数学冀教版八年级上册教案14-3实数（2） 6页

- 1 - 14.3 实数（2） 教学目标 【知识与能力】 1.知道实数与数轴上的点具有一一对应关系. 2.能正确对实数进行分类. 3.能求出实数的绝对值、相反数、倒数. 【过程与方法】 通过在数轴上画出表示π和√2 的点,理解实数和数轴上的点一一对应,体会数形结合的思 想. 【情感态度价值观】 引导学生积极参与教学活动,产生探求新知的欲望,增强学习数学的兴趣. 教学重难点 【教学重点】 实数的分类. 【教学难点】 实数与数轴上的点一一对应. 课前准备 多媒体课件 教学过程 一、新课导入： 导入一: 当数从有理数扩充到实数以后,相反数和绝对值的意义以及运算法则对于实数来说是否还适 用呢? 【课件 1】 【提出问题】 (1)2 的相反数是 ,-2 的相反数是 ,0 的相反数是 ; (2) 3 = , - 3 = ,|0|= ; (3)5 的倒数是 ,- 1 3 的倒数是 . (4)有理数可以用数轴上的点表示吗? [设计意图] 复习巩固有理数的知识,为学习新知识做好准备. 导入二: 【课件 2】 阅读下面的一段对话. 小明说:“有理数和数轴上的点是一一对应的.” 小丽说:“你说得不对,应是实数和数轴上的点是一一对应的.” 同学们,两人到底谁说得对呢?我相信,当你认真学完本节后,答案自然能见分晓. [设计意图] 以两人对话的形式引入本节课题,易提高学生的学习兴趣. 导入三: - 2 - 【课件 3】 1.填空:无限不循环小数叫做 ,有理数和 统称为实数. 2.判断对错:对的画“ ”,错的画“×”. (1) 7 9 是有理数. ( ) (2)- 7 是无理数. ( ) (3) 9 是无理数. ( ) (4)π是无理数. ( ) (5)3.14159265 是无理数. ( ) (6)0. 1 · 3 · 是无理数. ( ) 师:上节课我们学习了什么是实数,那么什么是实数呢?(出示下图) 师:初一的时候,我们学过有理数,有理数包括整数和分数.这学期我们学习了一种新的数,什 么数?无理数.无限不循环小数就是无理数.无理数的出现,使数的范围扩大了.有理数和无理 数合在一起统称为实数. 师:大家还记不记得,初一的时候我们学过不少有关有理数的结论,这些结论当时是针对有理 数说的,现在数的范围扩大到了实数,这些结论还成立吗?我们一起来看一看. [设计意图] 复习无理数与实数的相关知识,从数的扩充和发展了解数的范围的扩大,设置 疑问,确定本节课要研究的内容. 二、新知构建： 活动一:观察与思考——实数与数轴上的点的一一对应关系 思路一 [过渡语] 我们知道任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示,那么无理数是否可以 用数轴上的点来表示呢? 【课件 4】 (教材第 73 页观察与思考) 1.如图所示,将面积分别为2和3的两个正方形放置在数轴上,使得正方形的一个顶点和原点 O 重合,一条边恰好落在数轴正方向上,其另一个顶点分别为数轴上的点 A 和点 B. (1)线段 OA,OB 的长分别是多少? (2)点 A,B 在数轴上对应的数分别是哪两个数? 说明:让学生利用边长是面积的算术平方根,即边长= 面积,求出两个正方形的边长.从而确 定 OA,BO 的长和点 A,B 所对应的数. 通过探究得出:(1)线段 OA,OB 的长分别是 2 , 3 ;(2)点 A,B 在数轴上对应的数分别是 2 , 3 . - 3 - 根据上面的观察我们不难得到 2 , 3 这两个无理数可以用数轴上的点来表示,那么对于圆周 率π是否可以用数轴上的点表示出来呢? 【课件 5】 2.如图所示,设一枚 5 角硬币的直径为 1 个单位长度,将这枚硬币放置在平面内一条数轴上, 使硬币边缘上的一点 P 与原点 O 重合.让这枚硬币沿数轴的正方向无滑动滚动一周,这时点 P 转到数轴上点 P'的位置. (1)线段 OP'的长是多少? (2)在数轴上与点 P'对应的数是哪个数? 根据圆的周长公式得到点 P 运动的距离就是直径为 1 的圆的周长π,所以线段 OP'=π,点 P' 对应的数是π. 因此得到这样的结论,无理数π也可以用数轴上的点表示出来. 师:事实上,每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来,数轴上的点有些表示有理数, 有些表示无理数.因此可以猜想一下,数轴上的点与实数的关系是什么? 生:实数包括有理数和无理数,任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示,任何一个无 理数也都可以用数轴上的一个点来表示.数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数,总之, 数轴上的点表示实数. 师:总结得非常好!当数从有理数扩充到实数以后,实数与数轴上的点就一一对应了,即每一 个实数都可以用数轴上的一个点来表示,反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数. [知识拓展] 每个有理数都可以用数轴上的点来表示,但是数轴上的点并不都表示有理数; 同样地,每个无理数都可以用数轴上的点来表示,但是数轴上的点并不都表示无理数.由此可 以知道,实数和数轴上的点是一一对应的. 思路二 【 课 件 6 】 请 你 在 数 轴 上 表 示 出 -1,0, 4 5 ,4,-1.5. 结论:每个有理数都可以用数轴上的点来表示. 师:我们知道,每个有理数都可以用数轴上的点来表示,那么每个无理数也可以用数轴上的点 来表示吗?答案是肯定的,每个无理数也可以用数轴上的点来表示. 想一想,怎样表示 2 和π这两个无理数呢? 