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- 2021-10-27 发布
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1
内容 基本要求 略高要求 较高要求
一次函数
理解正比例函数,能结合具体
情境了解一次函数的意义;会
画一次函数的图像,理解一次
函数的性质
会根据已知条件确定一次函数解析式
;会根据一次函数解析式求其图像与
坐标轴的交点坐标;能根据一次函数
图像求二元一次方程组的近似解
能用一次函数解决
实际问题
平移规律:一次函数的图象与几何变换,熟知“上加下减,左加右减”的原则
模块一 一次函数图象的几何变换
【例 1】 (2011•乌鲁木齐)将直线 2y x 向右平移 1 个单位后所得图象对应的函数解析式为( )
A. 2 1y x B. 2 2y x C. 2 1y x D. 2 2y x
【解析】根据函数图象平移的法则进行解答即可.
【解答】直线 2y x 向右平移 1 个单位后所得图象对应的函数解析式为 2 1y x ,
即 2 2y x .故选 B .
【巩固】直线 2( 2)y x 可以由直线 2y x 向 平移 个单位得到的.
【难度】2 星
【解析】略
【答案】下,4
【巩固】一次函数 2 3y x 的图象可以看成由正比例函数 2y x 的图象向 (填“上”和“下”)平移 个
单位得到的.
【难度】2 星
【解析】略
【答案】下,3
【巩固】把函数 2y x 的图像向右平行移动 3 个单位,求:
(1)平移后得到的直线解析式;
(2)平移后的直线到两坐标轴距离相等的点的坐标.
【解析】(1)因为直线 2y x 向右平移 3 个单位,所以 2k ,且平移后经过点 3 0, .设所求解析式为
2y x b ,
将 3 0, 代入,得 6b .所以所求直线解析式为 2 6y x .
(2)因为到两坐标轴距离相等的点在直线 y x 或 y x 上,所以解方程组
2 6y x
y x
,
, 和 2 6y x
y x
,
,
一次函数解析式及与不等式综合
2
得 6
6
x
y
,
,和 2
2
x
y
,
.
【答案】(1) 2 6y x ;(2) 6,6 或 2, 2
模块二 用待定系数法求一次函数解析式
先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数,从而具体写出这个式子的方法,叫做待字
系数法.
用待定系数法求函数解析式的一般步骤:
①根据已知条件写出含有待定系数的解析式;
②将 x y, 的几对值,或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中,得到以待定系数为未知数的方程
或方程组;
③解方程(组),得到待定系数的值;
④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中,得到所求的函数解析式.
☞待定系数法
【例 2】 如果 ( 0)y kx k 的自变量增加 4,函数值相应地减少 16,则 k 的值为( )
A.4 B.- 4 C. 1
4 D. 1
4
【解析】由题意得: 16 ( 4)y k x ,将 y kx 带入等式,即 k 16 ( 4)x k x ,所以解出 4x
【答案】B
【例 3】 已知 y n 与 x m 成正比例,其中 m 、n 是常数,当 1x 时, 1y ,当 1x 时, 7y .求 y
与 x 的函数关系.
【解析】根据题意,设 ( )y n k x m ( 0k ),即 ( )y kx km n
由题意,得 1
7
k km n
k km n
①
②
,解得 3k , 4km n .
所求函数关系式为 3 4y x .
【巩固】已知 y 与 1x 成正比例,且当 3x 时 5y .求 y 与 x 之间的函数关系式.
【解析】 y 与 1x 成正比例,设 ( 1)y k x ( 0k )
当 3x 时, 5y ,求得 5
2k , y 与 x 之间的函数关系式为 5 5
2 2y x
【巩固】(2009•桂林)如图,是一个正比例函数的图象,把该图象向左平移一个单位长度,得到的函数图
象的解析式为 .
【解析】寻找原直线解析式上的向左平移一个单位长度,得到的点.
