第十三章第十三章 一元一次不等式和一元一次不等式组一元一次不等式和一元一次不等式组
第一节第一节 不等式不等式
学习目标学习目标
1.经历从具体问题情景中建立不等式模型
的过程，进一步发展学生的符号感.
2.了解不等式的意义，认识到不等式是表示
同类量之间关系的重要数学模型.
3.体会现实生活中存在着大量的不等关系，
学习不等式的有关知识是生活和工作的
需要.
课前预习方案课前预习方案
自主学习自主学习
1.用等号或不等号填空：
⑴0_____-32；⑵ 3.3_____
10
3 ；
⑶ a2_____0；⑷﹙3-x﹚2_____﹙x-3﹚2．
2.某种零件的长度表明为 L=50±0.3,则此
零件长度 L 的范围是________________.
知识链接知识链接
1.不等号的种类：＞、＜、≥、≤、≠．
2.不等号的读法；例如：“＞”读作大于．
3.不等号的意义：例如：“＞”表明左边的
量大于右边的量.
课堂学习方案课堂学习方案
知识结构知识结构
1.不等式的定义：用不等号连接而成的式子
叫做不等式.
2.列不等式：依据题目中的不等关系列出相
应的不等式的过程叫做列不等式.
3.判断使不等式成立的值的方法：
将数值代入不等式的左、右两边，如果合
不等号所表示的不等关系，则数值就为所
要求的数值；反之，不是.
典型例题典型例题
例 1.在下列表达式中： (1)-2＜0, (2)x-3y
≥1, (3)5a+1=0, (4)7x+3≠y,(5)a2+2ab-b2
是不等式的________________________(只
填序号).
点拨：要看一个表达式是否是不等式，就是
要看式子中是否含有不等号，因此答案是
（1）（2）（4）.
例 2.列不等式：
（1）x 的 3 倍与 x 的
2
1 的差是非正数.
（2）a 的 2 倍与 b 的差不小于 4.
（3）x 与 y 两数的平方和不可能小于 5.
（4）小红家有 3 口人，人均住房面积不足
20 平方米，则她家的住房面积 x 平方
米可表示为.
点拨：不等式反映的是代数式之间的不等关
系，解决这类问题的重点是抓住关键
词，弄清不等关系.
解：（1）3x-
2
1 x≤0；(2)2a-b≥4；
（3）x2+y2≥5； （4）
3
x ＜20.
例 3.用 A、B 两种原料配置成某种饮料，已
知这两种原料的维生素C含量及购买这两种
原料的价格如下表：
A 种原料 A 种原料
维生素 C(单位/千
克) 500 200
原料价格(元/千
克) 7 3
现配制成此饮料 12 千克，至少含有 4000 单
位的维生素 C，试写出所需 A 种原料的质量
x(千克)应满足的不等式为___________；若
购买 A、B 两种原料 D 的费用不超过 70 元，
则 x( 千 克 ) 应 满 足 的 另 一 个 不 等 式 为
____________.
点拨：此题为图表信息的应用题，仔细阅读
图表提供的信息，结合题中的已知条
件即可得到关系式.
解：500x+200(12-x)≥4000,
7x+3(12-x)≤70.
限时课堂训练限时课堂训练
基本练习基本练习
1. 下 列 各 式 (1)a ＋ 3,(2)
x
2 ,(3)5a －
2b=7,(4)m≥0,(5)y≠3,(6)
a5
4 ＜3,属于
不等式的有 （ ）
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
2.当 x 取 2 时，下列不等式成立的是（ ）
A.x＋2＞0 B.x＋2＜0
C.x－2＞0 D.x－5＞0
3.用不等式表示“7 与 m 的 3 倍的和是正数”
就是_________________．
4.如图，天平右盘中的每个砝码的质量都
1g，则物体 A 的质量 mg 的取值范围为
_______．
5.(09.舟山)日常生活中，“老人”是一个模
糊概念，有人想用“老人系数”来表示一
个人的老年程度，其中一个人的“老人系
数”计算方法如下表：
人的年龄
(x)岁
x≤60 60＜x＜80 x≥80
该人的老
人系数
0
20
60x 1
按这样的规定，一个年龄为 70 岁的人，
他的“老人系数”为_____________.
6. 请 你 写 出 一 个 整 数 x, 使 不 等 式
472
1 x 成 立 ， 这 个 数 是
____________.
7.用“＜”号表示-(-3)2, 3)2(,4
23 的
大小关系：_________________________.
8.若a+b＜0,且︱a︱＞︱b︱,a,-a,b,-b的
大小关系是_______________________.
9.若实数 a＞1,则实数 M=a, N=
3
2a ,
P=
3
12 a 的大小关系是__________.
10.某市化工厂现有甲种原料 290 千克、乙
种原料 212 千克，计划利用这两种原料
生产产品共 80 件，生产一件 A 产品需要
甲种原料 5 千克、乙种原料 1.5 千克，
生产一件 B 产品需要甲种原料 2.5 千克、
乙种原料 3.5 千克，若该化工厂现有的
原料能保证生产，试写出满足生产 A 产
品 x 件的关系式.
拓展思维拓展思维
比较下面两列算式结果的大小：
52+42______2×5×4,
(-2)2+(
3
2 )2_________2×(-2)×
3
2 ,
32+32__________2×3×3,….
通过观察，归纳比较
20092+20102_________2×2009×2010,
写出能反映这种规律的一般结论，并证
明你结论的正确性.
第二节第二节 不等式的基本性质不等式的基本性质
学习目标学习目标
1.经历不等式基本性质的探究过程，体会不
等式变形和等式变形的区别和联系．
2.掌握不等式的基本性质．
3.通过对不等式性质的探索，培养大家的钻
研精神，同时加强同学间的合作与交流．
课前预习方案课前预习方案
自主学习自主学习
1.设 a＜b,请用“＞”或“＜”填空.
(1)a+5______b+5, (2)a-3______b-3,
(3)4a_______4b, (4)-5a_______-5b．
2．将下列不等式化为 x＞a 或 x＜a 的形式：
(1)x+2＞3, (2)5y-4≤2．
知识链接知识链接
等式的基本性质：
1.等式两边同时乘同一个数，等式仍成立．
2.等式两边同时除以同一个数（除数不能为
0），等式仍然成立．
课堂学习方案课堂学习方案
知识结构知识结构
1.不等式的三条基本性质：
基本性质 1：如果 a＞b,那么 a＋c＞b＋
c,a－c＞b－c.
基本性质 2：如果 a＞b,并且 c＞0,那么
ac＞bc.
基本性质 3：如果 a＞b,并且 c＜0,那么
ac＜bc.
2.对基本性质的理解：
(1)对于性质 1，须注意的是“c 既可以代
表数，也可以代表整式”．
(2)对于性质 2、3，须注意的是“c 的正
负性”,如果 c 为正数，不等号的方向不
改变；反之，变号.如果 c 为 0 时，不等
式两边都乘 0 时，变为等式；若除以 0，
则无意义.
典型例题典型例题
例 1.用不等号填空：
(1)若 a＜b,则 a-3_________b-3,
(2)若 a＞b,则 2a__________a+b,
(3)若 a＜b,则-1+5a________-1+5b,
(4)若 a≥b,则
3
a _________
3
b ,
(5)若 a＞b,则-ac2__________-bc2.
点拨：解此类题的关键是先观察不等号的
左、右两边是由原不等式进行了怎样
的变形得到的，然后依据不等式的三
条基本性质决定不等号是否要变向.
注意 c 可能为 0 的情形.
答案：(1)＜ (2)＞ (3)＜
(4)≤ (5)≤
例 2.依据不等式的基本性质，把下列不等式
化为 x＞a 或 x＜a 的形式：
(1)-3x+1≤2x, (2)2(y+3)≥10．
点拨：在不等式变形的过程中，要严格按照
不等式的基本性质进行变形，应先观
察不等式的特点，再根据其特点选用
相应的不等式的基本性质进行变形.
解：（1）-3x+1≤2x
-3x+1-1≤2x-1(不等式基本性质 1)
-3x≤2x-1
-3x-2x≤2x-1-2x(不等式基本性质 1)
-5x≤-1
5
5
x ≥
5
1
(不等式基本性质 3)
x≥
5
1
(2) 2(y+3)≥10
2(y+3)÷2≥10÷2(不等式基本性质 2)
y+3≥5
y+3-3≥5-3(不等式基本性质 1)
y≥2
例 3.小明与小刚讨论一个关于不等式的问
题，小明说：当每个梨的大小一样时，5 个
梨的质量大于 4 个梨的质量，设每个梨的质
量为 x，则有 5x＞4x, 小刚说：这肯定正确.
小明又说：那如果 a 为有理数，则 5a 一定
大于 4a,这对吗？小刚说：这与 5x＞4x 不是
一回事吗？自然对.请问：小刚说的对吗？
试说明理由.
点拨：要判断 5a 与 4a 的大小关系，与前面
5x＞4x 是不同的，因为题中很明确 x＞0,而
a 的取值情况不能确定，因此必须分情况讨
论.
解：小刚回答不正确，5a 不一定大于 4a，
因为 a 的取值不确定，应分三种情况讨论.
当 a＞0 时，由不等式基本性质 2，得 5a＞
4a；当 a＜0 时，由不等式基本性质 3，得
5a＜4a；当 a=0 时，5a=4a=0.
限时课堂训练限时课堂训练
基本练习基本练习
1.若 m＜n，比较下列各式的大小：
(1)m-3__________n-3；
(2)-5m__________-5n；
(3)
3__________3
nm ；
(4)3-m__________2-n；
(5)0____________m-n；
(6) 3 2
4
m _____ 3 2
4
n .
2.x ＜ y 得 到 ax ＞ ay 的 条 件 应 是
__________.
3. 满 足 － 2x ＞ － 12 的 非 负 整 数 有
________________________.
4.如果 m＜n＜0,那么下列结论中错误（ ）
A．m－9＜n－9 B．－m＞－n
C． 1 1
n m
D． 1m
n
5．若 a－b＜0，则下列各式中一定正确（ ）
A．a＞b B．ab＞0
C． 0a
b
D．－a＞－b
6.已知有理数 a、b、c 在数轴上的位置如
图所示，则下列式子正确的是 （ ）
a0bc
A．cb＞ab B．ac＞ab
C．cb＜ab D．c＋b＞a＋b
7.2a 与 3a 的大小关系 （ ）
A．2a＜3a B．2a＞3a
C．2a＝3a D．不能确定
8.a 为有理数，下列给出的结论正确的是
A.a2＞0 ( )
B.若 a＜0,则 a2＞0
C.若 a＜1,则 a2＜1
D.若 a＞0,则 a2＞a
9.已知 x≥4,化简： xx 2632
拓展思维拓展思维
⑴ 2＞1＞0，4＞3＞0，2×4____3×1；
⑵8＞
4
5 ＞0,3＞
3
7 ＞0,8×3____
3
7
4
5 ；
你从中发现的数学规律是什么？请试举
几例验证一下.
第三节第三节 一元一次不等式一元一次不等式
第一课时第一课时 一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法
学习目标学习目标
1.使学生正确理解不等式的解，不等式的解
集，解不等式的概念，掌握在数轴上表示
不等式的解的集合的方法．
2.会解简单的一元一次不等式，并能和解一
元一次方程的过程进行类比，发现异同．
3.培养学生观察、分析、比较的能力，并初
步掌握对比的思想方法.
课前预习方案课前预习方案
自主学习自主学习
1.下列说法正确的是 ( )
A.不等式 x＜5 的整数解有无数多个
B.不等式 x＜5 的正整数解有无数多个
C.不等式-2x＞8 的解集为 x＞-4
D.-40 是不等式 2x＜8 的一个解．
2.下列不等式是一元一次不等式的是( )
A.x(2-x)≥1 B. 63
2
x
x
C.2x-5y+2＜0 D.3(1-y)>4y+2
3.解下列不等式：
(1)x-2＜5 (2)2x≥x+6．
知识链接知识链接
一元一次方程的解法：去分母、去括号、移
项、合并同类项、系数化为 1.
课堂学习方案课堂学习方案
知识结构知识结构
1.明确几个基本概念：
(1)不等式的解：
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等
式的解．
判断某个未知数是不是不等式的解，可以
直接将其代入到不等式中，然后看不等式
是否成立，如果成立则是不等式的解；反
之，则不是不等式的解．
(2) 不等式的解集：
一个含有未知数的不等式的所有解，组成
这个不等式的解的集合.简称为这个不等
式的解集．
不等式一般有无限多个解．
(3) 解不等式
求不等式的解集的过程，叫做解不等式.
2.解集在数轴上的表示方法：
理解“两定”：一是定边界点，二是定方
向；
口诀记忆：大于向右，小于向左，有等号
的画实心，无等号的画圆圈.
3.一元一次不等式的概念:
只含有一个未知数，未知数的最高次数是
一次，这样的不等式叫一元一次不等式.
典型例题典型例题
例 1.下列不等式是一元一次不等式吗？
（1）2x－2.5≥15；（2）5x+3y＞240；
（3）x＜－4；（4）
x
1 ＞1.(5)x2-2x-1≤0；
(6)2(1-y)+y＞4y+2．
思路分析：要判断一个不等式是否是一元一
次不等式，不能只看形式，要看化简以后的
结果，而且含有未知数的式子都是整式.答
案是(1)(3) (6).
例 2.解不等式 3－x＜2x+6，并把它的解集
表示在数轴上.
点拨：类比解一元一次方程的过程，运用不
等式的基本性质解次不等式.
解：两边都加上 x，得
3－x+x＜2x+6+x
合并同类项，得 3＜3x+6
两边都加上－6,得 3－6＜3x+6－6
合并同类项，得－3＜3x
两边都除以 3，得－1＜x
即 x＞－1.
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
例 3.解不等式(k+2)x＞5.
点拨：当未知数的系数不确定正、负时，
需对其进行讨论.
解：若 k+2＞0,则 x 2
5
k
,
若 k+2＜0,则 x 2
5
k
,
若 k+2=0,则不论 x 为何值时，
(k+2)x＞5 都不成立.
限时课堂训练限时课堂训练
基本练习基本练习
1.不等式 x+4≥6 的解集是 ( )
A.x=2 B.x≥2 C.x≤2 D.无解
2.下列四个结论：（1）4 是不等式 x+3＞6
的解；（2）3 是不等式 x+2＞5 的解；（3）
不等式 x+1＜2 的解有无数多个；（4）不
等式 x+1＜4 的的解集是 x＜2；（5）不等
式 x+2＞1 的解集是 x＞-1,其中正确的个
数是 ( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
3.下列不等式中不是一元一次不等式的是
A.-x+1≥5 B.2x+3y＜0
C. 24
33 xx D.4x＜5 ( )
4.已知 a<0,则关于 x 的不等式 ax<5 的解为
________;5x
2(x+1)
1 3x-1 3- x2 2
≤
的解集在数
轴上表示正确的是( ).
A.
B.
C.
D.
思路分析：考查学生用数轴表示不等式
的解集及不等式组的解集的求法.
分析:分别求出每个不等式的解集.
解不等式 x 1 2(x 1),得 x<-3;
解不等式 1 3x 1 3 x2 2≤ ,得 x≤
2.
原不等式的解集为 x<-3. 选 C.
例 3.解不等式组
2(x 1) 4 x
3(x 1) 5x 7
≤ ①
②
并把它的解集在数轴上表示出来.
分析：先分别求出不等式组中各个不等式的
解集,然后再确定它们的公共部分.
解：解不等式①,得 x≤2
-4 –3 –2 –1 0 1 2 3
-4 –3 –2 –1 0 1 2 3
-4 –3 –2 –1 0 1 2 3
解不等式②,得,x＞-2
∴原不等式组的解集是：-2＜x≤2
在数轴上表示如下图：
总结：由两个一元一次不等式组成的一元一
次不等式组的解集的四种情况如下表．
不等式组
（其中 aa.那么
a____3（填“>”“<”“≤”或“≥”
知识链接知识链接
1.一元一次不等式组的解法.
2.与绝对值有关的整数解等问题.如：绝对
值不大于 3 的负整数有 .
课堂学习方案课堂学习方案
1.区分不等式的解和解集： x 3 是 2x 8
的解,不等式 2x 8 的解集是 x 4 .
2.已知不等式的解集确定某一字母的取值
范围时,一定要将字母所在位置进行分段
讨论.
典型例题：典型例题：
例 1.求不等式组
4x 5 3(x 1)①
1 x 2 ≤ 4 x②2
的整
数解.
提示：先利用解一元一次不等式组的步骤,
求出不等式组的解集,再从解集中找出整数
解.
说明：求满足一定条件的一元一次不等
式组的特殊解,应先求出不等式组的解,再
从中找出满足条件的特殊解.
例 2
解不等式 1＜2－3x≤5
提示： 解该不等式既可按不等式的性
质、变形、求解,也可以将原不等式化成不
等式组
1 2 3x
2 3x 5≤
求解
限时课堂训练限时课堂训练
基本练习基本练习
1.不等式组
x 2
x m 无解,则（ ）
A. m 2 B. m 2≥ C. m 2 D. m 2≤
解法⑴ 1＜2－3x≤5
－1＜－3x≤3
1
3
＞x≥－1
∴不等式的解集是－1≤x＜ 1
3
解法⑵ 原不等式可化为1 2 3x①
2 3x 5②
≤
解不等式①,得 x＜ 1
3
解不等式②,得 x≥－1
∴不等式组的解集为－1≤x＜ 1
3
知识结构知识结构
解：解不等式①,得 4x－5＞3x-3
x＞2
解不等式②,得 x－4≤8－2x
X≤4
在数轴上表示不等式①,②得解集
∴不等式组的解集为 2＜x≤4
∴不等式组的整数解为 3,4
–1 0 1 2 3 4
2.不等式组
5x 4 3x 1
1 2x x3 3≤
的整数解的和
是（ ）
A. － 2 B. －
1 C.0 D.1
3.不等式组
2x 3 0
3x 5 0 的整数解的个数
是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.若不等式组 x 3
x m≤
无解,则 ( )
A. m 3 B.m≥3 C. m 3 D.m≤3
5.若方程组
x 2y 1 m
2x y 3 中,若未知数 x、
y 满 足 x+y>0, 则 m 的 取 值 范 围 是
( )
A.m＞-4 B.m≥-4 C.m＜-4 D.m≤-4
6.求不等式组
2(x 6) 3 x
2x 1 5x 1 13 5 ≤ 的正
整数解.
拓展思维拓展思维
1.若不等式组
2x 3 1
1x (x 3)2
的整数解是关
于 x 的方程 2x – 4= ax 的根,求 a 的值.
2.已知方程组
y 2x m
2y 3x m 1 的解 x,y 满
足 2x+y≥0,求 m 的取值范围.
第三课时第三课时 一元一次不等式组应用一元一次不等式组应用
学习目标学习目标
1.根据实际问题列出一元一次不等式组解
决简单的实际问题．
2.提高分析问题,解决问题的能力．
3.渗透“数学建模”思想,最优化理论．
课前预习方案课前预习方案
自主学习自主学习
1.长度分别为 3cm,7cm,xcm的三根木棒
围成一个三角形,则 x的取值范围是
_______．
2.（2008,苏州）2008 年 6 月 1 日起,某超市
开始有偿提供可重复使用的三种环保购
物袋,每只售价分别为 1 元,2 元和 3 元,
这三种环保购物袋每只最多分别能装大
米 3kg,5kg 和 8kg．6 月 7 日,小星和爸
爸在该超市选购了 3 只环保购物袋用来
装刚买的 20kg 散装大米,他们选购的 3
只环保购物袋至少应付给超市_______
元．
知识链接知识链接
1.类比二元一次方程组应用题的解题方法
思考一元一次不等式组应用题的解题方
法.
2.列一元一次不等式组解决实际问题是中
考要考查的一个重要内容,在列不等式解
决实际问题时,应掌握以下三个步骤：
①找出实际问题中的所有不等关系或相等
关系（有时要通过不等式与方程综合来解
决）,设出未知数,列出不等式组（或不等
式与方程的混合组）；②解不等式组；③从
不等式组（或不等式与方程的混合组）的
解集中求出符合题意的答案．
课堂学习方案课堂学习方案
知识结构知识结构
1.同类量之间的不等关系,可以用数学中的
不等式来表示,要把实际问题中的不等关
系抽象为不等式,需把握以下两点：
①明确问题中常用的表示不等关系词语的
意义.如“大于”“超过”“还多”“高于”
等抽象为“＞”,“小于”“不足”“还少”
“低于”等抽象为“＜”,而“不大于”“最
多”对应“≤”,“不小于”“至少”对应
“≥”.
②隐含不等关系在具体情境中,如买东西,
花去的钱应不超过原有的钱；汽车运货物
质量应不超过汽车规定的载重量；“用”
和“运”的区分等等.
2.注意“空”与“非空”、“满”与“不满”
对应的不等关系.
典型例题：典型例题：
例 1.某校安排寄宿时,如果每间宿舍住 7 人,
那么有1间虽有人住,但没住满.如果每
间宿舍住 4 人,那么有 100 名学生住不
下.问该校有多少寄宿生？有多少间宿
舍？
分析：①学生找到本题中的两个不等关
系即不满也不空.②学生人数,宿舍间数都
为整数.
