,在△ABC中,∠B=90°,两直角边AB=7, BC=24,三角形内有一点P到各边的距离相等,PE⊥AB, PF⊥BC,PD⊥AC,垂足分别为E,F,D,求PD的长. 解:如答图1-4-12,连接AP,BP,CP. 设PE=PF=PD=x. ∵在△ABC中,∠B=90°, 两直角边AB=7,BC=24, ∴AC=25. ∵S△ABC= AB·BC=84, 且S△ABC= AB·x+ AC·x+ BC·x = (AB+AC+BC)·x = ×56x =28x, ∴28x=84. 解得x=3. 故PD的长为3. 8. 如图1-4-33,△ABC中,∠A=60°,∠ACB的平分线 CD和∠ABC的平分线BE交于点G. 求证:GE=GD. 证明:如答图1-4-13,连接AG,过点G作GM⊥AB于点M, GN⊥AC于点N,GF⊥BC于点F. ∵∠A=60°,∴∠ACB+∠ABC=120°. ∵CD,BE是△ABC的角平分线, ∴∠BCG+∠CBG=120°÷2=60°. ∴∠CGB=∠EGD=120°. ∵G是∠ACB的平分线上一点, ∴GN=GF. 同理可得GF=GM. ∴GN=GM.∴AG是∠CAB的平分线. ∴∠GAM=∠GAN=30°. ∴∠NGM=∠NGA+∠AGM=60°+60°=120°. ∴∠EGD=∠NGM=120°.∴∠EGN=∠DGM. 又∵GN=GM,∴△EGN≌△DGM(AAS). ∴GE=GD.