【答案】可从正比例函数上找两点:(0,0)、(﹣1,2),这两个点左平移一个单位长度,得(﹣1,0)(﹣
2,2),
那么这两个点在向左平移一个单位长度得到的函数图象的解析式 y=kx+b 上,则﹣k+b=0,﹣
2k+b=2
解得:k=﹣2,b=﹣2.
3
∴得到的解析式为:y=﹣2x﹣2.
【点评】解决本题的关键是找到所求直线解析式中的两个点.
【巩固】已知 y 与 1x 成正比例,且当 3x 时 5y .求 y 与 x 之间的函数关系式.
【解析】 y 与 1x 成正比例,设 ( 1)y k x ( 0k )
当 3x 时, 5y ,求得 5
2k , y 与 x 之间的函数关系式为 5 5
2 2y x
【答案】 5 5
2 2y x
【例 4】 已知一次函数的图象经过(3,2)和(1,-2)两点.求这个一次函数的解析式.
【解析】设这个一次函数的解析式为: y kx b ,由题意可知 3 2
2
k b
k b
,解得 2
4
k
b
故这个一次函数的解析式为: 2 4y x .
这种首先设出函数解析式,然后再根据已知条件求出函数解析式的系数的方法,称为“待定系数
法”.
【答案】 2 4y x
【例 5】 已知一次函数 y kx b 中自变量 x 的取值范围为 2 6x ,相应的函数值的范围是 11 9y ,
求此函数的解析式。
【解析】当 0k 时, y 随 x 的增大而增大,由 2 6x , 11 9y 可知
2x 时, 11y ; 6x 时, 9y
所以 2 11
6 9
k b
k b
,解得
5
2
6
k
b
故函数解析式为 5 62y x 。
当 0k 时, y 随 x 的增大而减小,由 2 6x , 11 9y 可知
2x 时, 9y ; 6x 时, 11y
所以 2 9
6 11
k b
k b
,解得
5
2
4
k
b
故函数解析式为 5 42y x 。
【巩固】已知一次函数 y kx b ,当 3 1x 时,对应的 y 值为1 9y ,求 kb 的值.
【解析】若 0k ,所以当 3x 时, 1y ;当 1x 时, 9y ;解得 2k , 7b , 14kb ;
若 0k ,所以当 3x 时, 9y ;当 1x 时, 1y ;解得 2k , 3b , 6kb .
【答案】 6kb
【例 6】 ( 1 )( ★ ★ ★ ) (09 山 东 泰 安 ) 已 知 y 是 x 一 次 函 数 , 表 给 出 了 部 分 对 应 值 , m 的 值
是 .
x 1 2 5
y 5 1 m
4
(2)(★★★)(08 永州)如图,一次函数的图象经过 M 点,与 x 轴交于 A 点,与 y 轴交于 B 点,
根据图中信息求:求这个函数的解析式 .
【解析】(1) 1m ;
(2)设一次函数的解析式为 y kx b 0k
将点 0 6B , , 1 4M , 代入,得
6 0
4 1
k b
k b
,
解之,得 2 6k b ,
∴解析式为 2 6y x .
【例 7】 (08 年上海市中考题)如图,将直线 OA 向上平移 1 个单位,得到一个一次函数的图像,那么这个
一次函数的解析式是 .
【解析】根据题意可得 OA 的解析式为 2y x ,向上平移一个单位以后,可得: 1 2y x ,即 2 1y x
【例 8】 ⑴(★★)如果直线 y ax b 经过第一、二、三象限,那么 ab 0(填“ ”、“ ”、“ ”).
⑵(★★)已知一次函数 22 3 12y a x a .求:① a 为何值时,一次函数的图象经过原点.②
a 为何值时,一次函数的图象与 y 轴交于点 0,9 .
【解析】⑴先画草图,根据已知得 y 随 x 的增大而增大,可知 0a ;图象与 y 轴交点在 x 轴上方,知 0b ,
故 0ab .