解：设有 x 间宿舍,则有学生(4x+100)
人,根据题意,得
4x 100 7(x 1)
4x 100 7x
这个不等式组的解集是
1 233 x 353 3
∵宿舍和学生人数都为整数
∴x=34 或 x=35 .
当 x=34 时,4x+100=236
当 x=35 时,4x+100=240
答：该校有寄宿生 236 人,宿舍 34 间；
或者有寄宿生 240 人,宿舍 35 间.
总结：列一元一次不等式组解决实际问
题的一般步骤：
（1）审题；
（2）找不等量关系列不等式；
（3）根据不等关系列不等式组；
（4）解不等式组；
（5）检验并作答.
例 2.已知利民服装厂现有 A 种布料 70
米,B 种布料 52 米,现计划用这两种布料生
产 M,N 两种型号的时装共 80 套,已知做一套
M 型号时装需 A 种布料 0.6 米,B 种布料 0.9
米,做一套N型号时装需用A种布料1.1米,B
种布料 0.4 米,若设生产 N 型号的时装套数
为 x,用这批布料生产这两种型号的时装有
几种方案？
分析：本题中“用”对应的不等关系为“≤”
解：生产 N 型号的时装套数为 x 时,则生产 M
型号的时装套数为（80－x）,根据题意,得
0.6(80 x) 1.1x 70
0.9(80 x) 0.4x 52
≤
≤
解不等式组,得
40≤x≤44
因 为 x 是 整 数 , 所 以 x 的 取 值 为
40,41,42,43,44.
因此,生产方案有五种.
（1）生产 M 型 40 套,N 型 40 套；
（2）生产 M 型 39 套,N 型 41 套；
（3）生产 M 型 38 套,N 型 42 套；
（4）生产 M 型 37 套,N 型 43 套；
（5）生产 M 型 36 套,N 型 44 套.
例 3. 火车站有某公司待运的甲种货
物 1530 吨,乙种货物 1150 吨,现计划用 50
节 A、B 两种型号的车厢将这批货物运至北
京,已知每节 A 型货厢的运费是 0.5 万元,每
节 B 节货厢的运费是 0.8 万元；甲种货物 35
吨和乙种货物 15 吨可装满一节 A 型货厢,甲
种货物 25 吨和乙种货物 35 吨可装满一节 B
型货厢,按此要求安排A、B两种货厢的节数,
共有哪几种方案？请你设计出来；并说明哪
种方案的运费最少？
分析：本题中“运”对应的不等关系为“≥”
解：设 A 型货厢用 x 节,则 B 型货厢用（50
－x）节,根据题意,得
35x 25(50 x) 1530
15x 35(50 x) 1150
≥
≥
解不等式组,得
28≤x≤30
因为 x 为整数,所以 x 取 28,29,30.
因此运送方案有三种.
（1）A 型货厢 28 节,B 型货厢 22 节；
（2）A 型货厢 29 节,B 型货厢 21 节；
（3）A 型货厢 30 节,B 型货厢 20 节；
设运费为 y 万元,则
y=0.5x+0.8（50－x）=40－0.3x
当 x=28 时,y=31.6
当 x=29 时,y=31.3
当 x=30 时,y=31
∴选第三种方案,即 A 型货厢 30 节,B
型货厢 20 节时运费最省.
限时课堂训练限时课堂训练
基本练习基本练习
1.一堆玩具分给若干个小朋友,若每人分 2
件,则剩余 3 件；若前面每人分 3 件,则最
后一个人得到的玩具数不足 2 件.求小朋
友的人数与玩具数.
2.某工厂现有甲种原料 360 千克,乙种原料
290 千克,计划利用这两种原料生产 A、B
两种产品共 50 件,已知生产一件 A 种产品
用甲种原料 9 千克,乙种原料 3 千克,可获
利 700 元；生产一件 B 种产品用甲种原料
4 千克,乙种原料 10 千克,可获利 1200 元.
⑴ 按要求安排 A、B 两种产品的生产件数,
有哪几种方案？请你设计出来；
⑵ 设生产 A、B 两种产品总利润为 y 元,其
中甲种产品生产件数为 x 件,试用含 x
的代数式表示 y ,求那种方案获利最
大？最大利润是多少？
拓展思维拓展思维
1.仔细观察图,认真阅读对话：
根据对话内容,试求出饼干和牛奶的标
价各是多少元？
2.（2004,湖北省）如图所示,一筐橘子分给
若干个儿童,如果每人分 4 个,则剩下 9
个；如果每人分 6 个,则最后一个儿童分
得的橘子数少于3个,问共有几个儿童,
分了多少个橘子？
3.(2007 湖南怀化）2007 年我市某县筹备 20
周年县庆,园林部门决定利用现有的
3490 盆甲种花卉和 2950 盆乙种花卉搭
配 A、B 两种园艺造型共 50 个摆放在迎
宾大道两侧，已知搭配一个 A 种造型需
甲种花卉 80 盆，乙种花卉 40 盆，搭配
一个 B 种造型需甲种花卉 50 盆，乙种花
卉 90 盆．
⑴某校九年级⑴班课外活动小组承接了这
个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意
的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．
⑵若搭配一个 A 种造型的成本是 800 元，搭
配一个 B 种造型的成本是 960 元，试说明
⑴中哪种方案成本最低？最低成本是多
少元？
第十四章第十四章 分式分式
第一节第一节 分式分式
第一课时第一课时 分式的概念及分式的基本性质分式的概念及分式的基本性质
学习目标学习目标
1.使学生理解分式的意义,会求使分式有意
义的条件.
2.通过类比思想掌握分式的基本性质.
3.能用分式的基本性质将分式变形.
课前预习方案课前预习方案
自主学习自主学习
1.代数式
2 21 4x x y1 x , ,
5 3 2 ,
21 5x,
x x y
中,分式共有（ ）个.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2.对于分式 A
B ,分式无意义的条件是 ,分
式有意义的条件是 ,分式的值为零
的条件是 .
3.分式的基本性质是 .
知识链接知识链接
1.代数式 1
a , b
a , m
v ,
x
x 12 ,
x y
x y
有何共同特征？
2.分数 2
4 , 4
8 , 1
2
相等吗？
课堂学习方案课堂学习方案
知识结构知识结构
1.分式定义、分式有无意义的条件.
2.分式的基本性质,用式子表示是：
A A M A A M,B B M B B M
（其中 M 是不等于零的整式）
典型例题典型例题
例 1．当 x 是什么数时,分式
x 2
2x 5
①值是
零?②有意义?③无意义？
解：①由分子 x+2=0,得 x=-2.而当 x=-2 时,
分母 2x-5=-4-5≠0,所以当 x=-2 时,分
式
x 2
2x 5
的值是零.
②∵2x-5≠0
∴x≠ 5
2
∴当 x≠ 5
2
时,分式
x 2
2x 5
有意义.
③∵2x-5=0
∴x= 5
2
∴当 x= 5
2
时,分式
x 2
2x 5
无意义.
例 2.填空：
⑴ 2
a b
ab a b
⑵
2
2
x xy x y
x
.
解：⑴∵a≠0
∴
2
2
a b aa b a ab
ab ab a a b
即填 a2+ab.
⑵∵x≠0
∴
22
2 2
x xy xx xy x y
xx x x
,
即填 x.
总结：仔细观察分母（分子）的变化
利用分式的基本性质来解题.
例 3.不改变分式的值,把下列各式的分子与
分母中各项的系数都化为整数.
⑴
1 2x y2 3
1 2x y2 3
； ⑵
0.3a 0.5b
0.2a b
.
解：⑴
1 21 2 x y 6x y 2 3 3x 4y2 3
1 2 3x 4y1 2x y x y 62 3 2 3
.
⑵
0.3a 0.5b 100.3a 0.5b 3a 5b
0.2a b 2a 10b0.2a b 10
限时课堂训练限时课堂训练
基本练习基本练习
11.下列各式中,是分式的是( )
A.2x B. 1
3
x2 C. 1
2
D. x
x 1
2.(2006 年宁波)使式子
1
x 1
有意义的 x
的取值范围为（ ）
A.x＞0 B.x≠1 C.x≠－1 D.x≠±1
3.(2006 年湖州）下列各式从左到右的变形
正确的是（ ）
A.
1x y 2x y2
1 x 2yx y2
B.
0.2a b 2a b
a 0.2b a 2b
C.
x 1 x 1
x y x y
D.
a b a b
a b a b
4.4.使式子
x 1
x 1
的值为零的 x 的取值范围为
（ ）
A.x=0 B.x=1 C.x=－1 D.x=±1
5.如果把分式
x 2y
x y 中的 x 和 y 都扩大 10
倍,那么分式的值（ ）
A.扩大 10 倍 B.缩小 10 倍
C.是原来的 2
3 D.不变
拓展思维拓展思维
对于分式
x 2b
2x a
,当 x=1 时,分式无意义；当
x=4 时,分式
x 2b
2x a
的值为 0,求 a+b 的值.
第二课时第二课时 分式的约分分式的约分
学习目标学习目标
1.掌握分式约分方法,熟练进行约分,并了
解最简分式的意义.
2.能通过回忆分数的约分,类比地探索分式
的约分,渗透数学中的类比数学思想.
课前预习方案课前预习方案
自主学习自主学习
1.把下列分数化为最简分数： 8
12
=_____；
125
45
=______； 26
13
=______．
2.类比分数的约分,我们利用分式的基本性
质,约去
28a
12a 的分子分母中的公因式 a 不
改变分式的值,这样的分式变形叫做分式
的_____,其中约去的 a 叫做________,同
理 分 式
2125 a b
45 a b
中 的 公 因 式 是
__________, 因 此 约 分 的 步 骤 为 ：
________________.
3.若分子分母都是单项式时,如何找公因
式？当分子分母都是多项式时,又如何
找公因式？
知识链接知识链接
1.什么叫公因式?
2.因式分解.
课堂学习方案课堂学习方案
知识结构知识结构
1.约分：把分式中分子、分母的公因式约去,
叫做分式的约分.
2.分式的约分运算,用到的知识:(1)因式分
解;(2)分式基本性质;(3)分式中符号变
换规律;约分的结果是,一般要求分、分母
不含“－”.
典型例题典型例题
例 1.找出下列分式中分子分母的公因式
⑴ 8bc
12ac
⑵
3 3
2
3a b c
12ac
⑶
2
x y y
xy
⑷
2
2
x xy
x y
⑸
2 2
2
x y
x y
解:⑴4c ⑵3ac ⑶y ⑷x+y ⑸x-y
例 2.在化简分式 2
5xy
20x y
时,小颖和小明的
做法出现了分歧：
小颖： 2 2
5xy 5x
20x y 20x
小明： 2
5xy 5xy 1
4x 5xy 4x20x y
你对他们俩的解法有何看法？说说看！
解:小颖没有彻底约分,小明的做法对.
小结:一般约分要彻底, 使分子、分母
没有公因式,彻底约分后的分式叫最简分
式.
例 3.约分
(1)
(x y)(x y)
a(x y)
解：
(x y)(x y)
a(x y)
= x y
a
(2)
2
2
4m m
m 8m 16
解：
2
2
4m m
m 8m 16
=
2
m(4 m)
(4 m)
=
m
4 m
小结:约分的方法:若分子和分母都是
多项式,则往往需要先把分子、分母分解因
式（即化成乘积的形式）,然后才能进行约
分.约分后,分子与分母不再有公因式,我们
把这样的分式称为最简分式.
限时课堂训练限时课堂训练
基本练习基本练习
1.下列各式中,正确的是（ ）
A.
a m a
b m b
B.
a b
a b
=0
C.
ab 1 b 1
ac 1 c 1
D． 2 2
x y 1
x yx y
2.下列约分正确的是（ ）
A.
x y 1x y B.
2x y 02x y
C.
x a a
x b b
D. 3m 3 3m 1
3.化简
2
2
m 3m
9 m
的结果是（ ）.
A.
m
m 3
B.
m
m 3
C.
m
m 3
D.
m
3 m
4.约分：⑴
2
2
2ax y
3axy
⑵
2a(a b)
3b(a b)
⑶
2
3
(a x)
(x a)
⑷
2x 4
xy 2y
⑸
2
2
x 6x 9
x 9
⑹
3 2
2
m 2m m
m m
拓展思维拓展思维
如果∣a2-6a+9∣＋(a-b-1)2=0,求
2 2
2 2
a 2ab b
a b
的值.
第二节第二节 分式的乘除分式的乘除
第一课时第一课时 分式的乘法分式的乘法
学习目标学习目标
1.经历探索分式的乘法运算法则的过程,并
能结合具体情境说明其合理性.
2.会进行简单分式的乘法运算,具有一定的
代数化归能力,能解决一些实际问题.
课前预习方案课前预习方案
自主学习自主学习
1. a
b
· b
c =
2.
m 1 n
mn m 1× =
知识链接知识链接
1.分数相乘：
2 4 2 4
3 5 3 5
2.类比分数相乘猜测分式相乘：
2 2
3
a 2b
3ab
· =
2 2
3
a 2b
b 3a
·
· = 2a
3b （记住要约分）
课堂学习方案课堂学习方案
知识结构知识结构
两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分
子,把分母相乘的积作为积的分母.
公式表示： a c ac
b d bd·
典型例题典型例题
例.计算
⑴
6 3 4 5
3 6 4
a b b c
c a b
⑵
2
2
x (x 1)
x x
⑶
2 2
2
1 2a a a 2a
a 2 a 1
·
分析：分式与分式相乘,若能分解因式
的先分解因式,再约分,最后相乘,运算过程
比较简单.
解:⑴
6 3 4 5
3 6 4
a b b c
c a b
·
=－
6 7 6
6 4 3
a b c
a b c
= 3 3b c
⑵
2
x (x 1)
x x
x
x(x 1)·(x - 1)
=1
(3)
2 2
2
1 2a a a 2a
a 2 a 1
·
=
2(a 1) a(a 2)
a 2 (a 1)(a 1)·
=
a(a 1)
(a 1)
=
2a a
a 1
总结：分子或分母是多项式的分式乘法
的解题步骤是：
⑴将原分式中含同一字母的各多项式按降
幂(或升幂)排列；在相乘过程中遇到整式
则视其为分母为 1,分子为这个整式的分
式.
⑵把各分式中分子或分母里的多项式分解
因式.
⑶应用分式乘法法则进行运算得到积的分
式.
⑷应用分式约分法则使积化成最简分式或
整式．
限时课堂训练限时课堂训练
基本练习基本练习
1.计算⑴ 2 2
a b( )
b a
· = .
⑵ 2
2 2
6x 25y 1 x25y 3x
· · = .
2.化简：
2
2
x (x 9)
x 3x
= .
3.3.
3
22a b
3c = .
4.计算：⑴
2 3
2
3x8x y
4y
·
⑵
2
2
a 4 a
a a 4a 4
·
拓展思维拓展思维
如果 a2-6a+9＋(a-b-1)2=0,求
2 2 2
2 2
a 2ab b a ab
a ba b
· 的值.
第二课时第二课时 分式的除法分式的除法
学习目标学习目标
1.经历探索分式的除法运算法则的过程,并
能结合具体情境说明其合理性.
2.会进行简单分式的除运算,具有一定的代
数化归能力,能解决一些实际问题.
课前预习方案课前预习方案
自主学习自主学习
1.分式的乘除法是同一级运算应按照 的
顺序依次进行,有括号的要 .
2.计算
a 1 a 1
b 1 b 1÷ = .
知识链接知识链接
1.分数的除法:
4 3 4 25 20
5 25 5 3 3
4 3 4 49 28
7 49 7 3 3
2.类比分数的除法,你会计算 2
4 3
x x
吗？
课堂学习方案课堂学习方案
知识结构知识结构
分式除以分式,将除式的分子和分母颠倒位
置后,再与被除式相乘.
A C A D AD
B D B C BC
典型例题典型例题
例.计算：
⑴
25m 10m
n 3n
⑵ 2
x 1 x 1
x 2x 4x 4
⑶
2 2
2 2 2 2
2a b 4a b
a 2ab b ab a b
解：⑴
25m 10m
n 3n
2
5m 3n
n 10m
3
2m
⑵ 2
x 1 x 1
x 2x 4x 4
2
x 1 x 1
x 2x 2
2
x 1 x 2
x 1x 2
1
x 2
⑶
2 2
2 2 2 2
2a b 4a b
a 2ab b ab a b
2
ab b a2a b
2a b 2a ba b
ab
a b 2a b
总结：分子或分母是多项式的分式除法
的解题步骤是：
⑴将原分式中含同一字母的各多项式按降
幂(或升幂)排列；在相除过程中遇到整式
则视其为分母为 1,分子为这个整式的分
式.
⑵把各分式中分子或分母里的多项式分解
因式.
⑶应用分式除法法则进行运算得到积的分
式.
⑷应用分式约分法则使积化成最简分式或
整式.
限时课堂训练限时课堂训练
基本练习基本练习
计算：1.
2
2
x 1 x 1
y y
2.
2 a(a a) a 1
3.
2
2 2
a 1 a 1
a 4a 4 a 4
拓展思维拓展思维
在解题目:当 m=2010 时,求代数式
2
2
3 m m 9 2m 6
2m 4 mm 2m
· 的值,小明认为 m
任取一个使原式有意义的值带入都有相同
结果.你认为对吗?
第三节第三节 分式的加减分式的加减
第一课时第一课时 同分母分式的加减同分母分式的加减
学习目标学习目标
1.会进行同分母分式的加减运算,并能类比
分数的加减运算,得出同分母分式的加减
法的运算法则.
2.会将互为相反数的分母化为同分母,发展
符号感.
课前预习方案课前预习方案
自主学习自主学习
1. 1 3
2 2
.
2.你认为 1 2
a a
应等于什么？
3.猜一猜,同分母的分式应该如何加减？
(让学生相互交流,引导学生通过与分数
类比,大胆猜想同分母分式的加减运算法
则.并让学生说明其合理性.培养学生的
探索能力.）
知识链接知识链接
1.同分母的分数如何加减？
2. 1 2 4
a a a
= .
课堂学习方案课堂学习方案
知识结构知识结构
同分母的分式加减法的法则:
同分母的分式相加减,分母不变,把分
子相加减.
用式子表示：
a
c
± b
c
= a b
c
（其中 a、b 既可以是数,
也可以是整式,c 是含有字母的非零的整式）.
典型例题典型例题
例.1．
2y 4
y 2 2 y
2.
2 2 2 2 2 2
x 3y x 2y 2y 3x
x y x y x y
解:1．
2y 4
y 2 2 y
=
2y 4
y 2 y 2
=
2y 4
y 2
=
(y 2)(y 2)
y 2
= y 2
2.
2 2 2 2 2 2
x 3y x 2y 2y 3x
x y x y x y
=
2 2
x 3y (x 2y) (2y 3x)
x y
=
2 2
x 3y x 2y 2y 3x
x y
=
2 2
3y 3x
x y
=
3(y x)
(x y)(x y)
=
3
x y
总结:
1.互为相反数的分母化为同分母时应提负
号.
2.分数线的两个作用⑴除号⑵括号.
3.注意约分时的符号问题.
限时课堂训练限时课堂训练
基本练习基本练习
1.填空
⑴. 2x 1 2x 1
x x
= .
⑵.
x y
x y x y = .
⑶. 1 5 2
mn mn mn
= .
⑷.
2 2
a b
(a b) (b a)
= .
⑸.
a b
a b b a
= .
⑹.
2 2 2x 2y y
x y x y y x = .
2.计算
⑴.
2a b a 4b a b
a 2b a 2b a 2b
⑵.
2x 5 x 4 x
x 3 3 x 3 x
⑶.
2 2 2 2
2 2 2
x y y 2xy y
x xy x xy x xy
拓展思维拓展思维
计算
2
2
2 2 2
x 2xy(y x)
x y x xy
·
（其中 x=－2,y=－3）
第二课时第二课时 异分母分式的加减异分母分式的加减
学习目标学习目标
1.会进行异分母分式的加减运算,并能类比
分数的加减运算,得出异分母分式的加减
法的运算法则.
2.分式的通分.
3.经历异分母分式的加减运算和通分的过
程,训练学生的分式运算能力,培养教学
学习中转化未知问题为已知问题的能力.
4.进一步通过实例发展学生的符号感.
课前预习方案课前预习方案
自主学习自主学习
1. 1 2 1
2 3 4
= .
2.你认为异分母的分式应该如何加减？比
如 3 1
a 4a
= .
(鼓励学生在同分母分式加减的基础上,
思考异分母分式的加减.)
知识链接知识链接
异分母的分数如何加减.
课堂学习方案课堂学习方案
知识结构知识结构
1.把几个异分母的分式分别化成与原来的
分式相等的同分母的分式,叫做分式的通
分.
2.异分母的分式加减法的法则:
异分母的分式相加减,先通分,化为同分
母的分式,然后再按同分母分式的加减法
法则进行计算.
典型例题典型例题
例 1 通分：
⑴
2 2 2
4a 3c 5b, ,
5b c 10a c 2ac
解： ∵最简公分母是 10a2b2c2,
⑵
2
1 x,4 2xx 4
∵x2-4＝(x+2)(x-2)
4-2x＝-2(x-2)
∴最简公分母为 2(x+2)(x-2)
2
1 2
2(x 2)(x 2)x 4x x x(x 2)
4 2x 2(x 2) 2(x 2)(x 2)
总结:1.通分的依据:分式的基本性质.