如图所示,将两个边长为 1 的正方形分别沿对角线剪开,得到四个直角边都相等的三角形,即 可拼成一个大正方形. 想一想:大正方形的面积是多少?它的边长是多少?( 2 ) 这就是说,边长是 1 的正方形的对角线长是 2 ,利用这一事实,我们容易在数轴上画出表示 - 4 - 2 的点. 那么如何在数轴上表示圆周率π呢?请你想一想直径是多少的圆,其周长是π. 学生经过讨论得出直径是 1 的圆的周长是π,因此可以利用圆滚动的距离来表示π.(利用多 媒体演示圆运动的过程) 师:每个有理数、每个无理数都可以用数轴上的点来表示,这说明每个实数都可以用数轴上的 点来表示. 师:(指准数轴)数轴是由密密麻麻的点组成的,可以想象,数轴上的每一个点,要么表示的是 有理数,要么表示的是无理数. 于是我们可以得到这样的结论:每一个实数都可以用数轴上的点表示,反过来,数轴上的每一 个点都表示一个实数,也就是实数与数轴上的点一一对应. 我们利用数轴来表示实数,将数和图形联系在一起,这给我们研究数学问题带来了方便,这也 是数学中一个相当重要的思想——数形结合思想. 师:请大家把这个结论读两遍.(生读) 师:读了两遍有什么感觉?可能有同学会说:“这个结论读起来有点像绕口令,怎么感觉上半句 话和下半句话的意思是一样的?”上半句话是,每一个实数都可以用数轴上的点表示,下半句 话是,数轴上的每一个点都表示一个实数.上半句话和下半句话的意思一样吗?不一样.比如 说,我们班每个同学都坐在电影院的一个座位上,反过来,电影院的每一个座位上都坐着我们 班的一个同学.仔细体会,上半句话和下半句话的意思是不一样的. 【课件 7】 判断对错:对的画“ ”,错的画“×”. (1)所有的有理数都可以用数轴上的点表示. ( ) (2)数轴上所有的点都表示有理数. ( ) (3)所有的实数都可以用数轴上的点表示. ( ) (4)数轴上所有的点都表示实数. ( ) [设计意图] 通过数形结合,让学生体会无理数也可以用数轴上的点表示,同时利用类比的 思想,让学生体会知识的迁移过程. 活动二:大家谈谈——实数的计算与分类 [过渡语] 我们已经学习了如何求一个有理数的相反数、绝对值和倒数.现在数扩充到 了实数,怎样求实数的绝对值、相反数和倒数呢? 1.实数的计算 思路一 【课件 8】 参照有理数的有关概念,谈谈实数的下列概念: (1)实数的绝对值. (2)实数的相反数. (3)实数的倒数. 通过学生的交谈,使学生明确在实数范围内,相反数、绝对值、倒数的意义和在有理数范围内 的相反数、绝对值、倒数的意义是一样的. 【课件 9】 (1)2 的相反数是 ,|2|= ,2 的倒数是 ; (2)-π的相反数是 , - π = ,-π的倒数是 ; (3)0 的相反数是 , 0 = . 学生独立完成,并归纳总结出如何求一个实数的相反数,以及如何求一个实数的绝对值和倒 数. (1)当 a 为实数时,a 的相反数为-a; (2)当 a 为正实数时, =a,即正实数的绝对值是它本身; - 5 - (3)当 a 为负实数时, =-a,即负实数的绝对值是它的相反数; (4)当 a 为 0 时, =0,即 0 的绝对值是 0; (5)当 a≠0 时,a 的倒数是 1 . 思路二 师:初一的时候,我们学过相反数和绝对值,谁还记得什么是相反数?什么是绝对值? 生:…… 师:符号不同,绝对值相等的两个数互为相反数.(指准数轴上表示-4 的点)数轴上表示-4 的 点与原点的距离叫做-4 的绝对值,一般地,数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝 对值. 师:初一的时候,相反数和绝对值都是相对有理数说的,现在数的范围扩大了,对实数来说,也 一样有相反数和绝对值.譬如, 3 与- 3 互为相反数(板书: 3 与- 3 互为相反数); 3 的绝对 值等于 3 (板书:| 3 |= 3 ),- 3 的绝对值也等于 3 (板书:|- 3 |= 3 ). 师:关于相反数和绝对值我们有下面的结论. (1)数 a 的相反数是-a. (2)一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;0 的绝对值是 0.用字 母表示: = ( > 0 ), 0 ( = 0 ), - ( < 0 ). 师:请大家把这两个结论读一遍.(生读) 师:这两个结论对有理数来说是成立的,对实数来说也同样成立.其实不仅如此,倒数也是一 样的,实数 a 的倒数是 1 (a≠0). [设计意图] 类比有理数和实数,明确两者之间的区别和联系.让学生明确有理数的一些运 算对于实数同样成立. 2.做一做——体会实数的分类 [过渡语] 有理数、无理数统称为实数,你能把我们学过的数进行一下分类吗? 生 1:实数 有理数 整数 正整数 0 负整数 分数 正分数 负分数 无理数 生 2:实数 有理数 正有理数 0 负有理数 无理数 生 3:无理数也像有理数一样,分为正无理数和负无理数, 2 是正无理数,- 2 是负无理数,因 此我这样分类: - 6 - 实数 有理数 正有理数 0 负有理数 无理数 正无理数 负无理数 点评:强调概念的实际背景,帮助学生进一步理解概念,改变机械记忆概念的学习习惯. [设计意图] 类比有理数的分类方法,让学生总结出实数的分类方法,提高学生的分类归纳 能力. 三、课堂小结： 1.实数和数轴上的点是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的点来表示.反过来,数轴 上的每一个点都表示一个实数. 2.在实数范围内,相反数、倒数、绝对值的意义和在有理数范围内的意义完全一样. 3.实数分类可以从定义上去分,也可以从正负上去分.