⑵① 2a ;② 7a
5
☞对称
【例 1】 若直线 y kx b 与直线 2 2y x 关于 x 轴对称,则 k b, 的值分别是( )
A、﹣2,﹣2 B、﹣2,2 C、2,﹣2 D、2,2
【解析】先根据两直线关于 x 轴对称的特点求出函数 y kx b 的解析式,即可确定答案.
【答案】∵直线 y kx b 与直线 2 2y x 关于 x 轴对称,
∴ 2 2b k , .
故选 A.
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换,熟知关于 x 轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键.
【巩固】(2005•天津)若正比例函数 y=kx 与 y=2x 的图象关于 x 轴对称,则 k 的值= .。
【解析】根据关于 x 轴对称的点的坐标特征:横坐标不变,纵坐标互为相反数.则两个解析式的 k 值应互
为相反数.
【答案】两个解析式的 k 值应互为相反数,即 k=﹣2.
【点评】若两个正比例函数的图象关于 x 轴对称,则 k 值互为相反数.
模块三 一次函数与方程及不等式综合
1.一次函数与一元一次方程的关系:
直线 y b k 0kx ( )与 x 轴交点的横坐标,就是一元一次方程 b 0( 0)kx k 的解。求直线 y bkx
与 x 轴交点时,可令 0y ,得到方程 b 0kx ,解方程得 x b
k
,直线 y bkx 交 x 轴于 ( ,0)b
k
, b
k
就是直线 y bkx 与 x 轴交点的横坐标。
2.一次函数与一元一次不等式的关系:
任何一元一次不等式都可以转化为 a b 0x 或 a b 0x ( ba、 为常数, 0a )的形式,所以解一元一
次不等式可以看作:当一次函数值大(小)于 0 时,求自变量相应的取值范围。
3.一次函数与二元一次方程(组)的关系:
一次函数的解析式 y b k 0kx ( )本身就是一个二元一次方程,直线 y b k 0kx ( )上有无数个
点,每个点的横纵坐标都满足二元一次方程 y b k 0kx ( ),因此二元一次方程的解也就有无数个。
☞一次函数与一元一次方程综合
【例 9】 已知直线 (3 2) 2y m x 和 3 6y x 交于 x 轴上同一点, m 的值为( )
A. 2 B. 2 C. 1 D. 0
【解析】分别求出两个直线与 x 轴的交点坐标分别为 2( ,0)3 2m
和 (2 0), ,因为交与 x 轴上的同一点,所
以可列方程 2 23 2m
,解得 1m
【答案】C
【例 10】 已知一次函数 y x a 与 y x b 的图象相交于点 8m, ,则 a b ______.
【解析】分别将点 8m, 代入两个一次函数解析式,得8 m a 和8 m b ,联立方程得
8 8 m a m b ,所以 16a b
【答案】16
【例 11】 已知一次函数 y kx b 的图象经过点 2 0, , 1 3, ,则不求 k b, 的值,可直接得到方程
3kx b 的解是 x ______.
【解析】分别根据题意可知当 3y 时, 1x
【答案】1
6
☞一次函数与一元一次不等式综合
【例 12】 已知一次函数 2 5y x .
(1)画出它的图象;
(2)求出当 3
2x 时, y 的值;
(3)求出当 3y 时, x 的值;
(4)观察图象,求出当 x 为何值时, 0y , 0y , 0y
【解析】略
【答案】(1)列表:
x 0 5
2
y 5 0
过点 0 5, 和 5 02
, 作直线,此直线即为一次函数 2 5y x 的图象,如图所示:
(2)当 3
2x 时, 32 5 22y
(3)当 3y 时, 2 5 3, 4x x
(4)观察图像可知,当 5
2x 时,函数的图象在 x 轴下方, y 0 ;
当 5
2x 时, 0y ;
当 5
2x 时,函数的图象在 x 轴上方, 0y .