2.通分的关键:确定几个分式的公分
母.公分母不唯一,通常取各分母的所
有因式的最高次幂的积作公分母,这
样的公分母叫做最简公分母,当分母
是多项式时,应先分解因式.
限时课堂训练限时课堂训练
基本练习基本练习
1.1. 填空
⑴⑴ 2
4 1
aa
.⑵ 1 1
a b .
⑶ a b b c
ab bc
.
⑷ 2
1 2
a 1 1 a
= .
⑸一条小船顺流航行50km后,又立即返回原
地.如果船在静水中的速度为 akm/h 水流
速度为 8km/h,那么顺流航行比逆流航行
少用 小时.
2.计算
⑴ 2 2 2
5a 7b 11c
3b c 6ac 4a b
⑵ 2
x 2 8x
x 2 x 4
⑶ 2
1 1 ;a 2a 4
拓展思维拓展思维
已知 x=－2 求
2
3x x x( )x 2 x 2 x 4
的值.
第十五章第十五章 轴对称轴对称
第一节第一节 生活中的轴对称生活中的轴对称
学习目标学习目标
1.通过生活中的具体实例认识轴对称,掌握
轴对称图形概念.
2.总结出轴对称图形的特点.
3.能准确判断哪些事物是轴对称图形,并会
找、会画出轴对称图形的对称轴、对称点.
4.体会数学的对称美在生活中的广泛应用
和体现.
课前预习方案课前预习方案
自主学习自主学习
1.下列这些图形好看吗？你能说说这些图
形有一个怎样的共同特征吗？
2.预习轴对称图形、对称轴、对称点的概念.
知识链接知识链接
1.对折矩形纸张有几条折痕？
2.有几个英文字母能对折？
课堂学习方案课堂学习方案
知识结构知识结构
典型例题典型例题
例 1.“轴对称”与“轴对称图形”的区别与
联系:
轴对称图形 轴对称
一分为二
合二为一
区别： 一 个图形 两个图形
联系：如果把一个轴对称图形位于对称轴两
旁的部分看成 2 个图形,那么这两部分成轴
对称.
如果把成轴对称的2个图形看成一个整
体,那么这个整体就是一个轴对称图形.
例 2.下列图形是否是轴对称图形,找出轴对
称图形的所有对称轴.
思考：正三角形有 3 条对称轴
正四边形有 4 条对称轴
正五边形有 5 条对称轴
正六边形有 6 条对称轴
正 n 边形有 n 条对称轴
当 n 越来越大时,正多边形接近于什
么图形？它有多少条对称轴？
解：圆，无数条
总结：一个轴对称图形的对称轴的条数不一
定是一条.
限时课堂训练限时课堂训练
基本练习基本练习
1.请在下面这一组图形符号中找出它们所
蕴含的内在规律,然后在横线上的空白处
填上恰当的图形．
2.(2004 年吉林省中考)以下四个图形中,对
称轴条数最多的一个图形是( ).
A B C D
3.如图 15-1-2,观察(1)～(9)所示的图案,
其中图案__________是轴对称图形；图案
___________中的两个图形成轴对称．
4.如图 15-1-3,标出点 A、B、C 关于直线 l 的
对称点 A、 B、C ．
拓展思维拓展思维
如图,由 4 个全等的正方形组成 L 形图案,请
你在图案中改变 1 个正方形的位置,使它变
成轴对称图案,有几种方法.
第二节第二节 简单的轴对称图形简单的轴对称图形
学习目标学习目标
1.通过折叠,验证线段和角是轴对称图形.
2.理解线段的垂直平分线(或中垂线)的概
念；了解“线段垂直平分线上的点到线段
两端的距离相等”、“角平分线上的点到角
的两边距离相等”这两个结论.
3.通过积极思考、自主探索与合作交流,让
学生经历“提出猜想一验证猜想一应用与
拓展”的过程,以获得知识,形成能力,发
展思维.
课前预习方案课前预习方案
自主学习自主学习
问题一
1.在纸上画一条线段 AB,对折 AB,使得点 A、
B 重合,折痕与 AB 的交点为 O.
2.在折痕上任取一点 C,沿 CA 将纸折叠；
3.把纸展开,得到折痕 CA 和 CB.
观察自己手中的图形,回答下列问题：
⑴CO 与 AB 有什么样的位置关系?
⑵AO 与 OB 相等吗?CA 与 CB 呢?能说明你的
理由吗?
⑶在折痕上另取一点 ,再试一试,你又有什
么发现?
问题二
1.在纸上画一个△AOB,把角 A 对折,使得这
个角的两边重合.
2.在折痕（即角平分线）上任意找一点 C,
过点 C 折 OA 边的垂线,得到新的折痕 CD,
其中,点 D 是折痕与 OA 的交点,即垂足.
4 题图
3 题图
1 题图
2 题图
3.将纸打开,新的折痕与 OB 边交点为 E.
⑴通过第一步我们能发现什么结论?
⑵在上述的操作过程中,你发现了哪些相等
的线段?说明你的理由,在角平分线上在
另找一点试一试.是否也有同样的发现?
知识链接知识链接
学过的一些基本的平面图形（如三角形、四
边形、线段、角等）,这些平面图形中有没
有轴对称图形呢?
课堂学习方案课堂学习方案
知识结构知识结构
1.垂直平分线两个条件既垂直又平分,简称
中垂线,是线段对称轴.
2.线段是轴对称图形,它的一条对称轴垂直
于这条线段并且平分它.（唯一性）
3.线段垂直平分线性质：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个
端点的距离相等.
4.角是轴对称图形,角平分线所在的直线是
它的对称轴.
5.角平分线性质：角平分线上的点到角两边
的距离相等.
典型例题典型例题
例 1.△ABC 中,BC=10,边 BC 的垂直平分线
分别交 AB,BC 于点 E、D,BE=6,求△BCE 的
周长．
解：∵DE 是线段 BC 的垂直平分线
∴EB=EC=6
∴△BCE 的周长=EB+EC+BC=6+6+10=22．
例 2.如图,△ABC 中,∠C=90º,AD 平分∠BAC
交 BC 于 D,若 BC=32,且 BD∶CD=9∶7,求点 D
到 AB 的距离 DE．
解：∵BD∶CD = 9∶7,BC=32
∴CD = 7 BC16 = 14
∵∠C=90º
∴CD⊥AC
∵AD 平分∠BAC DE⊥AB
∴DE=CD=14
限时课堂训练限时课堂训练
基本练习基本练习
1.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC
交 BC 于 D,CD=5cm,则点 D 到 AB 的距离为
_____cm.
2.如图所示,若 AC 是 BD 的垂直平分线,AB＝
5cm,BC ＝ 3cm, 四 边 形 ABCD 的 周 长
为 .
3.如图,在ΔABC 中,AB＝AC＝15,DE 垂直平
分 AB.
（1）当 AE＝12 时,BE 等于多少?
（2）当ΔBEC 的周长为 25 时,BC 为多少?
（3）当 BC＝14 时,ΔBEC 的周长为多少?
拓展思维拓展思维
如图,两个班的学生分别在 M、N 两处参加植
树劳动,现要在道路 AB、AC 的交叉区域内设
一个茶水供应站 P,使 P 到两条道路的距离
相等且使 PM=PN,P 点应该设在何处?
A
B
C
●NM●
1 题图
2 题图
3 题图
例 1 图 1
l
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
O
L
M
N
2
P
1
例 1 图 2
A′
F′
G′
H′
I′
J′
O′
K′
L′
B′
C′
D′
E′
N
M
L
O
K
J
I
H
G
F
E
D
C
B
A
第三节第三节 轴对称的性质轴对称的性质
学习目标学习目标
1.掌握轴对称性质.
2.会利用轴对称的性质,作对称点,对称图
形等.
3.经历探索轴对称性质的活动过程,积累数
学活动经验,进一步发展空间观念和有条
理的思考和表达能力.
课前预习方案课前预习方案
自主学习自主学习
将一张矩形纸沿虚线对折（图 1）,然后用
笔尖扎出一个三角形 ABC（图 2）,将纸
打开后铺平就得到了（图 3）
图 1 图 2 图 3
⑴图 2③中的两个三角形有什么关系？
⑵在扎三角形的过程中,点 A 与点 A′重合,
点 B 与点 B′重合,点 C 与点 C′重合.设折痕
所在直线为 l,连接点 A 与点 A′的线段与 l
有什么关系？点 B 与点 B′呢？
⑶线段 AB 与线段 A′B′有什么关系？线段
BC 与线段 B′C′呢？
⑷∠1 与∠2 有什么关系？∠3 与∠4 呢？
知识链接知识链接
画出下列各图的对称轴.
课堂学习方案课堂学习方案
知识结构知识结构
轴对称的性质：
如果两个图形关于某一条直线对称,那么对
应线段相等,对应角相等,对应点所连的线
段被对称轴垂直平分.
典型例题典型例题
例 1 用笔尖扎重叠的纸,展开后可以得到下
面成轴对称的两个图案（如图 1）.
⑴找出它的两对对应点、两条对应线段和两
个对应角.
⑵连接 OO′,判断 OO′与 MN 的关系.
⑶所扎的图案“w”（如图 2）是轴对称图形
吗？若是,请画出它的对称轴.
解：⑴对应点有：点 J 与 J′点,点 C 与 C′
点；对应线段有：线段 AB 与线段 A′B′,
线段 OC 与线段 OC′；对应角有：∠A 与
∠A′,∠K 与∠K′.
⑵直线 MN 垂直平分线段 OO′.
⑶是轴对称图形,对称轴的位置如图 5 中直
线 l.
点拨：⑴图 1 中共有 13 个对应点,13 条对应
线段,13 个对应角,按要求写出两对即可.答
案不是唯一的.
⑵可以利用轴对称的性质或测量的方
法得出结论.
⑶可利用折叠的方法或测量的方法判
断；
例 2.图 1 是在方格纸中画出的树的图形的
一半,请你以树干为对称轴在图 2 中画出图
4
3
2
1
C
B
A
′
C′
A
B′
C
B
A
N
M
形的另一半.
例 2 图 1 例 2 图 2
点拨：利用轴对称图形的基本性质作图,找
准对应点的位置再连线.
限时课堂训练限时课堂训练
基本练习基本练习
1.(2007 年·天水市）如图,直线l 是四边形
ABCD 的 对 称 轴 . 若 AD ∥ BC, 则 下 列 结
论:①AB=CD；②AB=BC；③AB⊥BC；④AO=OC.
其中正确的是（ ）.
A．①②③ B．①③④
C．①②④ D．①②③④
2.(2007 年·河南）如图,△ABC 与 △A B C 关
于直线l 对称,则 B 的度数为（ ）
A． 30 B． 50 C． 90 D． 100
3.(2007 年·广州市）观察下列四个图案,
其中为轴对称图形的是（ ）．
A B C D
拓展思维
下图是在方格纸上划出的一个零件图形一
半,请你以点 M、N 所在的直线 EF 为对称轴
画出另一半,并指出三对对应点、对应线段
和对应角.
第四节第四节 利用轴对称设计图案利用轴对称设计图案
学习目标学习目标
1.经历对图形进行观察、分析、欣赏和动手
操作、画图过程,掌握有关画图的操作技
能,发展初步审美能力,增强对图形欣赏
的意识.
2.能按要求把所给出的图形补成以某直线
为轴的轴对称图形,能依据图形的轴对称
关系设计轴对
称图形.
课 前课 前
预习方案预习方案
自主学习自主学习
如图：给出了一个图案的一半,其中的虚线
是这个图案的对称轴.
你能画出这个图案的另一半吗？
知识链接知识链接
1.如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两
旁的部分能够互相________,那么这个图
形叫做________________,这条直线叫做
A
C
B
A
C
B
30
50
2 题图
O D
C
B
Al
1 题图
3 题图
_____________.
2.轴对称的三个重要性质.
课堂学习方案课堂学习方案
知识结构知识结构
补全轴对称图形和设计一些创意独特的轴
对称图案.
典型例题典型例题
用四块如图⑴所示的黑白两色正方形瓷砖
拼成一个新的正方形,使拼成轴对称图
案,请至少给出三种不同的拼法：
限时课堂训练限时课堂训练
基本练习基本练习
1.将一张矩形纸对折,然后用笔尖在上面扎
出 B,再把它铺平,你可见到( )
A. B.
C. D.
2.将圆形纸片对折后再对折,得到图(a),然
后沿着图中的虚线剪开,得到两部分,其
中一部分展开后的平面图形是( )
拓展思维拓展思维
为了美化环境,在一块正方形空地上分别种
植四种不同的花草,现将这块空地按下列要
求分成四块：⑴分割后的整个图形必须是轴
对称图形;⑵四块图形形状相同;⑶四块图
形面积相等.现已有两种不同的分法：⑴分
别作两条对角线（图 1）⑵过一条边的三等
分点作这边的垂线段（图 2）（图 2 中两个图
形的分割看作同一方法）
请你按照上述三个要求,分别在下面三个正
方形中给出另外三种不同的分割方法．．．．．．．．．．．.．（只
要求正确画图,不写画法）.
第五节第五节 等腰三角形等腰三角形
第一课时第一课时 等腰三角形的概念和性质等腰三角形的概念和性质
学习目标学习目标
1.通过操作和思考,掌握等腰三角形的相关
概念.
2.经历作（画）出等腰三角形的过程,从轴
对称的角度去体会等腰三角形的性质．
3.自主、互动探究⇒演示⇒推理得等腰三角
形的性质,培观察、猜想、推理能力.
课前预习方案课前预习方案
自主学习自主学习
1.活动 A:把一张长方形纸对折,在折痕处剪
去一个直角,再把它展开,得到一个三角形,
此三角形有何特点?
活动 B:画一画,量一量
(1)作一条直线 L,在 L 上取点 A,在 L 外取点
B,作出点 B 关于直线 L 的对称点 C,连结 AB、
BC、CA,则可得到一个△ABC．
(2)用刻度尺量一量三角形的两边 AB、AC,
图 1
_(1)
图 2
方法一 方法二 方法三
A B C D
图3
图 a
2 题图
C
A
B
I
A
B
I
看它们的长度有何关系?
2.等腰三角形的性质
问题 1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找
出它的对称轴．
问题 2．折叠或测量,看看等腰三角形的两底
角有什么关系？
问题 3．顶角的平分线所在的直线是等腰三
角形的对称轴吗？
问题 4．底边上的中线所在的直线是等腰三
角形的对称轴吗？底边上的高所在的直线
呢？
知识链接知识链接
1.三角形是轴对称图形吗?
2.什么样的三角形是轴对称图形?
课堂学习方案课堂学习方案
知识结构知识结构
1.与等腰三角形有关的概念.
2.等腰三角形的性质：
⑴等腰三角形的两个底角相等（简写成“等
边对等角”）．
⑵等腰三角形的顶角平分线,底边上的中
线、底边上的高互相重合（通常称作“三
线合一”）．
⑶等边三角形的各角都相等,并且每一个角
都等于 600.
典型例题典型例题
1.等腰三角形的两边分别为 3、4,则周长为
10 或 11 .
2.等腰三角形一个角为50°,则顶角为50°
或 80°.
3.在我校开展“赈灾募捐,帮助灾区人民
重建家园”的活动 中,需要一批“三角测
平架”：如图,AB=AC,在 BC 的中点 D 挂一
个重锤,自然下垂.调整架身,使点A恰好在
重锤线上,这时BC处于水平位置,为什么？
解:∵AB=AC,D 为 BC 中点
∴AD⊥BC
∵AD 自然下垂
∴AD 垂直水平面
∴BC 与水平面平行
即 BC 处于水平位置
限时课堂训练限时课堂训练
基本练习基本练习
1.等腰三角形一腰为 3cm,底为 4cm,则它的
周长是 .
2.等腰三角形两边为 3cm、8cm,则它的周长
是 .
3.等腰三角形顶角为 65°,它的另外两个角
为 .
4.等腰三角形一个角为 70°,它的另外两个
角为 .
5.等腰三角形一个角为 110°,它的另外两
个角为 .
6.已知 AD 是等边△ABC 的高,BE 是 AC 边的
中线,AD 与 BE 交与点 F,则∠AFE= .
7.已知：如图, ∠A= 36°, AD=BD=BC.
求∠ABD、∠BDC 的度数.
拓展思维拓展思维
如图所示,在△ABC 中,AB=AC,O 是△ABC 内
一点,且 OB=OC.
求证:AO⊥BC
腰
底角 底角
顶角
腰
底边
C
A
O
B
CB
A
D
7 题图
第二课时第二课时 等腰三角形的识别等腰三角形的识别
学习目标学习目标
1.掌握等腰三角形的判定方法和数学的转
化思想.
2.理解等腰三角形的判定和性质的联系与
区别.
课前预习方案课前预习方案
自主学习自主学习
如图,△ABC 是等腰三角形,AB=AC,不小心被
墨水涂没了一部分,只留下一条边BC和一底
角∠C.你有没有办法把原来的等腰三角形
ABC 重新画出来?画完后请用折纸的方法检
验你画的是否正确.并想想,由此你发现了
什么结论？与你的同伴讨论一下.
知识链接知识链接
作一个角等于已知角作一个角等于已知角..
课堂学习方案课堂学习方案
知识结构知识结构
1.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形
有两个角相等,那么这两个角所对的边也
相等.(简称“等角对等边”)
2.三个角都相等的三角形是等边三角形.
3.有一个角等于 60°的等腰三角形是等边
三角形.
典型例题典型例题
例 1.已知,在△ABC 中,∠ABC 的平分线与∠
ACB 的外角平分线交于 D,过 D 作 DE//BC 交
AC 与 F,交 AB 于 E,求证:EF=BE-CF.
分析:对于三个线段间关系,尽量转化为等
量关系,由于本题有两个角平分线和平行线,
可以通过角找边的关系,BE=DE,DF=CF 即可
证明结论.
证明： DE//BC（已知）
∴∠DBC=∠BDE(两直线平行内错角
相等)
∵BD 平分∠ABC(已知)
∴ ∠ABD=∠DBC(角平分线定义)
∴∠ABD=∠BDE
∴BE=DE(等角对等边)
同理 DF=CF.
∵ EF=DE-DF
∴EF=BE-CF(等量代换)
引申:如果为两内角平分线,其他条件不变,
结论是否改变.如果为一内角平分线
和一外角平分线,其他条件不变,结论
是否改变.
例 2.如图,将长方形 ABCD 沿对角线BD 对折,
使 AB 与 CD 相交于点 F,问重叠的△BDF 是什
么形状？为什么？
F
C
D
A
E
B
分析:要判断△BDF 的形状,就要得到边长的
大小关系,先判断 FD 是否等于 FB,又由于
FD、FB 分别在△DEF、△BCF 中,问题转化为
判断△DEF和△BCF是否全等.判断这两个三
角形全等的不足条件从哪里来呢?注意,长
方形 ABCD 沿对角线 BD 折叠,折叠前后的△
BAD和△BED是全等的,通过这两个三角形全
等为判定△DEF 和△BCF 全等创造条件.
解：△BDF 是等腰三角形.
理由如下:
∵长方形 ABCD 沿对角线 BD 对折
∴△BAD≌△BED
∴ DE=DA,∠E=∠A（全等三角形的对应边相
等,对应角相等）
∵四边形 ABCD 为长方形
∴AD=BC,∠C=90°（长方形的对边相等,四
个角都是直角）CB
DFE
A
B C
∴DE=BC,∠E=∠C=90°（等量代换）
在△DEF 和△BCF 中
DFE BFC （对顶角相等）
E= C （已证）
DE BC （已证）
∴△DEF≌△BCF（AAS）
∴DF=BF（全等三角形的对应边相等）
∴△BDF 是等腰三角形
总结：⑴抓住图形变换前后的“不变量”,
是解这类题目的关键.
⑵等腰三角形的识别方法:1.等腰三角形定
义. 2. 等腰三角形的判定定理:等角对等
边.
限时课堂训练限时课堂训练
基本练习基本练习
1.如图,在△ABC 中,∠A＝70°,且三边 AB、
BC、AC 的长分别是 12cm、10cm、6cm,O
是△ABC 中∠ABC、∠ACB 的平分线的交
点,OE//AB,OF//AC,则∠BOC＝ ,
∠EOF＝ ,△OEF 的周长为 .
2.如图,在△ABC 中,∠A=36 ,∠ACB=72,BD
平分∠ABC,则图中有 等腰三角形.
3.△ABC 中,AB、AC 的垂直平分线分别交 BC
于点 E、F,若∠BAC＝115°,则∠EAF＝
___________.
4.如图,△ABC 中,D、E 分别是 AC、AB 上的
点,BD 与 CE 交于点 O,给出下列四个条件:
①∠ EBO=∠DCO ；②∠ BEO=∠CDO； ③
BE=CD；④OB=OC
⑴上述四个条件中,哪两 个条件可判定
△ABC 是等腰三角形（用序号写出所有情况）
⑵选择第⑴小题中的一种情形,
证△ABC 是等腰三角形.
5.如图,△ABC是等边三角形,BD、CE是中线,
求∠CBD,∠BOE,∠BOC 的度数．
拓展思维拓展思维
已知：△ABC 中,AB=AC,∠A=36°,请你设计
三种以上不同分法,将△ABC 分割成 3 个三
角形,使得每个三角形都是等腰三角形.不
要求写出画法,请指出所分得的每个等腰三
角形三个内角的度数.
