八年级数学上册第2章三角形2-2命题与证明第3课时证明与反证法教案 湘教版 4页

1 第 3 课时 证明与反证法 【知识与技能】 了解证明的含义. 【过程与方法】 通过证明步骤中由命题画出图形，写出已知、求证的过程，继续训练学生由几何语句正 确画出几何图形的能力. 【情感态度】 让学生体验从实验几何向推理几何的过渡. 【教学重点】 证明的含义和表述格式. 【教学难点】 如何构造一个反例去证明一个命题是错误的. 一、情景导入，初步认知 1.一般地，判断一件事情正确或不正确的句子叫做命题，命题分为真命题与假命题. 2.说明一个命题是假命题，通常只用找出一个反例，但要说明一个命题是真命题，就必 须用推理的方法，而不能光凭一个例子. 3.判断下列命题的真假 （1）有一个角是 45°的直角三角形是等腰直角三角形.（真命题） （2）素数不可能是偶数.（假命题） （3）黄皮肤和黑皮肤的人都是中国人.（假命题） （4）有两个外角(不同顶点)是钝角的三角形是锐角三角形.（假命题） （5）若 y(1-y)=0，则 y=0.（假命题） 【教学说明】复习上节课的内容，为本节课的教学作准备. 二、思考探究，获取新知 1.做一做：采用剪拼或度量的方法，猜测“三角形的外角和”等于多少度. 此时，猜测出的命题仅仅是一种猜想，未必都是真命题，要确定这个命题是真命题，还 需要通过推理的方法加以证明. 【教学说明】在实验几何中，常让学生通过观察、实验和归纳得出结论.增加学生的感 官感受.使学生感受到凭实验、观察和归纳得出的结论不一定正确，使学生感受到直观是重 要的，但有时也会欺骗人，这时就需要通过逻辑推理来判断，从而让学生理解证明的必要性. 2.证明命题“三角形的外角和等于 360°”是真命题. 2 已知：如图，∠BAF,∠CBD,∠ACE 分别是△ABC 的三个外角. 求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360° 证明：由题意得，在△ABC 中 ∠1+∠2+∠3＝180° ∵∠BAF+∠1=180° ∠CBD+∠2=180° ∠ACE+∠3=180° 故 ∠BAF+∠CBD+∠ACE+∠1+∠2+∠3=180°+180°+180°＝540° 则 ∠BAF+∠CBD+∠ACE=360° 【教学说明】引导学生写出证明过程. 【归纳结论】证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤： ①画出图形； ②写出已知、求证； ③写出证明的过程. 3.已知：∠A,∠B,∠C 是△ABC 的内角.求证：∠A,∠B,∠C 中至少有一个角大于或等于 60°. 分析：这个命题的结论是“至少有一个”，也就是说出现“有一个”、“有两个”、“有三 个”这三种情况，如果直接证明，比较困难，因此，我们将从另外一个角度来证明. 证明：假设∠A,∠B,∠C 中没有一个角大于或等于 60°. 则∠A+∠B+∠C<180° 这与“三角形的内角和等于 180°”矛盾，所以假设不正确. 因此，∠A,∠B,∠C 中至少有一个角大于或等于 60°. 【归纳结论】先假设命题不成立，然后利用命题的条件或结论，通过推理导出矛盾，从 而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明方法称为反证法. 三、运用新知，深化理解 1.教材 P57 例 1. 2.如图，BC⊥ AC 于点 C，CD⊥AB 于点 D，E 是 AC 延长线上一点，连接 BE，∠EBC=∠A， 求证：BE∥CD 3 证明：∵BC⊥AC(已知) ∴∠ACD+∠BCD=90°(垂直的定义) ∵CD⊥AB (已知) ∴∠A+∠ACD=90°（直角三角形的两锐角和为 90°） ∴∠A=∠BCD（同角的余角相等） 又∵∠EBC=∠A（已知） ∴∠ EBC=∠BCD ∴BE∥CD（内错角相等，两直线平行） 3.已知如图，在△ABC 中，CH 是外角∠ACD 的角平分线，BH 是∠ABC 的角平分线, ∠ A=58°.求∠H 的度数. 解：∵∠A=58°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-58°=122°…①， ∵BH 是∠ABC 的角平分线， ∴∠HBC=12∠ABC， ∵∠ACD 是△ABC 的外角，CH 是外角∠ACD 的角平分线， ∴∠ACH=12（∠A+∠ABC）， ∴∠BCH=∠ACB+∠ACH=∠ACB+ 12（∠A+∠ABC）， ∵∠H+∠HBC+∠ACB+∠ACH=180°， ∴∠H+12∠ABC+∠ACB+12（∠A+∠ABC）=180°，即∠H+（∠ABC+∠ACB）+12∠A=180°… ②， 把①代入②得，∠H+122°+12×58°=180°， ∴∠H=29°. 4.已知：三条直线 a、b、c，其中 a∥b，b∥c，求证：a∥c. 解：假设 a 与 c 不平行，那么就会相交.因为 a∥b， 所以 a，b 永不相交， 同理，b，c 也永不相交， 又因为 a、b、 c 在同一平面内，且互不重合， 所以 a 与 c 不会相交，即假设不成立. 所以 a∥c. 4 5.已知：如图，P 是△ABC 内任一点，求证：∠BPC＞∠A． 证明：如图，延长 BP 交 AC 于 D． ∵∠BPC＞PDC， ∠PDC＞∠A， ∴∠BPC＞∠A． 6.求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 60°. 已知：△ABC，求证：△ABC 中至少有一个内角小于或等于 60°. 证明：假设△ABC 中没有一个内角小于或等于 60°. 则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°， ∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°， 即∠A+∠B+∠C>180°， 这与三角形的内角和为 180°矛盾．假设不成立． ∴△ABC 中至少有一个内角小于或等于 60°. 【教学说明】巩固本节课所学的内容. 四、师生互动，课堂小结 先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 布置作业:教材“习题 2.2”中第 6、7、9 题. 反证法不仅能提高学生的演绎推理能力，而且在后续的学习中有着不可忽视的作用，虽 然在初中教材中所占篇幅很少，但本人认为不应轻视，应让学生掌握其精髓，合理地去运用. 整节课的教学设计适合学生学习，切合教材与新课程要求，教学流程设计清晰流畅，教 学效果良好. 但课堂容量较大，学生预习不够充分，时间不够用，学生没有足够的时间去思考，在一 些环节的处理上存在粗糙的问题，有些问题还没有进行深层次地挖掘，下一节课还需进一步 巩固提高.