【例 13】 已知 1 5y x , 2 2 1y x .当 1 2y y 时,x 的取值范围是( )
A. 5x B. 1
2x C. 6x D. 6x
【解析】根据题意可知列不等式 5 2 1x x ,解不等式即可
【答案】C
【例 14】 直线 1 1:l y k x b 与直线 2 2:l y k x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于 x 的不
等式 2 1k x k x b 的解集为______.
7
【解析】根据题意结合图象看出,当 1x 时,直线 2l 在直线 1l 上方
【答案】 1x
【例 15】 若解方程 2 3 2x x 得 2x ,则当 x_________时直线 2y x 上的点在直线 3 2y x 上
相应点的上方.
【解析】列一元一次不等式或是画图象均可得出答案, 2y x 上的点在直线 3 2y x 上相应点的上方,
即 2 3 2x x
【答案】 2x
【例 16】 如图,直线 y kx b 经过 2 1A , , 1 2B , 两点,则不等式 1 22 x kx b 的解集为
______.
【解析】根据题意本题可以先求出直线解析式再求不等式组的解集,或由题意中的两个直线上的点的坐标
去判断所求的解集
【答案】 -1 2x
【例 17】 已知一次函数经过点(1,-2)和点(-1,3),求这个一次函数的解析式,并求:
(1)当 2x 时, y 的值;
(2)x 为何值时, 0y ?
(3)当 2 1x 时, y 的值范围;
(4)当 2 1y 时, x 的值范围.
【解析】(1)设一次函数的解析式为 y kx b ,
由题意,列得 2
3
k b
k b
,解得
5
2
1
2
k
b
∴一次函数的解析式为 5 1
2 2y x
∴当 2x 时, 5 1 922 2 2y
(2)∵ 0y
∴ 5 1 02 2x ,解不等式得: 1
5x
8
∴当 1
5x 时, 0y
(3)∵ 5 1
2 2y x ,∴ 2 1
5 5x y
又∵ 2 1x ,即 2 12 15 5y
解得: 11
2y-2≤ ≤
∴当 11 22 y 时, 2 1x
(4)∵ 2 1y ,∴ 5 12 12 2x 解得: 1 15 x
∴当 1 15 x 时, 2 1y
【答案】(1) 9
2
;(2) 1
5x ;(3) 11
2y-2≤ ≤ ;(4) 1 15 x
☞一次函数与二元一次方程(组)综合
【例 18】 已知直线 3y x 与 2 2y x 的交点为(-5,-8),则方程组 3 0
2 2 0
x y
x y
的解是________.
【解析】两条直线的交点坐标就是二元一次方程组的解
【答案】 5
8
x
y
【例 19】 已知方程组 y ax c
y kx b
( a b c k, , , 为常数, 0ak )的解为 2
3
x
y
,则直线 y ax c 和
直线 y kx b 的交点坐标为________.
【解析】二元一次方程组的解就是两条直线的交点坐标
【答案】 2 3 ,
【例 20】 已知 2
4
x
y
,是方程组 7 3 2
2 8
x y
x y
的解,那么一次函数 y ________和 y ________的交点
是________.
【解析】一次函数与二元一次方程组的关系,将方程组中的两个二元一次方程整理成用 x 表示 y 的形式,
则是两个一次函数的解析式 7 2
3 3y x 和 2 8y x ,方程组的解即是两个一次函数图象交点的
横纵坐标坐标,即 2 4,
【答案】 7 2
3 3y x , 2 8y x , (2,4)
【例 21】 一次函数 1y kx b 与 2y x a 的图象如图,则下列结论① 0k ;② 0a ;③当 3x 时,
1 2y y 中,正确的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
9
【解析】(1)直线 1y 经过二、四象限,则 0k ,所以①是正确的;(2)直线与 y 轴交于 y 轴的负半轴,
∴ 0a ,所以②是错误的;(3)由两个一次函数图象可知 3x 时,直线 1y 在直线 2y 上方,∴
1 2y y ,∴③是错误的。因此只有一个是正确的。
【答案】B.