A
B C
B C
D
A
1 题图 2 题图
B
A
C
DE O
4 题图
A
CB
E DO
5 题图
第三课时第三课时 含有含有 303000 角的直角三角形的性质角的直角三角形的性质
学习目标学习目标
1.了解含 30 角的直角三角形的性质,并理
解其实际运用价值.
2.经历观察、实验、猜想、证明等数学活动
过程,在具体的折纸情景中,获得 30 角的
直角三角形的一些性质,并通过从对折联
想对称,从角的对折联想角的平分、从边
的对折联想线段的平分等发展合情推理
能力以及应用.
课前预习方案课前预习方案
自主学习自主学习
在纸上画一个等边三角形 ABC,把等边三角
形沿它的一条对称轴 AD 剪开,得到△ABD 和
△ACD.体会等边三角形的轴对称性.
自主探究
1.△ABD 和△ACD 全等吗?为什么?
2.在△ABD 中,∠ADB 和∠BAD 分别是多少度?
为什么?
3.在 Rt△ABD 中,斜边 AB 和∠BAD 所对的直
角边 BD 的长有什么关系?请你说明理由.
4.你能用两个同样大小的三角尺（含 30°和
60°的角）拼接起来验证上述结论.
知识链接知识链接
1.什么是等边三角形?它有哪些性质?
2.等边三角形的轴对称性.
课堂学习方案课堂学习方案
知识结构知识结构
在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°,
那么它所对的直角边等于斜边的一半.
典型例题典型例题
例.如图,已知△ABC 的三个内角之比为∠A
︰∠B︰∠C=1︰2︰3,BC=2 ,求 AB 的长.
解:设∠A=x°,则∠B=2x°,∠C=3x°
∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理)
∴x+2x+3x=180(等量代换)
∴x=30
即∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°
在 Rt△ABC 中,∠A=30°,BC=2.
∴ AB=2BC=4(在直角三角形中,如果一个锐
角等于 30°,那么它所对的直角边等于斜边
的一半.)
限时课堂训练限时课堂训练
基本练习基本练习
1.等腰三角形 ABC 的顶角为 120°,腰长为
10,则底边上的高 AD= .
2.△ABC 中,∠C＝90°,∠B＝30°,AD 平分
∠BAC,交 BC 于 D,则 BD:DC= .
3.在 Rt△ABC 中,∠A＝30°,∠C＝90°,D
是斜边 AB 的中点,DE⊥AC,垂足为 C,且 DE
＝6cm,求 BC 的长.
4.已知：在△ABC 中 AB=AC=2a, CD 是腰 AB
上的高,∠ABC=∠ACB=15°,求 CD 的长.
拓展思维拓展思维
一艘渔船正以 30 海里／时的速度由西向东
追赶渔群,在 A 处看见小岛 C 在船北偏东
60°,40 分钟后,渔船行至 B 处,此时看见小岛
C 在船的北偏东 30°,已知小岛 C 为中心周围
10 海里以内为我军导弹部队军事演习的着
弹危险区,问这艘渔船继续航行（追赶鱼群）,
是否有进入危险区的可能？
第十六章第十六章 勾股定理勾股定理
第一节第一节 勾股定理勾股定理
学习目标学习目标
1.掌握勾股定理.
2.学会利用勾股定理进行计算、证明.
3.了解有关勾股定理的历史.
4.在定理的证明中培养学生的拼图能力.
课前预习方案课前预习方案
自主学习自主学习
相传2500年前,毕达哥拉斯在朋友家做客时,
发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角
三角形三边的某种数量关系.我们只看到了
地砖的装饰效果,数学家却看到了这样一个
图 1,他发现了这样一个图形,并从这一图形
发现了等腰直角三角形三边的关系.你能根
据图 2 观察分析三个正方形的面积 SA、SB、S
C 有什么关系?中间的等腰直角三角形三边
有什么关系？你能用毕达哥拉斯的方法探
究一般直角三角形的三边是否也有这样关
系吗?
知识链接知识链接
正方形的面积.
拼图技巧.
课堂学习方案课堂学习方案
知识结构知识结构
1.勾股定理：直角三角形两直角边 a、b 的
平方和等于斜边 c 的平方.
a2+b2=c2
2.勾:最短的直角边.股:较长的直角边.
弦:斜边.
典型例题典型例题
例.如图,将矩形 ABCD（AB＜AD）沿 BD 折叠
后,点 C 落在点 E 处,且 BE 交 AD 于 F,若
AB=4,BC=8,求 DF 的长.（03 年泰州）
分析:折叠问题是学生感兴趣的问题,如何
用数学知识解决折叠中的计算问题,也是我
们必须思考的问题.
由折叠知:△BDE≌△BDC
故∠1＝∠2
又 ABCD 是矩形
所以 AD∥BC
所以∠1＝∠3
即∠2＝∠3
故 FD＝FB
设 FD=FB=x,则 AF=8-x
在 Rt△ABF 中, 22 2x 4 8 x
解得 x 5
即 DF 的长为 5.
限时课堂训练限时课堂训练
基本练习基本练习
1.在 Rt△ABC 中,∠Ｃ=90°
⑴已知:a=6,ｂ=8,则 c= .
⑵已知:a=40,c=41 则 b= .
⑶已知:c=13,b=5,则 a= .
2.如图,直线上有三个正方形 a、b、c,若 a、
c 的面积分别为 5 和 11,则 b 的面积为（ ）
A.4 B.6 C.16 D.55
3.有两棵树,一棵高 6 米,另一棵高 3 米,两
树相距 4 米,一只小鸟从一棵树的树梢飞
A
C
B
图 1 图 2
a
b
c
l2 题图
A D
A
CB
F
E
1
2
3
到另一棵树的树梢,至少飞了 米．
4.人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡
逻任务时,发现在其所处位置 O 点的正北
方向 10 海里处的 A 点有一涉嫌走私船只,
正以24海里/小时的速度向正东方向航行,
为迅速实施检查,巡逻艇调整好航向,以
26 海里/小时的速度追赶,在涉嫌船只不
改变航向和航速的前提下,问需要几小时
才能追上？（2003 年青岛）
拓展思维拓展思维
如图,A、B 两个小集镇在河流 CD 的同侧,分
别到河的距离为 AC=10 千米,BD=30 千米,且
CD=30 千米,现在要在河边建一自来水厂,向
A、B 两镇供水,铺设水管的费用为每千米 3
万,请你在河流 CD 上选择水厂的位置 M,使
铺设水管的费用最节省,并求出总费用是多
少?
第二节第二节 由边的数量关系识别直角三角形由边的数量关系识别直角三角形
学习目标学习目标
1.掌握直角三角形的判别条件.
2.熟记一些勾股数．
3.掌握勾股定理的逆定理的探究方法．
课前预习方案课前预习方案
自主学习自主学习
问题:据说古埃及人用下图的方法画直角:
把一根长蝇打上等距离的 13 个结,然后以 3
个结,4 个结、5 个结的长度为边长,用木桩
钉成一个三角形,其中一个角便是直角.
这个问题意味着,如果围成的三角形的三边
分别为 3、4、5,有下面的关系“32＋42＝52”,
那么围成的三角形是直角三角形.
画 画 看 : 如 果 三 角 形 的 三 边 分 别 为
2.5cm,6cm,6.5cm,有下面的关系,“2.52＋62
＝6.52,画出的三角形是直角三角形吗?换成
三边分别为 4cm、7.5cm、8.5cm.再试一试．
按照特殊到一般思路,你能归纳猜想出“如
果三角形三边 a,b,c 满足 a2＋b2＝c2,那么这
个三角形就为直角三角形的结论吗？
知识链接知识链接
直角三角形有如下性质:⑴有一个角是直角
⑵两个锐角互余⑶两直角边的平方和等于
斜边的平方⑷在含 30°角的直角三角形
中,30°的角所对的直角边是斜边的一半.
课堂学习方案课堂学习方案
知识结构知识结构
A
B
C D L
如果三角形的三边长 a,b,c 满足 a2＋b2＝c2
那么这个三角形是直角三角形.
典型例题典型例题
例.四边形 ABCD 中,∠B=90°,AB=3,BC=4,
CD=12,AD=13,求四边形 ABCD 的面积.
解:
连结 AC
∵∠B=90°,AB=3,BC=4
∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）
∴AC=5
∵AC2+CD2=169,AD2=169
∴AC2+CD2=AD2
∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）
S 四边形 ABCD=S△ABC+S△ACD=
2
1 AB·BC+
2
1 AC·CD=36
限时课堂训练限时课堂训练
基本练习基本练习
1.以下列各组数为边长,能组成直角三角形
的是（ ）
A. 8,15,17 B. 4,5,6
C. 5,8,10 D. 8,39,40
2.△ABC 中,如果 2(a b)(a b) c ,则△
ABC 是 三角形,且∠ =90°.
3.如图,ABCD 是正方形,AE= 1
2
AB,BF= 1
4
BC,
求证：DE⊥EF
拓展思维拓展思维
如图,三角形三边上的半圆面积从小到大依
次记为S1,S2,S3,且S1+S2=S3,试判定这个三角
形是什么三角形．
第三节第三节 勾股定理的应用勾股定理的应用
学习目标学习目标
1.能运用勾股定理及直角三角形的判别条
件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实
际问题.
2.培养从“形”到“数”和从“数”到“形”
转化、推理能力.
课前预习方案课前预习方案
自主学习自主学习
在我国古代数学著作《九章算术》中记载了
一道有趣的问题,这个问题的意思是：有一
个水池,水面是一个边长为 10 尺的正方形.
在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水
面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边,它的
顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的
深度和这根芦苇的长度各为多少？
知识链接知识链接
线段中垂线定理;利用轴对称确定最短距离
A
B
C
D
3 题图
课堂学习方案课堂学习方案
知识结构知识结构
1.△ABC 为 Rt△且∠C=90° 2 2 2c a b
2.利用勾股定理的逆定理,可以判定一个角
为直角,从而判定直角三角形,也可以用
来判定两直线互相垂直.
典型例题典型例题
例.折叠长方形一边 AD,点 D 落在 BC 边的点
F处,BC＝10cm,AB＝8cm,求:⑴FC的长.⑵EF
的长．
解:(1)在 Rt△ABC 中
由勾股定理得 AF2＝AB2+BF2
∴ 102＝82+BF2
∴BF＝6
FC＝BC-BF=4(cm)
(2)在 Rt△ABC 中
由勾股定理得 EF2＝FC2+(8－EF)2
∴EF2＝42+(8－EF)2
∴EF＝5(cm)
限时课堂训练限时课堂训练
基本练习基本练习
1.在水塔 O 的东北方向32m 处有一抽水站 A,
东南方向 24m 处有一建筑工地 B,在 AB 间
建一条直水管,则水管的长为( ）
A.45cm B.40cm C.50cm D.56cm
2.两只小鼹鼠在地下打洞,一只朝前方挖,
每分钟挖 8cm,另一只朝左挖,每分钟挖
6cm,10 分钟之后两只小鼹鼠相距( )
A.50cm B.100cm C.140cm D.80cm
3.如图,下列三角形中是直角三角形的是
( )
4.如图,小李准备建一个蔬菜大棚,棚宽 4m,
高 3m,长 20m,棚的斜面用塑料薄膜遮盖,
不计墙的厚度,请计算阳光透过的最大面
积为 .
5.为了丰富少年儿童的业余生活,某社区要
在如图所示AB所在的直线建一图书室,本
社区有两所学校所在的位置在点 C 和点 D
处,CA⊥AB 于 A,DB⊥AB 于 B,已知 AB＝
25km,CA＝15km,DB＝10km,试问：图书室 E
应该建在距点 A 多少 km 处,才能使它到两
所学校的距离相等?
拓展思维拓展思维
如图,A 城气象台测得台风中心在 A 城正西
方向 320km 的 B 处,以每小时 40km 的速度
向北偏东 60°的 BF 方向移动,距离台风中
心 200km 的范围内是受台风影响的区域.
⑴A 城是否受到这次台风的影响?为什么?
⑵若 A 城受到这次台风影响,那么 A 城遭受
这次台风影响有多长时间?
AB
E F
东
北
5 题图
E
D
C
BA
D
5 12
13
C
56
7
B
7
5
8
A
63
5
3 题图
3m
4m 20m
4 题图
第十七章第十七章 实数实数
第一节第一节 平方根平方根
第一课时第一课时 平方根的认识平方根的认识
学习目标学习目标
1.了解数的平方根的概念，会用根号表示一
个数的平方根．
2.了解开平方与平方是互逆的运算，会利用
这个互逆运算关系求某些非负数的平方
根．
3.通过学习算术平方根，建立初步的数感和
符号感，发展抽象思维．
课前预习方案课前预习方案
自主学习自主学习
1.25 的平方根的是_________；4
9
的平方根
是________；0 的平方根是________．
2. 1 1_____ 2 ______4 4
； ．
课堂学习方案课堂学习方案
知识结构知识结构
1.平方根：
(1)平方根的定义：一般地，如果一个数 x
的平方等于 a，即 x2=a，那么这个数 x 就
叫做 a 的平方根，也叫做 a 的二次方根．
(2)平方根的表示方法：一个正数 a 的正
的平方根，记做 a ，读作“根号 a”,
其中 a 叫做被开方数，正数 a 的负的平方
根，记做- a ，读作“负根号 a”．这两
个平方根可记为 a ．
(3) 平方根的性质：一个正数有两个平方
根，它们互为相反数；0 只有一个平方根，
它是 0 本身；负数没有平方根．
2.开平方运算：
(1)开平方的定义：求一个数的平方根的
运算．
（2）与平方运算的关系：互为逆运算．可
以用平方运算来检验开平方的结果是否正
确．
典型例题典型例题
例 1.求下列各数的平方根：
(1)144 (2) 16
25
(3)0 (4) 719
点拨：求一个数的平方根，可通过平方运算
来解答，如果求一个带分数的平方根，要先
化为假分数，再求其平方根．
解：(1)∵(±12)2=144,
∴144 的平方根是±12；
(2)∵
24 16
5 25
,
∴ 16
25
的的平方根是 4
5
；
(3)∵02=0,
∴0 的平方根是 0；
(4)∵ 719
=16
9
，
24 16
3 9
，
∴ 719
的平方根是 4
3
．
例 2.如果一 个正数的 平方根是 2x-3 和
5-3x，求这个正数．
点拨：解决此类问题的关键是利用一个正数
有两个平方根，它们互为相反数这个特性．
解：由正数的平方根性质可知，
2x-3 和 5-3x 互为相反数，
即(2x-3)+(5-3x)=0,2-x=0,x=2,
所以这个正数是 1．
限时课堂训练限时课堂训练
基本练习基本练习
1．下列说法正确的有 （ ）
①1 的平方根是 1
②9 是(-9)2 的平方根
③-9 的平方根是±3
④0 没有平方根
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个
2.下列各式计算正确的是 ( )
A. 9 3 B. 9 3
C. 22 2 D. 9 3
3.如果 x2=25,那么 6-x 的值是 （ ）
A.±1 B.±5
C.1 或 11 D.1 或 4
4.填空：.
(1)81 的平方根是 ,
(2)0．16 的正的平方根是 ,
(3)(-3)2 的平方根是 ,
(4)2-2 的负的平方根是 ,
(5) 0.36 ______ ，
(6) 25 ______ ．
5.已知一个正数的一个平方根是 0.3,则这
个正数的另一个平方根是________．
6.若 4a+1 的一个平方根是 0.5，则
a_______.
7. 81 的平方根是________．
8.若 3x-5 有两个平方根，则 x 的取值范围
是______________．
9.若一个正数的平方根是 3x-5 和 2x-10，则
这个正数是___________.
10. 10 在两个连续整数 a 和 b 之间,此时
a,b 的值分别是____________.
11.学校要种一块面积为 28.26 ㎡的圆形花
坛，它的半径应为多少米？( 取 3.14)
12.小明卧室的面积为 16 平方米，计划用
100 块相同的正方形地板砖铺地面，那么
所需要正方形地板砖的边长应是多少？
拓展思维拓展思维
观察下列各等式，再回答下列问题：
① 2 2
1 1 1 1 11 1 11 2 1 1 1 2
；
② 2 2
1 1 1 1 11 1 12 3 2 2 1 6
；
③ 2 2
1 1 1 1 11 1 13 4 3 3 1 12
；…
(1) 请你根据上面三个等式提供的信息猜想
2 2
1 11 4 5
的结果；
(2)请你按上面的各式反映的规律写出含 n
的式子表示的等式（n 为正整数）．
第二课时第二课时 算术平方根的认识算术平方根的认识
学习目标学习目标
1.理解算术平方根的概念、表示法以及
a ≥0（a≥0）的性质．
2.明确平方根、算术平方根的区别、联系．
3.会求一个非负数的算术平方根．
课前预习方案课前预习方案
自主学习自主学习
1.81 的 平 方 根 是 _____, 算 术 平 方 根 是
_____.
2. 11 ______ 2 ______4
， ，
21.21 _______ 5 ____ ， ．
知识链接知识链接
1.平方根的特征．
2.平方根的表示方法．
课堂学习方案课堂学习方案
知识结构知识结构
1.算术平方根的概念及表示法：
概念：一个正数的正的平方根，叫做这个
数的算术平方根．规定：0 的算术平方根
是 0．
表示法：正数 a 的算术平方根记为 a ，
读作“根号 a”． 强调：书写时根号一定
要把被开方数盖住．
2.算术平方根的性质：
算术平方根具有双重非负性：
①被开方数 a 是非负数，即 a≥0；
②算术平方根 a 本身是非负数，即
a ≥0．也就是说，正数的算术平方根
是一个正数，0 的算术平方根是 0，负数
没有算术平方根．
3.平方根、算术平方根的区别、联系：
区别：①定义不同 ②表示方法不同；
③个数不同 ④取值范围不同；
联系：①平方根包含着算术平方根；
②取值条件相同：条件为非负数．
典型例题典型例题
例 1.求下列各数的算术平方根
2．25； 121； (-3)2
点拨：依据算术平方根的定义对其求值，如
果被开放数为小数、分数则一般先化为假分
数,须注意符号．
解：⑴∵2．25= 9
4
，
23 9
2 4
，
∴2．25 的算术平方根是 3
2
，即 32.25 2
；
⑵∵112=121,∴121 的算术平方根是 11,
即 121 11 ；
⑶∵(-3)2=32，∴(-3)2 的算术平方根是 3，
即 23 3 ．
例 2. 已 知 a 、 b 为 有 理 数 ，
a 5 2 10 2a b 4 求 a、b 的值．
点拨：利用算术平方根所具有的非负性，即
被开方数是非负数，组成不等式组即可．
解：根据算术平方根的性质，得：
a 5 0
10 2a 0
≥ ，
≥ ，所以 a 5
a 5
≥ ，
≤ ，即 a=5.
当 a=5 时， a 5 2 10 2a b 4 变
为 5 5 2 10 2 5 b 4 ，
即 b+4=0,解得 b=-4. ∴a=5,b=-4.
限时课堂训练限时课堂训练
基本练习基本练习
1.下列说法正确的是 ( )
A.4 是 2 的平方根
B.2 是 4 的算术平方根
C.0 的算术平方根不存在
D.-1 是-1 的算术平方根
2. 16 的算术平方根是 ( )
A．4 B.±4 C.2 D.±2
3.(2009,武汉) 23 的值是 ( )
A.-3 B.±3 C.9 D.3
4.(2009,天津) 若 x,y 为有理数，且满足
x 2 y 2 0 ，则
2009
x
y
的值为
( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
5.若 2a =25, b =3,则 a+b 为 ( )
A.-8 B.±8 C.±2 D.±8 或±2
6.若一个数的算术平方根为 3，那么这个数
的 平 方 根 是 ______, 这 个 数 的 平 方 是
______．
7. 81 的算术平方根是________， 16 的
平方根是________．
8． ____的算术平方根等于它本身,
___的平方根等于它本身．
9.若 2 x x 2 y 3 成立，则
代数式 yx =________．
10.(2008,长沙)已知 a,b 为两个连续整数，
且 a＜ 7 ＜b,则 a+b=________.
12.求下列各式中的 x 的值：
⑴2x2=288 ⑵(3x-2)2-1=8
⑶
213 x 2 27 03
13.在直角三角形中，a,b 是两条直角边，c
是斜边.
(1)已知 a=3,b=4,求 c 边.
(2)已知 b= 3
5
,c=1,求 a 边.
拓展思维拓展思维
已知 x+2y+3z=18,4x+3y+2z=27,试求 x+y+z
的平方根和算术平方根.
11.当一个数 n 为_______时， 2n 1 有两平
方根，平方根是______.（在横线上填一
个你认为合适的值）
第二节第二节 立方根立方根
学习目标学习目标
1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数
的立方根，了解开立方与立方互为逆运
算，能用立方运算求一些数的立方根．
2.能用立方根解决一些简单的实际问题．
3.在一定的情境下，理解立方根的概念，使
学生不断获得解决问题的经验，提高思维
水平，学习中要注意感悟“类比”在知识
产生和发展过程中的作用．
课前预习方案课前预习方案
自主学习自主学习
1. 8
125
的立方根是______；-64 的立方根是
_______.
2. 33 327 ______ 2 _______ ； ．．
知识链接知识链接
1.平方根、算术平方根的定义．
2.开平方运算．.
课堂学习方案课堂学习方案
知识结构知识结构
1.立方根：
(1)立方根的定义：一般地，如果一个数 x
的立方等于 a，即 3x a ，那么这个数 x
就叫做 a 的立方根，也叫做 a 的三次方根；
(2)立方根的表示方法：任何一个数都有立
方根，记做 3 a ，读作“三次根号 a”,其
中 a 叫做被开方数，3 叫做根指数，写在
的左上角，不能省略不写；
(3)立方根的性质：一个正数有一个正的立
方根；；一个负数有一个负的立方根；0 的
立方根是 0.
2.开立方运算：
(1)开立方的定义：求一个数的立方根的运
算；
(2)与立方运算的关系：互为逆运算．可以
用立方运算来检验开立方的结果是否正
确．
3.两个公式：
⑴ 3 3a a ，
⑵ 3 3a a ．．
典型例题典型例题
例 1.求下列各数的立方根:
⑴－8； ⑵0.027； ⑶ 27
125
.
思路分析：依据立方根的定义求立方根.
解：⑴∵ 32 8 ，
∴-8 的立方根是-2,即 3 8 2 ；
⑵∵ 30.3 0.027 ，
∴0.027 的立方根是 0.3,即 3 0.027 0.3 ；
⑶∵
33 27
5 125
；
∴ 27
125
的 立 方 根 是 3
5
, 即
3 27 3
125 5
.
例 2.已知 x-2 的平方根是±2，2x+y+7 的立
方根是 3,求 x2+y2 的平方根.
点拨：解决此题的方法是依据开立方与立方
是互为逆运算的，开平方与平方是互为逆运
算的．
解：因为 x-2 的平方根是±2，所以 x-2=4
解得 x=6.
因为 2x+y+7 的立方根是 3,所以 2x+y+7=27
又因为 x=6，所以 y=8.所以 x2+y2=62+82=100
所以 x2+y2 的平方根是 100 10 .
限时课堂训练限时课堂训练
基本练习基本练习
1.下列说法正确的是 （ ）
Ａ.任意数 a 的平方根有２个，它们互
为相反数
Ｂ.任意数 a 的立方根有１个
Ｃ.－３是２７的负的立方根
Ｄ.（－１） 2 的立方根是－１
2.下列判断正确的是 （ ）
Ａ.６４的立方根是 ４
Ｂ.（－１） 1 的立方根是１
Ｃ. 64 的立方根是２
Ｄ.如果 3 a ＝a，则 a＝０
3. 64 的立方根是 （ ）
Ａ．±4 Ｂ．±2 Ｃ． 2 Ｄ． 2
4.一个数的算术平方根与它的立方根的值
相同，则这个数是 ( )
A．1 B．0 或 1
C．0 D．非负数
5.要使 33 4 a 4 a 成立，则 a 的取值
范围是 （ ）
A.a≤3 B.-a≤4
C.a≥4 D.一切实数
6.如果 a＜0,那么 a 的立方根是 ( )
A. 3 a B. 3 a
C. 3 a D. 3 a
7.若 2x 64 ，则 3 x ＝_____．
8.立方根是－8 的数是_______， 64 的立
方根是________．
9.若 3x 125 ，则 x＝_______； 3 3x 6 ，
则 x＝________，若 3 3x ( 4) ，则 x＝
____．
10.当 x＜7 时， 33 (x 7) ＝_________．
11.－27 的立方根与 81 的平方根之和是
__________．
12.求下列各式的 x：
⑴ 3 32x 6 4
⑵ 3(x 3) 27 0
拓展思维拓展思维
已知 A＝ m n n m 3 是 n－m＋3 的算
术平方根，B＝ m 2n 3 m 2n 是 m＋2n
的立方根，求 B－A 的立方根．
第三节第三节 实数实数
第一课时第一课时 实数的分类实数的分类
学习目标学习目标
1.知道什么是无理数．
2.了解实数的意义，了解实数的分类．
3.理解实数的相反数、倒数和绝对值的意
义．
4.会有理数估计一个无理数的范围．
课前预习方案课前预习方案
自主学习自主学习
1.在 2，-0.3, 2 ，， 2
5
中是无理数的有
________.
2. 3 的相反数是_____, 3 5 的绝对值是
_______, 1
7
的倒数是_______.
知识链接知识链接
1.正方形的面积公式： 2s R ．
2.有理数的概念、分类．
3.在有理数范围内的相反数、倒数、绝对值
的意义.
课堂学习方案课堂学习方案
知识结构知识结构
1.无理数的概念：无限不循环的小数；
2.常见的无理数：⑴圆周率 及含 的数
⑵所有开方开不尽的数，如： 2 ， 3 ；
⑶看似循环但不循环的小数，如：
0.121221222122221…；
⑷易出错的分数，如：11
7
；
3.实数的概念：有理数与无理数统称为实
数；
4.实数的分类：
⑴按实数的定义分类：
⑵按实数的性质分类：
5.实数 a 的相反数是-a；
实数 a(a≠0)的倒数是 1
a
；
实数 a 的绝对值：
a(a 0)
a 0(a 0)
a(a 0)
6.有理数估计一个无理数的范围的方法：估
算法
典型例题典型例题
例 1.把下列各数填入相应的集合内：-5，
3.7，
.
3 33 2, 8, 25, , 3,0.3, ,4 3
0.2121121112...( 2 1每两个 之间多一个 ）
填入相应的集合里．
有理数集合_______________,无理数集
合_____________________,
正实数集合_______________,负实数集
合_____________________.
点拨:利用无理数的定义及常见的几种无理
数进行判断．
解:有理数：-5,3.7, 3 8 , 25 , 2
3
, 0.3
无理数： 33 34
， ， ；，
0.2121121112...( 2 1每两个 之间多一个 ）
正实数：3.7, 3 8 , 25 ，0.3 ， 3
4
，3 3 ，
0.2121121112...( 2 1每两个 之间多一个 ）
负实数：-5， 2
3
， ．
例 2.设 6 的整数部分是 m,小数部分为 n,
求 n2-2m 的值.
点拨：解决此类问题的关键是确定 m 与 n 的
值，先用估算法求出 6 的整数部分 m 的值，
再由 m+n= 6 ,求出 n 的值．
解：因为 4＜6＜9，所以 4 6 9 ，
即 2＜ 6 ＜3，所以 6 的整数部分为 2，
即 m=2,而小数部分为 n,则 n= 6 －2．所以
n2-2m=( 6 -2)2－2×2
=( 6 )2－4 6 +4－4=6－4 6 ．
限时课堂训练限时课堂训练
基本练习基本练习
1.下列实数
2
， 22
7
，0.1414， 3 9 , 1
2
中，无理数的个数是 ( )
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
2.下列语句中正确的是 ( )
A．带根号的数是无理数
B．不带根号的数一定是有理数
C．无理数一定是无限不循环的小数
D．无限小数都是无理数
3.下列各组数中互为相反数的是 ( )
Ａ．5和 25 Ｂ． 5 和 1
5
Ｃ． 5 和 3 125 Ｄ． 5 和 5
4. (2005,陕西)点 A 为数轴上表示-1 的点，
将 A 在数轴平移 3 个单位到点 B，则点 B 表
示的实数为 ( )
A．3 B．2
C．-4 D．2 或-4
5．面积为 13 的正方形的边长为_________．
6.写出和为 5 的两个无理数 ____．
7. 3 3a a ，则 ____ 3a ．
8．观察下列各式：
3
11 ＝2
3
1 ，
4
12
＝3
4
1 ，
5
13 ＝4
5
1 ，……，请你
将猜想到的规律用含自然数 n（n≥1）的
代数式表示出来是 ．
9.已知 m 是 13 的整数部分，n 是 13 的小
数部分，求 m－n 的值.
拓展思维拓展思维
如图，正方形网格中的每个小正方形边
长都是 1，任意连结这些小正方形的顶
点，可得到一些线段.请在图中画出
1352 ADACAB 、、 这
样的线段.
第二课时第二课时 实数与数轴的关系实数与数轴的关系
学习目标学习目标
1.掌握实数与数轴上的点是一一对应的．
2.了解有理数运算律在实数范围内仍然适
用．
3.能够对实数的大小进行比较．
课前预习方案课前预习方案
自主学习自主学习
比较大小：(1)3 10 ；
(2)π 3.142；
(3)－ 8 － 7 ．
知识链接知识链接
1.有理数与数轴上点的关系：有理数可以用
数轴上的点来表示．
2.两个比较大小常用的方法：作差法、作商
法、数轴法、赋值法.
课堂学习方案课堂学习方案
知识结构知识结构
1.实数与数轴上的点是一一对应的．
2.实数范围内的大小比较：常用的方法：
①作差法：如果 a-b＞0，则 a＞b,如果 a-b
＜0,则 a＜b；
②数轴法：正数大于负数，两个负数，绝
对值小的反而大，数轴上右边的点表示的
数总比左边的点表示的数大；
③赋值法④作商法⑤平方法⑥放缩法.
典型例题典型例题
例 1.比较下列各组数的大小：
⑴⑴5 和 24 ；
⑵⑵ 10 和 ；；
⑶⑶ 1 1 m n 0m n
和 ．．
思路分析:实数大小的比较，可根据不同的
题目选择不同的方法，选择的依据是选择合
理，快捷的方法．
解：⑴因为 52=25, 2
24 24 ,
而 25＞24，
所以5 24 ．
⑵因为 2
10 10 ，
22 3.1415 ，
而 2 210 3.15 ，
所以 10 ，所以 10 ．
⑶因为
1
nm
1 m
n
，
而 m n 0 ，
所以 n0 1m
，
所以 1 1
m n
．
例 2.实数 a、b 在数轴上的位置如图所示，
则化简 2a b a 的结果是（ ）
A．2a+b B．b C．2a-b D．b
点拨:由于实数与数轴上的点是一一对应
的，因而利用数轴可以清晰地反映出两个实
数的大小情况，为解决问题提供形象直观的
方法．
解：由图可知：a＜0＜b,
所以 a b a b ， 2a a a ，
2a b a a b a b ，
故正确答案是 B.
限时课堂训练限时课堂训练
基本练习基本练习
1.下列说法错误的： ( )
A.每一个整数都对应着数轴上的一个点
B.每一个无理数都对应着数轴上的一个
点
C.有理数与数轴上的点是一一对应
D.数轴上的每一个点都对应着一个实数
2. (2009,宁波)下列四个数中，比 0 小的数是
( )
A． 2
3
B． 3 C． D． 1
3.（2009，台州）如图所示，数轴上表示 2 5，
的对应点分别为 C、B，点 C 是
AB 的中点，则点 A 表示的数是 ( )
A． 5 B． 2 5
C． 4 5 D． 5 2
(第 3 题)
4. (2009,江苏省)如图，数轴上 A B、 两点分
别对应实数 a b、 ，则下列结论正确的是
( )
A． 0a b B． 0ab
C． 0a b D．| | | | 0a b
5. 设 02a ， 2( 3)b ， 3 9c ，
11( )2d ，则 a b c d， ， ， 按由小到大
的顺序排列正确的是 ( )
A． c a d b
B．b d a c
C． a c d b
D．b c a d
6.已知 0＜x＜1，那么在 x，
x
1 ， x ，x2
中最大的是 （ ）
A．x B．
x
1 C． x D．x2
7.估算 17 在____．
8.若 0≤x≤1,则 22x x 1 ____ ．
9.与 3 是接近的整数是________．
10.实数 a 在数轴上的位置如图 1 所示，则
2| 1| ( 2)a a ．
11.如果 a ＝5, b ＝3，比较大小：
ba _______ ab
拓展思维拓展思维
已知实数 a 满足
22005 a a 2006 a ，求求
2a 2005 的 值．
A C B
2 50
B A
1 10 ab
（第 4 题）
10 题图
第四节第四节 用计算器开平用计算器开平((立立))方方
学习目标学习目标
1.会用计算器求一个数的平方根和立方根．
2.体会和感受用计算器开方运算的优越性
和使用计算器的程序化思想．
课前预习方案课前预习方案
自主学习自主学习
用计算器比较大小： 11 _____ 3 ；
3 9 ______ 3 ； 3 5 ______ 2
．
知识链接知识链接
1.用计算器进行有理数运算的方法．
2.平方根的意义．
3.立方根的意义．
课堂学习方案课堂学习方案
知识结构知识结构
1.会用计算器求一个数的平方根．
2.会用计算器求一个数的立方根．
3.用计算器进行开方运算时，一般是按从左
到右依次输入，但遇到被开方数是分数
时，要将其加上括号；遇到被开方数是负
数时，要将“－”加上括号．
典型例题典型例题
例：（1）任意找一个你认为很大的正数，
利用计算器对它进行开平方运算，
对所得的结果再进行开平方运算……
随着开方次数的增加，你发现了什么？
（2）改用另一个小于 1 的正数试一试，
看看是否仍有类似的规律．
思路分析：通过计算器的操作，提高了同学
们的动手操作能力，同时也培养了同学们分
析问题的能力．
解：无论被开方数是大于 1 还是小于 1 的正
数，按要求用计算器算出的最终结果都是 1．
限时课堂训练限时课堂训练
基本练习基本练习
1.利用计算器求下列各式的值：
（结果保留 4 个有效数字）
（1） 3.142 （2） 1
10
（3） 3 82 （4） 3 0.2574
2.任意给定一个负数，利用计算器不断进行
开立方运算，随着开立方次数增加，结果
越来越趋向 （ ）
A.0 B.1 C.－1 D.无法确定
3.如图，若数轴上的点 A、B、C、D，分别表
示数－1,0，2,3，则表示 2 7－ 的点应
在线段 （ ）
0 1 2 3 4 5-1-2
A B C D
A．AB 之间 B. BC 之间
C. CD 之间 D. BD 之间
拓展思维拓展思维
已知按一定规律排列的一组数：1， 1
2
，
1 1 1
3 19 20， ， ， ．请你从中选取若干个
数设计一种方案，使它们的和大于 3．
3 题图
第五节第五节 实数的运算实数的运算
第一课时第一课时 二次根式二次根式
学习目标学习目标
1.使学生了解有理数的运算律在实数范围
内仍然适用．
2.掌握二次根式和最简二次根式的概念．
3.会熟练的进行二次根式的化简及乘法和
除法的一般运算．
课前预习方案课前预习方案
自主学习自主学习
1.计算： 2
3 _____ ，
2
1 _____2
．
2.在 1
3
， 0.5 ， 7
2
中最简二次根式是
________．
3. 9 25 _____ , 45 5 ____ .
知识链接知识链接
1.有理数的运算法则和运算律；
1 加法交换律； ②加法结合律；
③ 乘法交换律； ④乘法分配律．
2.平方根的定义．
3.立方根的定义．
课堂学习方案课堂学习方案
知识结构知识结构
1. 二 次 根 式 的 定 义 ： 一 般 地 ， 把 形 如
a a 0≥ 的式子叫做二次根式．
须注意的要点：①“a≥0”是定义中的一
个重要组成部分，不可省略；②a 可以为
数也可为代数式；③二次根式有意义的条
件 是：a≥0．
2.二次根式的基本性质：
① a 0 a 0≥ ≥ ；
② 2
a a a 0 ；
③ aa 2
4.最简二次根式的概念：
(1)被开方数中的因数是整数，因式是整
式；
(2)被开方数中不含能开得尽方的因式或
因数；我们把符合这两个条件的二次根
式，叫做最简二次根式．
5.二次根式的化简的基本步骤：
一观察，二变形，三开方．
6.两个重要性质公式：
积的算术平方根与商的算术平方根：
a b a b a 0 b 0 ≥ ， ≥ ；
a a a 0 b 0b b
≥ ， ．
典型例题典型例题
例 1.把下列各式化成最简二次根式：
(1) 12 ； (2) 4 112
； (3) 245a b
思路分析：化简时，往往需要把被开方数分
解因式或分解因数，把被开方数中能开得尽
方的因数或因式用它的算术平方根代替后
移到根号外．
解: (1) 12 = 22 3 =2 3 ；
(2) 4 112 =4 3
2 = 4 3
2
= 4 3 2
2 2
= 4 6
2
=2 6 ；
(3) 245a b = 2 23 5a b =3a 5a ．
例 2.已知 a+b=-3，a b=2．计算 b
a
+ a
b
的值．
解： b
a
+ a
b
= b a
a b
= 2 2
b a a b
a b ab
=- 3
2 2 ．
我们知道，当 a≥0 时， a ≥0，所以 b
a
≥0， a
b
≥0，其和必然不小于零，而题
中结果却是负数，说明计算过程有错误，请
你指出错在哪一步，错的原因是什么，正确
解法又该怎样？
点拨：解决这类题应注意挖掘题目中的隐含
条件，题目中错解的原因就在于没有根
据实数的运算法则分析清楚字母 a，b
的取值均为负，而造成了解题失误，
如果题目中确实无法搞清字母的符号，
那么就应该分类讨论，不能想当然．
解：题目错在第一步： b
a
≠ b
a
正确的解法是：因为 a+b=-3，ab=2，所
以 a<0，b<0，
b
a
+ a
b
= b a
a a
+ b a
a a
= 2
ab
a
+ 2
ab
b
=- ab
a
- ab
b
=- a b
ab
· ab = 3
2 2 ．
限时课堂训练限时课堂训练
基本练习基本练习
1.在 x 3 中字母 x 的取值范围( )
A．x≥3 B.x>3 C.x<3 D.x≤3
2.下列根式中，最简二次根式的是( )
A. 3.0 B.
5
2
C. cab22 D. 92 a
3.化简 32 的结果是 ( )
A. 25 B. 24 C. 23 D. 26
4.长方形长为 cm6 ，宽为 12cm ，则面
积为 cm2．
5.计算 22 )3()3( =___________．
6.计算 27 × 32 ÷ 6 =_________．
7.已知一个自然数的算术平方根为 a，则比
这个自然数小 5 的数是_________．
8.已知直角三角形两直角边 x,y 的长满足
2 2x 4 y 5y 6 0 ，则第三边的
长度为____________.
9.化简
a
1a 得_____________．
拓展思维拓展思维
用长为 3cm，宽为 2.5cm 的矩形纸牌 30
张摆成一个正方形，你怎样摆，试着摆
一下．拓展：请同学们把纸牌的数量改
变，如 120 张，又该怎样摆呢？
第二课时第二课时 同类二次根式同类二次根式
学习目标学习目标
1.掌握同类二次根式的概念．
2.会熟练的进行二次根式的加减运算及混
合运算．
3.体会类比的数学思想在数学中的应用．
课前预习方案课前预习方案
自主学习自主学习
1.计算： 2 8 ______ ．
2.在 1
3
， 0.5 ， 27 中同类二次根式是
________．
3.计算： 5 15 30 _______ .
知识链接知识链接
1.实数的运算法则、运算律和乘法公式:
1 加法交换律； ②加法结合律；
③ 乘法交换律； ④乘法分配律．
乘法公式：平方差公式，完全平方公式．
2.最简二次根式的化简．
课堂学习方案课堂学习方案
知识结构知识结构
1.同类二次根式的概念：几个二次根式化为
最简二次根式后，如果被开方数相同，那
么这几个二次根式叫做同类二次根式．
2.判断是同类二次根式的方法：定义法．
3.二次根式的加减运算：
一般步骤：⑴将每个二次根式化简 ⑵找
出同类二次根式 ⑶合并同类二次根式．
4.二次根式的混合运算：
⑴运算顺序：同实数先乘方、开方，再乘
除，最后加减，有括号的先算括号里面的；
⑵运算律、运算法则、乘法公式同样适用．
典型例题典型例题
例 1.判断下列各式哪些是同类二次根式：
1 12 12 0.532 27
， ， ， ， ．
思路分析：将每个根式应先化为最简二次根
式，再依据定义进行判断．
解：因为 12 = 22 3 =2 3 ；
1 1 1 2
32 832 4 2
；
1 1 20.5 2 22
；
1 1 3 3 3
27 27 3 81 9
，
所以 12 0.532
， ， 是同类二次根式
112 27
， 是同类二次根式．
例 2.计算：
⑴ 2
3 1 2 3 ；
(2) 5 2 3 5 2 3
点拨：解决此类题能用公式时就利用公式，
可使运算简便．
解：⑴ 2
3 1 2 3
= 2 23 2 3 1 1 2 3
=3 2 3 1 2 3
=4．
⑵ 2 2
5 2 2 5 2 2
= 22 2
5 2 2
= 25 8 =9
例 3.① 22 3
= 22 3
．
验证： 22 3
= 33
2
2 2 22
3 2 1
= 2
2
2 2 1 2
2 1
22 3
②3 3
8
= 33 8
．
验证：3 3
8
= 33
2
3 3 33
8 3 1
= 2
2
3 3 1 3
3 1
33 8
．
（1）按照上述两个等式及其验证过程的
基本思路，猜想 4 4
15
的变形结果；
（2）针对上述各式反映的规律，写出
用 n（n 为自然数，且 n≥2）表示的等式，
并给出证明．
点拨：解决阅读题的关键是看懂题目所给的
阅读材料，此题属类比型总计题，用题目中
所给的信息验证所给的问题，要通过题目中
每一步变形的情况，类比出自己进行验证时
所采取的措施．联系本题，第一步，先把根
号外的因式平方后移到根号内；第二步，在
被开方数的分子上配上一个常数，进行分解
变形；第三步，整理结果．
解：（1）4 4
15
= 44 15
（2）反映的规律：
n 2 1
n
n
= 2 1
nn n
证明：
n 2 1
n
n
=
3
2
n
n 1
= 23
2 2
n n 1 nn n n
n 1 n 1
= 2 1
nn n
限时课堂训练限时课堂训练
基本练习基本练习
1.计算下列各式：
⑴ 27 45 20 48
⑵ 54 2 18 6
⑶ 13 2 3 2
2 1
拓展思维拓展思维
在一节数学探究课上，张老师出示了下
列命题：
已知正数 a 和 b，①若 a+b=2，则有 ab
≤1；②若 a+b=3，则有 ab ≤ 3
2
；
③若 a+b=6，则有 ab ≤3．
读完上述三个命题后，老师告诉同学们
上述命题均为真命题．
试猜想，若 a+b=7，则 ab ≤________．
若 a+b=n，则 ab ≤_______．
我们可以得到一个规律：__________．
试对上述规律进行证明．
第三课时第三课时 实数的运算实数的运算
学习目标学习目标
1.会用计算器进行简单的实数的混合运算
并按要求取近似值．
2.进一步体会计算器的使用在计算中的优
越性．
课前预习方案课前预习方案
自主学习自主学习
用计算器求下列各值(结果精确到 0.01)
2 5 1 ______ ；
6 2 3 ______ ．
知识链接知识链接
1.二次根式的混合运算．
2.计算器的开平方和开立方运算．
3.近似数的精确度的表示．
课堂学习方案课堂学习方案
知识结构知识结构
1.计算器进行混合运算时按键顺序，
注意：第二功能键的使用．
2.近似数的精确度的常用表示：
⑴有效数字 ⑵精确到十分位(百分位等)
⑶精确到 0.1(0.01 等)．
典型例题典型例题
例.某开发区是长为宽的3倍的一个长方形，
它的面积为 120000000 ㎡.