【例 22】 若直线 ( 2) 6y m x 与 x 轴交于点 6 0, ,则 m 的值为( )
A.3 B.2 C.1 D.0
【解析】列一元一次方程得: 6( 2) 6 0m ,解得: 3m
【答案】A
【例 23】 已知一次函数 y kx b 的图象如图所示,当 1x 时, y 的取值范围是( )
A. 2 0y B. 4 0y C. 2y D. 4y
【解析】根据图象列关于 k,b 的二元一次方程组,求出函数解析式 2 4y x ,整理出 1 22x y ,∴ 1x ,
则是 1 2 12 y ,求不等式的解为 2y
【答案】C
【例 24】 如图所示的是函数 y kx b 与 y mx n 的图象,求方程组 kx b y
mx n y
的解关于原点对称
的点的坐标是________.
10
【解析】考察一次函数与二元一次方程组的关系,在平面直角坐标系内可知两个直线的交点坐标为 3 4, ,
所以它关于远点的对称的点的坐标是 3 4 ,
【答案】 3 4 ,
【例 25】 一次函数 y kx b ( k b, 是常数, 0k )的图象如图所示,则不等式 0kx b 的解集是
( )
A. 2x B. 0x C. 2x D. 0x
【解析】 0kx b ,即 0y ,∴由图象看出与 x 轴交于点(-2,0)
【答案】A
【例 26】 如图,一次函数 y ax b 的图象经过 A、B 两点,则关于 x 的不等式 0ax b 的解集是
________.
【解析】由图象知, 0ax b ,即 0y 则图象在 x 轴下方,所以 2x
【答案】 2x
【例 27】 把一个二元一次方程组中的两个方程化为一次函数画图象,所得的两条直线平行,则此方程
组( )
A.无解 B.有唯一解 C.有无数个解 D.以上都有可能
【解析】二元一次方程组的解就是两条直线的交点坐标,若两条直线平行,则说明这两条直线无交点,则
此二元一次方程组无解
【答案】A
11
课后作业
1. 将直线 2y x 向右平移 2 个单位所得的直线的解析式是 .
【难度】2 星
【解析】略
【答案】 2( 2) 2 4y x x
2. 已知函数图象如图所示,则此函数的解析式为( )
A. 2y x
B. 2 ( 1 0)y x x
C. 1
2y x
D. 1 ( 1 0)2y x x
【解析】由题意,正比例函数经过点(-1,2),求出函数解析式为 2y x ,同时根据图象看出自变量的取
值范围为 1 0x
【答案】B
3. 当自变量 x 满足什么条件时,函数 4 1y x 的图象在:
(1) x 轴上方; (2) y 轴左侧; (3)第一象限.
【解析】(1) 4 1 0x ,解这个不等式,得 1
4x
(2)函数图象在 y 轴左侧, x 应取负数,即 0x
(3)函数图象在第一象限,则应有 0
0
x
y
, 10 4x
【答案】(1) 1
4x ;(2) 0x ;(3) 10 4x
4. 如图,直线 y kx b 与 x 轴交于点 4 0 , ,则 0y 时, x 的取值范围是( )
A. 4x B. 0x C. 4x D. 0x
12
【解析】由题意结合图象可知, 0y 则 4x
【答案】A
5. 当自变量 x 满足什么条件时,函数 2 3y x 的图象在:
(1) x 轴下方; (2) y 轴左侧; (3)第一象限.
【解析】令 0y 解得 3
2x .根据题意,三种情形应分别满足不等式:
(1) 0y ,即 2 3 0x , 3
2x ;(2) 0x ;
(3) 0
2 3 0
x
y x
, 30 2x .
【答案】(1) 3
2x ;(2) 0x ;(3) 30 2x
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