⑴开发区的宽有 10000m 吗？
⑵如果要求误差小于 100m,它的宽大约是多
少？
⑶开发区内有一块正方形的地将用来建管
理中心，它的规划面积是 8500 ㎡，你能计
算一下它的边长吗？(精确到 1m)
思路分析：在日常生活中，我们常用到二次
根式运算，而计算器的使用会给我们带来极
大的方便．
解：⑴设开发区的宽为 xm,则长为 3xm,由题
意得：3x2=120000000,
所以：x2=40000000,x=1000 40 .
因为 40 10 ，所以开发区的宽没有
10000m；
⑵因为 40 6.3 ，所以开发区的宽约
为 6300m；
⑶设正方形的边长为 ym,由题意得，
2y 8500, y 8500 10 85 ，
因为 85 9.22 ，所以 y 92 ，
即管理中心的边长为 92m.
限时课堂训练限时课堂训练
基本练习基本练习
1.一个正方体的体积为 285 3cm ，求这个
正方体的表面积．（结果保留 4 个有效数
字）
2.面积都是 50 平方米的圆和正方形的周长
哪个大？大多少？（精确到 0.1 平方米）
拓展思维拓展思维
借助计算器求下列各式的值，你能发现
什么规律？
2 23 4 ， 2 233 44 ，
2 2333 444 ， 2 23333 4444 ，
利用你发现的规律试写出：
2 2
20102010
33 3 44 4 的结果．
第十八章第十八章 平面直角坐标系平面直角坐标系
第一节第一节 确定平面上物体的位置确定平面上物体的位置
学习目标学习目标
1.探索确定平面上物体位置的方法．
2.体验用有序实数对表示平面上点的位置
的坐标思想，体验用方向和距离表示平面
上点的位置的坐标思想．
3.初步会用有序实数对和方向、距离表示平
面上点的位置培养数形结合的思想．
课前预习方案课前预习方案
自主学习自主学习
1.如果将你的座位 3 排 2 号简记为（3, 2），
那么 2 排 3 号如何表示？（5, 6）表示什
么含义？
2.若 B 地在 A 地的南偏东 30°方向，距离 A
地 20km2 处，则 A 地在 B 地的
方向，距离 B 地 km2 处．
知识链接知识链接
1.实数与数轴上的点的对应关系．
2.方位角的概念．
3.经度与纬度的含义．
课堂学习方案课堂学习方案
知识结构知识结构
确定平面上物体位置的常用方法：
⑴方格纸定位法，⑵经纬度定位法，
⑶方位角+距离定位法；⑷其他方法．
说明：不论采用何种方法，一般都需要两个
数据．
典型例题典型例题
例.下列是小明所在学校的平面示意图小明
可以如何描述他所住的宿舍位置，以便来访
的小学同学能顺利地找到他的宿舍．
点拨：在生活中，我们
常以“西——东”和
“南——北”方向上的
距离表示物体的位置．
解：略．答案不唯一．
限时课堂训练限时课堂训练
基本练习基本练习
1.在奥运游泳馆“水魔方”一侧的座位席上，
5 排 2 号记为（5，2），则 3 排 5 号记
为 ．
2．小明的家在学校的北偏东 45°方向，距
离学校 3km 的地方，请在图（2）中标出
小明家 P 的位置．
3.在点 A 处观测到点 B 位于北偏东 60°，且
距离点 A500 米，那么，从点 B 处观测点 A
时，点 A 在点 B 的____________．
4.如图 4，一个机器人从 O 点出以，向正东
方走 3 米到达 A 点，再向正北方走 6 米到
达 A2 点，再向正西方向走 9 米到达 A3 点，
再向正南方向走 12 米到达 A4 点，再向正
东走 15 米到达 A5 点，按此规律走下去，
当机器人走到 A6 点时，离Ｏ点的距离是
___米．
5．小东要在电话中告诉同学的图形，他应
当怎样描述．
拓展思维
小海龟位于图中点 A 处，按下述中令移动：
向前前进 3 格；向右移 90°，前进 5 格；向
左移 90°，前进 3 格；向左移 90°，前进 6
格，向右移 90°，后退 6 格；最后向右移
90°，前进 1 格，用粗线将小海龟经过的路
线描绘出来，看一看是什么图形．
第二节第二节 平面直角坐标系平面直角坐标系
北
东
南
西 A1
A5
A3 A2
A4
4 题图
2 题图
5 题图
第一课时第一课时 认识平面直角坐标系认识平面直角坐标系
学习目标学习目标
1.认识并能画出平面直角坐标系．
2.在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出
点的位置、由点的位置写出它的坐标．
3.能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描
述表示物体的点的位置．
4.发展学生的数形结合意识，合作交流意
识，提高学生参加数学学习活动的积极
性和好奇心．
课前预习方案课前预习方案
自主学习自主学习
写出图中 A、B、C、D 各点的坐标．
知识链接知识链接
1.数轴的画法．
2.平面上物体位置的确定方法．
课堂学习方案课堂学习方案
知识结构知识结构
1.平面直角坐标系及相关概念：
在平面内画两条互相垂直的数轴，就构
成平面直角坐标系，水平的数轴叫做 x 轴
(横轴) 取向右为正方向，铅直的数轴叫做
y 轴(纵轴)取向上为正方向，两轴交点 O
是坐标原点．这个平面叫做坐标平面．
2.确定坐标平面内点的坐标：
在直角坐标系中求点的坐标，首先过这点
分别向 x 轴、y 轴作垂线，然后把 x 轴上
垂足的坐标作为点的横坐标，把 y 轴上垂
足的坐标作为点的纵坐标，按横坐标在
前、纵坐标在后的顺序写在小括号内，并
用逗号分开，即可得到点在坐标平面内的
坐标．
注意：点的坐标“先横后纵”不能忘记．
3.坐标平面内的点与有序实数对的关系：坐
标平面内的点与有序实数对是一一对应
的，即一个点对应一个有序实数对，一个
有序实数对也对应惟一的点．
典型例题典型例题
例 1.此图是某市旅游景点示意图．
以“中心广场”为原点，以“西—东”
方向直线为横轴，以“南—北”方向直线为
纵轴，一个方格的边长看作是一个单位长
度，建立直角坐标系，请你表示“碑林”和
“大成殿”的位置.
思路分析：“大成殿”在“中心广场”南、
西各两个格；“碑林”在“中心广场”北 1
个格，东 3 个格．
解：“碑林”的位置可表示为(3，1)；大成
殿的位置可表示为(－2，－2)．
例 2.写出图中的多边形 ABCDEF 各个顶点的
坐标．
思路分析：要表示点的坐标时，须注意“先
横后纵”这个原则，两者顺序不能颠倒．
解：各个顶点的坐标分别为：
A(－2，0)，B(0，－3)，C(3，－3)，D(4，
0)，E(3，3)，F(0，3)．
限时课堂训练限时课堂训练
基本练习基本练习
1.平面内点的坐标是 （ ）
A． 一个点 B． 一个图形
C． 一个实数 D． 一对有序实数
2.在平面直角坐标系中，顺次连接 A(-3,4),
B(-6,-2),C(6,-2),D(3,4)四点，所组成
的四边形是 ( )
A.平行四边形 B.菱形
C.正方形 D.等腰梯形
3.小强在直角坐标系中描出下列各组点后，
将各组内的点用线段依次连结起来，所得
到的图形是一幅有趣的图案.在右边的网
格里建立适当的坐标系，你能试着完成
吗？
①(1,-1)，(3,-1)，(5,1)，(5,5)，(4,7),
(3,5)，(1,5)，(0,7)，(-1,5),(-1,1)
(1,-1)
②(0,2)，(1,1)，(3,1)，(4,2)
③(0,3)，(1,3)，(1,4)，(0,4)，(0,3)
④(3,3)，(4,3)，(4,4)，(3,4)，(3,3)
⑤(2,2)
4.在平面直角坐标系中，画出以点 A（－2，
0），B（1，0），C（2，2）为顶点的△
ABC，求△ABC 的面积和周长．
拓展思维拓展思维
如图所示，已知 A、B 两村庄的坐标分别
为（2，2）、（7，4），一辆汽车在 x 轴上
行驶，从原点 O 出发．（1）汽车行驶到
什么位置时离 A 村最近？写出此点的坐
标．（2）汽车行驶到什么位置时离 B 村
最近？写出此点的坐标．（3）请在图中
画出汽车行驶到什么位置时，距离两村
的和最短？
8
6
4
2
-2
-5 5 10
B
A
第二课时第二课时 平面直角坐标系中轴对称图形的特点平面直角坐标系中轴对称图形的特点
3 题图
x
y
O
4 题图
学习目标学习目标
1.认识平面直角坐标系中的象限．
2.掌握坐标平面内点和特殊位置点的坐标
特征．
3.掌握点到坐标轴的距离．
4.进一步发展学生的数形结合意识，体会数
学源于生活，初步体验将实际问题数学
化的过程和方法．
课前预习方案课前预习方案
自主学习自主学习
1.点(-2,1)在第_______象限．
2.点(5,-3)到 x 轴的距离是_____,到 y 轴的
距离是______．
3.点(2,-4)关于x轴的对称点的坐标是___,
关于 y 轴的对称点的坐标是________.
知识链接知识链接
1.平面直角坐标系的画法．
2.点的坐标确定的方法．
课堂学习方案课堂学习方案
知识结构知识结构
1.象限的概念：
坐标平面分成了四个部分，从右上方的部
分说起，按逆时针方向，各部分依次叫做
第一象限、第二象限、第三象限和第四象
限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
2.坐标平面内点的坐标特征：
⑴象限内点的坐标特点：设点 P 坐标
(x,y)，在第一象限 x＞0,y＞0；在第
二象限 x＜0,y＞0；在第三象限 x
＜0,y＜0；在第四象限 x＞0,y＜0；
⑵标轴上点的坐标特点：设点 P 坐标
(x,y)，在 x 轴上 x 为任意实数，y＝
0；在 y 轴上 y 为任意实数，x＝0．
3.特殊位置点的坐标特征:
⑴平行于坐标轴直线上点的坐标特点:
①过点 P（x,y）与 x 轴平行的直线上点的
坐标为（任意实数，y）
②过点 P（x,y）与 y 轴平行的直线上点的
坐标为（x，任意实数）
⑵象限角平分线上的点的坐标特点:
①一、三象限角平分线上的点（x,y）, x=y
② 二 、 四 象 限 角 平 分 线 上 的 点
(x,y),x+y=0
⑶设 P（x,y）,则与 x 轴的对称点坐标为 1P
（x,-y）； 与 y 轴 的对 称点 2P 坐 标为
（-x,y）； 与原 点的 对称 点 3P 坐 标为
（-x,-y）.
4.点到坐标轴及原点的距离:
设点 P（x,y），则点 P 到 x 轴的距离是|y|，
到 y 轴的距离是 |x|．
典型例题典型例题
例1.若点M（1， 12 a ）在第四象限内，
则 a 的取值范围是什么？
思路分析：解决此类题，一定要依据坐标平
面内点的坐标特征进行判断，确定出横纵坐
标的正负，然后列出不等式解答．此题因为
第四象限内点的坐标特征是 x＞0，y＜0 ，
可列出不等式 2a-1＜0．
解：2a-1＜0，得：
2
1a
．
例 2.已知点 A(3a-4,4a+7)在第一、三象限
的角平分线上,求 a 的值.
思路分析：由象限角平分线上的点的坐标特
点，解决此类问题常用方程思想先确定出字
母的值，进而确定出点的坐标位置．
解：由已知得 3a-4=4a+7，解方程得 a=-11．
例 3.(2007 重庆)已知，如图：在平面直角
坐标系中，O 为坐标原点，四边形 OABC 是矩
形，点 A、C 的坐标分别为 A（10，0）、C（0，
4），点 D 是 OA 的中点，点 P 在 BC 边上运动，
当△ODP 是腰长为 5 的等腰三角形时，点 P
的坐标为________.
y
x
P
D
C B
AO
例 3 图
点拨：解与几何有关的求点的坐标的问题
时，可先通过几何图形的有关计算求得相关
的线段长，然后由线段长求得点到两坐标轴
的距离，再由点的位置得到点的坐标．
解：由点 A、C 的坐标分别为 A（10，0）、C
（0，4），得 OC=4，OA=10；由点 D 是 OA 的
中点得 OD=5。由于点 P 在 BC 上运动，且 BC
∥OA，所以点 P 到 x 轴的距离恒为 4，即纵
坐标恒为 4。当△ODP 是腰长为 5 的等腰三
角形时，有三种可能：当 OP=OD=5 时，CP=3；
当 OP=PD=5 时，CP=3；当 OD=PD=5 时，CP=2
或 8。故点 P 的坐标为（2，4）或（3，4）
或（8，4）．
限时课堂训练限时课堂训练
基本练习基本练习
1.已知点Ｍ（３a-9,1-a）在第三象限，且
它的坐标都是整数，则a为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．0
2.已知点 A(-3，a)是点 B(3，-4)关于原点
的对称点，那么 a 的值的是 ( )
A. -4 B. 4 C. 4 或-4 D. 不能确定
3.若 x 轴上的点 P 到 y 轴的距离为 3，则点
P 的坐标为 （ ）
A．(3,0) B.(3,0)或(-3,0)
C. (0,3) D.(0,3)或(0,-3)
4.已知 a＜b＜0,则 A(a-b,b)在第__象限．
5.已知点 P(a+3b,3)与点 Q(-5,a+2b)关于 x
轴对称，则 a+b=___________．
6.若点 M(2m+1,3-m)关于 y 轴的对称点 M′
在第二象限，则 m 的取值范围是____．
7.已知 点 P（a，b）到 x 轴的距离为 2，到
y 轴的距离为 5，且 │a━b┃=a━b,则
点 P 的坐标为__________．
8.长方形 OABC 在平面直角坐标系中的位置
如下,点 O 为坐标原点，OA 为 X 轴且点 B
的坐标为(3,-2),则长方形的面积等于
_______ .
9.已知点 A(4，y)，B(x,-3),若 AB∥x 轴，
且 线 段 AB 的 长 为 5 ， x=_______ ，
y=_______．
拓展思维拓展思维
如图在直角梯形 OABC 中,CB∥OA，CB＝8，
OC＝8，∠OAB＝45°
（1）求点 A、B、C 的坐标；
（2）求△ABC 的面积．
O
C B
A x
y
第二节第二节图形与坐标图形与坐标
第一课时第一课时 如何恰当平面直角坐标系如何恰当平面直角坐标系
学习目标学习目标
1.会有选择性地建立平面直角坐标系，并会
表示出图形上点的坐标．
2.通过画坐标系，由点找坐标等过程，进一
步培养学生的坐标意识、合作交流意识，
发展学生的数形结合思想．
课前预习方案课前预习方案
自主学习自主学习
（2007 盐城）如图，已知棋子“车”的坐
标为(-2,3)，棋子“马”的坐标为(1,3)，
则棋子“炮”的坐标为 ( )
A．（3，2） B．（3，1）
C．（2，2） D．（－2，2）
知识链接知识链接
1.特殊三角形及四边形的特征和性质．
2.平面直角坐标系中点的坐标的意义．
课堂学习方案课堂学习方案
知识结构知识结构
建立平面直角坐标系:
须注意：⑴同一问题的直角坐标系的建立可
有多种方案，但一般应选取一些特殊位置，
使坐标数值简单的，目的是使后续解题容
易、便利；⑵无论怎样建立直角坐标系，虽
然得到的点的坐标不同，但它们的相对位置
始终不变．
典型例题典型例题
例.对于边长为 6 的正△ABC，建立适当的
直角坐标系，并写出各个顶点的坐标．
思路分析：解决此类题，一定要依据坐标平
面内点的坐标特征进行判断，确定出横纵坐
标的正负，然后列出不等式解答．此题因为
第四象限内点的坐标特征是 x＞0，y＜0 ，
可列出不等式 2a-1＜0．
解：
以上两种方案可供参考．
限时课堂训练限时课堂训练
基本练习基本练习
1.如图在直角坐标系中，矩形 ABOC 的边
长 AB 为 3，AC 为 2，则图中点 A、点 B
点 C 的坐标分别为 、 、_____．
2.（2008 永州） 上图是永州市几个主要景
点示意图，根据图中信息可确定九疑山
的中心位置 C 点的坐标为 ．
3.（2008 泰安）如图将边长为 1 的正三角形
OAP 沿 x 轴正方向连续翻转 2008 次，
点 P 依次落在 1 2 3 2008P P P P， ， ， ，
B C
A
例 1 图
B C
A
AB
CO
y
x1 题图
2 题图
y
P
1
A O x
3 题图
P
的位置，则点 2008P 的横坐标为 ．
4．已知等腰△ABC 的顶点 A 的坐标是（0，3）
腰长为 4，底边在 x 轴上，B 点在 C 点左
边，则点 B 坐标为 ，点 C 坐标为
_______ ．
5.下图是围棋棋盘的一部分，如果用
（0，0）表示 A 点的位置，用（7，1）表
示 C 点的位置，那么⑴图中 B、D、E 三点
的位置如何表示？⑵图中（6，5），（4，2）
的位置在哪里？请在图中用点 F、G 表示．
6.在平面直角坐标系中描出下列各点：（0，
0），（-1，-2），（3，0），（-1，2），（0，
0），（-2，1），（-2，-1），（0，0）并将
点用线段依次连接起来，观察得到的图
形，你觉得像什么？联系生活实际，写
出一句解说词．
7．在平面直角坐标系中，以（-4，3）为圆
心，以 5 为半径的圆与两条坐标轴的交
点坐标是哪几个？请一一写出它们的坐
标．
8.已知正方形的边长为 8，试建立两个不同
的直角坐标系，分别写出它的四个顶点和
对角线交点的坐标．
拓展思维拓展思维
在一次寻宝游戏中，已知寻宝图上两个
标志点 A 和 B 的坐标分别为(-3,0)和
(5,0)，“宝藏”分别埋在C(3,4)和D(-2,3)
两点，请你首先在图中建立平面直角坐
标系，然后在图上标出“宝藏”的位置，
并求出四边形 ABCD 的面积．
第二课时第二课时 图形的平移与轴对称变换图形的平移与轴对称变换
6 题图
· ··
· ·
A
B C
E
D
5 题图
学习目标学习目标
1.理解点的坐标与图形变化(平移、轴对称)
之间的关系．
2.经历图形平移、轴对称等之间的关系的探
索，发展学生的形象思维．
3.培养数形结合的思想，利用上述关系解决
问题, 认识其应用价值．
课前预习方案课前预习方案
自主学习自主学习
1.点 p(2,-3)关于 x 轴的对称点的坐标为
________．
2.点 p(2,-3)向下平移 2 个单位后的坐标为
______.
知识链接知识链接
1.平面直角坐标系中点的坐标的含义．
2.特殊图形的一些相关的性质．
课堂学习方案课堂学习方案
知识结构知识结构
1.坐标系中图形的平移变换:
⑴横坐标都加上（减去）一个数 a，图形
向右（左）平移 a 个单位．
⑵纵坐标都加上（减去）一个数 a，图形
向上（下）平移 a 个单位．
⑶平移变换不改变图形的大小与形状,只
改变位置．
2.坐标系中图形的轴对称变换:
⑴横坐标都乘以-1，图形关于 y 轴对称．
⑵纵坐标都乘以-1，图形关于 x 轴对称．
⑶轴对称变换不改变图形的大小与形状,
只改变位置．
典型例题典型例题
例. (2007 福州)如图，方格纸中的每个小方
格都是边长为 1 个单位的正方形，在建立平
面直角坐标系后， ABC△ 的顶点均在格点
上,点 C 的坐标为(4,-1)．
①把 ABC△ 向上平移 5 个单位后得到对应
的 1 1 1A B C△ ，画出 1 1 1A B C△ ，并写出 1C 的
坐标；②画出 1 1 1A B C△ 关于 y 轴的轴对称
图形．
点拨: 图形的变化与坐标变化充分体现了
“数形结合”思想，其变化规律应根据具体
图形具体分析，不能死记．
解 : ① ABC△ 向 上 平 移 5 个 单 位 ， 则
ABC△ 各顶点的纵坐标都应加上 5，横坐
标不变，因此，平移后 1C 的坐标为( 4 ,4 ) ；
② 略．
限时课堂训练限时课堂训练
基本练习基本练习
1.将某图形的各顶点的横坐标减去 2，纵坐
标不变，可将该图形 （ ）
A．横向向右平移 2 个单位
B．横向向左平移 2 个单位
C．纵向向上平移 2 个单位
D．纵向向下平移 2 个单位
2.如果某图形的纵坐标不变，而横坐标变为
原来的相反数，此时图形的位置却未发生
任何改变，则该图形不可能是 （ ）
A.菱形 B.正方形
C.直角梯形 D.等腰三角形
3.在直角坐标系中，点（3，－4）向左平移
2 个单位长度后的坐标为 （ ）
A.（5，－4） B.（1，－4）
C.（3，－6） D.（3，－2）
4.如图,将三角形向右平移2个单位长度,再
向上平移 3 个单位长度, 则平移后的三
个顶点的坐标是 ( )
A.(2,2),(3,4),(1,7)
C
BA
O x
y
B.(-2,2),(4,3),(1,7)
C.(-2,2),(3,4),(1,7)
D.(2,-2),(3,3),(1,7)
5.将点 P(-3，y)向下平移 3 个单位，向左平
移 2 个 单 位 后 得 到 点 Q(x ， -1) ， 则
xy=___________．
6.已知梯形 ABCD 各顶点坐标分别为
A(1,3),B(1,1),C(5,1),D(3,3),将 梯 形
先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个
单位，此时梯形面积为__________.
7.把点 A（―3，―2）向 平移 个单
位长度后可得到点 A1（2，－2）,把点 B
（2，4）向 平移 个单位长度后
也可得到点 A1（2，－2）．
8. ABC△ 在平面直角坐标系中的位置如图
所示．
⑴ 作 出 ABC△ 关 于 y 轴 对 称 的 图 形
1 1 1A B C ；⑵将 ABC△ 向下平移 3 个单
位长度，画出平移后的 2 2 2A B C△
9.写出如图中“小鱼”上所标各点的坐标
且回答：
(1)点 B、E 的位置有什么特点？
(2)从点 B 与点 E，点 C 与点 D 的位置，看
它们的坐标有什么特点？
10.（2008 新疆建设兵团）如图，在平面直
角坐标系中，线段 1 1A B 是由线段 AB
平移得到的，已知 A B， 两点的坐标
分别为 A( 2 3) ， ， B( 31) ， ，若 1A 的
坐标为 (3 4)， ，则 1B 坐标为 ．
拓展思维
写出△ABC 各顶点的坐标且求出此三
角形的面积．
第三课时第三课时 图形的伸缩变换图形的伸缩变换
4321O1234
1
2
3
4
1
2
3
4
y
x
A
B
C
A
写
出
如
图
5
中
“
小
鱼
”
上
所
标
各
点
的
坐
标
且
回
答
：
(
1
)
点
B
、
E
的
位
置
有
什
么
特
点
？
(
2
)
从
点
B
与
点
E
，
点
C
与
点
D
的
位
置
，
看
它
们
的
坐
标
有
什
么
特
点
？
C
D
E
O x
y
9 题图
O
A
B
C
1
x
y
10 题图
4 题图
学习目标学习目标
1.理解点的坐标与图形伸缩变化之间的系．
2.经历图形坐标变化与图形放大、缩小等之
间的关系，发展学生的形象思维．
3.培养数形结合的思想，利用上述关系解决
问题, 认识其应用价值．
课前预习方案课前预习方案
自主学习自主学习
1.已知点 A(1,0),B(0,1),坐标原点为 O.则
ABO 三顶点坐标都扩大 2 倍后，得到
新三角形的面积为______.
2.如果一个图形上各点的横坐标不变，而纵
坐标都变为原来的 1
2
，那么所得的图形与
原来的图形相比 ．
知识链接知识链接
1.平面直角坐标系中点的坐标的含义．
2.特殊图形的一些相关的性质．
课堂学习方案课堂学习方案
知识结构知识结构
1.坐标系中图形的伸缩变换:
⑴拉长：①横向拉长：各顶点横坐标扩大
a 倍（a 为大于 1 的整数）．
②纵向拉长：各顶点纵坐标扩大
a 倍（a 为大于 1 的整数）．
⑵压缩：①横向压缩：各顶点横坐标缩小
a 倍（a 为大于 1 的整数）．
②纵向压缩：各顶点纵坐标缩小 a
倍（a 为大于 1 的整数）．
2.说明：
伸缩变换改变了图形的大小、位置和形状．
典型例题典型例题
例 1.如图，将网格中的小船进行如下变换：
⑴．写出小船各顶点坐标．
⑵．将上述小船的各顶点纵坐标都乘
以-1，画出变化后的图形．
⑶．你能将小船向左平移 3 个单位，
然后再放大 2 倍吗？试一试．
0
y
x
点拨: 根据题设中的条件依次在坐标系中
画出变化后的图形，从而得到正确的结论．
解：⑴小船各顶点坐标：(3,0) (4,0) (6,1)
(4,1) (4,3) (3,1) (2,1)．⑵略． ⑶略．
例 2.在直角坐标系中，第一次将△OAB 变换
成 OA1B1，第二次将△OA1B1 变换成△OA2B2，
第三次将△OA2B2 变换成△OA3B3，已知 A(1，
3) ，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，
0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．
A A1 A2 A3
B B1 B2 B3
y
x
（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，
找出规律，按此规律再将△OA3B3 变换成△
OA4B4，则 A4 的坐标为________，B4 的坐
标为___________．
（2）按以上规律将△OAB 进行 n 次变换得
到 △ AnBn ， 则 可 知 An 的 坐 标 为
__________，Bn 的坐标为__________.
（3）可发现变换的过程中 A、A1、A2…An
纵坐标均为___________．
点拨：解答此题型的一般步骤：⑴观察：摘
录观察的对象；⑵分析：分析各数据之间的
关系，如和、差、倍、分等数量关系； ⑶
对比：找出各数椐之间的区别和联系，为归
纳做准备；⑷ 归纳：将上述得出的结论用
例 2 图
例 1 图
文字或数字式子表示出来．
解：（1）（16, 3）（32, 0），
（2） n n 1(2 ,3) (2 ,0)； ，
（3）3．
限时课堂训练限时课堂训练
基本练习基本练习
1.如图，我们称每个小正方形的顶点为“格
点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三
角形”.根据图形解答下列问题：(1)图中
的格点△DEF 是由格点△ABC 通过怎样的
变换得到的？(写出变换过程)(2)在图中
建立适当的直角坐标系，写出△DEF 各顶
点的坐标.
2.如图，为风筝的图案．⑴写出图中所标
各个顶点的坐标．⑵纵坐标保持不变，横
坐标分别乘 2，所得各点的坐标分别是什
么？所得图案与原来图案相比有什么变
化？⑶横坐标保持不变，纵坐标分别乘
-2，所得各点的坐标分别是什么？所得图
案与原来⑴中图案相比有什么变化？
拓展思维
如图，方格纸中的每个小方格都是边长
为 1 的正方形，我们把以格点间连线为
边的三角形称为“格点三角形”，图中的
△ABC 是格点三角形，在建立平面直角坐
标系后，点 B 的坐标为（-1，-1）．（1）
把△ABC 向左平移 8 格后得到△A1B1C1，
画出△A1B1C1 的图形并写出点 B1 的坐标；
（2）把△ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转
90°后得到△A2B2C，画出△A2B2C 的图形
并写出点 B2 的坐标．
第四节第四节 二元一次方程二元一次方程((组组))的解和点的坐标的解和点的坐标
A
B
C
D
F
E
1
x
y
2 题图
1 题图
学习目标学习目标
1.认识二元一次方程组的解在直角坐标系
中对应的点都在一条直线上．
2.会用求直线交点的方法解二元一次方程
组．
3.让学生初步感受直角坐标系在解决数学
问题中的应用，培养他们数学结合的意
识．
课前预习方案课前预习方案
自主学习自主学习
直 线 l 上 所 有 的 点 的 坐 标 都 是 方 程
x y 2 的解，直线 m 上所有的点的坐标
都是方程 x y 0 的解，则 l 与 m 的交点 p
的坐标为_________._________.
知识链接
1.平面直角坐标系的构成．
2.二元一次方程组的解法：
常用方法：代入消元法， 加减消元法．
课堂学习方案课堂学习方案
知识结构知识结构
1.二元一次方程的解与点的坐标的关系：
二元一次方程的每个解都是其方程所对
应的直线上的每个点的坐标，反之直线上
的每个点的坐标必定是对应的方程的解．
2.二元一次方程组的解和点的坐标的关系：
⑴ 方 程 组 y ax b,
y mx h,
的 解 是 直 线
y ax b y mx h 和 的交点的坐标，
画出这两条直线，找出它们的交点，得到
相应二元一次方程组的解，这种解二元一
次方程组的方法叫图像解法．
⑵若两条直线有一个交点，则该二元一次
方程组只有一个解；若两条直线平行，则
该二元一次方程组无解；若两条直线重
合，则该二元一次方程组有无数个解．
⑶图像法解方程组的步骤如下：
①把二元一次方程化成一次函数的形式．
②在直角坐标系中画出两个一次函数的
图像，并标出交点．
③交点坐标就是方程组的解．
典型例题典型例题
例1.若二元一次方程 2x y 1 在直角坐标
系中所对应的直线是 m ，，试判断点 p (3,5)
与直线的位置关系，并说明理由．
点拨；判断点是否在直线上的方法是：将这
个点的坐标代入这条直线所对应的二元一
次方程，若使该方程成立，则该点在此直线
上；反之，不在．
解：点 p 在直线上．当 x 3 ，，y 5 时，方
程的左边=2×3-5=1，方程的右边=1，所以，
点 p 在直线上．
例 2. 用 作 图 象 的 方 法 解 方 程 组
x 2y 0,
y x 3.
点拨：利用二元一次方程组的解与对应直线
的交点坐标之间的关系即可求解．因为用图
像法求二元一次方程组的解有一定的局限
性，其值通常只能是近似值，因而须注意画
图的准确性．
解：⑴在直角坐标系中画出二元一次方程
x 2y 0 所对应的直线．．
⑵在直角坐标系中画出二元一次方程
y x 3 所对应的直线．
⑶两直线交于点 p ，，点 p 的坐标为
(-2,1),所以 x 2,
y 1,
既是方程 x 2y 0
的解，又是方程 y x 3 的解，因而方程
组 x 2y 0,
y x 3.
的解为 x 2,
y 1.
(见下图)
例 3.如图，某航空公司托运行李的费用
y(费用)与托运行李重量 x( )千克 的关系
之间满足二元一次方程 y 30x 570 ，求
行李的重量不超过多少公斤，就可以免费托
运？
点拨：只须求当 y 0 时， x 的值即可．
解：当托运行李的费用为 y 0 时，即：
30x 570 0 ，解得 x 19 ．因此，只要
行李重量不超过 19 公斤时，就可免费托运.
限时课堂训练限时课堂训练
基本练习基本练习
1.二元一次方程 2x y 4 有_____个解，
以它的解为坐标的点都在直线________
的图像上．
2.若直线 y=－ 1
2
x－2 与 y=2x－7 的图像交
点为（2，－3），则二元一次方程组
x 2y 4
2x y 7
的解为__________．
3.因为x y 4
2x y 1
的解是x _____
y _____
，
所以直线 y=－x＋4 与 y=2x＋1 的图象
交点坐标为 ．
4.直线 y=3x－2 和 y=－2x＋3 图象的交点
是 ．
5. 用 作 图 象 的 方 法 解 方 程 组
2x y 4,
2x 3y 12.
拓展思维拓展思维
(2000,西安改编)已知直线 x-2y=-k+6
和 x+3y=4y+1，若它们的交点在第四象
限内，(1)求 k 的取值范围，(2)若 k 为
非负整数，求直线 x-2y=-k+6 上与两条
坐标轴围成的三角形的面积.
第十九章第十九章 随机事件与概率随机事件与概率
第一节第一节 确定事件和随机事件确定事件和随机事件
第一课时第一课时 事件发生的随机性的认识事件发生的随机性的认识
学习目标学习目标
1.通过观察现实生活中一些现象或试验，初
步感受有些事情的发生是不确定的，有些
事件发生是确定的．
2.在经历猜测、试验与分析结果的过程中，
学会合作与交流．
课前预习方案课前预习方案
自主学习自主学习
下列事件中，哪些是必然发生的，哪些是不
可能发生的，哪些是随机发生的？
⑴今天北京上午一定晴空万里.
⑵再过十年，中国足球必然能闯入“世界杯”
决赛.
⑶当 a 是实数，则 a 0 ．
⑷手电筒内没有电池，灯泡发光．
课堂学习方案课堂学习方案
知识结构知识结构
1.事件的概念：
必然发生、不可能发生、随机发生的事情
叫做事件.
2.判断一事件的类别，要明确结果是一定发
生、一定不发生、还是有可能发生，这是
解题的关键．
典型例题典型例题
例.下列事件中，哪些是必然发生的，哪些
是不可能发生的，哪些是随机发生的？
⑴石头孵出小鸡.
⑵明年 12 月 13 日我市要下雨.
⑶地球绕着太阳转.
⑷人的生命会无限延长.
⑸一枚硬币向上抛高，落下后有国徽的这面
朝上.
⑹一个玻璃杯从高空落下会摔碎.
点拨：根据事件的意义解答．
解：必然发生的事件：⑶、⑹；
不可能发生的事件：⑴、⑷；
随机发生的事件：⑵、⑸．
限时课堂训练限时课堂训练
基本练习基本练习
1.下列事件中，哪些是必然发生的，哪些是
不可能发生的，哪些是随机发生的？
⑴明天是阴天．
⑵人会长生不老．
⑶太阳从东方升起．
⑷连续三次掷得硬币的同一面．
⑸掷一枚骰子，3 点朝上．
2.投掷两个普通的正方体骰子，把两个骰子
的点数相加，请问下列哪些事情是必然发
生的，哪些事情是不可能发生的，哪些事
情是随机发生的？为什么？
⑴A=“和为 1”；⑵B=“和为 6”；⑶C=“和
为 12”；⑷D=“和为 14”；⑸E=“和大于 2”；
⑹F=“和小于 2”；⑺G=“和小于 20”.
拓展思维拓展思维
过去有一个国家，对外闭关自守，不与其他
国家来往，凡是到过那个国家的人，都会被
要求说一件事情，若守卫认为所说事情是真
的，则被处以绞刑，若守卫认为所说事情是
假的，则被处以斩刑．一天，有一个人说了
一句话，守卫竟不能确定这是真假，只好将
他放了.你认为这样的一件事情是可能发生
的，还是不可能发生的，还是一定发生的
呢？这句话你认为说的是什么？
第二课时第二课时 确定事件和随机事件确定事件和随机事件
学习目标学习目标
1.会区分生活中的必然事件，不可能事件和
随机事件，了解事件的表示方法．
2.在经历猜测、实验、收集与分析实验结果
的过程中，体会合作与交流的愉悦．
课前预习方案课前预习方案
自主学习自主学习
1. “在平面上任意画一个直角三角形，其
两个锐角和是 90°”是 事件．
2. “月亮从东方升起”是______事件．
课堂学习方案课堂学习方案
知识结构知识结构
1.相关的概念：
必然事件：事先可以肯定一定会发生的事
件叫做必然事件,例如：地球绕太阳公转；
不可能事件：事先可以肯定一定不会发生
的事件叫做不可能事件, 例如：有人把石
头孵出了小鸡；
确定事件：必然事件和不可能事件统称为
确定事件；
随机事件：在一定条件下可能出现也可能
不出现的事件叫做随机事件,也称为不确
定事件,例如过马路时恰好遇到红灯.
2.事件的表示方法:
事件通常用大写拉丁字母 A,B,C 等表
示．如：A=“赵刚今年 18 岁，明年 20 岁”．
典型例题典型例题
例 1.指出下列事件中，哪些是必然事件，哪
些是不可能事件，哪些是随机事件？
①在十进制中 1+1=2 ；②1+2>3；
③在一副扑克牌中任意抽 10 张牌，其中有 4
张 A；
④ 10 只鸟关在 3 个笼子里，至少有一个笼
子关的鸟超过 3 只；
⑤平面上任何一个三角形的三个内角和都
是 180 度；
⑥明天太阳从西边出来.
点拨：此类题目根据必然事件，不可能事件，
以及确定事件，随机事件的定义加以辨析，
作出正确解答．
解：必然事件：①，④，⑤；
不可能事件：②，⑥；
随机事件：③．
例 2.一天数学课上，老师拿出甲，乙两个空
纸盒，10 个白球和 10 个黄球，让大家实践
操作，满足下列要求：
⑴从甲盒中拿到黄球为必然事件；⑵从乙盒
中拿到白球为不确定事件；⑶20 个球均要甲
盒中用到，每个盒中球的个数可以不等.
并能在所设计的方案中，写出一个不可能事
件.
点拨：此类为方案设计题，要抓住事件的本
质特征，即紧扣住定义进行设计.
解：此题答案不唯一.
方案一：⑴甲盒中放入 5 个黄球.⑵乙盒中
放入多余的黄球和全部白球.
方案二：⑴甲盒中放入 7 个黄球. ⑵乙盒中
放入多余的黄球和全部白球.
方案一中的不可能事件可以为从甲盒中拿
到白球. 方案二中的不可能事件可以为从
乙盒中拿到绿球.
限时课堂训练限时课堂训练
基本练习基本练习
1.判断下列说法是否正确：
⑴“从地面往上抛的硬币会落下”是随机
事件； ( )
⑵“软木塞沉到水底”是不可能事件；( )
⑶“买一张彩票中奖”是必然事件； ( )
⑷“明天会下雨”是随机事件. ( )
2.(2008 河北)同时抛掷两枚质地均匀的正
方体骰子，下列事件中是必然事件的是
( )
A. 两枚骰子朝上一面的点数和为 6；
B. 两枚骰子朝上一面的点数和不小于 2；
C. 两枚骰子朝上一面的点数均为偶数；
D. 两枚骰子朝上一面的点数均为奇数.
3.(2008 江苏)下列事件是确定事件的是
( )
A.2008 年 8 月 8 日北京会下雨；
B.2008 年 2 月有 29 天；
C.任意翻到一本书的某页，这页书的页码
是奇数；
D.经过某一有交通信号灯的路口遇到红
灯.
4.(2008 徐州)下列事件中，必然事件是
（ ）
A.抛掷一枚均匀的骰子，出现 6 点朝上；
B.两直线被第三条直线所截，同位角相
等；
C.366 人中至少有 2 人的生日相同；
D.实数的绝对值是非负数.
5.填空：
⑴ “ 骑 自 行 车 时 车 胎 被 玻 璃 扎 破 ” 是
_______事件；
⑵“清明时节雨纷纷”是______事件；
⑶“高可摘星辰”是 _________事件；
⑷“在直线 y=x+1 上任找一点，其纵坐标
比横坐标大”是 事件；
⑸“两条平行线会相交”是 事件；
⑹“任选一个实数，其绝对值不小于该数”
是 事件；
⑺“任选一个正数，平方后比该数小”是
事件___________；
⑻“在直线 y=2x 上任找一点，其纵坐标比
横坐标大”是 事件.
6.两根木棒长为 5 ㎝和 7 ㎝，要选择第三根
木棒将它们钉成一个三角形，若第三根木
棒为偶数，写出其可能的数值.
7.在一个不透明的口袋中，有 5 个红球，3
个白球.⑴一次至少取几个球，里面一定
有白球？ ⑵一次至少取几个球，里面一
定有红球？
8.小 A、小 B 和小 C 每人各买了一瓶饮料，
在供购买的 20 瓶饮料中，有两瓶已经过
了保质期.
请根据以上这段话，设计一个不可能事
件，一个必然事件，一个随机事件.
拓展思维拓展思维
县官要让某犯人死，写了两张“死”的纸条，
折好了准备让他抓阄。谁知犯人识破了县官
的伎俩，抓阄时把一张纸条吞进肚里，说看
剩下的纸条写的字可推知他抓到的纸条。回
答问题：
（1）原本应该是分别写了“死”与“活”的两张
纸条，折好了让犯人抓阄，那么犯人抓到有
“死”字的纸条是什么事件？
（2）现在，若犯人打开抓中的纸条，那么“被
处死”是什么事件？
（3）看剩下的纸条后“被处死”是什么事
件？实际上，这个故事中（2）和（3）中的
事件都属于什么事件？
第二节第二节 可能性的大小可能性的大小
第一课时第一课时 事件的可能性事件的可能性
学习目标学习目标
1.能认识到事件发生的可能性有大小之分，
并能对事件的可能性大小作出定性判断．
2.经历观察、猜想、实验和分析实验结果的
过程，在此中体验学习数学的乐趣．
课前预习方案课前预习方案
自主学习自主学习
1.在一个口袋中装有 1 个红球，2 个绿球和
3 个黄球，它们除颜色外其余一律相同，
摸出一个________球的可能性最大．
2.小刚跑 1000 米达标是“十拿九稳”的事理
解为________________________．
知识链接知识链接
确定事件与随机事件的意义．
课堂学习方案课堂学习方案
知识结构知识结构
1.事件发生可能性的大小：
必然事件发生的机会(可能性)是 100%(即
1) ，不可能事件发生的机会(可能性)是
0，而随机事件发生的机会(可能性)介于 0
和 100%(即 1)之间．
任何一个事件发生的可能性大小都可以
用 0～1 的数字来衡量．
2.注意：
①不确定事件发生的可能性大小是由发
生事件的条件来决定的；
②可能性的大小与数量的多少有关：
数量多（所占的区域面积大）⇔可能性大，
数量少（所占的区域面积小）⇔ 可能性
小．
典型例题典型例题
例.下列说法正确的有：
⑴可能性很大的事情是必然发生的.
⑵不可能发生的事情包括几乎不可能发生
的事情.
⑶如果一件事不是必然发生的，那么它就是
不可能发生的．
⑷不可能发生的和必然发生的都是确定的．
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
点拨：明确不可能事件不是发生可能性极小
的事件，必然事件不是发生可能性很大的事
件，不大可能发生与很可能发生的事件是不
确定事件的含义． 因此：选 A．
限时课堂训练限时课堂训练
基本练习基本练习
1. (2005 广东)4 个红球，3 个白球和 2 个黑
球放入一个不透明的袋子中，从中摸出 8
个球，恰好是红、黑、白球都摸到，这
件事情_____发生．
2.阅读下面几句话，你有什么话要说？
A、福利彩票的中奖率是 1/10000000
B、明天下雨的可能性是 9/10
C.在和学校联队的篮球比赛中，我们班
获胜的可能性“微乎其微”
D.打开水管，流出水的机会是 100%．
3.比较下列事件发生的可能性大小，并将它
们按可能性从小到大的顺序排列：
⑴买一张发行量很大的彩票恰好中 500
万；
⑵下雨天，在路上遇到撑伞的行人；
⑶抛掷一枚硬币，落地后反面朝上.
拓展思维拓展思维
我们学校门口有个小贩子进行一个摸球
抽奖游戏：他的规则是在 10 个球中抽中
红球的奖给你 10 元钱，抽中白球的则你
给他 3 元钱。你怎么看待这个事情？（1
个红球，9 个白球）
第二课时第二课时 频率反映事件可能性的大小频率反映事件可能性的大小
学习目标学习目标
1.准确理解频数与频率的意义．
2.理解频率可以反映事件发生可能性的大
小．
3.能计算出实验结果中事件出现的概率．
4.在实验中体验学数学的乐趣，提高学生学
习数学的积极性．
课前预习方案课前预习方案
自主学习自主学习
1.抛掷一枚质地均匀的硬币 1000 次，“反
面朝上出现了 438 次”的频率为______；
2.小红做抛掷硬币实验，共反复做了 2000
次，其中“正面朝上”出现了 1028 次，
在这个实验中，“正面朝上”的频数是
_____．
知识链接知识链接
确定事件与随机事件的意义．
课堂学习方案课堂学习方案
知识结构知识结构
1.相关的概念：
设总共做 n 次重复实验，而事件 A 发生了
m 次，则称事件 A 发生的次数 m 为频数，
称比值 m
n
为 A 发生的频率．
2.注意：
⑴频率是经过多次实验得出的结果；
⑵事件发生可能性的大小可以用频率的
大小来估计；
⑶事件发生的频率 m
n
的取值范围是
0≤ m
n
≤1．
典型例题典型例题
例.把一个圆平均分成 8 份，设计成转盘，
并标注出 1～8 的 8 个数字，请回答下列问
题：⑴转出数字 5 的可能性是__________；
⑵转出数字 1.5 的可能性是____________；
⑶转出数字是 3 的倍数的可能性是______；
⑷转出数字不大于 4 的可能性是________；
⑸转出数字是奇数的可能性是__________.
点拨：解答此类问题时，首先判断事件是确
定事件还是不确定事件，再从不确定事件分
析是不大可能还是很可能发生．
解：⑴ 1
8
⑵0 ⑶ 1
4
⑷ 1
2
⑸ 1
2
．
限时课堂训练限时课堂训练
基本练习基本练习
1.下列说法正确的有 ( )
①用实验的方法得到的频率是近似的，
试验次数越大，越准确；
②不做实验也能估计事件发生的频率，
所以做实验是没有必要的；
③假设彩票中奖的机会是 1%，那么任意
买 100 张，一定会中奖；
④抛掷一枚质地均匀的骰子，出现偶数
的机会是 50%．
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
2.判断说法是否正确，并说明理由：
小明和小亮的家在同一个小区，他们事先
没有约定好，却连续三天早晨上学都是在
小区门口相遇，于是他俩认为明天一定相
遇．
拓展思维拓展思维
袋子中装有 10 个球，其中 5 个红球，3
个黄球，2 个蓝球，它们除颜色外完全相
同，从中任取一球．
⑴取到哪种颜色的球的可能性最大？
⑵分别用一个数刻画取到三种颜色小球
的可能性的大小．
⑶从这个实验中，你发现了什么规律？
第三课时第三课时 随机事件可能性的大小随机事件可能性的大小
学习目标学习目标
1.准确理解概率的意义．
2.能利用频率计算出简单事件的概率．
3.能根据指定的要求，设计公平的游戏方
案，能对简单事件的可能性做出预测．
4.培养概率素养，增强对随机思想的理解．
课前预习方案课前预习方案
自主学习自主学习
1.从小明、小亮、小丽 3 名同学中选 1 人
当语文课代表，选中小丽的概率为_____．
2.在一个袋子中装有除颜色外其它均相同
的 2 个红球和 3 个白球，从中任意摸出一
个球，则摸到红球的概率是 ．
知识链接知识链接
1.频数与频率的意义．
2.频率的求法．
课堂学习方案课堂学习方案
知识结构知识结构
1.概率的概念：
在数学上,我们用一个数 P（A）表示随机
事件发生 A 的可能性的大小，称 P（A）为
事件 A 发生的概率．
2.概率的求法：
一般地，如果一个实验有 n 个等可能的结
果，而事件 A 包含其中 k 个结果，我们定
义：
P（A）= k
n
= A事件 可能包含的结果数
所有可能结果数 ．
3.概率的范围：
对于任意一个事件 A，它的概率满足:
0≤P（A）≤1．
⑴必然事件的概率是 1．
⑵不可能事件的概率是 0．
⑶随机事件概率满足 0＜P（A）＜1．
典型例题典型例题
例 1.一个小妹妹将 10 盒蔬菜的标签全部撕
掉了．现在每个盒子看上去都一样．但是她
知道有三盒玉米，两盒菠菜，四盒豆角，一
盒土豆．她随机地拿出一盒并打开它，
⑴盒子里面是玉米的概率是多少？
⑵盒子里面是豆角的概率是多少？
⑶盒子里面不是菠菜的概率是多少？
⑷盒子里面是豆角或土豆的概率是多少？
点拨：根据定义，找出某一随机事件出现的
结果次数和所有可能结果总数，代入公式即
可．
解：⑴盒子里面是玉米的概率是 3
10
．
⑵盒子里面是豆角的概率是 4 2
10 5
．
⑶盒子里面不是菠菜的概率是 8 4
10 5
．
⑷盒子里是豆角或土豆的概率是 5 1
10 2
．
例 2. (2005 大连)有一个抛两次硬币的游
戏，规则是：若出现两个正面，则甲赢；若
出现一正一反，则乙赢；若出现两个反面，
则甲、乙都不赢．
⑴这个游戏是否公平？请说明理由；
⑵如果你认为这个游戏不公平，那么请你设
计一个公平的游戏．
点拨：游戏是否合理，关键是看游戏中甲乙
二人获胜的机会是否相同，相同则公平．
解：⑴不公平.
因为抛两枚硬币，所有机会均等的结果为：
正正，正反，反正，反反.
所以出现两个正面的概率为 1
4
，
出现一正一反的概率是 2 1
4 2
，
因为两者概率不等，所以游戏不公平．
⑵改为：若出现两个相同面，则甲赢；若出
现一正一反(一反一正),则乙赢.
限时课堂训练限时课堂训练
基本练习基本练习
1.一个布袋里装有 3 个红球、2 个白球,每个
球除颜色外均相同，从中任意摸出一个
球，则摸出的球是红球的概率是 ( )
A． 1
5
B． 2
5
C． 3
5
D． 2
3
2.（2008 年重庆市）今年 5 月 12 日，四川
汶川发生强烈地震后，我市立即抽调骨
干医生组成医疗队赶赴灾区进行抗震救
灾.某医院要从包括张医生在内的 4 名外
科骨干医生中，随机地抽调 2 名医生参
加抗震救灾医疗队，那么抽调到张医生
的概率是 ( )
A. 1
2
B. 1
3
C. 1
4
D. 1
6
3. (2005 四川)在一个不透明的口袋中，装
有若干个只有颜色不同的球，如果口袋
中装有 4 个红球，且摸出红球的概率为
1
3
，则袋中共有球的个数为 ( )
A.12 个 B.9 个 C.7 个 D.6 个
4.如图：一个飞镖游戏板，其中每个小正方
形的大小相等，则随意投掷一个飞镖，击
中黑色区域的概率是 ( )
A.
2
1 B.
8
3 C.
4
1 D.
3
1
5.投掷一枚正六面体骰子，掷得点数为奇数
的概率为____________，是偶数的概率为
_____，点数小于 5 的概率为______．
6.(2008 年益阳) 在一个袋中，装有 5 个除
数字外其它完全相同的小球，球面上分
别写有 1，2，3，4，5 这 5 个数字. 小
芳从袋中任意摸出一个小球，球面数字
的平方根是无理数的概率是 .
7.(2006 河北)有四张不透明的卡片正面的
数为 2， 22
7
， ， 2 ，除此之外其余
均相同，将它们背面朝上洗匀后，从中
随机抽取一张卡片，抽到无理数卡片的
概率为_________.
8.某同学发明了一个素数乘法游戏，抛掷两
个各面标有 1，2，3，4，5，6 的均匀的
骰子，用两次朝上的点数相乘，得到一个
乘积．如果乘积是素数，玩家 A 得 10 分；
如果乘积不是素数，玩家 B 得 1 分．由于
得到非素数乘积的抛掷方式要比得到素
数积的抛掷方式多得多，该同学自认为游
戏是公平的．你认为如何？请给出理由．
拓展思维
有一个密码箱,它的密码由2个数字组成，
每个数字都可以从 0 到 9 的 10 个数字中
任选一个．
⑴这样组成的密码有多少种不同的可能
结果?不知道密码的人任意拨 2 个数字,
能打开密码箱的概率是多少?
⑵如果密码由３个数字组成呢？
⑶如果它的密码由2个不同的数字组成，
每个数字依然可以从 0 到 9 的 10 个数字
中任选一个．这样组成的密码有多少种
不同的可能结果?4 题图
第三节第三节 频率与概率的关系频率与概率的关系
第一课时第一课时 初步认识频率的特点初步认识频率的特点
学习目标学习目标
1.体会频率的特点，理解大量重复实验中
事件发生的频率具有稳定性．
2.通过进行实验收集数据、整理并表示数
据、分析实验结果的过程，让学生体会合
作的快乐．
课前预习方案课前预习方案
自主学习自主学习
判断：
1.掷一枚均匀的硬币 10 次，“反面朝上”恰
好出现 5 次．
2.某种彩票的中奖机会是 1%，买一张彩票根
本不可能中奖，买 100 张彩票就一定能中
奖．
知识链接知识链接
1.事件发生可能性的大小．
2.频数与频率的意义．
3.频率的求法．
课堂学习方案课堂学习方案
知识结构知识结构
随机事件的发生具有偶然性，在一次实验
中，它可能发生，也可能不发生．从表面上
看，随机事件无规律可循，但在大量的重复
实验中，当实验次数足够多时，事件的频率
具有稳定性．
说明：⑴随机事件的发生并非完全无规律．
⑵随着重复实验次数的增大，随机事件发生
的频率逐渐呈现稳定性．
典型例题典型例题
例.某地区林业部门要考察某种幼树在一定
条件下的移植成活率，将若干个实验区内的
数据统计如下表：
观察下表，幼树移植成活的频率有什么特
点？估计50000棵幼树在移植后大约能有多
少棵成活？(表格见下)
移植总数 成活数 成活的频率
10 8 0.80
50 47 0.94
270 235 0.870
400 369 0.923
750 662 0.883
1500 1335 0.890
3500 3203 0.915
7000 6335 0.905
9000 8073 0.897
14000 12628 0.902
点拨：在重复实验过程中，应注意观察规律，
用平稳时的频率来估计该事件发生的可能
性的大小．
解：从表中可发现，幼树移植成活的频率在
0．90 左右波动．
因为 50000×0.9=45000(棵)，所以可以估计
在 50000 棵幼树移植后大约能有 45000 棵成
活．
限时课堂训练限时课堂训练
基本练习基本练习
1.投掷一枚均匀的骰子“掷出 3 点”的概率
是______,掷 800 次，“掷出 3 点”的频率
应接近于_______．
2.某电脑厂家在一次质检中，从 6000 台电
脑中抽查了 100 台，其中 5 台不合格，则
出现不合格电脑的机会是______,则 6000
台电脑中估计有_______台不合格．
3. (2005 山西)将一枚硬币抛掷两次，则正
面出现的次数为___________.
4.一个不透明的盒子中装有 m 个红球，7 个
绿球，n 个黑球，每个球除颜色外其他均
相同，从中任取一球，取得是绿球的可能
性与不是绿球的可能性相同，那么 m 与 n
的关系是_______.
5.判断下列说法是否正确：
⑴小刚在上期的体彩中，一次买了 100
注，结果有一注中了一等奖，三注中了
四等奖，可见这次体彩的中奖很高，达
到了 4%．
⑵射击一枪所有可能出现的结果只有两
种，中靶或不中靶，那么小明射击一枪
中靶的机会是 1
2
．
6.阳光大厦为了促销，举办了一次抽奖活
动，规定：①中奖率为 1%(10000 张小票
中 100 张有奖)；②满 30 元抽一张.⑴抽
100 张小票会中奖吗？⑵刘明在本商场
买了 15000 元的商品，抽中奖的小票大
约有几张？
7.准备 10 张小卡片，上面分别写上 1～10
十个数字，除数字外，其他一律一样，然
后将它们搅匀放在一起，每次随意抽出一
张，然后放回洗匀再抽．
⑴请将表格中的数据补充完整；
⑵绘制折线统计图；
⑶通过图像发现 3 的倍数的频率有什么特
点？
⑷若继续这个游戏 500 次，3 的倍数的频数
大约会是多少？(见下表)
实验次数 30 60 90 150 180
出现 3 的倍
数的频数
8 31 48
出现 3 的倍
数的频率
0.37 0.33
拓展思维
在一次大规模的统计中发现英文文献中
字母 E 使用的频率在 0.105 附近，而字
母 J 使用的频率大约为 0.001.如果这次
统计是可信的，那么下列说法可以吗？
试说明理由．
⑴在英文文献中字母 E 出现的机会在
10.5%左右，字母 J 出现的机会在 0.1%
左右；
⑵如果再去统计一篇约含 200 个字母的
英文文献，那么字母 E 出现的频率一定
会非常接近 10.5%．
第二课时第二课时 通过实验求事件发生的概率通过实验求事件发生的概率
学习目标学习目标
1.理解频率与概率的区别与联系．
2.能运用事件发生的频率估计事件发生的
概率．
3.会计算简单事件的概率．
4.通过积极参与数学活动，经历成功与失
败，获得成功感，提高学习数学的兴趣．
课前预习方案课前预习方案
自主学习自主学习
判断：
1.掷一枚均匀的硬币 10000 次，“反面朝
上”的概率逐渐稳定在 0.5.
2.抛掷一枚普通的正六面体骰子，骰子上有
两个面上写着 1，两个面上写着 2，两个
面上写着 3，则掷得 1 的概率是_____．
课堂学习方案课堂学习方案
知识结构知识结构
随机事件发生的概率:
1.有些事件可以通过合理的计算求得，常
用的方法：列举法，表格法，面积法及树
状图法(此方法后讲)
2.有些事件需要通过大量的实验，由频率
来估计它的概率．
说明：⑴当实验次数足够多时，事件发生
的频率逐渐稳定在一个数值，这个数值就
是其概率；⑵实验次数越多，估计的就越
准确．
典型例题典型例题
例 1.现在有两组牌，它们的牌面数字分别是
1，2，3．那么从每组牌中各摸出一张牌，
两张牌的牌面数字和为几的概率最大?两张
牌的牌面数字和等于 4 的概率是多少呢?
点拨：对于简单事件的概率的求法可通过列
表的方法将其所有等可能结果数罗列出来，
这样清晰、一目了然，便于求解．
解：列表如下：
第一张牌的
牌
面
数字第二张
牌的牌面数
1 2 3
1 (1,1) (1,2) (1,3)
2 (2,1) (2,2) (2,3)
3 (3,1) (3,2) (3,3)
通过列表可知等可能的结果数为 9 种，而且
两张牌的牌面数字和等于 4 的情况出现最
多，共 3 次．所以牌面数字和为 4 的概率为
最大等于 3
9
，即 1
3
.
例 2．(2008 大连)六一期间，某公园游戏场
举行“迎奥运”活动．有一种游戏的规则是：
在一个装有 6 个红球和若干个白球的袋中，
随机摸一个球，摸到一个红球就得到一个
奥运福娃玩具，已知参加这种游戏活动为
40000 人次，公园发放的福娃玩具为 10000
个．⑴求参加一次这种游戏活动得到福娃玩
具的频率；⑵请你估计袋中白球接近多少
个．
点拨：频率不等于概率，但通过大量的实验，
频率逐渐稳定于概率，因而我们可以用频率
来估计和预测概率．
解：⑴ 10000 1
40000 4
，所以参加一次这种活动
得到福娃玩具的频率为 1
4
．⑵因为实验次数
很大时，频率接近于概率，所以估计从袋中
任意摸出一球，恰好是红球的概率为 1
4
．设
白球有 x 个，根据题意有： 6 1
x 6 4
，解
得 x=18．经检验 x=18 是方程的解．所以估
计袋中白球接近 18 个．
限时课堂训练限时课堂训练
基本练习基本练习
1.如下图，下面是两个可以自由转动的转
盘，转盘被分成若干个扇形，转动两转盘，
通过多次实验，转盘停止后，指针指向黄
色区域的概率是 ( )
A.
6
1
4
1 B.
3
1
4
1
C.
6
1
3
1 D.
3
1
3
1
2.连续抛一枚硬币两次，结果都是“国徽”
面朝上的概率为 ( )
A. 1
4
B. 1
3
C. 1
2
D. 2
3
3.小明在一只装有红色和白色球各一只的
口袋中摸出一只球，然后放回搅匀再摸出
一只球，反复多次实验后，发现某种“状
况”出现的机会约为 50%，则这种状况可
能是 ( )
A. 两次摸到红色球
B. 两次摸到白色球
C. 两次摸到不同颜色的球
D. 先摸到红色球，后摸到白色球
4.小张外出旅游时带了两件上衣(一件蓝
色，一件黄色)和 3 条长裤(一件蓝色，一
件黄色，一件绿色)，他任意拿出一件上
衣和一条长裤，正好是同色上衣和长裤的
概率是 ( )
A. 1
6
B. 1
5
C. 1
3
D. 1
2
5.（2008 年南京市）口袋内装有一些除颜色
外完全相同的红球、白球和黑球，从中
摸出一球，摸出红球的概率是 0.2，摸出
白球的概率是 0.5，那么摸出黑球的概率
是 ．
6.如图所示，有三个形状与大小完全相同的
直角三角形甲、乙、丙，其中任意两个平
移后可拼成正方形或等腰三角形，则从中
任意取出两个，能拼成等腰三角形的概率
为________.
7.在学校举办的游艺活动中，数学俱乐部办
了一次掷骰子的游戏．玩这个游戏要花四
张 5 角钱的票，每个参加游戏者只能掷一
次骰子，如果掷到 6，游戏者得到奖品；
每个奖品要花费俱乐部 8 元．俱乐部能指
望从这个游戏中赢利吗？做出解释．
8.小猫在如图所示的地板上自由地走来走
去，它最终停留在红色方砖上的概率是
1
4
，你试着把每块砖的颜色涂上．
拓展思维
小红和小明在操场上做游戏，他们先在
地上画了半径分别为 2 ㎝和 3 ㎝的同心
圆(如图)，蒙上眼睛
在一定距离外向圈内
扔小石头，掷中阴影
小红胜，否则小明
胜，未掷入圈内不算，你
你来当裁判．
⑴你认为游戏公平吗？为什么？
⑵游戏结束，小明边走边想，“反过来，
能否用频率来估算概率的方法，来估算
非规则图形的面积呢？” 请你设计方
案，解决这一问题．(要求画出图形，说
明设计步骤、原理写出公式)
丙
甲
乙
8 题图
绿
黄
红
红
绿
黄
绿
黄
红
红1 题图
6 题图
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